超單元培訓(xùn)_Nastran.ppt

1、動態(tài)超單元,有限元的基本概念,有限元 - 連續(xù)體的離散化，將整體結(jié)構(gòu)分割為若干基本單元，每個單元有若干節(jié)點。單元中的基本物理量 (結(jié)構(gòu)分析 - 位移；熱分析 - 溫度；電磁分析 - 電位勢，磁通量；流體分析 - 流量，等) 用單元節(jié)點處的值表示，如： u = P ue 其中： u - 單元中任意點的物理量值，它是坐標(biāo)的函數(shù)： u = u (x,y,z) P - 形狀函數(shù)，與單元形狀、節(jié)點坐標(biāo)和節(jié)點自由度等有關(guān) ue - 單元節(jié)點的物理量值；對于結(jié)構(gòu)分析可以是位 移、轉(zhuǎn)角或其對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。 常用大型分析軟件中基本上是位移+轉(zhuǎn)角。,有限元的基本概念 (續(xù)),結(jié)構(gòu)分析時一些常用單元的節(jié)點自由度 (在

2、單元坐標(biāo)系中) 桿元：單元形狀為線段，拉伸和扭轉(zhuǎn)，在總體坐標(biāo)系中： 三個位移和三個轉(zhuǎn)角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3) 梁元：單元形狀為線段，拉伸、扭轉(zhuǎn)，以及兩個垂直于軸 線方向的彎曲，在總體坐標(biāo)系中： 三個位移和三個轉(zhuǎn)角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3) 板殼元：三角形或四邊形，兩個面內(nèi)位移，法向位移及兩 個轉(zhuǎn)角 (一般缺少繞法線轉(zhuǎn)角)，在總體坐標(biāo)系中： 三個位移和三個轉(zhuǎn)角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3) 實體：四面體六面體，三個方向的位移，無轉(zhuǎn)角。在總 體坐標(biāo)系中： 三個位移 (T1,T2,T3),有限元的基本概念 (續(xù)),有限元的基本概念 (續(xù)),單元形狀函數(shù)舉例

3、(未必是實際使用的單元)： (1) 一維單元 a. 桿單元 軸向拉伸和扭轉(zhuǎn)：節(jié)點位移自由度為 Tx，Rx 對 2 節(jié)點單元 (線性單元)： Tx = a0 + a1 * x Rx = b0 + b1 * x 各有 2 個未知數(shù)，可以由 2 個節(jié)點的位移值確定； 對 3 節(jié)點單元 (二次單元)： Tx = a0 + a1 * x + a2 * x2 Rx = b0 + b1 * x + b2 * x2 各有 3 個未知數(shù)，可以由 3 個節(jié)點的位移值確定；,有限元的基本概念 (續(xù)),b. 梁單元 拉伸和扭轉(zhuǎn)與桿相同，對于彎曲變形 (以單元坐標(biāo)系 y 向為例)，2 節(jié)點單元相應(yīng)的形狀函數(shù)為： Ty

4、= c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3 由兩個節(jié)點的 Ty,Rz 可以確定四個未知數(shù)； 3 節(jié)點單元： Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3 +c4*x4 + c5*x5 由 3 個節(jié)點的 Ty,Rz 可以確定 6 個未知數(shù)；,有限元的基本概念 (續(xù)),(2) 二維單元 a. 平面單元 (平面問題，軸對稱問題) ，以 Tx 為例 三節(jié)點三角元： Tx = a0 + a1*x + a2*y 三個未知數(shù)可以由三個節(jié)點的 Tx 表示； 6 節(jié)點三角元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 6 個未知數(shù)可以由

5、6 個節(jié)點的 Tx 表示； 4 節(jié)點四邊形元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*xy 4 個未知數(shù)可以由 4 個節(jié)點的 Tx 表示； 8 節(jié)點四邊元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 + a6*(x3 + xy2) + a7*(x2y + y3) 8 個未知數(shù)可以由 8 個節(jié)點的 Tx 表示；,有限元的基本概念 (續(xù)),上面使用的簡單多項式，對于 4 節(jié)點或 8 節(jié)點四邊形 (特別是使用簡單多項式的 8 節(jié)點單元，三次項缺失較多)，使用效果往往不好。 實際使用的是 等參數(shù)單元，通過曲線坐標(biāo)變換，將任意三角形或四邊

6、形變換為等參數(shù)坐標(biāo)系中的正三角形或正方形。然后用 “內(nèi)插函數(shù)” 來構(gòu)造形狀函數(shù)。,有限元的基本概念 (續(xù)),(2) 二維單元 (續(xù)) b. 彎曲單元 (板、殼問題) 平面內(nèi)的變形與平面問題相同，主要考慮法向彎曲變形 - Tz，每個節(jié)點有三個彎曲自由度：Tz, Rx, Ry (法向位移和兩個轉(zhuǎn)角)。 三節(jié)點三角元： Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 + a6*x3 + a7*(x2y + xy2) + a8*y3 9 個未知數(shù)可以由三個節(jié)點的 Tz, Rx, Ry 表示。 這是一個不完整的三次多項式，實際使用的是完整的三次多項式，然后添加

7、約束條件消除多出來的一個未知數(shù)。 4 節(jié)點四邊形元： Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 + a6*x3 + a7*x2y + a8*xy2 + a9*y3 + 2 個四次項 12 個未知數(shù)可以由四個節(jié)點的 Tz, Rx, Ry 表示。這是一個不完整的四次多項式，效果較差，實際使用的是 等參數(shù)單元。 同樣可以構(gòu)造 高階 單元 (6 節(jié)點三角元、8 節(jié)點四邊形單元)。,有限元的基本概念 (續(xù)),(3) 三維實體單元 每個節(jié)點三個自由度：Tx,Ty,Tz，一般情況，單元坐標(biāo)系 x,y,z 與總體坐標(biāo)系 X,Y,Z 相同。 a. 四面體單元 (

8、以 Tx 為例) 4 節(jié)點單元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z 四個未知數(shù)由四個節(jié)點的 Tx 確定。 10 節(jié)點單元 (增加 6 個邊的中點)： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 + a5*y2 + a6*z2 + a7*xy + a8*yz + a9*zx 10個未知數(shù)由 10 個節(jié)點的 Tx 確定。,有限元的基本概念 (續(xù)),(3) 三維實體單元 (續(xù)) b. 六面體單元 (以 Tx 為例) 8 節(jié)點單元 (直觀的例子，實際用 等參數(shù)單元)： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 + a

9、5*y2 + a6*z2 + a7*(xy + yz + zx) 8 個未知數(shù)由 8 個節(jié)點的 Tx 確定。 20 節(jié)點六面體單元： 使用完整的三次多項式，共 20 個未知數(shù)，由 20 個節(jié)點的 Tx 確定。實際中使用的是 等參數(shù)單元。,有限元的基本概念 (續(xù)),理論上，計算結(jié)果應(yīng)該隨著網(wǎng)格的細(xì)化而收斂到精確值。但實踐發(fā)現(xiàn)，單元的形狀函數(shù)對其計算結(jié)果和收斂性有較大影響。經(jīng)數(shù)學(xué)界研究發(fā)現(xiàn)，單元的構(gòu)造必須滿足相容性 (協(xié)調(diào)性) 和完備性要求，才能保證計算結(jié)果的收斂性。 1. 單元的完備性要求： 對一般的多項式形式的單元形狀函數(shù)，必須是與所解決問題的 應(yīng)變-位移 關(guān)系式中的最高階導(dǎo)數(shù)相同階數(shù)的完整多

10、項式。 與 應(yīng)變-位移 關(guān)系式中的最高階導(dǎo)數(shù)相同階數(shù)的多項式，在 應(yīng)變-位移 關(guān)系式中微分后得到常應(yīng)變項。因此，如果該多項式不完整，就會丟失某些常應(yīng)變項，導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確。,有限元的基本概念 (續(xù)),2. 單元的相容性 (協(xié)調(diào)性) 要求： 單元的位移函數(shù)必須包含所解決問題的 應(yīng)變-位移 關(guān)系式中的最高階導(dǎo)數(shù)低一階的連續(xù)性。即，在相鄰單元的邊界上，該導(dǎo)數(shù)必須連續(xù)。 如一般彈性問題 (平面問題、軸對稱問題和三維彈性問題)，其 “應(yīng)變-位移” 關(guān)系式中只包括位移對坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)，只要求在單元邊界上位移連續(xù)。因此其位移形狀函數(shù)只要包含坐標(biāo)的一次多項式即可 (Tx = a0 + a1*x + a2*y +

11、 a3*z .)。 對板彎曲問題，應(yīng)變-位移 關(guān)系式包含位移對坐標(biāo)的二次導(dǎo)數(shù)，在單元邊界上需要位移和轉(zhuǎn)角都連續(xù)，因而板彎曲單元的節(jié)點自由度至少需要三個自由度：Tz,Rx,Ry。這也造成了難以構(gòu)造簡單而又滿意的板彎曲單元。 在滿足相容性 (協(xié)調(diào)性) 要求的情況下，隨著網(wǎng)格的細(xì)化，結(jié)果是單調(diào)收斂的。如果只滿足完備性，而不滿足相容性 (如板彎曲問題)，解有時也能收斂，但一般不是單調(diào)收斂。,有限元的基本概念 (續(xù)),對一個單元，考慮剛度、質(zhì)量、阻尼、載荷，及其與相鄰單元之間的內(nèi)力，相應(yīng)的動力方程可以寫成： Ke ue + Be ue + Me ue = Fe + Re (2) 其中： Ke、Be、Me

12、 分別為單元的剛陣、阻尼陣和質(zhì)量陣； Fe 為單元的載荷陣； Re 為與相鄰單元之間的內(nèi)力及約束反力。 需要注意的是：內(nèi)力矢量僅在與其它單元相鄰的節(jié)點上才不為零，不與其它單元連接的節(jié)點處，內(nèi)力為零。對于約束節(jié)點，其反力一般不為零。 因此，對一個單元也可以劃分內(nèi)部節(jié)點 (不與其它單元相連也沒有約束) 和外部節(jié)點 (與其它單元相連或有約束)，同樣可以將內(nèi)部節(jié)點凝聚掉。,.,.,基本求解過程,1. 總體矩陣的裝配： 首先將所有節(jié)點的自由度按某種規(guī)則統(tǒng)一排列、編號。 然后，將每個單元的剛度、質(zhì)量、阻尼、外力和約束反力等矩陣或矢量的每一項分別寫為： kij，mij，bij ， fi 和 Ri 這里 i，

13、j 分別為該項對應(yīng)的總體自由度編號。 總體矩陣的裝配就是將所有相同 ij 編號的同類項相加，得到總體矩陣中對應(yīng)的項： Kij = kij (ij 相同的項相加) Mij = mij Bij = bij Fi = fi Ri = ri (單元間內(nèi)力疊加后抵消，只留下約束反力),基本求解過程 (續(xù)),裝配的例子：三個梁元組成的桿，節(jié)點 14 的各 6 個自由度在總體自由度中的編號分別為 16，712，1318，1924。三個單元的剛度矩陣可以分別寫成如下形式：,基本求解過程 (續(xù)),最后得到方程： K u + B u + M u = F + R (3) 其中： K - 總剛度陣 M - 總質(zhì)量陣

14、B - 總阻尼陣 F - 總載荷陣 R - 約束反力陣，僅約束自由度上非零，其余全為零 有約束的自由度，其位移值為已知，可以從方程 (3) 中消除，在得到位移解之后用來計算約束反力。 將 u 分割為 ua (分析自由度) 和 ur (約束自由度)：,.,.,.,基本求解過程 (續(xù)),其中，ur 和 ur 為零。 展開后得到： 由第一個方程得到： 當(dāng) ur = 0 時，此方程與 (3) 式一樣； 當(dāng) ur 0 時，此方程與 (3) 式類似，只是 Fa 有所改變。 在解出 ua 后，由第二個方程求解約束反力： 由此可見，約束自由度可以從整個自由度集中刪除，此時求解的方程形式上與 (3) 式相同，只

15、是從 u 改為 ua。 為便于表示，下面仍用方程 (3)，但認(rèn)為 u 中不包含約束自由度。,.,.,超單元的基本概念,可以發(fā)揮一下想象力，構(gòu)造一個特大的單元 (超單元或子結(jié)構(gòu))。它的動力方程也應(yīng)該與方程 (3) 類似 (可以消除全部約束自由度，也可以將約束自由度放在主結(jié)構(gòu) - 殘余結(jié)構(gòu)中)，可以寫成： 將其自由度分為兩部分： a. 與其它超單元不直接連接的部分 (內(nèi)部自由度，其 R 部分為零，即其自身單元之間的 內(nèi)力 互相抵消了)。記為 uo (對于主結(jié)構(gòu)或殘余結(jié)構(gòu)為省略的自由度)。 b. 與其它超單元相連接的部分 (外部自由度或邊界自由度，其 R 部分不為零 - 超單元之間的 內(nèi)力)；記為

16、ua (對于主結(jié)構(gòu)或殘余結(jié)構(gòu)為待求解的自由度)。,省略上標(biāo) s，按外部自由度和內(nèi)部自由度分割，一個超單元的動力方程可以寫成如下形式： 其中，uo - 內(nèi)部自由度； ua - 外部自由度。 展開后得到： 對靜力問題，所有 B，M 矩陣都為零，方程 (8) 簡化為： Koo uo + Koa ua = Fo 可以用 ua 表示 uo 為： uo = Koo -1 (Fo - Koa ua ) (10),超單元的基本概念 (續(xù)),超單元的基本概念 (續(xù)),將 (10) 式代入 (9) 式，得到: (Kaa - Kao Koo -1 Koa) ua = Fa - Kao Koo -1 Fo + Ra

17、或記為： Kaa* ua = Fa* + Ra (11) 其中： Kaa* = Kaa - Kao Koo -1 Koa Fa* = Fa - Kao Koo -1 Fo,各超單元的 ua 是整個結(jié)構(gòu)的殘余結(jié)構(gòu)的分析自由度uA 的一部分。可以按照一般單元裝配成總體矩陣相同的方式，由各超單元的邊界矩陣裝配得到殘余結(jié)構(gòu)的矩陣。然后求解出 uA，再回到各超單元進行數(shù)據(jù)恢復(fù)，先從 uA 中分離出 ua，再由方程 (10) 得到超單元的 uo，與 ua 一起構(gòu)成超單元的完整自由度集。 其中： Goa = - Koo -1 Koa (13),超單元的基本概念 (續(xù)),超單元的基本概念 (續(xù)),在得到超單元

18、各節(jié)點的位移 uf 之后，可以計算如應(yīng)變、應(yīng)力、能量等各種所需的物理量。,動態(tài)情況下的超單元減縮方法,靜力凝聚或 Guyan 減縮方法 基本方法與靜力問題相同，但將內(nèi)部自由度的質(zhì)量、阻尼通過一定方式分配到邊界自由度上。 該方法誤差較大，只適于小模型，基本不用。 由方程 (10)，忽略載荷項，得到： uo = - Koo -1 Koa ua = Goa ua (14) 對超單元的全部結(jié)構(gòu)自由度：,動態(tài)情況下的超單元減縮方法 (續(xù)),將方程 (15) 代入超單元的動力方程，并左乘 T ，得到： T K ua + T B ua + T M ua = Fa + Ra 這里假設(shè)了 uo，uo 與 ua，ua 之間的關(guān)系與 (14) 式相同，同時內(nèi)力項在超單元裝配后互相抵消。