第24講 實(shí)踐應(yīng)用能力與創(chuàng)新意識(shí)

1、.,第24講 實(shí)踐應(yīng)用能力與創(chuàng)新意識(shí) 江蘇省高考數(shù)學(xué)科考試說(shuō)明指出：“注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的考查.要求能夠運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并加以解決.要求能夠綜合、靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法,創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.”,.,對(duì)實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的考查可涉及高中階段所學(xué)任何知識(shí)點(diǎn)，題型多為應(yīng)用題，可以是填空題，也可以是解答題.其解題程序一般為：讀懂題意構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型問(wèn)題解決實(shí)際問(wèn)題. 讀題:理解題意,將“應(yīng)用問(wèn)題”化為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”. 建模：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型. 解模：用恰當(dāng)方法，解決構(gòu)建的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 回歸：將數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果依照實(shí)際意義，

2、回歸到實(shí)際問(wèn)題上去.,.,【例1】（2009木瀆高中調(diào)研）假設(shè)A型進(jìn)口車關(guān)稅稅 率在2003年是100%，在2008年是25%，在2003年A型進(jìn) 口車每輛價(jià)格為64萬(wàn)元（其中含32萬(wàn)元關(guān)稅稅款） （1）已知與A型車性能相近的B型國(guó)產(chǎn)車，2003年每輛 價(jià)格為46萬(wàn)元,若A型車的價(jià)格只受關(guān)稅降低的影響,為 了保證2008年B型車的價(jià)格不高于A型車價(jià)格的90%，B 型車價(jià)格要逐年等額降低,問(wèn)每年至少下降多少萬(wàn)元？ （2）某人在2003年將33萬(wàn)元存入銀行，假設(shè)銀行扣利 息稅后的年利率為1.8%（5年內(nèi)不變），且每年按復(fù)利 計(jì)算（上一年的利息計(jì)入第二年的本金），那么5年到 期時(shí)這筆錢連本帶息是否一

3、定能買按（1）中所述降價(jià) 后的B型車一輛？（參考數(shù)據(jù)：1.01851.093）.,.,分析 依題意，可化為等差數(shù)列與等比數(shù)列問(wèn)題 解決. 解 (1)2008年A型車價(jià)格為32+3225%=40(萬(wàn)元). 設(shè)B型車每年下降d萬(wàn)元，2003，2004，2008 年B型車價(jià)格分別為a1，a2，a3，a6（a1， a2，a6為公差是-d的等差數(shù)列）， a64090%，即46-5d36, d2,故每年至少下降2萬(wàn)元. （2）2008年到期時(shí)共有錢 33（1+1.8%）5331.093=36.06936(萬(wàn)元). 故5年到期后這筆錢夠買一輛降價(jià)后的B型車.,.,探究拓展 依題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，依等

4、差數(shù)列、等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)迅速獲解.注意解題過(guò) 程的規(guī)范化敘述與實(shí)際意義的認(rèn)定. 變式訓(xùn)練1 某單位用3.2萬(wàn)元購(gòu)買了一臺(tái)實(shí)驗(yàn)儀 器，假設(shè)這臺(tái)儀器從啟用的第一天起連續(xù)使用， 第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為 (nN*)元，若使 用這臺(tái)儀器的日平均費(fèi)用最少，則一共使用 天.,.,解析 連續(xù)n天，每天保養(yǎng)費(fèi)構(gòu)成等差數(shù)列，n天 保養(yǎng)費(fèi)之和為 答案 800,.,【例2】（2009海門中學(xué)模擬）如 圖所示，某動(dòng)物園要為剛?cè)雸@的小 老虎建造一間兩面靠墻的三角形露 天活動(dòng)室，已知已有兩面墻的夾角為60(即 C=60)，現(xiàn)有可供建造第三面圍墻的材料6米 （兩面墻的長(zhǎng)均大于6米），為了使得小老虎能健 康成長(zhǎng)，要求所建造的三角

5、形露天活動(dòng)室盡可能 大，記ABC= ，問(wèn)當(dāng) 為多少時(shí)，所建造的三 角形露天活動(dòng)室的面積最大？,.,解 在ABC中，由正弦定理：,.,答 當(dāng) =60時(shí)，所建造的三角形露天活動(dòng)室 的面積最大. 探究拓展 以角度為自變量（或涉及角度）的問(wèn) 題，多建立三角函數(shù)模型，利用三角變換，結(jié)合 三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)、有界性結(jié)論等解決問(wèn)題.,.,變式訓(xùn)練2 （2009通州調(diào)研）如圖所示，一條 直角走廊寬為2米.現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板車，其 平板面為矩形ABEF，它的寬為1米.直線EF分別交 直線AC、BC于M、N，過(guò)墻角D作DPAC于P， DQBC于Q；,（1）若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且CAB= ，試 求平板面的長(zhǎng)

6、l（用 表示）； （2）若平板車要想順利通過(guò)直角走廊，其長(zhǎng)度不 能超過(guò)多少米？,.,（1）若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且CAB= ，試 求平板面的長(zhǎng)l（用 表示）； （2）若平板車要想順利通過(guò)直角走廊，其長(zhǎng)度不 能超過(guò)多少米？ 解 （1）,.,（2）“平板車要想順利通過(guò)直角走廊”即對(duì)任意 角 平板車的長(zhǎng)度不能超過(guò)l，即平板車 的長(zhǎng)度lmin;記 此后研究函數(shù)f(t)的最小值,方法很多；如換元 （記4t-2=m，則 )或直接求導(dǎo),以確定函 數(shù)f(t)在1， 上的單調(diào)性；當(dāng)t= 時(shí),l取得 最小值 4 -2. 所以平板車的長(zhǎng)度不能超過(guò)4 -2米.,.,【例3】（2009興化調(diào)研） 某海濱城市坐落在一個(gè)

7、三角形 海域的頂點(diǎn)O處（如圖所示）, 一條海岸線AO在城市O的正東方向，另一條海岸 線OB在城市O北偏東 方向，位于城市O 北偏東 方向15 km的P處有一個(gè)美麗 的小島.旅游公司擬開發(fā)如下一條旅游觀光線路： 從城市O出發(fā)沿海岸線OA到達(dá)C處，再?gòu)暮Ｃ?直線航行，途經(jīng)小島P到達(dá)海岸線OB的D處，然后,.,返回城市O.為了節(jié)省開發(fā)成本，要求這條旅游觀 光線路所圍成的三角形區(qū)域面積最小，問(wèn)C處應(yīng)選 址何處？并求這個(gè)三角形區(qū)域的最小面積. 解 以O(shè)為原點(diǎn),直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo) 系. 據(jù)題意，直線OB的傾斜角為 從而直線OB的方程為y=3x. 由已知POC= ，|PO|=15， 得點(diǎn)P的坐

8、標(biāo)為（9，12），設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t,0）, 則直線PC的方程為 聯(lián)立y=3x,得,.,.,答 當(dāng)C地處于城市O正東方向10 km處時(shí)，能使 三角形區(qū)域面積最小，其最小面積為120 km2. 探究拓展 函數(shù)、不等式與方程是設(shè)計(jì)應(yīng)用類問(wèn) 題的熱點(diǎn)題材，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)、圖象及不等式性 質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.解題之后認(rèn)真反思與體會(huì)是 提高能力的必要環(huán)節(jié).,.,變式訓(xùn)練3 （2009南京調(diào)研）某工廠有216名 工人接受了生產(chǎn)1 000臺(tái)GH型高科技產(chǎn)品的總?cè)?務(wù)，已知每臺(tái)GH型產(chǎn)品由4個(gè)G型裝置和3個(gè)H型裝 置配套組成.每個(gè)工人每小時(shí)能加工6個(gè)G型裝置或 3個(gè)H型裝置.現(xiàn)將工人分成兩組同時(shí)開始加工，每 組

9、分別加工一種裝置.設(shè)加工G型裝置的工人有x 人，他們加工完G型裝置所需時(shí)間為g（x），其余 工人加工完H型裝置所需時(shí)間為h（x）（單位：小 時(shí)，可不為整數(shù)）. （1）寫出g（x），h（x）的解析式； （2）比較g（x）與h（x）的大小，并寫出這216名 工人完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間f（x）的解析式；,.,(3)應(yīng)怎樣分組,才能使完成總?cè)蝿?wù)所用時(shí)間最少？ 解 (1)由題知,需加工G型裝置4 000個(gè),加工H型 裝置3 000個(gè),所用工人分別為x人,（216-x）人. 00. 當(dāng)00,.,g(x)-h(x)0,g(x)h(x); 當(dāng)87x216時(shí)，432-5x0, g(x)-h(x)0,g(x)h(x).

10、 （3）完成總?cè)蝿?wù)所用時(shí)間最少即求f(x)的最小值. 當(dāng)0x86時(shí)，f(x)遞減，,.,f（x）min=f（86），此時(shí)216-x=130. 當(dāng)87x216時(shí)，f(x）遞增， 加工G型裝置、H型裝置的人數(shù)分別為86、130或 87、129.,.,【例4】（2009鹽城三檢）某高中地處縣城，學(xué)校 規(guī)定家到學(xué)校的路程在10里以內(nèi)的學(xué)生可以走 讀，因交通便利，所以走讀生人數(shù)很多.該校學(xué)生 會(huì)先后5次對(duì)走讀生的午休情況作了統(tǒng)計(jì)，得到如 下資料： 若把家到學(xué)校的距離分為五個(gè)區(qū)間:0，2）， 2，4），4，6），6，8），8，10，則 調(diào)查數(shù)據(jù)表有午休的走讀生分布在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的 頻率相對(duì)穩(wěn)定，得到如圖所示

11、的頻率分布直方 圖；,.,走讀生是否午休與下午開始上課的時(shí)間有密切 的關(guān)系.下表是根據(jù)5次調(diào)查數(shù)據(jù)得到的下午開始 上課時(shí)間與平均每天午休的走讀生人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表.,.,（1）若隨機(jī)地調(diào)查一位午休的走讀生，其家到學(xué) 校的路程(單位：里)在2，6）的概率是多少？ （2）如果把下午開始上課時(shí)間130作為橫坐標(biāo) 0，然后上課時(shí)間每推遲10分鐘，橫坐標(biāo)x增加1， 并以平均每天午休人數(shù)作為縱坐標(biāo)y，試根據(jù)表中 的5列數(shù)據(jù)求平均每天午休人數(shù)y與上課時(shí)間x之間 的線性回歸方程,.,(3)預(yù)測(cè)當(dāng)下午上課時(shí)間推遲到220時(shí),家距學(xué)校 的路程在6里路以上的走讀生中約有多少人午休？ 解 （1）P=（0.15+0.200）

12、2=0.7. （2）根據(jù)題意，可得如下表格：,.,（3）下午上課時(shí)間推遲到220時(shí)，x=5， =890， 890（0.050+0.025）2=133.5， 此時(shí)，家距學(xué)校的路程在6里路以上的走讀生中約 有133人（134人）.,.,探究拓展 概率與統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系較 密切的素材之一，近幾年新課標(biāo)高考強(qiáng)化對(duì)數(shù)據(jù) 處理能力的要求，更加突顯了這部分知識(shí)的重要 性，增大了被考查的可能性，備考者要有一定的 思想準(zhǔn)備.,.,變式訓(xùn)練4 在生產(chǎn)過(guò)程中，測(cè)得纖維產(chǎn)品的纖度 （表示纖維粗細(xì)的一種量）共有100個(gè)數(shù)據(jù)，將數(shù) 據(jù)分組如下表：,.,（1）列出頻率分布表，并在坐標(biāo)系中畫出頻率分 布直方圖； （2

13、）估計(jì)纖度落在1.38，1.50）中的概率及 纖度小于1.40的概率各是多少？ （3）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中 點(diǎn)值（例如區(qū)間1.30，1.34）的中點(diǎn)值是 1.32）作為代表.據(jù)此，估計(jì)纖度的期望.,.,解 （1）頻率分布表如下：,.,頻率分布直方圖如下:,.,(2)纖度落在1.38,1.50)中的概率約為0.30+ 0.29+0.10=0.69,纖度小于1.40的概率約為0.04+ 0.25+ 0.30=0.44. （3）總體數(shù)據(jù)的期望約為 1.320.04+1.360.25+1.400.30+1.44 0.29+1.480.10+1.520.02=1.408 8.,.,規(guī)律

14、方法總結(jié) 1.解實(shí)際應(yīng)用題的思路和方法： 2.實(shí)踐能力問(wèn)題常見的考查類型： (1)解概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的應(yīng)用題； (2)圖表型應(yīng)用題；,實(shí)際問(wèn)題,數(shù)學(xué)問(wèn)題,實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論,數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案,建模,審題、抽象、轉(zhuǎn)化,問(wèn)題解決,解模,推理、運(yùn)算,檢驗(yàn),.,（3）構(gòu)造“函數(shù)、方程、不等式模型”求解的應(yīng) 用題； （4）構(gòu)造“數(shù)列模型”求解的應(yīng)用題； （5）構(gòu)造“三角函數(shù)、平面向量模型”求解的應(yīng) 用題； （6）構(gòu)造“線性規(guī)劃模型”求解的應(yīng)用題. 3.創(chuàng)新類問(wèn)題是以“傳統(tǒng)知識(shí)”為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)，是在 “傳統(tǒng)方法”之上的創(chuàng)新，是通性、通法的升華 與靈活應(yīng)用，備考過(guò)程中不必求奇、求異，應(yīng)立 足根本實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新，不可本末倒置.,

15、.,一、填空題 1.平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn) 稱為格點(diǎn)，如果函數(shù)f（x）的圖象恰好通過(guò)k個(gè)格 點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為k階格點(diǎn)函數(shù).下列函數(shù)： f(x)=sin x;f(x)= (x-1)2+3; f(x)=log0.6x.其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有 .（填上所有滿足題意的序號(hào)） 解析 函數(shù)f(x)=sin x只過(guò)格點(diǎn)（0，0）；函數(shù) f（x）= （x-1）2+3只過(guò)格點(diǎn)（1，3）；函數(shù) f(x)=log0.6x只過(guò)格點(diǎn)（1，0）.,.,2.一個(gè)小水庫(kù)的承包人為了估計(jì)小水庫(kù)中養(yǎng)殖的魚 的數(shù)量，先從小水庫(kù)的不同位置捕撈出了100條 魚，分別作好記號(hào)后再放回水庫(kù)，幾天后再?gòu)乃?庫(kù)的幾處

16、不同位置捕撈出108條魚，其中帶記號(hào)的 魚有3條，請(qǐng)估計(jì)水庫(kù)中魚的總條數(shù)為 條. 解析 將水庫(kù)中的魚分為帶記號(hào)的和不帶記號(hào)的 兩類，從中抽取108條，可近似地看作分層抽樣. 設(shè)水庫(kù)中的魚有n條， 故水庫(kù)中的魚的總條數(shù)大概是3 600條.,3 600,.,3.對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，規(guī)定運(yùn)算xy=ax+by+cxy,其中 a、b、c是常數(shù)，等式右邊的運(yùn)算是通常的加法 和乘法運(yùn)算，已知12=3，23=4，并且有一個(gè) 非零常數(shù)m，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有xm=x, 則m= . 解析 依題意，xm=ax+bm+cxm=x對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒 成立，令x=0，則mb=0，由于m是非零常數(shù)，得 b=0，故xy=ax+c

17、xy.由已知得 故5x-mx=x對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則 m=4.,4,.,4.將自然數(shù)1,2,3,4,排成數(shù)陣(如 圖),在2處轉(zhuǎn)第一個(gè)彎,在3處轉(zhuǎn)第 二個(gè)彎,在第5處轉(zhuǎn)第三個(gè)彎, 則轉(zhuǎn)第100個(gè)彎處的數(shù)為 . 解析 a1-a0=1 a2-a1=1 a3-a2=2 a4-a3=2 a5-a4=3 a6-a5=3 a99-a98=50 a100-a99=50 相加得a100-a0=2(1+2+3+50)=2 550. a100=2 551.,2 551,.,5.如圖是2008年北京奧運(yùn)會(huì)上男子跳臺(tái)跳水比賽 中，12位評(píng)委為某個(gè)運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng) 計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分之后，所剩

18、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 . 解析 依方差公式求出.,4,.,6.水管或煤氣管的外部經(jīng)常需要包扎， 以便對(duì)管道起保護(hù)作用，包扎時(shí)用很 長(zhǎng)的帶子纏繞在管道外部.若需要使 帶子全部包住管道且沒(méi)有重疊的部分 (不考慮管子兩端的情況,如圖所示)， 這就要精確計(jì)算帶子的“纏繞角度” ( 指纏繞 中將部分帶子拉成圖中所示的平面ABCD時(shí)的 ABC，其中AB為管道側(cè)面母線的一部分），若 帶子寬度為1，水管直徑為2，則“纏繞角度” 的余弦值為 .,.,解析 由展開圖知,AE=1, AC=2 , RtAEC中,答案,.,二、解答題 7.以一年為一個(gè)周期調(diào)查某商品的出廠價(jià)格及商品 在商店的銷售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn)，該商品出廠價(jià)格是在

19、 每件6元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，已知 3月份的出廠價(jià)格最高，為8元，7月份的出廠價(jià)格 最低，為4元；而該商品在商店的銷售價(jià)格是在每 件8元的基礎(chǔ)上按月份也隨正弦曲線波動(dòng)，并在5 月份的銷售價(jià)格最高，為10元，9月份的銷售價(jià)格 最低，為6元，假設(shè)某商店每月購(gòu)進(jìn)這種商品m 件，且在當(dāng)月售完，請(qǐng)估算哪個(gè)月贏利最大？并 說(shuō)明理由.,.,解 依題意，出廠價(jià)格函數(shù)為,.,8.深夜，一輛出租車被牽涉進(jìn)一起交通事故，該市 有兩家出租車公司紅色出租車公司和藍(lán)色出 租車公司，其中藍(lán)色出租車公司和紅色出租車公 司分別占整個(gè)城市出租車的85%和15%.根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)一 個(gè)目擊證人說(shuō)，事故現(xiàn)象的出租車是紅色，并對(duì)

20、該證人的視覺(jué)辨別能力作了測(cè)試，測(cè)得他辨認(rèn)的 正確率為80%，對(duì)此警察就認(rèn)定紅色出租車具有較 大的肇事嫌疑.請(qǐng)問(wèn)警察的認(rèn)定對(duì)紅色出租車公平 嗎？試說(shuō)明理由.,.,解 設(shè)該城市有出租車1 000輛，那么依題意可得 如下信息： 從表中可以看出，當(dāng)證人說(shuō)出租車是紅色時(shí)，且 它確實(shí)是紅色的概率為 而它是藍(lán)色的概 率為 故以證人的證詞作為推斷的依據(jù)對(duì) 紅色出租車顯然是不公平的.,.,9.某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均 有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部ABCD 是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米.上部CmD是個(gè)半圓，固定點(diǎn)E為CD的中點(diǎn).EMN是由電腦控制其 形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影

21、部分均不通風(fēng)）， MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平 行的伸縮橫桿（MN和AB、DC不重合）.,(1),(2),.,（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí)，求此時(shí)三角 通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積； （2）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風(fēng) 窗EMN的通風(fēng)面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函 數(shù)S=f（x）； （3）當(dāng)MN與AB之間的距離為多少米時(shí)，三角通風(fēng) 窗EMN的通風(fēng)面積最大？并求出這個(gè)最大面積. 解 (1)由題意,當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí)， MN應(yīng)位于DC上方，且此時(shí)EMN中MN邊上的高 為0.5米. 又因?yàn)镋M=EN= DC=1米，可得MN= 米.,.,即三角通風(fēng)窗EM

22、N的通風(fēng)面積為 平方米. （2）如圖（1）所示，當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)， EMN的面積 如圖（2）所示，當(dāng)MN在半圓形區(qū)域滑動(dòng)，,.,.,.,10.已知數(shù)列an，bn,cn的通項(xiàng)公式滿足 bn=an+1-an,cn=bn+1-bn (nN+)，若數(shù)列bn是一 個(gè)非零常數(shù)列，則稱數(shù)列an是一階等差數(shù)列；若 數(shù)列cn是一個(gè)非零常數(shù)列，則稱數(shù)列an是二階 等差數(shù)列. （1）試寫出滿足條件a1=1,b1=1,c1=1的二階等差數(shù) 列an的前五項(xiàng)； （2）求滿足條件（1）的二階等差數(shù)列an的通項(xiàng) 公式an； （3）若數(shù)列an首項(xiàng)a1=2，且滿足cn-bn+1+3an= -2n+1 (nN+),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,.,解 （1