學(xué)案3空間點(diǎn)、平面、直線之間的位置關(guān)系.ppt

空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷與證明幾乎每年高考都要考查，題型以選擇題和解答題為主，驗(yàn)證度不大，同時(shí)還要注意異面直線的判定與證明.,1.三個(gè)公理 公理1 如果一條直線上的 在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi). 公理2 ,有且只有一個(gè)平面，也可簡(jiǎn)單地說(shuō)成，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.,兩點(diǎn),過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),公理3 如果兩個(gè)不重合的平面 ，那么它們有且只有 . 2.符號(hào)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的關(guān)系,有一個(gè)公共點(diǎn),一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線,=a,Aa,Aa,a,ab=A,3.空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：相交、平行、異面 (1)相交直線: ; (2)平行直線: ; (3)異面直線: . 4.判定異面直線的方法 (1)利用定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平 面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.,在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn),在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn),不同在任何一個(gè)平面內(nèi)（或者說(shuō)，異面直線既 不相交又不平行的兩條直線），沒(méi)有公共點(diǎn),(2)利用反證法：假設(shè)兩條直線不是異面直線，推導(dǎo)出矛盾. 5.公理4 空間平行線的傳遞性. 6.等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角 .,平行于同一條直線的兩條直線互相平行,相等或互補(bǔ),7.異面直線所成的角 設(shè)a,b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O，分別作直線aa,bb，把直線a與b所成的 叫做異面直線a與b所成的角(或夾角). 8、空間直線與平面的位置關(guān)系 直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種： （1）直線在平面內(nèi)： ； （2）直線與平面相交： ； （3）直線與平面平行： ，,銳角(或直角),有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn),有且只有一個(gè)公共點(diǎn),沒(méi)有公共點(diǎn),直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng) . 9、平面與平面的位置關(guān)系 兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種： （1）兩個(gè)平面平行： ； （2）兩個(gè)平面相交： .,有一條公共直線,直線在平面外,沒(méi)有公共點(diǎn),在正方體ABCDA1B1C1D1中,對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)M,求證:點(diǎn)C1,O,M共線.,考點(diǎn)1 點(diǎn)共線問(wèn)題,【分析】證明三點(diǎn)共線常用方法是取其中兩點(diǎn)確定一直線,再證明其余點(diǎn)也在該直線上.,【證明】如圖,A1AC1C, A1A,C1C確定平面A1C. A1C平面A1C,OA1C, O平面A1C,而O=平面BDC1線A1C, O平面BDC1, O在平面BDC1與平面A1C的交線上. ACBD=M,M平面BDC1且M平面A1C,平面BDC1平面A1C=C1M, OCM,即M,O,C1三點(diǎn)共線.,【評(píng)析】證明若干點(diǎn)共線也可用基本性質(zhì)3為依據(jù),找出兩個(gè)平面的交線,然后證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩平面的公共點(diǎn).,如圖所示,已知ABC在平面外,AB,BC,AC的延長(zhǎng)線分別交平面于P,Q,R三點(diǎn).求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.,證明:設(shè)ABC所在平面為,因?yàn)锳P=P,AP,所以與相交于過(guò)點(diǎn)P的直線l,即Pl.因?yàn)锽Q=Q,BQ,所以Q,Q.所以Ql.同理可證Rl.所以P,Q,R三點(diǎn)共線.,【分析】(1)只需證BC GH. (2)先證四邊形BEFG為平行四邊形,再證明EFCH即得.,考點(diǎn)2 共面問(wèn)題,如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90,BC AD,BE FA,G,H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn). (1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形; (2)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面?為什么?,【解析】如圖，(1)證明:由已知FG=GA,FH=HD,可得 GH AD.又BC AD,EH BC, 四邊形BCHG為平行四邊形. (2)C,D,F,E四點(diǎn)共面,證明如下: 由BE AF,G為FA中點(diǎn)知, BE FG,四邊形BEFG為平行四邊形, EFBG. 由(1)知BGCH,EFCH,EF與CH共面. 又DFH,C,D,F,E四點(diǎn)共面.,【評(píng)析】證明點(diǎn)線共面的常用方法： (1)納入平面法:先確定一個(gè)平面,再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi). (2)輔助平面法:先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面,重合.,如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn).且CG= BC，CH= DC.求證： （1）E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共面； （2）三直線FH，EG， AC共點(diǎn).,（1）連接EF，GH. 由E,F分別為AB,AD中點(diǎn)， EF BD,由CG= BC CH= DC， HG BD， EFHG且EFHG. EF,HG可確定平面, E,F,G,H四點(diǎn)共面.,（2）由（1）知,EFHG為平面圖形，且EFHG，EFHG. 四邊形EFHG為梯形，設(shè)直線FH直線EG=O， 點(diǎn)O直線FH，直線FH 面ACD， 點(diǎn)O平面ACD.同理點(diǎn)O平面ABC. 又面ACD面ABC=AC，點(diǎn)O直線AC（公理2）. 三直線FH，EG，AC共點(diǎn).,【分析】 先由公理1判定FG平面ABCD,再由平行公理證明線線平行.,考點(diǎn)3 空間中兩直線位置關(guān)系的判定與證明,如圖所示，在正方體AC1中,E是CD的中點(diǎn),連結(jié)AE并延長(zhǎng)與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連結(jié)BE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連結(jié)FG. 求證:直線FG平面ABCD且直線FG直線A1B1.,【證明】由已知得E是CD的中點(diǎn),在正方體中,有A面ABCD,E面ABCD, 所以AE面ABCD.又AEBC=F, 所以FAE,從而F面ABCD. 同理,G面ABCD,所以FG面ABCD. 因?yàn)镋C AB,故在RtFBA中,CF=BC, 同理,DG=AD.又在正方形ABCD中,BC AD,所以CF DG. 所以四邊形CFGD是平行四邊形. 所以FGCD.又CDAB,ABA1B1, 所以直線FG直線A1B1.,【評(píng)析】判斷空間中直線的位置關(guān)系主要依據(jù)平面的基本性質(zhì)及幾何體內(nèi)線面之間的位置關(guān)系.將公理1,2,3與平面幾何知識(shí)相結(jié)合,解答一些常規(guī)題目.,已知E和F分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的點(diǎn),且AE=C1F,求證:四邊形EBFD1是平行四邊形.,【證明】如圖所示,在DD1上取一點(diǎn)G,使D1G=A1E,則易知 A1E D1G, 四邊形A1EGD1為平行四邊形, EG A1D1, 四邊形A1EGD1為平行四邊形， EG A1D1.,又A1D1 B1C1,B1C1 BC, EG BC(公理4）， 四邊形GEBC是平行四邊形， EB GC.又D1G FC, 四邊形D1GCF是平行四邊形， GC D1F,EB D1F(公理4）， 四邊形EBFD1是平行四邊形.,1.平面的基本性質(zhì)(三個(gè)公理及公理3的三個(gè)推論)是空間元素各種位置關(guān)系判斷、論證的基礎(chǔ)，其中確定平面的公理和推論將是立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的依據(jù). 公理1的用途：證明點(diǎn)在平面內(nèi)；證明直線在平面內(nèi). 公理2的用途：確定一個(gè)平面的條件；證明有關(guān)的點(diǎn)、線、面共面問(wèn)題. 公理3的用途：確定兩個(gè)平面的交點(diǎn)；證明三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn).,2.圖形對(duì)于分析空間元素的位置關(guān)系，展開(kāi)想象，探索解題思路至關(guān)重要，因此復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)重視兩個(gè)問(wèn)題：一是畫(huà)圖與識(shí)圖，即能正確運(yùn)用實(shí)、虛線畫(huà)出結(jié)構(gòu)合理的直觀示意圖，能正確分析圖形基本元素間的位置關(guān)系.二是借助圖形思考，即能利用圖形尋找解題思路、檢驗(yàn)結(jié)果和數(shù)形結(jié)合等. 3.并非所有的平面幾何結(jié)論都可以推廣到空間，必須在證明所研究的圖形是平面圖形之后，才能引用平面幾何的結(jié)論.,（1）點(diǎn)共線問(wèn)題 證明空間點(diǎn)共線問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上.