高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.4.2求函數(shù)零點近似解的一種計算方法_二分法精品學(xué)案新人教B版必修

1、名校名 推薦2.4.2求函數(shù)零點近似解的一種計算方法二分法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解函數(shù)變號零點與不變號零點的概念，會判斷函數(shù)變號零點的存在.2. 會用二分法求函數(shù)變號零點的近似值，并能對二分法的過程作出程序化的步驟. 知識鏈接 現(xiàn)有一款手機，目前知道它的價格在5001 000 元之間，你能在最短的時間內(nèi)猜出與它最近的價格嗎？ ( 誤差不超過20 元 ) ，猜價格方案：(1) 隨機； (2) 每次增加20 元； (3) 每次取價格范圍內(nèi)的中間價，采取哪一種方案好呢？ 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1. 二分法的概念對于在區(qū)間 a，b 上連續(xù)不斷且f ( a) f ( b) 0 的函數(shù) y f ( x) ，通過不斷地把

2、函數(shù)f ( x) 的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近為零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法 . 由函數(shù)的零點與相應(yīng)的方程根的關(guān)系，可用二分法來求方程的近似解.2. 用二分法求函數(shù)f ( x) 零點近似值的步驟(1) 在 d內(nèi)取一個閉區(qū)間 a0，b0 ? d，使 f ( a0) 與 f ( b0) 異號，即 f ( a0) f ( b0)0. 零點位于區(qū)間 a0， b0 中 .(2) 取區(qū)間 a ， b 的中點 ( 如圖 ) ，則此中點對應(yīng)的坐標(biāo)為x a 2( b a ) 2( a b ).0000100100計算 f ( x0) 和 f ( a0) ，并判斷：如果 f (

3、x0) 0，則 x0 就是 f ( x) 的零點，計算終止；如果 f ( a0) f ( x0)0 ，則零點位于區(qū)間 x0， b0 中，令 a1 x0， b1 b0.11(3) 取區(qū)間 a1， b1 的中點，則此中點對應(yīng)的坐標(biāo)為x1 a1 2( b1 a1) 2( a1 b1).計算 f ( x1) 和 f ( a1) ，并判斷：如果 f ( x1) 0，則 x1 就是 f ( x) 的零點，計算終止；如果 f( a1) f ( x1)0 ，則零點位于區(qū)間x1，1 上，令a21， 2 1.fbxbb(4) 繼續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間 a ， b ，函數(shù)的零點總位于區(qū)間 a ， b 上，當(dāng)a 和

4、 bnnnnnn按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)y f ( x) 的近似零點，1名校名 推薦計算終止 . 這時函數(shù)y f ( x) 的近似零點滿足給定的精確度.要點一函數(shù)零點類型的判斷例 1判斷下列函數(shù)是否有變號零點；(1) y x2 5x 14； (2) y x2 x 1；(3) y 4x2 4x 1.解 (1) y x2 5x14 ( x2)( x 7) ，有兩個零點 2,7.由二次函數(shù)的圖象知，2,7 都是變號零點.(2) y x2x 1 ( x ) 2 3 0 恒成立，241此函數(shù)沒有零點.(3) y 4x24x 1(2 x 1) 2，1有一個零點2，但它是

5、不變號零點 .規(guī)律方法函數(shù)的零點分為變號零點和不變號零點，若函數(shù)零點左右兩側(cè)函數(shù)值符號相反，則此零點為函數(shù)的變號零點；從圖象來看，若圖象穿過x 軸，則此零點為變號零點，否則為不變號零點 . 二分法只能求函數(shù)的變號零點.跟蹤演練1已知函數(shù)yf ( x) 的圖象如圖所示. 下列結(jié)論正確的序號是()該函數(shù)有三個變號零點；所有零點之和為0；1當(dāng) x 2時，恰有一個零點；當(dāng) 0 x 1 時，恰有一個零點.a. b. c.d.答案d解析函數(shù) y f ( x) 的三個變號零點分別是1,0,1.所以正確.要點二二分法求函數(shù)零點近似解例 2求函數(shù) f ( x) x3 2x2 3x 6 的一個為正數(shù)的零點( 精確

6、到 0.1).解由于 f (1) 6 0， f (2) 4 0，可取區(qū)間 1,2作為計算的初始區(qū)間.用二分法逐次計算，列表如下：2名校名 推薦端點或中點橫坐標(biāo)計算端點或中點的函數(shù)值定區(qū)間a 1， b 2f (1) 6， f (2)41,20011 2f(x101.5,22 1.5) 2.625x 21.5 21.7521.5,1.75x2f ( x ) 0.234 4 0x 1.5 1.751.625 ，32f ( x3) 1.302 7 01.75 1.6251.625 1.75，x41.687 52f ( x4) 0.561 8 01.75 1.687 51.687 51.75，x51.7

7、18 752f ( x5) 0.171 01.75 1.718 756 1.718 75 1.751.71875 ，x2f ( x6) 0.03 01.734375 1.734 375至此可以看出，區(qū)間1.718 75,1.734 375內(nèi)的所有值精確到0.1 都為 1.7 ，所以 1.7 就是所求函數(shù)零點精確到0.1 的實數(shù)解，即為函數(shù)的一個正數(shù)零點.規(guī)律方法1. 在選擇區(qū)間 a， b 時要使其長度盡可能小，以減少運算次數(shù). 在沒有特別要求的情況下，為了便于計算和操作，可以嘗試取相鄰的兩個整數(shù)作為初始值區(qū)間的端點.2. 切記最后分得的區(qū)間兩端點共同的近似值才是零點的近似值，若無共同近似值則需

8、繼續(xù)運算，直到符合要求為止.跟蹤演練2求函數(shù) f ( x) x3x 1 在區(qū)間 1,1.5內(nèi)的一個零點( 精確到 0.1).解由于 f (1) 11 1 1 0，f (1.5) 3.375 1.5 1 0.875 0， f ( x) 在區(qū)間 1,1.5 內(nèi)存在零點，取區(qū)間 1,1.5 作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算列表如下：端點或中點橫坐標(biāo)計算端點或中點的函數(shù)值定區(qū)間a0 1，b0 1.5f (1) 1，1,1.5f (1.5) 0.875011.5 1.2501.25,1.5x 2f ( x ) 03名校名 推薦11.25 1.5f(x1) 01.25,1.375x 1.37521.2

9、5 1.375x2f ( x2) 01.312 5 ，1.3752 1.312 5x3 1.312 5 1.3752f ( x3) 01.3125， 1.343 75 1.343 75區(qū)間 1.312 5,1.343 75兩個端點精確到0.1 的近似值都是1.3 ，所以原函數(shù)精確到0.1的近似零點為1.3.1. 設(shè)函數(shù) f ( x) 用二分法求方程 f ( x) 0在 x(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f (1) 0， f (1.5)0， f (1.25) 0，則方程的根落在區(qū)間()a.(1,1.25)b.(1.25,1.5)c.(1.5,2)d. 不能確定答案b解析 f (1.5) f (1.2

10、5) 0，方程的根落在區(qū)間 (1.25,1.5).2. 函數(shù) f ( x) 的圖象如圖所示，則函數(shù)f ( x) 的變號零點的個數(shù)為 ()a.0b.1c.2d.3答案d解析函數(shù) f ( x) 的圖象通過零點時穿過x 軸，則必存在變號零點，根據(jù)圖象得函數(shù)f ( x) 有3 個變號零點 .3. 在用二分法求函數(shù) f ( x) 的一個正實數(shù)零點時， 經(jīng)計算， f (0.64) 0，f (0.72) 0，f (0.68)0，則函數(shù)的一個精確到0.1 的正實數(shù)零點的近似值為()a.0.68b.0.72c.0.7d.0.6答案c解析已知 f (0.64)0， f (0.72) 0，則函數(shù)f ( x) 的零點

11、的初始區(qū)間為0.64,0.72，又4名校名 推薦0.68 (0.64 0.72)/2，且 f (0.68) 0，所以零點在區(qū)間0.68,0.72上，且該區(qū)間的左、右端點精確到0.1 所取的近似值都是0.7 ，因此 0.7 就是所求函數(shù)的一個正實數(shù)零點的近似值.4. 下列函數(shù)圖象均與x 軸有交點，其中能用二分法求函數(shù)零點的是_( 填序號 ).答案解析圖中所示函數(shù)的零點都不是變號零點，因此不能用二分法求解； 圖中所示函數(shù)的零點是變號零點，能用二分法求解.5. 用二分法求方程 x3 2x5 0 在區(qū)間 2,3內(nèi)的實根，取區(qū)間中點x0 2.5 ，那么下一個有根區(qū)間是 _.答案2,2.5解析令 f ( x) x3 2x 5， f ( x) 圖象在 2,3上連續(xù)不斷， f (2) 1 0， f (3) 160，f ( x0) f (2.5) 5.625 0，f (2) f (2.5) 0，故下一個有根區(qū)間是2,2