清華控制工程基礎(chǔ)課件.ppt

1、2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),控制工程基礎(chǔ) （第二章）,清華大學(xué),2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型,2.1 基本環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型 2.2數(shù)學(xué)模型的線性化 2.3拉氏變換及反變換 2.4傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 2.5系統(tǒng)函數(shù)方塊圖及其簡化 2.6系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式 2.7受控機(jī)械對象數(shù)學(xué)模型 2.8繪制實(shí)際機(jī)電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖 2.9狀態(tài)空間方程,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型,建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是機(jī)電控制工程的基本方法。如果將物理系統(tǒng)在信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學(xué)表

2、達(dá)式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ)。而以物理定律及實(shí)驗(yàn)規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),本章要熟悉下列內(nèi)容： 1、建立基本環(huán)節(jié)（質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)和電路網(wǎng)絡(luò)）的數(shù)學(xué)模型及模型的線性化 2、重要的分析工具：拉氏變換及反變換 3、經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：傳遞函數(shù) 4、控制系統(tǒng)的圖形表示：方塊圖及信號流圖 5、受控機(jī)械對象的數(shù)學(xué)模型 6、繪制實(shí)際機(jī)電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖 7、現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：狀態(tài)空間模

3、型,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2.1 基本環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)模型是描述物理系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律、特性和輸入輸出關(guān)系的一個或一組方程式。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可分為靜態(tài)和動態(tài)數(shù)學(xué)模型。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：反映系統(tǒng)處于平衡點(diǎn)（穩(wěn)態(tài)）時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。即只考慮同一時(shí)刻實(shí)際系統(tǒng)各物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，不管各變量隨時(shí)間的演化，輸出信號與過去的工作狀態(tài)（歷史）無關(guān)。因此靜態(tài)模型都是代數(shù)式，數(shù)學(xué)表達(dá)式中不含有時(shí)間變量。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),動態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性的模型。也可定義為描述實(shí)際系統(tǒng)各物理量隨時(shí)間演化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。動態(tài)系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同

4、時(shí)刻的激勵信號，而且與它過去的工作狀態(tài)有關(guān)。微分方程或差分方程常用作動態(tài)數(shù)學(xué)模型。 對于給定的動態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型不是唯一的。工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括：微分方程，傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。對于線性系統(tǒng)，它們之間是等價(jià)的。針對具體問題，選擇不同的數(shù)學(xué)模型。 建立數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)中最重要的工作！,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2.1.1 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng) 機(jī)電控制系統(tǒng)的受控對象是機(jī)械系統(tǒng)。在機(jī)械系統(tǒng)中，有些構(gòu)件具有較大的慣性和剛度，有些構(gòu)件則慣性較小、柔度較大。在集中參數(shù)法中，我們將前一類構(gòu)件的彈性忽略將其視為質(zhì)量塊，而把后一類構(gòu)件的慣性忽略而視為無質(zhì)量的彈簧。這樣受控對象的機(jī)械系統(tǒng)

5、可抽象為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),見光盤課件（第二章第一節(jié)）,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),有源電路網(wǎng)絡(luò),2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2.2 數(shù)學(xué)模型的線性化,線性模型：滿足疊加性與齊次性，用來描述線性系統(tǒng)。 疊加性指當(dāng)幾個激勵信號同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，總的輸出響應(yīng)等于每個激勵單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和。齊次性指當(dāng)輸入信號乘以某常數(shù)時(shí)，響應(yīng)也倍乘相同的常數(shù)。 即若 為線性系統(tǒng)，則 非線性模型：不滿足疊加性或齊次性，用非線性方程表示。 用來描述非線性系統(tǒng)。,2020/10/11,控制

6、工程基礎(chǔ),線性化方法：一般可在系統(tǒng)工作平衡點(diǎn)附近，對非線性方程采用臺勞級數(shù)展開進(jìn)行線性化，略去高階項(xiàng)，保留一階項(xiàng)，就可得到近似的線性模型。 由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這種線性化方法對于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實(shí)際意義。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),閥控液壓缸例,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),線性化方法：假設(shè)變量相對于某一工作狀態(tài)（平衡點(diǎn)）偏差很小。設(shè)系統(tǒng)的函數(shù)關(guān)系為 簡寫為 。如果系統(tǒng)的工作平衡點(diǎn)為 ，則方程可以在 點(diǎn)附近臺勞展開 如果 很小，可以忽略其高階項(xiàng)，因此上述方程可寫成增量方程形式 其中， ，

7、，,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2.3 拉氏變換及反變換,Laplace（拉普拉斯）變換是描述、分析連續(xù)、線性、時(shí)不變系統(tǒng)的重要工具！ 2.3.1 拉氏變換定義 定義 拉氏變換可理解為廣義單邊傅立葉變換。傅氏變換建立了時(shí)域和頻域間的聯(lián)系，而拉氏變換建立了時(shí)域和復(fù)頻域間的聯(lián)系。 見光盤課件（第一章第二節(jié)）,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2.3.2簡單函數(shù)的拉氏變換,正弦函數(shù)sint1（t）和余弦函數(shù)cost1（t）的拉氏變換,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),的拉氏變換 證：,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),周期函數(shù)的象函數(shù) 設(shè)函數(shù)x(t)

8、是以T為周期的周期函數(shù)，即x(t+T)=x(t)，則證：,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),令 則,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),拉氏反變換公式為 簡寫為,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),在一般機(jī)電控制系統(tǒng)中，通常遇到如下形式的有理分式 其中，使分母為零的s值稱為極點(diǎn)，使分子為零的s值稱為零點(diǎn)。則有其中，,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),式中， 是常值， 為極點(diǎn)處的留數(shù)，可由下式求得 將式（2.19）拉氏反變換，可利用拉氏變換表得,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),例 試求 的拉氏反變換。解：,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2020/

9、10/11,控制工程基礎(chǔ),含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)情況,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),式中， 是常值，可由以下步驟求得將上式兩邊乘 , 兩邊同時(shí)令 （或同時(shí)令 ），得 （2.21）分別令式（2.21）兩邊實(shí)部、虛部對應(yīng)相等，即可求得 。 可通過配方，化成正弦、余弦象函數(shù)的形式，然后求其反變換。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),例 試求 的拉氏反變換。解：將該式兩邊同乘 ，并令 ，,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),即 解 得 又,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),故 則,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),含共軛復(fù)根的情況，也可用第一種情況的方法。值得注意的是，此時(shí)共軛復(fù)根相應(yīng)兩個分式的分

10、子 和 是共軛復(fù)數(shù)，只要求出其中一個值，另一個即可得到。例 求 的拉氏反變換。解：,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),則則,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),含多重極點(diǎn)的情況,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),式中，,可由下式求得,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),利用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程 例 解方程 ，其中， 解： 將方程兩邊取拉氏變換，得 將 代入，并整理，得 所以,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2.4 傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)是在拉氏變換的基礎(chǔ)上，以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關(guān)系式，它表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，而與輸入量或驅(qū)動函

11、數(shù)無關(guān)。它可以是無量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所需要的量綱。它不能表明系統(tǒng)的物理特性和物理結(jié)構(gòu)，許多物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程描述一樣。 見光盤課件（第二章第三節(jié)）,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),表2-2 等效彈性剛度說明,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),表2-2 復(fù)阻抗說明,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ), 比例環(huán)節(jié) （其中k為常數(shù)）,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ), 比例環(huán)節(jié) （其中k為常數(shù)）,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),一階慣性環(huán)節(jié) （其中T為時(shí)間常數(shù)）,2

12、020/10/11,控制工程基礎(chǔ),一階慣性環(huán)節(jié) （其中T為時(shí)間常數(shù)）,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),積分環(huán)節(jié) (其中k為常數(shù)）,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),二階振蕩環(huán)節(jié) （其中 01）,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),二階振蕩環(huán)節(jié) （其中 01）,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2020/10/11,控制工程基礎(chǔ), 見光盤課件（第二章第四、五節(jié)）,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2.6 系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式,信號流圖中的網(wǎng)絡(luò)是由一些定向線段將一些節(jié)點(diǎn)連接起來組成的。其中，節(jié)點(diǎn)用來表示變量或信號，輸入節(jié)點(diǎn)也稱源點(diǎn)，輸出節(jié)點(diǎn)也稱阱點(diǎn)，

13、混合節(jié)點(diǎn)是指既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)；定向線段稱為支路，其上的箭頭表明信號的流向，各支路上還標(biāo)明了增益，即支路上的傳遞函數(shù)；從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的通路稱為前向通路，起點(diǎn)與終點(diǎn)重合且與任何節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路稱為回路。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),從輸入變量到輸出變量的系統(tǒng)傳遞函數(shù)可由梅遜公式求得。梅遜公式可表示為,第k條前向通路的傳遞函數(shù)； 第k條前向通路特征式的余因子，即對于流圖的特征式,將與第k條前向通路相接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的即為 。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),例：,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),2.7 受控機(jī)械對象數(shù)學(xué)

14、模型 一般整個機(jī)械傳動系統(tǒng)的特性可以用若干相互耦合的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)表示。其中每部分的動力學(xué)特性可表示為如下傳遞函數(shù),2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),為了得到良好的閉環(huán)機(jī)電系統(tǒng)性能，對于受控機(jī)械對象，應(yīng)注意以下方面: （1）高諧振頻率 一般整個機(jī)械傳動系統(tǒng)的特性可以用若干相互耦合的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)表示。 為了滿足機(jī)電系統(tǒng)的高動態(tài)特性，機(jī)械傳動的各個分系統(tǒng)的諧振頻率均應(yīng)遠(yuǎn)高于機(jī)電系統(tǒng)的設(shè)計(jì)截止頻率。各機(jī)械傳動分系統(tǒng)諧振頻率最好相互錯開。另外，對于可控硅驅(qū)動裝置，應(yīng)注意機(jī)械傳動系統(tǒng)諧振頻率不能與控制裝置的脈沖頻率接近，否則將產(chǎn)生機(jī)械噪聲并加速機(jī)械部件的磨損。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ)

15、,（2）高剛度 在閉環(huán)系統(tǒng)中，低剛度往往造成穩(wěn)定性下降，與摩擦一起，造成反轉(zhuǎn)誤差，引起系統(tǒng)在被控位置附近振蕩。 在剛度的計(jì)算中，需要注意機(jī)械傳動部件的串并聯(lián)關(guān)系。對于串聯(lián)部件（例如在同一根軸上），總剛度k為 (2.36)式中， 各分部件剛度。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),對于并聯(lián)部件（例如同一支承上有幾個軸承），總剛度k為 (2.37)式中， 各分部件剛度。 從低速軸上的剛度折算到高速軸上時(shí)，等效的剛度k為 (2.38)式中，i 升速比。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),（3）適當(dāng)阻尼 機(jī)械傳動分系統(tǒng)的阻尼比為 (2.39) 一般電機(jī)驅(qū)動裝置從驅(qū)動電壓到輸出轉(zhuǎn)速的數(shù)學(xué)模型是二階振蕩

16、環(huán)節(jié),存在所需要的機(jī)械傳動環(huán)節(jié)較合適的阻尼比。增加機(jī)械傳動阻尼比往往引起摩擦力增加，進(jìn)而產(chǎn)生摩擦反轉(zhuǎn)誤差的不利影響。另一方面，為了衰減機(jī)械振動和顫振現(xiàn)象，又需要增加機(jī)械傳動阻尼比。針對以上矛盾的要求，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，適當(dāng)?shù)臋C(jī)械傳動阻尼比可選為0.10.2。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),（4）低轉(zhuǎn)動慣量 快速性是現(xiàn)代機(jī)電一體化系統(tǒng)的顯著特點(diǎn)。在驅(qū)動力矩一定的前提下，轉(zhuǎn)動慣量越小，加速性能越好。 機(jī)械傳動部件對于電動機(jī)等驅(qū)動裝置是負(fù)載，通常將其折算成電動機(jī)轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)動慣量來評價(jià)它對快速性的影響。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),如圖齒輪傳動機(jī)構(gòu)，主動輪由電動機(jī)驅(qū)動，從動輪通過軸帶動負(fù)載轉(zhuǎn)動。

17、假設(shè)電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩為 ，轉(zhuǎn)角為 ，轉(zhuǎn)動慣量為 ；從動軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩為 ，轉(zhuǎn)角為 ，轉(zhuǎn)動慣量為 ，阻尼系數(shù)為 ；主動輪和從動輪的齒數(shù)分別為 和 ，速比 。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),依題意，有,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),消去中間變量，可得 (2.45) （2.46）其中，方程（2.45）是折合到主動軸的關(guān)系式，方程（2.46）是折合到從動軸的關(guān)系式。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),當(dāng)折合到主動軸上時(shí)，從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量和阻尼系數(shù)都要除以傳動比的平方，負(fù)載轉(zhuǎn)矩除以傳動比。因此，減速傳動時(shí)，相當(dāng)于電動機(jī)帶的負(fù)載變小了，也可以說電動機(jī)帶負(fù)載的力矩增大了。反之，當(dāng)折合到從動軸

18、上時(shí)，主動軸上的轉(zhuǎn)動慣量和阻尼系數(shù)都要乘以傳動比的平方，輸入轉(zhuǎn)矩乘以傳動比。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),將方程（2.45）和（2.46）進(jìn)行拉氏變換后，可得,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),當(dāng)從動軸彈性剛度為時(shí)，可列寫主動軸和從動軸的動力學(xué)方程為,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),可見，當(dāng)折合到主動軸上時(shí)，從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量和阻尼系數(shù)以及剛度都要除以傳動比的平方，負(fù)載轉(zhuǎn)矩除以傳動比，從動軸的轉(zhuǎn)角則乘以傳動比。反之，當(dāng)折合到從動軸上時(shí)，主動軸上的轉(zhuǎn)動慣量和阻尼系數(shù)以及剛度都要乘以傳動比的平方，輸入轉(zhuǎn)矩乘以傳動比，主動軸的轉(zhuǎn)角則除以傳動比。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),聯(lián)立

19、求解代數(shù)方程組（2-51）和（2-52），可得 若 ，變?yōu)閯傂詡鲃?，前面推?dǎo)的完全剛性情況。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),絲杠螺母副傳動有類似的結(jié)果。如下圖，設(shè)電動機(jī)驅(qū)動轉(zhuǎn)矩為 ，轉(zhuǎn)角為 ，電動機(jī)轉(zhuǎn)子與絲杠一起的轉(zhuǎn)動慣量為 ；設(shè)工作臺連同工件一起的質(zhì)量為m，位移為x，負(fù)載阻力為f，工作臺與導(dǎo)軌之間的粘性阻尼系數(shù)為D，基本導(dǎo)程為 。,m,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),根據(jù)上圖，可得 （2.55） （2.56）式中，絲杠螺母副傳動比定義為,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),若絲杠彈性剛度為，則有,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),上述結(jié)果可以推廣到更加復(fù)雜的機(jī)械傳動系統(tǒng)。任何機(jī)械

20、傳動系統(tǒng)，經(jīng)過簡化，都可以得到類似上述方程所描寫的動態(tài)數(shù)學(xué)模型。由這些方程可以看出，若阻尼系數(shù)D比較小，分母方括號中將有一對共軛復(fù)根。不考慮負(fù)載力（或轉(zhuǎn)矩），由輸入轉(zhuǎn)矩到主動軸轉(zhuǎn)角的傳遞函數(shù)，由于分子和分母多項(xiàng)式都有一對數(shù)值相近的共軛復(fù)根，可以作為一對偶極子相消，因而，可以近似為二階系統(tǒng)；而由輸入轉(zhuǎn)矩到工作臺位移的傳遞函數(shù)，由于分子為常數(shù)項(xiàng)，因而是一個四階系統(tǒng)，且有一對共軛復(fù)根。,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),進(jìn)給傳動鏈例,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),進(jìn)給傳動鏈例,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),進(jìn)給傳動鏈例,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),進(jìn)給傳動鏈例,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),進(jìn)給傳動鏈例,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),進(jìn)給傳動鏈例,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),進(jìn)給傳動鏈例,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),進(jìn)給傳動鏈例,2020/10/11,控制工程基礎(chǔ),狀態(tài)空間方程 伴隨計(jì)算機(jī)的發(fā)展，以狀態(tài)空間理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)模