湖南省長郡中學高一數(shù)學下學期期中試題(含解析)

1、湖南省長郡中學2018-2019學年高一下學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題（本大題共15小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1.下列四條直線，其傾斜角最大是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析選項，求出所給直線的斜率，比較其傾斜角的大小，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A、2xy+10，其斜率k12，傾斜角1為銳角，對于B、x+2y+30，其斜率k2，傾斜角2為鈍角，對于C、x+y+10，其斜率k31，傾斜角3為135，對于D、x+10，傾斜角4為90，而k2k3，故23，故選：B【點睛】本題考查直

2、線斜率與傾斜角的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握直線的斜率與傾斜角的關(guān)系2.一個邊長為的正三角形采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積是原來正三角形面積的（ ）A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍【答案】A【解析】【分析】由已知中正ABC的邊長為a，可得正ABC的面積，進而根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則求得ABC的直觀圖的面積，作比可得答案【詳解】ABC的邊長為a，故正ABC的面積S，采用斜二測畫法后，底邊長為a，而高為a，面積S，SS，故選：A【點睛】本題考查的知識點是斜二測法畫直觀圖，其中熟練掌握斜二測畫法的規(guī)則是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3.在正方體中，異面直線與所成角為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【

3、解析】【分析】由可知異面直線AD1，BD所成的角為DB，在等邊三角形中易得結(jié)果.【詳解】解：，異面直線AD1，BD所成的角為DB，DB為等邊三角形，DB60異面直線與所成角為60故選：C【點睛】本題考查兩異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)4.已知兩條不同直線與兩個不同平面，下列命題正確的是（ ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】B【解析】【分析】在A中，可能也可能；在B中，由線面垂直的性質(zhì)定理得；在C中，可能lm，也可能；在D中，可能也可能【詳解】由l，m為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，知：在A中，若，則可能也可能，故A錯誤；在B中，若，則

4、由線面垂直的性質(zhì)定理得故B正確；在C中，若，則可能lm，也可能,故C錯誤；在D中，若，則可能，也可能，故D錯誤故選：B【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力，是中檔題5.圓的公切線的條數(shù)為 ( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷出兩圓相離，所以有4條公切線【詳解】 |C1C2|r1+r2，所以圓C1與圓C2相離，有4條公切線故選：A【點睛】本題考查了兩圓的公切線的條數(shù)，屬中檔題6.一個平面截一球得到直徑為6的圓面，球心到這個圓面的距離為4，則這個球的體積為（ ）A

5、. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用直角三角形直接得半徑，求體積【詳解】如圖，由題意可知，圓面的直徑為6，則OA3，又OO4，ROA5，故選：C【點睛】本題考查了球的體積公式及垂徑定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題7.兩條平行直線和之間的距離是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：由題意可得，兩直線平行，得m=6，所以可化成，因此兩直線距離為=，綜合故選A考點：兩平行線間的距離公式；8.方程所表示的直線（ ）A. 恒過定點B. 恒過定點C. 恒過點和點D. 都是平行直線【答案】B【解析】【分析】方程（a1）xy+2a+10化為：a（x+2）xy+10，

6、令，解出即可得出【詳解】方程（a1）xy+2a+10化為：a（x+2）xy+10，令，解得x2，y3所表示的直線恒過點（2，3）故選：B【點睛】本題考查了直線系方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題9.在平面直角坐標系中，點，點在圓上，則的最大值為（ ）A. 3B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量減法的三角形法則轉(zhuǎn)化為求|，再根據(jù)兩邊之和大于等于第三邊可得最大值【詳解】|OB|+|OA|22，故選：C【點睛】本題考查了考查了向量減法的運算法則，向量在幾何中的應(yīng)用問題，屬于中檔題10.在ABC中，若a2=b2+c2-bc，bc=4，則ABC的面積為（）A. B. 1C

7、. D. 2【答案】C【解析】試題分析：由結(jié)合余弦定理，可得，則故答案選C考點：余弦定理，同角間基本關(guān)系式，三角形面積公式11.若的三內(nèi)角分別為，滿足，則的形狀為（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等邊三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角范圍得到，再結(jié)合三角函數(shù)正弦圖像得到結(jié)果.【詳解】在ABC中，內(nèi)角A、B滿足,，根據(jù)正弦函數(shù)的圖像的性質(zhì)得到或故三角形是等腰三角形或者直角三角形.故答案為：D.【點睛】這個題目考查了三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12.已知方程表示圓，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】

8、【分析】由方程表示一個圓得到k2k60，求出解集即可得到k的取值范圍【詳解】方程表示圓，則有,即k2k60，即（k3）（k+2）0可化為或，解得k3或k2，故選：D【點睛】本題考查了圓的一般方程，掌握二元二次方程為圓時的條件，會求一元二次不等式的解集，是一道綜合題13.若曲線與直線始終有公共點，則實數(shù)取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出兩個函數(shù)的圖象，觀察圖象，利用直線與圓相切可得b的一個臨界值，進而求得結(jié)論.【詳解】y表示在x軸上方的部分（包括x軸上的點），作出函數(shù)y與yx+b圖象，由圖可知：當直線與圓相切時，即得,結(jié)合圖像可知，又當直線過（1，0）時，b=

9、-1，若曲線與直線始終有公共點，則1.故選：A【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題14.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中三個三角形均是直角三角形，圖形給出的數(shù)據(jù)均是直角邊的長度，則該幾何體的外接球的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三視圖可知，幾何體為三棱錐，且一邊垂直于底面，將該三棱錐補成棱長為2、1、1的長方體，再根據(jù)長方體性質(zhì)求外接球的半徑即可【詳解】由三視圖可知，幾何體為三棱錐，且底面為直角三角形(形狀與俯視圖相同)，側(cè)棱垂直于底面，將該三棱錐補成棱長為2、1、1的長方體,其外接球的直徑為2R則該幾何體的外接球的體積為V故選

10、：D【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求體積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀屬于中檔題15.設(shè)圓圓.點分別是圓上的動點，為直線上的動點，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用對稱的性質(zhì)，結(jié)合兩點之間的距離最短，即可求解【詳解】依題意可知圓C1的圓心（5，2），r2，圓C2的圓心（7，1），R5，如圖所示：對于直線yx上的任一點P，由圖象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，則問題可轉(zhuǎn)化為求|PC1|+|PC2|Rr|PC1|+|PC2|7的最小值，即可看作直線yx上一點到兩定點距離之和的最小值減去7，又C1關(guān)于直線yx對稱的點為C1（2，5），由平面幾何

11、的知識易知當C1與P、C2共線時，|PC1|+|PC2|取得最小值，即直線yx上一點到兩定點距離之和取得最小值為|C1C2|PA|+|PB|的最小值為7 故選：C【點睛】本題考查了圓關(guān)于直線的對稱的圓的求法，動點的最值問題，考查了點與點的距離公式的運用，是中檔題二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分.） 16.過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為_【答案】或【解析】【分析】當直線過原點時，求出斜率，斜截式寫出直線方程，并化為一般式當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，把P代入直線的方程，求出m值，可得直線方程【詳解】當直線過原點時，斜率等于，故直線的方程為yx，即3x-2y=0；當直線

12、不過原點時，設(shè)直線的方程為，把P（2，3）代入直線的方程得 m5，故求得的直線方程為x+y50，綜上，滿足條件的直線方程為3x-2y=0或 x+y50故答案為3x-2y=0或 x+y50【點睛】本題考查直線方程的方法，待定系數(shù)法求直線的方程是一種常用的方法，注意考慮截距為0的情況17.若圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面圓的直徑為_【答案】6【解析】【分析】利用圓錐的表面積公式即可求出圓錐的底面半徑【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，2rl，l2r，圓錐的表面積為r2+rlr2+2r227，r29，即r，2r=6，故答案為：【點睛】本

13、題主要考查圓錐的表面積公式以及應(yīng)用，利用條件建立母線和半徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查學生的運算能力18.設(shè)點是圓內(nèi)部一點，則過點最短的弦所在的直線方程是_【答案】【解析】【分析】先求出圓心和半徑，由于點P在圓內(nèi)，故當弦所在的直線和線段CP垂直時，弦長最短求得弦所在直線的斜率，用點斜式求弦所在的直線的方程【詳解】圓（x2）2+（y1）24，表示以C（2，1）為圓心，半徑等于的圓，所以點P在圓內(nèi)，故當弦所在的直線和線段CP垂直時，弦長最短此時弦CP所在直線的斜率為：1，故過P的最短弦所在的直線方程為 y2（x3），即x+y50故答案為：x+y50【點睛】本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點與圓

14、的位置關(guān)系，用點斜式求直線的方程判斷當弦所在的直線和線段CP垂直時，弦長最短，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題19.已知長方體中，則直線與平面所成角的正弦值是_【答案】【解析】【分析】過C1作C1HD1C，又C1H，則C1H面則C1BH即為直線BC1與平面A1BCD1所成角,在直角三角形C1HB中，可得結(jié)果.【詳解】長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，ADAA11，BC1，過C1作C1HD1C，又面DCC1D1則C1H，則C1H面連接HB，則C1BH即為直線BC1與平面A1BCD1所成角,又C1H=，sinC1BH故答案為【點睛】本題考查直線與平面所成角的正弦值的作法及求法，考查了線面垂直的判定

15、，屬于中檔題20.圓錐底面半徑為1，高為，點P是底面圓周上一點，則一動點從點P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈之后回到點P，則繞行的最短距離是_【答案】【解析】【分析】把圓錐側(cè)面展開成一個扇形，則對應(yīng)的弧長是底面的周長，對應(yīng)的弦是最短距離，即CP的長是螞蟻爬行的最短路程，求出CD長，根據(jù)垂徑定理求出PC=2CD，即可得出答案【詳解】把圓錐側(cè)面展開成一個扇形，則對應(yīng)的弧長是底面的周長，對應(yīng)的弦是最短距離，即CP的長是螞蟻爬行的最短路程，過A作ADPC于D，弧PC的長是21=2，則側(cè)面展開圖的圓心角是，DAC=，AC=3，所以.即螞蟻爬行的最短路程是.故答案為：.【點睛】考查了平面展開最短路徑問題，圓錐的側(cè)面

16、展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決三、解答題（本大題共5小題，每小題8分，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.） 21.已知直線，.(1)若，求的值； (2)若，求值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用兩條直線垂直的條件，結(jié)合兩條直線的方程可得1（m2）+m30，由此求得m的值（2）利用兩直線平行的條件，結(jié)合兩條直線的方程可得，由此求得得m 的值【詳解】（1）直線l1：x+my+60，l2：（m2）x+3y+2m0，由l1l2 ，可得 1（m2）+m30，解得（2

17、）由題意可知m不等于0,由l1l2 可得，解得 m1【點睛】本題主要考查兩直線平行、垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題22.如圖，在直三棱柱中，是的中點（1）求證：平面平面；（2）若異面直線與所成角為，求直三棱柱的體積.【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】（1）由已知中的幾何體為直三棱柱，是的中點，結(jié)合直三棱柱的幾何特征以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，易得平面，（2）根據(jù)異面直線所成角的定義，以及角的大小，求得，利用柱體的體積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：由，得，而平面平面，平面平面，平面.又平面，平面平面.（2）解：連接，由知是異面直線與所成角,，易知是正三角形，依題意得，三棱柱的體積為.【點

18、睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的判定，異面直線所成的角，柱體的體積公式，屬于簡單題目.23.已知圓過，兩點，且圓心直線上. (1)求圓的方程； (2)若直線過點且被圓截得的線段長為，求的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓C的圓心為（a，b），半徑為r，結(jié)合題意可得關(guān)于a、b、r的方程組，解出a、b、r的值，將其值代入圓的方程即可得答案；（2）根據(jù)題意，分斜率存在和斜率不存在兩種情況：當直線l的斜率不存在時，滿足題意，當直線l的斜率存在時，設(shè)所求直線l的斜率為k，由點到直線的距離公式求得k的值，即可得直線的方程，綜合即可得答案【詳解】

19、（）根據(jù)題意，設(shè)圓C的圓心為（a，b），半徑為r，則圓C方程為（xa）2+（yb）2r2，又由圓C過A（2，2），B（2，6）兩點，且圓心C在直線3x+y0上，則有，解可得a2，b6，r216，則圓C的方程為（x+2）2+（y6）216；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線l與圓C交與MN兩點，則|MN|4，設(shè)D是線段MN的中點，則有CDMN，則|MD|2，|MC|4在RtACD中，可得|CD|2當直線l的斜率不存在時，此時直線l的方程為x0，滿足題意，當直線l的斜率存在時，設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y5kx，即kxy+50由點C到直線MN的距離公式：2，解可得k，此時直線l的方程為3x4y

20、+200故所求直線l的方程為x0或3x4y+200【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，圓的標準方程，屬于中檔題24.在中，角的三條對邊分別為，.(1)求； (2)點在邊上，求.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）由題意利用正弦定理與三角恒等變換求出sinB與cosB的關(guān)系，得出tanB的值，從而求出B的值；（2）根據(jù)互補的兩角正弦值相等，得到sinADBsinADC的值，再利用正弦、余弦定理求得AD、AC的值【詳解】（1）由bcosCbsinCa，利用正弦定理得：sinBcosCsinBsinCsinA，即sinBcosCsinBsinCsinBcosC+cosBsinC，得sinBsinCcosBsinC，又C（0，），所以sinC0，