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1、高 中 數(shù) 學(xué) 必 修 內(nèi)容 復(fù) 習(xí) (15)探索性問(wèn)題一、選擇題 (本題每小題5 分,共 60 分)1集合 a a,b,c ,集合 b 1,0,1 ,f是 a 到 b 的映射,且滿(mǎn)足條件 f(a)+f(b)+ f(c)=0 ,這樣的映射共有()a 6 個(gè)b 7 個(gè)c 8 個(gè)d 9 個(gè)2 在abc 中, sinasinb是 ab 成立的()a 充分非必要條件b必要非充分條件c 充要條件d既不充分也不必要條件3直線(xiàn) xy1 與橢圓 x2y2相交于a、b兩點(diǎn),該橢圓上點(diǎn),使得apb的面43161p9積等于 3,這樣的點(diǎn)p 共有()a 1 個(gè)b 2 個(gè)c 3 個(gè)d 4 個(gè)4設(shè)數(shù)集 mx mxm3x
2、n1x n,且 m 、n 都是集合 x 0x 1, n34的子集,如果把 ba 叫做集合 x a xb 的“長(zhǎng)度”,那么集合 mn 的“長(zhǎng)度”的最小值是()a 1b 2c 1d 53312125pq 是異面直線(xiàn) a,b 的公垂線(xiàn), ab,aa,bb,c 在線(xiàn)段 pq 上(異于 p,q ),則 abc的形狀是()a 銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d三角形不定6用一張鋼板制作一容積為4m3 的無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱,可用的長(zhǎng)方形鋼板有四種不同的規(guī)格(長(zhǎng)寬的尺寸如各選項(xiàng)所示,單位均為m),若既要夠用,又要所剩最少,則應(yīng)選鋼板的規(guī)格是()a 2 5b 2 5.5c 2 6.1d 3 5第1頁(yè)共 14頁(yè)7
3、算機(jī)是將信息 成二 制數(shù) 行 理的,二 制即“逢2 進(jìn) 1”,如( 1101) 2表示二 制數(shù) ,將它 成十 制形式是1 23+1 22+0 21+120=13,那么將二 制數(shù)(1111) ( 2004 個(gè) 1) 成十 制形式是()2a 2 2004 2b 2 2003 2c 2 2004 1d 2 2003 18數(shù)列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第 1000 的 是()a 42b 45c 48d 51在(1+ x)2+(1+ x)6+(1+ x)7 的展開(kāi)式中,含x4 的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n 10 的 ()9a 第 2 項(xiàng)b第 11 項(xiàng)c第 20 項(xiàng)
4、d第 24 項(xiàng)10已知集合 a= x|x2 2x 30,b=x|x2 +ax+b 0 ,若 a b=r ,a b=( 3,4 有()a a=3,b=4b a=3,b= 4c a= 3,b=4d a= 3,b= 4不等式22x a a的解集是()ax 0)11+(a |x0 或x 5b | a xax2x a4c x|0 xad x| ax 5 a 或 0 xa4x2y 21 的 a 1a2,短 b1b 2,將坐 平面沿y 折成一個(gè)二面角,使12 34a 1 點(diǎn)的平面 b1 a2b 2 上的射影恰好是 的右焦點(diǎn), 此二面角的大小 ()a 30b 45c 60d 75二、填空 (本 每小 4 分,
5、共 16 分)13已知定點(diǎn) a( 2, 3 ),f 是 x 2+ y 2=1 的右焦點(diǎn),點(diǎn) m 在 上移 , 當(dāng)|am|+16122|mf| 取最小 ,點(diǎn)m 的坐 是.14 若(x2 1)n 的 展開(kāi)式中含x 的 第 6 , (1 x+2 x2)n=a0+a1x+a2 x2 + +a2nx2n ,則xa1+a2 +a3 + +a2n=.第2頁(yè)共 14頁(yè)15定義“等和數(shù)列” :在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列 an 是等和數(shù)列,且a1 2 ,公和為 5,那么 a18的值為 _,這個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和 sn 的計(jì)算公
6、式為 _ .16定義集合 a 和 b 的運(yùn)算: abx xa, 且 xb .試寫(xiě)出含有集合運(yùn)算符號(hào)“”、“ ”、“”,并對(duì)任意集合a 和 b 都成立的一個(gè)等式:_.三、解答題 (本大題共6 小題,共74 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟):17(本小題滿(mǎn)分12 分)已知函數(shù)fxxk 2k 2kz,且 f (2)f (3)( )( 1)求 k 的值;( 2)試判斷是否存在正數(shù)p ,使函數(shù) g (x)1p f (x) 2 p 1 x 在區(qū)間 1,2上的值域?yàn)?,17.若存在,求出這個(gè)p 的值;若不存在,說(shuō)明理由 .8第3頁(yè)共 14頁(yè)18(本小題滿(mǎn)分12 分)已知函數(shù)f(x)=( x a)
7、(xb)(x c)( 1)求證: f (x)=(xa)(xb) (xa) (xc) (xb) (x c);( 2)若 f(x)是 r 上的增函數(shù),是否存在點(diǎn) p,使 f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn) p 中心對(duì)稱(chēng)?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn) p 坐標(biāo),并給出證明;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由第4頁(yè)共 14頁(yè)19(本小題滿(mǎn)分12 分)已知奇函數(shù)fx 的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),且當(dāng) x0 時(shí), f x0 ,問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù),使得fcos23f42cosf0 對(duì)所有的0,均成立?若存在,則求出所有適合條件的實(shí)數(shù);若不存在,試說(shuō)明理由.2第5頁(yè)共 14頁(yè)20(本小題滿(mǎn)分12 分)在 abc 中, a, b, c 的對(duì)邊分別為a,
8、b,c,且 b,a,c 成等差數(shù)列, bc,已知 b( 1,0),c(1,0) 。( 1)求頂點(diǎn)a 的軌跡 l ;( 2)是否存在直線(xiàn)m,使 m 過(guò)點(diǎn) b 并與曲線(xiàn)l 交于不同的兩點(diǎn)p、q,且 |pq|恰好等于原點(diǎn)到直線(xiàn)m 的距離的倒數(shù)?若存在,求出m 的方程,若不存在,說(shuō)明理由.第6頁(yè)共 14頁(yè)21(本小題滿(mǎn)分12 分)如圖,在底面是菱形的四棱錐p abc 中, abc=60 0,pa=ac= a,pb=pd=2a ,點(diǎn) e 在 pd 上,且 pe:ed=2:1.( 1)證明 pa平面 abcd ;( 2)求以 ac 為棱, eac 與 dac 為面的二面角的大??;( 3)在棱 pc 上是否
9、存在一點(diǎn)f,使 bf/ 平面 aec ?證明你的結(jié)論.peadbc第7頁(yè)共 14頁(yè)22(本小題滿(mǎn)分14 分)已知數(shù)列 an 中, a1=4, an+1= 4an2 ,是否存在這樣的數(shù)列 b n ,an 1nba nc ,其中 a 、 b 、c 為實(shí)常數(shù),使得 b n 是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列?證明你b =ana的結(jié)論,并求 an 的取值范圍 .第8頁(yè)共 14頁(yè)答 案一、選擇題(每小題5 分,共 60 分):(1).b(2).c (3).b (4).c (5).c (6).d (7).c (8).b (9).c (10).d (11).c (12).c二、填空題(每小題4 分,共 16 分)(1
10、3). (23 ,3 ) ;(14). 255 ;(15). 3當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí), sn5 n ;當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí), sn5 n1222(16). a( ab)( ab) b ; b ( ab )( ab ) a ;( a b ) ( a b) ( a b ) ( b a) ;三、解答題(共74 分,按步驟得分)17.解:( 1) f (2)f (3) ,k 2k20 ,即 k 2k 20 , kz ,k或0 12 p 1221( 2) f ( x) x2,g (x) 1 p x22 p 1 xp x4 p2 p4 p當(dāng)2 p11,2 ,即 p1 ,時(shí),2 p44 p 2117 , p2, g
11、 ( 1)4, g (2)14 p8第9頁(yè)共 14頁(yè)2 p12,時(shí), p0,這樣的p 不存在。當(dāng)2 p當(dāng) 2 p1, 1 ,即 p0, 1時(shí), g(1)17 , g (2)4 ,這樣的 p 不存在。2 p48綜上得,p2 .18. 解:( 1) f(x)=(x a)(x b)(x c) 3( a+b + )x2 (ab+bc+ac)x abcf (x)=3 x2 2(a+b + )x (ab+bc+ ac)= x2 ( a+b) x ab x2 (a+c)x ac x2 (b+c) x bc=(x a)( xb) (x a)(x c) (x b)(xc)( 2) f(x)是 r 上的單調(diào)函數(shù),
12、f (x) 0,對(duì) xr 恒成立,即 3x2 2(a+b+c)x+(ab+bc+ca) 0 對(duì) xr 恒成立 0, 4(a+b+c) 2 12(ab+bc+ca) 0, (ab) 2 (ac) 2 (b c)2 0, a=b=c f(x)=(x a)3 , f(x)關(guān)于點(diǎn) (a, 0)對(duì)稱(chēng)證明如下:設(shè)點(diǎn)p(x, y)是f(x)=( x a)3 圖像上的任意一點(diǎn),y=(xa) 3,點(diǎn) p 關(guān)于點(diǎn) (a, 0)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) p (2ax, y), (2a x a)3=(2 a x)3= (x 2a)3= y ,點(diǎn) p在函數(shù) f(x)=( xa)3 的圖像上,即函數(shù)f(x)=( x a)3 關(guān)于點(diǎn) (
13、a, 0)對(duì)稱(chēng)19. 解:因?yàn)?fx在 r 上為奇函數(shù),又在0,上是增函數(shù)所以 fx 在 r 上也是增函數(shù),且f 00因?yàn)?fcos23f 42cosf 00所以fcos23f42 cosf 2cos4故 cos232cos4cos2cos22 0第10頁(yè)共14頁(yè)要使不等式對(duì)任意0,恒成立,只要大于函數(shù) y2cos2的最大值即可。22cos令 tcos0,1 ,則求函數(shù) y2t 2t0,1的最大值,2t2t2t24t2方法 1(求導(dǎo)) y202t2t解得: t22,因 t0,1t22當(dāng) 0t22,時(shí), y0 ;當(dāng) 1t22 時(shí), y0故 ymax422 ,因此422,方法 2(判別式)把函數(shù)變
14、形為t2yt2 y20設(shè) gtt 2yt2 y2,即 gt0在0,1 上有解當(dāng) y0時(shí),必須g00y11,矛盾;g10且 y當(dāng) 0y2時(shí),g00或g20y 28y 8 0y28y 8 0g 00或g20y422 或 y422此時(shí) ymax 4 22 ;y28 y80當(dāng) y2時(shí),必須g00y1且 y1 ,矛盾;g 102t264t2 t22方法 3(不等式)y42t2t2t2 t42 2 ,此時(shí) 2t2t220,12t20. 解:( 1)由題設(shè)知 b+c=2a , |bc|=2,|ab|+|ac|=b+c=2a=2|bc|=4,又 b c,故由橢圓的定義知,點(diǎn)a 的軌跡 l 是左半個(gè)橢圓(去掉左
15、頂點(diǎn)),第11頁(yè)共 14頁(yè)22軌跡方程為: xy+=1 ( 2x 0 )。4 3( 2 )假設(shè)存在直線(xiàn) m 滿(mǎn)足題意,當(dāng) m 斜率存在時(shí),設(shè)m 的方程為 y=k( x+1) ,把它代入橢圓方程,消去 y 得 (4k 2+3) x2+8k 2 x12+4k 2=0 。設(shè) p( x1 ,y1)q( x2 ,y2 ),則 x1 +x2 =8k 2, x1 x2 =4k212 ,4k 234k 23又x1 0,x20 ,即 x1x20, k23,|pq|=(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 = 12(k 21)4k 23設(shè)原點(diǎn) o 到直線(xiàn) m 的距離為 d,則 d=| k |k 2,1|p
16、q|=1,12(k 21)=k 21 ,得 k2=153333 ,d4k 23| k |32這與 k2 3 矛盾,表明直線(xiàn)m 不存在。當(dāng)斜率不存在時(shí),m 的方程為 x= 1 ,此時(shí) |pq|=|y 1 y2 |=3,d=1 ,|pq| 1 ,d所以不滿(mǎn)足題設(shè)。綜上,滿(mǎn)足題設(shè)的條件不存在。21. 證明 : 因?yàn)榈酌?abcd 是菱形, abc=60 ,所以 ab=ad=ac=a,在 pab 中,由 pa2+ab 2=2a2=pb2知 pa ab.同理, pa ad ,所以 pa平面 abcd.()解作 eg/pa 交 ad 于 g,由 pa平面 abcd.知 eg平面 abcd. 作 gh ac
17、 于 h,連結(jié) eh ,則 eh ac , ehg 即為二面角的平面角 .又 pe : ed=2 : 1 ,所以123.ega, aga,gh ag sin 603a33從而 taneg3 ,30 .gh3()解法一以 a 為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)ad 、 ap 分別為 y 軸、 z 軸,過(guò) a 點(diǎn)垂直平面pad 的直線(xiàn)為x 軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(0,0,0), b(3 a,1 a,0), c (3 a, 1 a,0).222221a).d (0, a,0), p( 0,0, a), e(0,a,33第12頁(yè)共14頁(yè)所以ae(0, 2 a, 1 a), ac(
18、3 a, 1 a,0).3322ap(0,0, a), pc(3 a, 1 a, a).22bp31(a,a, a).22設(shè)點(diǎn) f 是棱 pc 上的點(diǎn), pfpc(3 a, 1 a ,a), 其中 01, 則22bf bp pf (3 a, 1 a,a) ( 3 a , 1 a , a )2222(3 a(1), 1 a(1), a(1).令 bf1 ac 2 ae 得223a(1)32a 1 ,11 ,21)122 ,即 142 ,a(1a 1a12233a(1)1 a2 .11 2 .33解得1 , 11 , 23 .即1 時(shí), bf1 ac3 ae.222222亦即, f 是 pc 的中點(diǎn)時(shí),bf 、 ac 、 ae 共面 .又 bf 平面 aec ,所以當(dāng) f 是棱 pc 的中點(diǎn)時(shí), bf/ 平面 aec.解法二 當(dāng) f 是棱 pc 的中點(diǎn)時(shí), bf/ 平面 aec ,證明如下,證法一 取 pe 的中點(diǎn) m ,連結(jié) fm ,則 fm/ce. 由em1 pe ed , 知 e 是 md 的中點(diǎn) .
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