高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容復(fù)習(xí)(15)―探索性問(wèn)題

1、高 中 數(shù) 學(xué) 必 修 內(nèi)容 復(fù) 習(xí) （15）探索性問(wèn)題一、選擇題 （本題每小題5 分，共 60 分）1集合 a a，b，c ，集合 b 1，0，1 ，f是 a 到 b 的映射，且滿(mǎn)足條件 f(a)+f(b)+ f(c)=0 ，這樣的映射共有（）a 6 個(gè)b 7 個(gè)c 8 個(gè)d 9 個(gè)2 在abc 中， sinasinb是 ab 成立的（）a 充分非必要條件b必要非充分條件c 充要條件d既不充分也不必要條件3直線(xiàn) xy1 與橢圓 x2y2相交于a、b兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)，使得apb的面43161p9積等于 3，這樣的點(diǎn)p 共有（）a 1 個(gè)b 2 個(gè)c 3 個(gè)d 4 個(gè)4設(shè)數(shù)集 mx mxm3x

2、n1x n，且 m 、n 都是集合 x 0x 1, n34的子集，如果把 ba 叫做集合 x a xb 的“長(zhǎng)度”，那么集合 mn 的“長(zhǎng)度”的最小值是（）a 1b 2c 1d 53312125pq 是異面直線(xiàn) a，b 的公垂線(xiàn)， ab，aa，bb，c 在線(xiàn)段 pq 上（異于 p,q ），則 abc的形狀是（）a 銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d三角形不定6用一張鋼板制作一容積為4m3 的無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱，可用的長(zhǎng)方形鋼板有四種不同的規(guī)格（長(zhǎng)寬的尺寸如各選項(xiàng)所示，單位均為m），若既要夠用，又要所剩最少，則應(yīng)選鋼板的規(guī)格是（）a 2 5b 2 5.5c 2 6.1d 3 5第1頁(yè)共 14頁(yè)7

3、算機(jī)是將信息 成二 制數(shù) 行 理的，二 制即“逢2 進(jìn) 1”，如（ 1101） 2表示二 制數(shù) ,將它 成十 制形式是1 23+1 22+0 21+120=13，那么將二 制數(shù)（1111） （ 2004 個(gè) 1） 成十 制形式是（）2a 2 2004 2b 2 2003 2c 2 2004 1d 2 2003 18數(shù)列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第 1000 的 是（）a 42b 45c 48d 51在(1+ x)2+(1+ x)6+(1+ x)7 的展開(kāi)式中，含x4 的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n 10 的 （）9a 第 2 項(xiàng)b第 11 項(xiàng)c第 20 項(xiàng)

4、d第 24 項(xiàng)10已知集合 a= x|x2 2x 30,b=x|x2 +ax+b 0 ，若 a b=r ，a b=（ 3，4 有（）a a=3,b=4b a=3,b= 4c a= 3,b=4d a= 3,b= 4不等式22x a a的解集是（）ax 0)11+(a |x0 或x 5b | a xax2x a4c x|0 xad x| ax 5 a 或 0 xa4x2y 21 的 a 1a2，短 b1b 2，將坐 平面沿y 折成一個(gè)二面角，使12 34a 1 點(diǎn)的平面 b1 a2b 2 上的射影恰好是 的右焦點(diǎn)， 此二面角的大小 （）a 30b 45c 60d 75二、填空 （本 每小 4 分，

5、共 16 分）13已知定點(diǎn) a( 2， 3 ),f 是 x 2+ y 2=1 的右焦點(diǎn)，點(diǎn) m 在 上移 ， 當(dāng)|am|+16122|mf| 取最小 ，點(diǎn)m 的坐 是.14 若(x2 1)n 的 展開(kāi)式中含x 的 第 6 ， (1 x+2 x2)n=a0+a1x+a2 x2 + +a2nx2n ,則xa1+a2 +a3 + +a2n=.第2頁(yè)共 14頁(yè)15定義“等和數(shù)列” ：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列 an 是等和數(shù)列，且a1 2 ，公和為 5，那么 a18的值為 _，這個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和 sn 的計(jì)算公

6、式為 _ .16定義集合 a 和 b 的運(yùn)算： abx xa, 且 xb .試寫(xiě)出含有集合運(yùn)算符號(hào)“”、“ ”、“”，并對(duì)任意集合a 和 b 都成立的一個(gè)等式：_.三、解答題 （本大題共6 小題，共74 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）：17（本小題滿(mǎn)分12 分）已知函數(shù)fxxk 2k 2kz，且 f (2)f (3)( )（ 1）求 k 的值；（ 2）試判斷是否存在正數(shù)p ，使函數(shù) g (x)1p f (x) 2 p 1 x 在區(qū)間 1,2上的值域?yàn)?,17.若存在，求出這個(gè)p 的值；若不存在，說(shuō)明理由 .8第3頁(yè)共 14頁(yè)18（本小題滿(mǎn)分12 分）已知函數(shù)f(x)=( x a)

7、(xb)(x c)（ 1）求證： f (x)=(xa)(xb) (xa) (xc) (xb) (x c)；（ 2）若 f(x)是 r 上的增函數(shù)，是否存在點(diǎn) p，使 f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn) p 中心對(duì)稱(chēng)？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn) p 坐標(biāo)，并給出證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由第4頁(yè)共 14頁(yè)19（本小題滿(mǎn)分12 分）已知奇函數(shù)fx 的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且當(dāng) x0 時(shí)， f x0 ，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得fcos23f42cosf0 對(duì)所有的0,均成立？若存在，則求出所有適合條件的實(shí)數(shù)；若不存在，試說(shuō)明理由.2第5頁(yè)共 14頁(yè)20（本小題滿(mǎn)分12 分）在 abc 中， a， b， c 的對(duì)邊分別為a,

8、b,c，且 b,a,c 成等差數(shù)列， bc，已知 b( 1,0),c(1,0) 。（ 1）求頂點(diǎn)a 的軌跡 l ；（ 2）是否存在直線(xiàn)m，使 m 過(guò)點(diǎn) b 并與曲線(xiàn)l 交于不同的兩點(diǎn)p、q，且 |pq|恰好等于原點(diǎn)到直線(xiàn)m 的距離的倒數(shù)？若存在，求出m 的方程，若不存在，說(shuō)明理由.第6頁(yè)共 14頁(yè)21（本小題滿(mǎn)分12 分）如圖，在底面是菱形的四棱錐p abc 中， abc=60 0，pa=ac= a，pb=pd=2a ,點(diǎn) e 在 pd 上，且 pe:ed=2:1.（ 1）證明 pa平面 abcd ；（ 2）求以 ac 為棱， eac 與 dac 為面的二面角的大??；（ 3）在棱 pc 上是否

9、存在一點(diǎn)f，使 bf/ 平面 aec ？證明你的結(jié)論.peadbc第7頁(yè)共 14頁(yè)22（本小題滿(mǎn)分14 分）已知數(shù)列 an 中， a1=4， an+1= 4an2 ，是否存在這樣的數(shù)列 b n ，an 1nba nc ，其中 a 、 b 、c 為實(shí)常數(shù)，使得 b n 是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列？證明你b =ana的結(jié)論，并求 an 的取值范圍 .第8頁(yè)共 14頁(yè)答 案一、選擇題（每小題5 分，共 60 分）：(1).b(2).c (3).b (4).c (5).c (6).d (7).c (8).b (9).c (10).d (11).c (12).c二、填空題（每小題4 分，共 16 分）(1

10、3). (23 ,3 ) ；(14). 255 ；(15). 3當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， sn5 n ；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， sn5 n1222(16). a( ab)( ab) b ； b ( ab )( ab ) a ；( a b ) ( a b) ( a b ) ( b a) ；三、解答題（共74 分，按步驟得分）17.解：（ 1） f (2)f (3) ，k 2k20 ，即 k 2k 20 ， kz ，k或0 12 p 1221（ 2） f ( x) x2，g (x) 1 p x22 p 1 xp x4 p2 p4 p當(dāng)2 p11,2 ，即 p1 ,時(shí)，2 p44 p 2117 , p2, g

11、 ( 1)4, g (2)14 p8第9頁(yè)共 14頁(yè)2 p12,時(shí)， p0，這樣的p 不存在。當(dāng)2 p當(dāng) 2 p1, 1 ，即 p0, 1時(shí)， g(1)17 , g (2)4 ，這樣的 p 不存在。2 p48綜上得，p2 .18. 解：（ 1） f(x)=(x a)(x b)(x c) 3（ a+b + )x2 (ab+bc+ac)x abcf (x)=3 x2 2(a+b + )x (ab+bc+ ac)= x2 ( a+b) x ab x2 (a+c)x ac x2 (b+c) x bc=(x a)( xb) (x a)(x c) (x b)(xc)（ 2） f(x)是 r 上的單調(diào)函數(shù)，

12、f (x) 0，對(duì) xr 恒成立，即 3x2 2(a+b+c)x+(ab+bc+ca) 0 對(duì) xr 恒成立 0, 4(a+b+c) 2 12(ab+bc+ca) 0， (ab) 2 (ac） 2 (b c)2 0， a=b=c f(x)=(x a)3 ， f(x)關(guān)于點(diǎn) (a， 0)對(duì)稱(chēng)證明如下：設(shè)點(diǎn)p(x， y)是f(x)=( x a)3 圖像上的任意一點(diǎn)，y=(xa) 3，點(diǎn) p 關(guān)于點(diǎn) (a， 0)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) p (2ax， y)， (2a x a)3=(2 a x)3= (x 2a)3= y ，點(diǎn) p在函數(shù) f(x)=( xa)3 的圖像上，即函數(shù)f(x)=( x a)3 關(guān)于點(diǎn) (

13、a， 0)對(duì)稱(chēng)19. 解：因?yàn)?fx在 r 上為奇函數(shù)，又在0,上是增函數(shù)所以 fx 在 r 上也是增函數(shù)，且f 00因?yàn)?fcos23f 42cosf 00所以fcos23f42 cosf 2cos4故 cos232cos4cos2cos22 0第10頁(yè)共14頁(yè)要使不等式對(duì)任意0,恒成立，只要大于函數(shù) y2cos2的最大值即可。22cos令 tcos0,1 ，則求函數(shù) y2t 2t0,1的最大值，2t2t2t24t2方法 1（求導(dǎo)） y202t2t解得： t22，因 t0,1t22當(dāng) 0t22，時(shí)， y0 ；當(dāng) 1t22 時(shí)， y0故 ymax422 ，因此422,方法 2（判別式）把函數(shù)變

14、形為t2yt2 y20設(shè) gtt 2yt2 y2，即 gt0在0,1 上有解當(dāng) y0時(shí)，必須g00y11，矛盾；g10且 y當(dāng) 0y2時(shí)，g00或g20y 28y 8 0y28y 8 0g 00或g20y422 或 y422此時(shí) ymax 4 22 ；y28 y80當(dāng) y2時(shí)，必須g00y1且 y1 ，矛盾；g 102t264t2 t22方法 3（不等式）y42t2t2t2 t42 2 ，此時(shí) 2t2t220,12t20. 解：（ 1）由題設(shè)知 b+c=2a ， |bc|=2,|ab|+|ac|=b+c=2a=2|bc|=4,又 b c，故由橢圓的定義知，點(diǎn)a 的軌跡 l 是左半個(gè)橢圓（去掉左

15、頂點(diǎn)），第11頁(yè)共 14頁(yè)22軌跡方程為： xy+=1 （ 2x 0 ）。4 3（ 2 ）假設(shè)存在直線(xiàn) m 滿(mǎn)足題意，當(dāng) m 斜率存在時(shí)，設(shè)m 的方程為 y=k( x+1) ，把它代入橢圓方程，消去 y 得 (4k 2+3) x2+8k 2 x12+4k 2=0 。設(shè) p( x1 ,y1)q( x2 ,y2 )，則 x1 +x2 =8k 2， x1 x2 =4k212 ，4k 234k 23又x1 0,x20 ，即 x1x20, k23，|pq|=(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 = 12(k 21)4k 23設(shè)原點(diǎn) o 到直線(xiàn) m 的距離為 d，則 d=| k |k 2,1|p

16、q|=1,12(k 21)=k 21 ，得 k2=153333 ，d4k 23| k |32這與 k2 3 矛盾，表明直線(xiàn)m 不存在。當(dāng)斜率不存在時(shí)，m 的方程為 x= 1 ，此時(shí) |pq|=|y 1 y2 |=3,d=1 ，|pq| 1 ，d所以不滿(mǎn)足題設(shè)。綜上，滿(mǎn)足題設(shè)的條件不存在。21. 證明 ： 因?yàn)榈酌?abcd 是菱形， abc=60 ，所以 ab=ad=ac=a，在 pab 中，由 pa2+ab 2=2a2=pb2知 pa ab.同理， pa ad ，所以 pa平面 abcd.（）解作 eg/pa 交 ad 于 g，由 pa平面 abcd.知 eg平面 abcd. 作 gh ac

17、 于 h，連結(jié) eh ，則 eh ac ， ehg 即為二面角的平面角 .又 pe : ed=2 : 1 ，所以123.ega, aga,gh ag sin 603a33從而 taneg3 ,30 .gh3（）解法一以 a 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)ad 、 ap 分別為 y 軸、 z 軸，過(guò) a 點(diǎn)垂直平面pad 的直線(xiàn)為x 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(0,0,0), b(3 a,1 a,0), c (3 a, 1 a,0).222221a).d (0, a,0), p( 0,0, a), e(0,a,33第12頁(yè)共14頁(yè)所以ae(0, 2 a, 1 a), ac(

18、3 a, 1 a,0).3322ap(0,0, a), pc(3 a, 1 a, a).22bp31(a,a, a).22設(shè)點(diǎn) f 是棱 pc 上的點(diǎn)， pfpc(3 a, 1 a ,a), 其中 01, 則22bf bp pf (3 a, 1 a,a) ( 3 a , 1 a , a )2222(3 a(1), 1 a(1), a(1).令 bf1 ac 2 ae 得223a(1)32a 1 ,11 ,21)122 ,即 142 ,a(1a 1a12233a(1)1 a2 .11 2 .33解得1 , 11 , 23 .即1 時(shí)， bf1 ac3 ae.222222亦即， f 是 pc 的中點(diǎn)時(shí)，bf 、 ac 、 ae 共面 .又 bf 平面 aec ，所以當(dāng) f 是棱 pc 的中點(diǎn)時(shí)， bf/ 平面 aec.解法二 當(dāng) f 是棱 pc 的中點(diǎn)時(shí)， bf/ 平面 aec ，證明如下，證法一 取 pe 的中點(diǎn) m ，連結(jié) fm ，則 fm/ce. 由em1 pe ed , 知 e 是 md 的中點(diǎn) .