紡織數(shù)理統(tǒng)計.ppt

1、隨機事件及概率隨機變量及分布,樣本空間 隨機試驗E 所有可能的結(jié)果,樣本空間的元素, 即E 的直接結(jié)果, 稱為,隨機事件 的子集, 記為 A ,B ,它是滿足某些條件的樣本點所組成的集合.,組成的集合稱為樣本空間 記為,樣本點(or基本事件) 常記為 ， = ,吸收律,冪等律,差化積,重余律,對應(yīng),交換律,結(jié)合律,分配律,反演律,運算順序： 逆交并差，括號優(yōu)先,B,C,A,C,分配律 圖 示,A,例3 化簡事件,解 原式,例3,例4 利用事件關(guān)系和運算表達多 個事件的關(guān)系,A ,B ,C 都不發(fā)生,A ,B ,C 不都發(fā)生,例4,概率的 統(tǒng)計定義,在相同條件下重復(fù)進行的 n 次,試驗中, 事件

2、 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一,常數(shù) p 附近擺動, 且隨 n 越大擺動幅度越,小, 則稱 p 為事件 A 的概率, 記作 P(A).,優(yōu)點：直觀 易懂,缺點：粗糙 模糊,不便 使用,設(shè) 是隨機試驗E 的樣本空間，若能找到 一個法則，使得對于E 的每一事件 A 賦于一個 實數(shù)，記為P ( A ), 稱之為事件 A 的概率，這種 賦值滿足下面的三條公理：,非負性：,歸一性：,可列可加性：,其中 為兩兩互斥事件，,概率的 公理化定義,公理化定義,概率的性質(zhì),若,對任意兩個事件A, B, 有,B,B=AB+(B A),P(B)=P(AB)+ P(B AB),例4 小王參加“智力大沖浪”游戲, 他能答

3、出甲、乙二類問題的概率分別為0.7和0.2, 兩類問題都能答出的概率為0.1. 求小王,解 事件A , B分別表示“能答出甲,乙類問題”,(1),(1) 答出甲類而答不出乙類問題的概率 (2) 至少有一類問題能答出的概率 (3) 兩類問題都答不出的概率,(2),(3),例1,設(shè) 隨機試驗E 具有下列特點：,基本事件的個數(shù)有限 每個基本事件等可能性發(fā)生,則稱 E 為 古典(等可能)概型,古典概型中概率的計算：,記,則,概率的 古典定義,古典概型,設(shè)有 k 個不同的球, 每個 球等可能地落入 N 個盒子中（ ）, 設(shè) 每個盒子容球數(shù)無限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 個盒子中各有一球；

4、,（4）恰有 k 個盒子中各有一球；,（3）某指定的一個盒子沒有球；,（2）某指定的一個盒子恰有 m 個球( ),（5）至少有兩個球在同一盒子中；,（6）每個盒子至多有一個球.,例4 （分房模型）,例4,解,設(shè) (1) (6)的各事件分別為,則,例5 “分房模型”的應(yīng)用,生物系二年級有 n 個人，求至少有兩,人生日相同（設(shè)為事件A ) 的概率.,解,為 n 個人的生日均不相同,這相當于,本問題中的人可被視為“球”，365天為,365只“盒子”,若 n = 64，,每個盒子至多有一個球. 由例4（6）,例5,解,設(shè) A 表示事件 “n 次取到的數(shù)字的乘積 能被10整除”,設(shè) A1 表示事件 “n

5、 次取到的數(shù)字中有偶數(shù)” A2表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有5”,A = A1 A2,例7 在1,2,3, ,9中重復(fù)地任取 n ( )個數(shù), 求 n 個數(shù)字的乘積能被10整除的概率.,例7,若P(A) 0.01 , 則稱A為小概率事件.,小概率事件,一次試驗中小概率事件一般是不,會發(fā)生的. 若在一次試驗中居然發(fā)生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.,小概率原理,小概率原理,( 即實際推斷原理 ),例8 區(qū)長辦公室某一周內(nèi)曾接待過9次來,訪, 這些來訪都是周三或周日進行的,是否,可以斷定接待時間是有規(guī)定的？,解 假定辦公室每天都接待，則,P( 9次來訪都在周三、日) = = 0.0000127

6、,這是小概率事件,一般在一次試驗中不會發(fā),發(fā)生. 現(xiàn)居然發(fā)生了, 故可認為假定不成立,從而推斷接待時間是有規(guī)定的.,例8,條件概率也是概率, 故具有概率的性質(zhì)：,利用條件概率求積事件的概率即乘法公式,推廣,B1,Bn,AB1,AB2,ABn,全概率公式,A,Bayes公式,B2,每100件產(chǎn)品為一批, 已知每批產(chǎn)品中 次品數(shù)不超過4件, 每批產(chǎn)品中有 i 件 次品的概率為,從每批產(chǎn)品中不放回地取10件進行檢驗,若 發(fā)現(xiàn)有不合格產(chǎn)品,則認為這批產(chǎn)品不合格， 否則就認為這批產(chǎn)品合格. 求 (1) 一批產(chǎn)品通過檢驗的概率 (2) 通過檢驗的產(chǎn)品中恰有 i 件次品的概率,例5,例5,解 設(shè)一批產(chǎn)品中有

7、 i 件次品為事件Bi , i = 0,1,4,A 為一批產(chǎn)品通過檢驗,則,已知P( Bi )如表中所示，且,由全概率公式與Bayes 公式可計算P( A )與,例1 已知袋中有5只紅球, 3只白球.從袋中 有放回地取球兩次,每次取1球.,設(shè)第 i 次,求,取得白球為事件 Ai ( i =1, 2 ) .,解,1.4獨立性,事件 A1 發(fā)生與否對 A2 發(fā)生的概率沒有影 響可視為事件A1與A2相互獨立,定義,設(shè) A , B 為兩事件，若,則稱事件 A 與事件 B 相互獨立,三事件 A, B, C 相互獨立 是指下面的關(guān)系式同時成立：,注：1) 關(guān)系式(1) (2)不能互相推出 2)僅滿足(1)

8、式時,稱 A, B, C 兩兩獨立,(2),定義,例5 設(shè)每個人的血清中含肝炎病毒的概率 為0.4%, 求來自不同地區(qū)的100個人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率,解 設(shè)這100 個人的血清混合液中含有肝炎 病毒為事件 A, 第 i 個人的血清中含有 肝炎病毒為事件 Ai i =1,2,100,則,例5,若Bn 表示 n 個人的血清混合液中含有肝 炎病毒，則, 不能忽視小概率事件, 小概率事件遲早要發(fā)生,一個元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為 元件(或系統(tǒng))的可靠性,系統(tǒng)由元件組成,常見的元件連接方式：,串聯(lián),并聯(lián),例6,一個元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為 元件(或系統(tǒng))的可靠性,系統(tǒng)由

9、元件組成,常見的元件連接方式：,串聯(lián),并聯(lián),例6,設(shè) 兩系統(tǒng)都是由 4 個元件組成,每個元件 正常工作的概率為 p , 每個元件是否正常工 作相互獨立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示， 比較兩系統(tǒng)的可靠性.,S1:,S2:,注 利用導(dǎo)數(shù)可證, 當 時, 恒有,公,Bayes,式,在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用,應(yīng)用,應(yīng)用舉例 腸癌普查,設(shè)事件 表示第 i 次檢查為陽性,事件B,表示被查者患腸癌,已知腸鏡檢查效果如下：,某患者首次檢查反應(yīng)為陽性, 試判斷該,患者是否已患腸癌？ 若三次檢查反應(yīng)均為,陽性呢？,由Bayes 公式得,首次檢查反應(yīng)為陽性 患腸癌的概率并不大,接連兩次檢查為陽性 患腸癌的可能性過半,兩次檢查

10、反應(yīng)均為陽性,還不能斷,定患者已患腸癌.,連續(xù)三次檢查為陽性,幾乎可斷定已患腸癌,某型號火炮的命中率為0.8, 現(xiàn)有一架 敵機即將入侵，如果欲以 99.9 % 的概率 擊中它，則需配備此型號火炮多少門？,設(shè)需配備 n 門此型號火炮 設(shè)事件 表示第 i 門火炮擊中敵機,故需配備 5 門此型號火炮 .,n重Bernoulli試驗中事件 A 出現(xiàn) k 次的概率 記為,且,伯努利試驗,例7 袋中有3個白球,2個紅球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2個白球的概率.,解 古典概型,設(shè) B 表示4個球中恰有2個白球,例7,解二 每取一個球看作是做了一次試驗,記取得白球為事件 A ，,有放回地取4

11、個球看作做了 4 重Bernoulli 試驗, 記第 i 次取得白球為事件 Ai,感興趣的問題為:4次試驗中A 發(fā)生2次的概率,一般地，若,則,例8 八門炮同時獨立地向一目標各射擊一 發(fā)炮彈,若有不少于2發(fā)炮彈命中目標時,目 標就被擊毀.如果每門炮命中目標的概率為 0.6, 求目標被擊毀的概率.,解 設(shè) i 門炮擊中目標為事件Ai, i=28,標被擊毀為事件B,各炮命中概率 p = 0.6, 則,例8,設(shè)目,伯努利 Jacob Bernoulli 1654-1705 瑞士數(shù)學(xué)家,概率論的奠基人,伯努利,此外對對數(shù)螺線深有研究, 發(fā)現(xiàn) 對數(shù)螺線經(jīng)過各種變換后, 結(jié)果還是 對數(shù)螺線,在驚嘆此曲線的

12、奇妙之余, 遺言把對數(shù)螺線刻在自己的墓碑上, 并附以頌詞:,縱使變化,依然故我,1695年提出著名的伯努利方程,1713年出版的巨著推測術(shù),是 組合數(shù)學(xué)及概率史的一件大事.書中給 出的伯努利數(shù)、伯努利方程、伯努利 分布等, 有很多應(yīng)用, 還有伯努利定理, 這是大數(shù)定律的最早形式.,隨,第,二,章,機,量,變,其,及,分,布,第二章,為更好地揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利 用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律, 有必要引入隨機 變量來描述隨機試驗的不同結(jié)果.,例 電腦壽命可用一個連續(xù)變量 T 來描述.,例 檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果 , 也可以用一個離散變量來描述,2.1 隨機變量及其分布函數(shù),設(shè) 是試驗E的樣本

13、空間, 若,則稱 X ( ) 為 上的 隨機變量,r.v.一般用大寫字母 X, Y , Z , 或小寫希臘字母 , , 表示.,定義,2.1,簡記 r.v. X .,此映射具有如下特點, 表示 “某天9:00 10:00 接到電話次數(shù)超過100次” 這一事件,為事件A 的示性變量, = 兒童的發(fā)育情況 ,X() 身高,Y() 體重,Z() 頭圍.,各 r.v.之間可能有一定的關(guān)系, 也可能沒有關(guān)系 即 相互獨立,離散型,非離散型,r.v. 分類,引入 r.v. 重要意義, 任何隨機現(xiàn)象可 被 r.v.描述, 借助微積分方法 將討論進行到底,為 X 的分布函數(shù).,設(shè) X 為 r.v., x 是任

14、意實數(shù),稱函數(shù),定義,用分布函數(shù)計算 X 落在( a ,b 里的概率：,分布函數(shù),分布函數(shù)的性質(zhì),F ( x ) 單調(diào)不減，即,且,F ( x ) 右連續(xù)，即,用分布函數(shù)表示概率,設(shè) r.v. X 的分布函數(shù)：,計算,例1,解,例1,2.2離散型隨機變量及其概率分布,定義,若隨機變量 X 的可能取值是有限 個或可列個, 則稱 X 為離散型隨機變量,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,2.2,分布律的性質(zhì),X ,或,F( x) 是分段階梯函數(shù), 在 X 的可能取 值 xk 處發(fā)生間斷, 間斷點為第一類跳躍間 斷點,在間斷點處有躍度 pk .,其中 .,解,例1 設(shè)汽車在開往甲地途中需

15、經(jīng) 過 4 盞信號燈, 每盞信號燈獨立地 以概率 p 允許汽車通過.,首次停下時已通過的信號燈盞數(shù), 求 X 的概 率分布與 p = 0.4 時的分布函數(shù).,令 X 表示,例1,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,代入,1,用分布律或分布函數(shù)來計算事件的概率,例2 在上例中, 分別用分布律與分布函數(shù)計 算,例2,解,或,此式應(yīng)理解為極限,定義 設(shè) X 是隨機變量, 若存在一個非負 可積函數(shù) f ( x ), 使得,其中F ( x )是它的分布函數(shù),則稱 X 是 連續(xù)型 r.v. ，f ( x )是它的概率 密度函數(shù)( p.d.f. )，簡記為d.f.,2.3 連續(xù),分布函數(shù)與密度函數(shù) 幾何意義,p.d.f. f ( x )的性質(zhì),常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性 r.v.的 d.f.,在 f ( x ) 的連續(xù)點處，,f ( x ) 描述了X 在 x 附近單位長度的 區(qū)間內(nèi)取值的概率,對于連續(xù)型 r.v. X,例1 已知某型號電子管的使用壽命 X 為連 續(xù)r.v., 其 d.f.為,(1)