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第六節(jié) 連續(xù)函數的運算與 初等函數的連續(xù)性,一、連續(xù)函數的和、差、積、商的連續(xù)性 二、反函數與復合函數的連續(xù)性 三、初等函數的連續(xù)性,一、連續(xù)函數的和、差、積、商的連續(xù)性,定理2.16 有限個在某點連續(xù)的函數的代數和是一個在該點連續(xù)的函數.,定理2.17 有限個在某點連續(xù)的函數之積是一個在該點連續(xù)的函數.,定理2.18 在某點連續(xù)的兩個函數之商，當分母不為零時，是一個在該點連續(xù)的函數.,從而F(x)在點x0處連續(xù)，定理2.18得證.,僅證定理2.18.,證 設f(x)，g(x)在點x0處連續(xù)，且 記,根據函數在x0點連續(xù)的定義及商的極限運算法則，有,二、反函數與復合函數的連續(xù)性,定理2.19 如果函數y=f(x)在區(qū)間Ix上嚴格單調增加(或嚴格單調減少)，并且連續(xù)，值域為Iy ，則其反函數 在區(qū)間Iy 上嚴格單調增加(或嚴格單調減少)，并且連續(xù).,定理2.20 設函數y=f(u)在點u0處連續(xù)，函數 當 時極限存在，且 則復合函數 當 時的極限也存在，且等于 即,定理2.20的結論，可以換一種寫法：,這表明在定理2.20的條件下，求復合函數 的極限時，函數符號f與極限符號可以交換順序.,定理2.20的結論，還可以換成另一種寫法,這表明在定理2.20的條件下，如果作變量代換 則求極限 就變成求極限 .這給我們求極限時常用的變量代換方法提供了理論依據.,定理2.21 設函數y=f(u)在點u0處連續(xù)，又函數 在x0處連續(xù)，且 ，則復合函數 在點x= x0處連續(xù).,例1,解,由于 ，而y=sin u在u=e處連續(xù)，,例2,由定理2.19知,例3,解,三、初等函數的連續(xù)性,由初等函數的定義和基本初等函數的連續(xù)性，再根據連續(xù)函數的四則運算性質和連續(xù)函數的復合函數的連續(xù)性質，可以得出如下重要結論:一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.,根據這個結論，如果f(x)是初等函數， 是其定義區(qū)間內的一個點，那么求 時，只需將 代入函數求函數值 即可.,解 由于被求極限的函數是初等函數，x=1是其定義區(qū)間內的一點，所以,例4,例5,解,所以在點x=0處f(x)既左連續(xù)又右連續(xù)，從而連續(xù).,所以，x=1是f(x)的第二

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