《數(shù)學(xué)物理方法》第八章 狄拉克 函數(shù)

1、第八章 狄拉克d函數(shù),d函數(shù)是英國著名理論物理學(xué)家狄拉克在20世紀(jì)20年代引入的；可以用來： 描寫空間中的點(diǎn)源，如質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分布，點(diǎn)電荷的電荷分布等； 描述時間上的瞬時源，如瞬時力，脈沖電流或電壓等。 因此，在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。,2,d函數(shù)并不是經(jīng)典意義上的函數(shù)，直到20世紀(jì)50年代，法國著名數(shù)學(xué)家施瓦茲(Schwartz)在數(shù)學(xué)中引入廣義函數(shù)之后，才給占函數(shù)的運(yùn)算奠定了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但這超出了本書的討論范圍； 我們將從物理實(shí)例出發(fā)引入d函數(shù)，并介紹d函數(shù)的基本知識，為數(shù)學(xué)物理方程，特別是格林函數(shù)法作準(zhǔn)備。,8.1 一維d函數(shù)的定義和性質(zhì),本節(jié)介紹一維d函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及它的幾個常

2、用表達(dá)式； 在此基礎(chǔ)上，介紹一維d函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)。,4,8.1.1 一維d函數(shù)的定義,通過計算點(diǎn)電荷的電荷密度引入一維d函數(shù)的定義 中心位于x0、長度l、總電量為1的均勻帶電細(xì)線，其線電荷密度h(x)及總電量Q分別為,當(dāng)l 0時，電荷分布可看作位于x= x0的單位點(diǎn)電荷，這時的線電荷密度及總電量分別為,5,當(dāng)l 0時，線電荷密度及總電量分別為,我們把定義在區(qū)間(-, )上，滿足上述這兩個要求的函數(shù)稱為一維d函數(shù)，并記作d(x-x0), 即 其函數(shù)曲線如圖8. 1所示,6,引進(jìn)一維d函數(shù)后，位于x0處，電量為q的點(diǎn)電荷的線電荷密度可表示為 位于坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的線質(zhì)量密度為,7,8.

3、1.2 d函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1 若f(x)是定義在區(qū)間(-,)的任一連續(xù)函數(shù)，則 證明 設(shè)e是任意小的正數(shù)，因?yàn)樵趨^(qū)間x0-e, x0+e之外， d(x-x0) = 0，故 利用了第二中值定理，x是區(qū)間x0-e, x0+e內(nèi)某一點(diǎn)。,8,特別是，當(dāng)x0=0時有,請注意，也可以將式(8.1.9)作為一維d函數(shù)的定義式，因?yàn)槭?8.1.9)與式 (8.1.5)、式(8.1.6)是完全等價的。 這表明，d函數(shù)也可以通過它在積分號下對任意連續(xù)函數(shù)f(x)的運(yùn)算性質(zhì)來定義 。,由于e是任意小的正數(shù)，當(dāng)e 0時， x x0， f (x) f (x0) ，由此式(8.1.9)得證,9,性質(zhì)2 (對稱性) d(

4、x-x0) = d(x0-x), 即d函數(shù)是偶函數(shù),證明 設(shè)f(x)為定義在(-,)的連續(xù)函數(shù)，令x=x0-x，則有 相比較可見d(x-x0) 與d(x0-x) 在積分號下對任一連續(xù)函數(shù)f(x)的運(yùn)算性質(zhì)相同 ，故 d(x-x0) = d(x0-x) (8.1.10),10,性質(zhì) 3,證明 當(dāng)xxo ,等式兩邊均為零；當(dāng) x =xo上式兩邊均為f(xo)d(x-x0) 性質(zhì)4 xd(x) = 0 證明 對任意的連續(xù)函數(shù)f(x) ,均有 既然xd(x)與任一連續(xù)函數(shù)f(x)之積在(-,)的積分均為零，故式(8. 1. 12)得證。,11,性質(zhì)5 若j(x)為連續(xù)函數(shù), 且j(x)=0只有單根xk

5、 (k =1,2，N)，則,證明 由一維d函數(shù)的定義，可得,不難看出，dj(x) 的函數(shù)曲線是有N個峰值的曲線，因此可將它展開為,12,現(xiàn)在的問題歸結(jié)為求式(8.1.15)的展開系數(shù)Ck的值為了求得第m個系數(shù)Cm , 在區(qū)間xm-e, xm+e對上式兩端積分，得,將式(8.1.16)兩端的啞指標(biāo)m改為k，即有,13,現(xiàn)在計算積分(8.1.17)，利用,利用第二中值定理，便有,上式可寫為,(8.1.18),14,單調(diào)增加, 積分上限大于下限：j(xk+e)j(xk-e) ，這時積分,(2)當(dāng)j(xk)0時，在上述區(qū)間有j(xk+e) j(xk-e) 積分,綜合上兩式，式( 8.1.18)可寫為,

6、將Ck代入式(8.1.15)即得式(8.1.13),15,若j(x)有重根，則式(8.1. 13)不成立,如 j(x) =x2有重根 x1= 0 及 x2= 0 ， 這時 式( 8.1.13)的分母為零，沒有意義 利用式(8.1.13)可以得到d函數(shù)一系列的性質(zhì),16,17,18,19,8.1.3 一維d函數(shù)的幾個常用表達(dá)式,1.以函數(shù)序列的極限表示,20,為形象起見，今將表達(dá)式2，表達(dá)式4的函數(shù)序列作圖如圖8.2所示,21,證明 根據(jù)等式右邊符合d(x)的定義來證,表達(dá)式1 的證明 (1)、當(dāng)x0時，令v=xu并利用 可得 應(yīng)注意取極限的順序，首先要進(jìn)行x與u相乘等初等運(yùn)算（因而要先取x0的

7、極限)，然后才是整個分式取u0的極限。,22,(2) 、當(dāng)x為不等于零的常數(shù)時,(3)、計算在區(qū)間(-, )的積分值, 可得 定積分= p (見例4.2.8，P92),23,2.用階躍函數(shù)(圖8.3)的導(dǎo)數(shù)表示,階躍函數(shù)的定義為,24,表達(dá)式5 d(x)H(x) (8.1.28),證明 設(shè)f(x)是任意的連續(xù)函數(shù)，則,由f(x)的任意性即得式(8.1.28),25,除此之外，還可用積分表示，稱為d(x)的傅里葉展開，見12.1節(jié).,表達(dá)式 A d 函數(shù)的傅里葉積分 表達(dá)式 B d 函數(shù)的傅里葉積分 表達(dá)式 C d 函數(shù)的傅里葉積分(三維),26,8.1.4 一維d函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義,對于任意連續(xù)函

8、數(shù)f(x)，若 成立，則d(x-x0)稱為d(x-x0)的導(dǎo)數(shù)，并記作,27,一維d函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可按通常的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算，如由分部積分公式 第一項(xiàng)利用了當(dāng),28,類似地，可給出一維d函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的定義：若f(x)為任意連續(xù)函數(shù)，若 成立，則d(n)(x-x0)稱為d(x-x0)的n階導(dǎo)數(shù)，并記作,29,8.1.5 一維d函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1 d(x)是奇函數(shù) d(-x) -d(x) (8.1.33) 證明 d(-x)是對宗量-x 求導(dǎo)的，考慮到d(x)是偶函數(shù)，所以,30,性質(zhì)2 在積分號下，有 xd(x) -d(x) (8.1.34) 證明 用f(x)乘式(8.1.34)左邊后對x從-到積分，然后利用式(8.1.29)可得,31,比較可見， xd(x)與 -d(x)在積分號下對任意連續(xù)函數(shù)f(x)的運(yùn)算性質(zhì)相同，式(8.1.34)得證 特別是，當(dāng)x 0時， d(x)=0，由此得 d(x) = 0 (當(dāng)x 0時) (8 .2.35),32,作業(yè)- 8.1 第178頁,8.2 三維d函數(shù)的定義 和微分表達(dá)式,本節(jié)介紹三維d函數(shù)的定義及其微分表達(dá)式,34,8.2.1 三維d函數(shù)的定義,三維d函數(shù)的定義為 d(3)(x) d(x) d(y) d(z) (8.2.1) 式中 將一維d函數(shù)的定義式代入上式，并注意到當(dāng)xk0(k=1, 2,3)時，相應(yīng)的d(x