高中數(shù)學(xué)單元質(zhì)量評(píng)估（二）（含解析）新人教A版.docx

單元質(zhì)量評(píng)估(二) (第二章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求的)1.平面內(nèi)有定點(diǎn)A,B及動(dòng)點(diǎn)P,設(shè)命題甲是“|PA|+|PB|是定值”,命題乙是“點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓”,那么甲是乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.點(diǎn)P在線段AB上時(shí)|PA|+|PB|是定值,但點(diǎn)P軌跡不是橢圓,反之成立,故選B.2.(2015廣東高考)已知雙曲線C:-=1的離心率e=,且其右焦點(diǎn)F2(5,0),則雙曲線C的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】選B.因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為F2且離心率為e=,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求雙曲線方程為-=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】與橢圓+=1有相同焦點(diǎn),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.【解析】由+=1知焦點(diǎn)F1(-,0),F2(,0).依題意,設(shè)雙曲線方程為-=1(a0,b0).所以a2+b2=5,又點(diǎn)(2,-)在雙曲線-=1上,所以-=1.聯(lián)立得a2=2,b2=3,因此所求雙曲線的方程為-=1.答案:-=13.已知離心率為e的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點(diǎn)F1,F2,P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),若F1PF2=,則e等于()A.B.C.D.3【解題指南】在F1F2P中利用余弦定理列方程,然后利用定義和已知條件消元.【解析】選C.設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2,焦距為2c,|PF1|=m,|PF2|=n,且不妨設(shè)mn,由m+n=2a1,m-n=2a2得m=a1+a2,n=a1-a2.又F1PF2=,所以4c2=m2+n2-mn=+3,所以+=4,即+=4,解得e=.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016佛山一模)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.【解析】選D.依題意,橢圓的焦距和短軸長(zhǎng)相等,即b=c,所以a2-c2=c2,得e=.故選D.4.設(shè)F1,F2是雙曲線x2-=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是雙曲線上的一點(diǎn),且3|PF1|=4|PF2|,則PF1F2的面積等于()A.4B.8C.24D.48【解析】選C.由3|PF1|=4|PF2|知|PF1|PF2|,由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=8,|PF2|=6,又c2=a2+b2=1+24=25,所以c=5,所以|F1F2|=10,所以PF1F2為直角三角形,=|PF1|PF2|=24.【拓展延伸】圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題解法(1)PF1F2由兩焦點(diǎn)和曲線上一點(diǎn)形成,我們把這種三角形叫焦點(diǎn)三角形.焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的主要類型有:周長(zhǎng)、面積、角度等,通常會(huì)用到圓錐曲線的定義、正弦定理、余弦定理、面積公式等.(2)焦點(diǎn)三角形的面積主要有兩種求法:=r1r2sinF1PF2和=2c|yP|.(3)涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、曲線上點(diǎn)(頂點(diǎn)以外)等問(wèn)題,抓住幾個(gè)特征三角形,舉一反三.這是一個(gè)考查重點(diǎn),容易出現(xiàn)離心率的值(或范圍)的運(yùn)算.5.(2016長(zhǎng)春高二檢測(cè))已知拋物線y2=4x上的點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d1,到直線3x-4y+9=0的距離為d2,則d1+d2的最小值是()A.B.C.2D.【解析】選A.如圖所示過(guò)點(diǎn)F作FM垂直于直線3x-4y+9=0,當(dāng)P點(diǎn)為直線FM與拋物線的交點(diǎn)時(shí),d1+d2最小值為=.6.(2014江西高考)過(guò)雙曲線C:-=1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A,O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】選A.設(shè)右焦點(diǎn)為F,由題意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以方程為-=1.7.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線上三點(diǎn),若+=0,則|+|+|等于()A.9B.6C.4D.3【解析】選B.設(shè)A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),F(1,0),因?yàn)?=0,所以x1+x2+x3=3.所以由拋物線定義知|+|+|=x1+1+x2+1+x3+1=6.8.已知雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,2B.(1,2)C.2,+)D.(2,+)【解析】選C.如圖所示,要使過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線的斜率小于等于漸近線的斜率,所以,離心率e2=4,所以e2.9.(2016廈門高二檢測(cè))已知(4,2)是直線l被橢圓+=1所截得的線段的中點(diǎn),則l的方程是()A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y+4=0D.x+2y-8=0【解析】選D.設(shè)l與橢圓的兩交點(diǎn)分別為(x1,y1),(x2,y2),則得=-,所以=-.故方程為y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.10.若拋物線y2=8x的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線是l,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,M(3,3)且與l相切的圓共有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.4個(gè)【解析】選B.由題意得F(2,0),l:x=-2,線段MF的垂直平分線方程為y-=-(x-),即x+3y-7=0,設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(a,b),則圓心在x+3y-7=0上,故a+3b-7=0,a=7-3b,由題意得|a-(-2)|=,即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b-56=0.又b0,故此方程只有一個(gè)根,于是滿足題意的圓只有一個(gè).【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016蘭州模擬)已知拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)M(1,m)(m0)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線-y2=1的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實(shí)數(shù)a=()A.B.C.D.【解析】選A.根據(jù)題意,拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)M(1,m)到其焦點(diǎn)的距離為5,則1+=5,解得p=8;即拋物線的方程為y2=16x,把M(1,m)代入,可得m=4,即M的坐標(biāo)為(1,4),雙曲線-y2=1的左頂點(diǎn)為A,則a0,且A的坐標(biāo)為,漸近線方程為y=x,因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線AM平行,所以kAM=,解得a=.11.(2016珠海高二檢測(cè))已知F1,F2分別為雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),若的最小值為8a,則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A.(1,+)B.(1,2C.(1,D.(1,3【解析】選D.=+|PF2|+4a4a+4a=8a,當(dāng)且僅當(dāng)=|PF2|,即|PF2|=2a時(shí)取等號(hào).這時(shí)|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|F1F2|,得6a2c,即e=3,得e(1,3.12.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|AF|=3,則AOB的面積為()A.B.C.D.2【解析】選C.如圖所示,由題意知,拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),又|AF|=3,由拋物線定義知:點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離為3,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.將x=2代入y2=4x得y2=8,由圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y=2,所以A(2,2),所以直線AF的方程為y=2(x-1).聯(lián)立直線與拋物線的方程解得或由圖知B,所以=|OF|yA-yB|=1|2+|=.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016邢臺(tái)高二檢測(cè))已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為l,點(diǎn)Q在圓C:x2+y2+2x-8y+13=0上,記拋物線上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為d,則d+|PQ|的最小值等于()A.3B.2C.4D.5【解析】選A.如圖所示,由題意,知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),連接PF,則d=|PF|.圓C的方程配方,得(x+1)2+(y-4)2=4,圓心為C(-1,4),半徑r=2.d+|PQ|=|PF|+|PQ|,顯然,|PF|+|PQ|FQ|(當(dāng)且僅當(dāng)F,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)).而|FQ|為圓C上的動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F的距離,顯然當(dāng)F,Q,C三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值,最小值為|CF|-r=-2=5-2=3.二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2016南昌高二檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中,O是原點(diǎn),=(1,0),P是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),若|-|=|,則P點(diǎn)的軌跡方程是_.【解析】設(shè)P(x,y),則=(x,y),又因?yàn)閨-|=|,所以(x-1)2+y2=x2,整理得y2=2x-1.答案:y2=2x-114.(2016蘭州高二檢測(cè))直線y=x+3與曲線-=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_.【解析】當(dāng)x0時(shí),-=1化為-=1;當(dāng)x0時(shí),-=1化為+=1,所以曲線-=1是由半個(gè)雙曲線和半個(gè)橢圓組成的圖形,結(jié)合圖象可知(如圖),直線y=x+3與曲線-=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.答案:315.(2016撫順高二檢測(cè))已知點(diǎn)F1,F2分別是雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若ABF2為銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_.【解析】因?yàn)殡p曲線關(guān)于x軸對(duì)稱,所以A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,所以|F2A|=|F2B|,ABF2為銳角三角形AF2B為銳角AF2F145|AF1|F1F2|,因?yàn)镕1(-c,0),所以A,即|AF1|=,又|F1F2|=2c,所以2c,所以c2-2ac-a20,所以e2-2e-10,所以1-e1,所以1eb0)的兩焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)均在橢圓內(nèi)部,則橢圓的離心率e的取值范圍為_.【解析】由已知得兩焦點(diǎn)為(c,0),其關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(0,c)均在橢圓內(nèi)部,則1,得1,1,解得0e0),過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線與C相交于A,B兩點(diǎn),若=3,則k=_.【解析】設(shè)直線l為拋物線的準(zhǔn)線,過(guò)A,B分別作AA1,BB1垂直于l,A1,B1為垂足,過(guò)B作BE垂直于AA1于點(diǎn)E,則|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由=3,所以cosBAE=,所以BAE=60,所以tanBAE=.即k=.答案:三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)(2016鄭州高二檢測(cè))已知點(diǎn)M在橢圓+=1上,MP垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線,垂足為P,并且M為線段PP的中點(diǎn),求P點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0).因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓+=1上,所以+=1.因?yàn)镸是線段PP的中點(diǎn),所以把代入+=1,得+=1,即x2+y2=36.所以P點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=36.18.(12分)雙曲線C與橢圓+=1有相同的焦點(diǎn),直線y=x為C的一條漸近線.求雙曲線C的方程.【解析】設(shè)雙曲線方程為-=1.由橢圓+=1,求得兩焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),所以對(duì)于雙曲線C:c=2.又y=x為雙曲線C的一條漸近線,所以=,解得a2=1,b2=3,所以雙曲線C的方程為x2-=1.19.(12分)已知點(diǎn)F1,F2分別是橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),A是橢圓C的上頂點(diǎn),B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn),F1AF2=60.(1)求橢圓C的離心率.(2)已知AF1B的面積為40,求a,b的值.【解析】(1)由題意知AF1F2為正三角形,a=2c,e=.(2)直線AB的方程為y=-(x-c),(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.代入中得5x2-8cx=0,x=0或x=,得A(0,c),B,得|AB|=.由AF1B的面積為40,得|AB|AF1|sin60=40,a=40,由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.解得c=5,a=10,b=5.20.(12分)已知?jiǎng)訄AC過(guò)定點(diǎn)F(0,1),且與直線l1:y=-1相切,圓心C的軌跡為E.(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程.(2)已知直線l2交軌跡E于兩點(diǎn)P,Q,且PQ中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則|PQ|的最大值為多少?【解析】(1)由題設(shè)知點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離,所以點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn),l1為準(zhǔn)線的拋物線,所以所求軌跡的方程為x2=4y.(2)由題意易知直線l2的斜率存在,又拋物線方程為x2=4y,當(dāng)直線AB斜率為0時(shí),|PQ|=4.當(dāng)直線AB斜率k不為0時(shí),設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),則有=4y1,=4y2,兩式作差得-=4(y1-y2),即得k=,則直線方程為y-2=(x-t),與x2=4y聯(lián)立得x2-2tx+2t2-8=0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2t,x1x2=2t2-8,|PQ|=6,即|PQ|的最大值為6.21.(12分)(2015陜西高考)如圖,橢圓E:+=1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-1),且離心率為.(1)求橢圓E的方程.(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2.【解析】(1)由題意知=,b=1,綜合a2=b2+c2,解得a=,所以,橢圓的方程為+y2=1.(2)由題設(shè)知,直線PQ的方程為y=k(x-1)+1,代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,則x1+x2=,x1x2=,從而直線AP與AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.22.(12分)(2016株洲高二檢測(cè))已知橢圓+=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),M為橢圓的上頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且MOF是等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程.(2)過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),設(shè)兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=8,證明:直線AB過(guò)定點(diǎn).【解題指南】(1)根據(jù)幾何性質(zhì)求出a,b,然后代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)以參數(shù)k,m表示直線方程,代入橢圓方程,設(shè)出A,B的坐標(biāo),利用根與系數(shù)的關(guān)系和k1+k2=8求出m,k的關(guān)系式,建立直線AB的方程,證明直線過(guò)定點(diǎn).【解析】(1)由MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,所以a2=8,故橢圓方程為+=1.(2)若直線AB的斜率存在,設(shè)AB方程為y=kx+m,依題意m2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.則x1+x2=-,x1x2=.由已知k1+k2=8,可得+=8,所以+=8,即2k+(m