材料力學(xué)靜不定結(jié)構(gòu)-習(xí)題課.pdf

習(xí)習(xí) 題題 課課 =+ =+ =+ nnnnnnn nn nn XXX XXX XXX F2211 22F2222121 1F11212111 力法及正則方程力法及正則方程 力法的正則方程力法的正則方程: : : : 作用時(shí)所產(chǎn)生的位移 單獨(dú)方向由于作用點(diǎn)沿著表示1= jiij i XXX 作用所產(chǎn)生的位移 方向由于實(shí)際載荷單獨(dú)作用點(diǎn)沿著表示 iii XX F = = F 1 1 M MX MX jj ii 實(shí)際載荷引起的彎矩為 引起的彎矩為 引起的彎矩為 設(shè)設(shè) x IE MM x IE MM l i i l ji j i d,d F F = = = n k kk kkki Fi n k kk kkjki j i AE lFF AE lFF 1 F,N,N 1 ,N,N , 對(duì)于靜不定桁架對(duì)于靜不定桁架: : : : 則則 例例1 1：剛架的彎曲剛度為：剛架的彎曲剛度為EIEI，承受力承受力F F后，支座后，支座C C有一有一 下陷量下陷量，試求剛架，試求剛架C C處的反力。處的反力。 a a/ 2a/ 2 F A B C 解：解： X=+ F1111 EI a EI a 3 4 1 3 2 2 1 33 11 = += EI Fa EI Fa 48 29 2 1 6 5 8 1 33 F1 = += 3 1 4 3 64 29 a EIF X= a/ 2a/ 2 F A BC a X1 F F a/ 2 F a/ 2 1 a a 由由得得 例例2 2：剛架的彎曲剛度為：剛架的彎曲剛度為EIEI，承受力承受力F F。 試求：剛架多余約束反力。試求：剛架多余約束反力。 F F F F a a D B A C F F F F a a D B A C X X X X1 1 1 1 X X X X1 1 1 1 F F F F a a D B A C F F F F F F F F F F F F a a D B A C X X X X1 1 1 1 X X X X1 1 1 1 23 3 11 22a5 233 aa a EIEI =+= 223 1F 12a5 a 2326 FaFaFa EIEI = += 1P 1 11 F 2 X = = 例例3 3：剛架的彎曲剛度為：剛架的彎曲剛度為EIEI，承受力承受力F F。 試求：剛架多余約束反力。試求：剛架多余約束反力。 233 11 12 aa7 8 3 2424 aa EIEI =+= 23 1F 1 224 FaaFa EIEI = = 1P 1 11 6F 7 X = = F F F FF F F F A a B a F F F F X X X X1 1 1 1 X X X X1 1 1 1 A a B a F F F F A a F F F F 1 1 1 1 A 例例4 4：已知?jiǎng)偧艿膹澢鷦偠葹椋阂阎獎(jiǎng)偧艿膹澢鷦偠葹镋IEI，試求剛架內(nèi)最大彎矩試求剛架內(nèi)最大彎矩 及其作用位置。及其作用位置。 A F B D E a a aa C 解：解： 0 F1111 =+ X EI a 3 11 2 = EI Fa 3 , 3 F1 = )( 6 1 = F X A F B D E a a aa C X1 1 a a a a F F a 由由 得得 6 5 max Fa M= 作用于固定端作用于固定端A A A A 例例5 5：已知結(jié)構(gòu)的彎曲剛度為：已知結(jié)構(gòu)的彎曲剛度為EIEI， 試求對(duì)稱(chēng)軸上試求對(duì)稱(chēng)軸上A A截面的內(nèi)力。截面的內(nèi)力。 EI Fa 4 , 2 F1 = EI a2 11 = 8 1 Fa X= 8 , 2 0 N S Fa M F F F AA A = = F aa a a F A F/ 2 a X1 A1 1 1 1 F/ 2 F a/ 2 解：解： 0 F1111 =+ X由由得得 例例6 6：已知?jiǎng)偧艿膹澢鷦偠葹椋阂阎獎(jiǎng)偧艿膹澢鷦偠葹镋IEI。 試求截面試求截面A A處彎矩。處彎矩。 EI a2 11 = EI qa 3 1F ,= 2 1 2 1 qaXM A = 2 , 2 2 qa MqaF AS = q aa a a q A q q q a X1 A q q FS FS 解：解： 0 F1111 =+ X由由得得 另解：另解： 例例7: 1/47: 1/47: 1/47: 1/4圓形曲桿ACB如圖。半徑為R，曲桿抗彎剛度為 EI。求:A、B處的反力矩（只考慮桿件的彎曲變形）。 解：解： 一、 分析 B點(diǎn)為多余約束，解除多余約束以反力代替，形成基 本靜定系 A F B C A FBC X 1 A FBC A BC 1 使用莫爾積分，在任一橫截面上， （/4） cosFRM = /4，/2 sinRM = 0，/2 () 23 2 2 11 0 1 dsinRd 4 s MR sR EIEIEI = () 2 1 4 3 1 dsinsinRd 4 8 2 P s MM sFRR EIEI FR EI = = ( ) 1 1 11 2 2 F F X = = 例例8 8 8 8、求圖示結(jié)構(gòu)、求圖示結(jié)構(gòu) 的約束反力的約束反力 P P P P P P P P EIEI a a a a a a a a EIEI l EAEA A B C 解： 1 1 1 1 1 1 1 1）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù) 約束反力一次靜不定 2 2 2 2 2 2 2 2）解除）解除）解除）解除B B B B B B B B點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基 3 3 3 3 3 3 3 3）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng) 4 4 4 4 4 4 4 4）研究）研究）研究）研究ABABABABABABABAB梁的梁的梁的梁的B B B B B B B B點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)與BCBCBCBCBCBCBCBC桿的桿的桿的桿的B B B B B B B B點(diǎn)的豎直相點(diǎn)的豎直相點(diǎn)的豎直相點(diǎn)的豎直相 對(duì)線位移，建立正則方程對(duì)線位移，建立正則方程對(duì)線位移，建立正則方程對(duì)線位移，建立正則方程 P P P P P P P P 1 X 1 P1 = 0= 111.X + P P P P P P P P 1 M M 1 N Pl l = P1 . 1 EI . 2 1 (Pll). 3 2 l EI Pl 3 3 = = 11 . 1 EI . . . 2 1 (l l). 3 2 l EI l 3 3 =. 1 EA +) 1 . 1 .(a EA a + 1 X 例例9 9 9 9：平面剛架受力如圖，各桿：平面剛架受力如圖，各桿 EIEIEIEI= = = =常數(shù)。試求常數(shù)。試求C C C C處的處的 約束力及支座約束力及支座A A A A、B B B B的約束反力的約束反力。 A a a/ 2a/ 2 B C q EI aaa EI33 2 2 1 32 11 = = A a a/ 2C q X1 q 1 a qa / 8 2 qa / 8 2 EI qaqaa EI 1682 1 422 F1 = = 16 3 0 1F1111 qa XX=+得由力法正則方程 解：解： 例例10101010：平面剛架受力如圖，各桿：平面剛架受力如圖，各桿 EIEIEIEI= = = =常數(shù)。試求常數(shù)。試求C C C C處的約束力及處的約束力及 支座支座A A A A、B B B B的約束反力的約束反力. . . . 23 11 12 2 33 aaa EIEI = 23 1F 428 Fa aFa EIEI = = 3 1 1 3 11 3 8 8 3 F Fa F EI X a EI = = = 2 1 2 a = 2 1 1 28 Fa = 2 2 4 Fa = 例11：圖示剛架 EI為常量，畫(huà)出 剛架的彎矩圖。 A a B a F F 解：解： A X1 F F a 1 a/ 2 a/ 2 F EI a 24 7 3 11 = EI Fa 4 3 F1 = 7 6 1 F X= F 6F 7 _ _ M圖 3F a 7 _ _ _ 4F a 7 _ _ _ 3F a 7 _ _ _ 4F a 7 _ _ _ 例12：試求圖示平面剛架的支座反力。已知各桿 EI=常數(shù)。 C q D A B a aa EI a aa aa EI3 4 3 2 2 1 3 2 2 11 = += EI qa a qa EI 22 1 43 F1 = = 8 3 0 1F1111 qa XX=+得由 ( ) ( )()逆時(shí)針 8 , 8 11 , 0 8 3 , 0 2 qa M qa FF qa FF AAyAx ByBx = = 例例1313：已知?jiǎng)偧艿膹澢鷦偠葹椋阂阎獎(jiǎng)偧艿膹澢鷦偠葹镋IEI。 試求支座試求支座B B處的反力處的反力。 0 F1111 =+ X EI aq xa aq xx a xq EI aa 5 d 6 d 6 1 4 0 00 2 2 0 11 3 10 F1 = + = EI a xaxx EI aa 3 4 d d 1 3 0 2 2 1 0 2 111 = += )( 20 3 01 =aqXFBy a q0 a A B C X1 x1 x2 q0 解：解： 由由得得 例例14 14 14 14 等截面半圓形桿受力如圖所示，EI為常數(shù)，略去剪力、軸力對(duì)變形影 響，求A，B固定端處的支座反力和C處垂直位移 1 , 2 CC P NQX = 00 111111 =+=X,v PC () 1 1 cos 2 P MPR= sinRM= 0 解：從C截開(kāi)可知此結(jié)構(gòu)對(duì)C-C軸為反對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)， 對(duì)稱(chēng)截面上僅有反對(duì)稱(chēng)內(nèi)力剪力。故為一次超靜 定問(wèn)題。 （C左面）截面上外力分配P/2 () 3 2 2 10 11 1 cossin 2 P PR PRRd EIAEI = EI R RdsinR EI4 1 3 22 2 011 = ( ) 1 1 11 0.318 P P XP = = 討論：已知圖示半圓曲桿的討論：已知圖示半圓曲桿的 彎曲剛度為彎曲剛度為EIEIEIEI，試求曲桿支試求曲桿支 座座A A A A處垂直反力處垂直反力F F F FAy AyAyAy。 。 解：解： C AB R Me M / 2 e C A R X1 1 RR M / 2 e 例例15 15 15 15 半圓形曲桿ACB為直桿AD、BF鉸接如圖。曲桿及直桿的抗彎剛度均為 EI。求D、F處的反力矩MD、MF（只考慮桿件的彎曲變形）。 F FF F N=P/2N=P/2 N=P/2N=P/2 P P 解：解： 由對(duì)稱(chēng)性知 NP/2。 一、 分析圖。由對(duì)稱(chēng)性取一半研 究，求B點(diǎn)水平位移使用莫爾積 分，在任一橫截面上， B F N=P/2 B F N=P/2 M sin)cos1 (FRNRM+= sinRM= = l Bx EI FR EI PR dx EI MM V 44 33 () EI FR RRFR EI VBx 3 8 2 3 2 22 2 11 3 = = 協(xié)調(diào)條件 BxBx VV= 332 3 + = P F 因AD與BF對(duì)稱(chēng)，其受力也對(duì)稱(chēng)， 332 6 2 + = PR RFFlMM FD F P/2P/2 F 例16、選擇題: 一、(a)圖所示懸臂梁,如在自由端B上 加一個(gè)活動(dòng)鉸支座(b)圖,則該梁的 (A) 強(qiáng)度提高,剛度不變 (B) 強(qiáng)度不變,剛度提高 (C) 強(qiáng)度,剛度都提高 (D) 強(qiáng)度,剛度都不變 答案：(C) (a)圖 (b)圖 (A) 1次(B) 2次 (C) 3次 (D) 4次 二、下圖所示結(jié)構(gòu)是 靜不定機(jī)構(gòu) 答案：(B) (A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次 三、下圖所示結(jié)構(gòu)是 靜不定機(jī)構(gòu) (A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次 四、下圖所示結(jié)構(gòu)是 靜不定機(jī)構(gòu) 答案：(A) 答案：(A) 解：1）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù) 約束反力一次靜不定約束反力一次靜不定 2 2 2 2）解除）解除C C C C點(diǎn)約束，建立靜定系點(diǎn)約束，建立靜定系 3 3 3 3）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析， 建立相當(dāng)系統(tǒng)建立相當(dāng)系統(tǒng) 4 4 4 4）研究）研究DEDEDEDE梁的梁的C C C C點(diǎn)與點(diǎn)與BCBCBCBC桿的桿的C C C C點(diǎn)的點(diǎn)的 豎直相對(duì)線位移，建立正則方程豎直相對(duì)線位移，建立正則方程 P P P P 1 X 1 P1 = 0= 111.X + P P P P 1 M M N = P1 . 2 EI . 2 1 2 1 (Paa ) 2 1 . 3 2 a EI Pa 6 3 = = 11 . 2 EI . 2 1 2 1 (aa) 2 1 . 3 2 a EI a 2 3 = . 1 EA +) 1 . 1 .(a EA a + 1 X 5 5 5 5）根據(jù)相當(dāng)系統(tǒng)圖，求出其他）根據(jù)相當(dāng)系統(tǒng)圖，求出其他 全部約束反力全部約束反力 P P P P A B a a a aa a a a a a a a a a a a CD E aP. 2 1 a 2 1 a M . 1 EI +. 2 1 (aa). 3 2 a 例17、求圖示結(jié)構(gòu)梁DE的最大正應(yīng)力max=? P P P P P P P P 例18:已知平面剛架的EI, P GI ,求C處約束反力. 解：1 1 1 1 1 1 1 1）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù) ）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù) 約束反力一次靜不定 2 2 2 2 2 2 2 2）解除）解除）解除）解除C C C C C C C C點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基 3 3 3 3 3 3 3 3）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng) 4 4 4 4 4 4 4 4）研究）研究）研究）研究C C C C C C C C點(diǎn)豎直線位移，建立正則方程點(diǎn)豎直線位移，建立正則方程點(diǎn)豎直線位移，建立正則方程點(diǎn)豎直線位移，建立正則方程 P P P P P P P P 1 X 1 P1 = 0= 111.X + P P P P P P P P 1 ABAB段段: : 11) (PxxM= 1 x 11) (xxM= ABAB段段: : A A A A A A A A B B B B B B B B C C C C C C C C aa2 axT=)( 1 BCBC段段: : 22) (xxM= 2 x = P11 2 0 11 )().( dx EI xMxMa EI Pa 3 8 3 = = 11 1 2 0 11 )(. )( dx EI xMxMa 1 2 0 11 )(. )( dx GI xTxTa P + 1 0 22 )(. )( dx EI xMxMa + P GI a EI a 33 23 += 1 X 即為即為即為即為C C C C C C C C處約束反力處約束反力處約束反力處約束反力 例19:求圖示絎架AB桿的軸力, AB N 解：1 1 1 1 1 1 1 1）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù) 內(nèi)力一次靜不定 2 2 2 2 2 2 2 2）解除）解除）解除）解除ABABABABABABABAB桿軸力，建立靜定基桿軸力，建立靜定基桿軸力，建立靜定基桿軸力，建立靜定基 3 3 3 3 3 3 3 3）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng) 4 4 4 4 4 4 4 4）研究）研究）研究）研究ABABABABABABABAB桿切口兩側(cè)水平相對(duì)位桿切口兩側(cè)水平相對(duì)位桿切口兩側(cè)水平相對(duì)位桿切口兩側(cè)水平相對(duì)位 移，建立正則方程移，建立正則方程移，建立正則方程移，建立正則方程 P P P P P P P P A A A A A A A A F F F F F F F FE E E E E E E E D D D D D D D D C C C C C C C C B B B B B B B B P P P P P P P P 1 X 1 P1 =0= 111.X + P P P P P P P P 1 P P P P P P P P A A A A A A A A F F F F F F F FE E E E E E E E D D D D D D D D C C C C C C C C B B B B B B B B 1 A A A A A A A A F F F F F F F FE E E E E E E E D D D D D D D D C C C C C C C C B B B B B B B B 桿號(hào)桿號(hào)桿長(zhǎng) 桿長(zhǎng) i l i N iN i i i lNN ACAC CDCD BFBF EFEF ABAB ADAD a2 a 32P 3P 322P 32P 0 32P 0 0 0 0 1 1 0 0 0 a a 0 0 0 0 0 32Pa AEAE BEBE BDBD DEDE a2 a a a a a a2 a2 32P 34P 322P P 2 1 2 1 322Pa 34Pa 324Pa Pa i i i lNN 0 a22 a a a22 = 10 1 ii iii EA lNN = P1 EA aP 3 .).267( + = = 11 = 10 1 ii iii EA lNN EA a).244( + = 由正則方程由正則方程由正則方程由正則方程 1 X 即為桿即為桿即為桿即為桿ABABABABABABABAB的軸力的軸力的軸力的軸力 而原結(jié)構(gòu)中其它各桿的軸力而原結(jié)構(gòu)中其它各桿的軸力而原結(jié)構(gòu)中其它各桿的軸力而原結(jié)構(gòu)中其它各桿的軸力= = = = = = = =？ = NI F i Ni i NX.+ P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P C D B A F E 例20:求圖示閉合圓形剛架在A截面上的彎矩 A M 解: 2) 對(duì)稱(chēng)性分析: 結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng), , , ,載荷對(duì)稱(chēng)載荷對(duì)稱(chēng), , , , 1) 靜不定分析: 三次靜不定三次靜不定 AB,CD,EFAB,CD,EFAB,CD,EFAB,CD,EF都是對(duì)稱(chēng)軸都是對(duì)稱(chēng)軸 結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)截面有結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)截面有6 6 6 6個(gè)個(gè): : : : A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F 3) 用E,A兩截面將剛架截開(kāi), 取EA(1/3)段研究: A D E 因?yàn)锳,E都是結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)截面 所以: A,E截面上反對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力等于0 即:A,E截面上只有軸力和彎矩 E N A N A M E M 又因?yàn)镃D是對(duì)稱(chēng)軸 AE NN= AE MM=且 以CD軸為Y軸: y 0= y 030cos.30cos.=+ AE NN 33PNN AE = 4) 用D截面將剛架截開(kāi),取DA(1/6)段研究: 因?yàn)锳,D都是結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)截面 所以: A,D截面的轉(zhuǎn)角等于0 A D 30 P A N A M 5）研究A截面轉(zhuǎn)角，建立正則方程 1 P1 = 0= 111.X + A D A D A N 1 )cos1.(.)(=RNM A 1)(=M Rd EI MMP P = 3 0 1 )()( Rd EI MM = 3 0 11 )()( 例21、求圖示結(jié)構(gòu)的約束反力 P ab l ABC 1 1 1 1 1 1 1 1）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù) 約束反力三次靜不定 2 2 2 2 2 2 2 2）解除）解除）解除）解除B B B B B B B B點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基 3 3 3 3 3 3 3 3）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分 析，析，析，析， 4 4 4 4 4 4 4 4）研究）研究）研究）研究B B B B B B B B點(diǎn)豎直點(diǎn)豎直點(diǎn)豎直點(diǎn)豎直, , , , , , , ,水平位移水平位移水平位移水平位移 和轉(zhuǎn)角建立正則方程和轉(zhuǎn)角建立正則方程和轉(zhuǎn)角建立正則方程和轉(zhuǎn)角建立正則方程 解： P 1 X 2 X 3 X =1 P1 111.X + 212.X + 313.X +0= =2 P2 121.X + 222.X + 323.X +0= =3 P3 131.X + 232.X + 333.X +0= P 1 1 1 建立相當(dāng)系統(tǒng)建立相當(dāng)系統(tǒng)建立相當(dāng)系統(tǒng)建立相當(dāng)系統(tǒng) Pa P M 1 1N 1 2 M 1 3 M dx EI MMl P P = 0 1 1 . 0= dx EI MMl = 0 12 12 . 0= dx EI MMl = 0 13 13 . 0= 0 1 =X 結(jié)論結(jié)論結(jié)論結(jié)論: : : : : : : : 當(dāng)載荷作用線垂直于結(jié)構(gòu)軸線所在平面時(shí)當(dāng)載荷作用線垂直于結(jié)構(gòu)軸線所在平面時(shí)當(dāng)載荷作用線垂直于結(jié)構(gòu)軸線所在平面時(shí)當(dāng)載荷作用線垂直于結(jié)構(gòu)軸線所在平面時(shí), , , , , , , , 則位于結(jié)構(gòu)軸線所在平面內(nèi)的約束反力和則位于結(jié)構(gòu)軸線所在平面內(nèi)的約束反力和則位于結(jié)構(gòu)軸線所在平面內(nèi)的約束反力和則位于結(jié)構(gòu)軸線所在平面內(nèi)的約束反力和 內(nèi)力都等于內(nèi)力都等于內(nèi)力都等于內(nèi)力都等于0. 0. 0. 0.0. 0. 0. 0. 例22、求圖示結(jié)構(gòu)的約束反力 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù) 約束反力三次靜不定 利用對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)利用對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)利用對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)利用對(duì)稱(chēng)性性質(zhì) 對(duì)稱(chēng)截面上剪力等于0, 簡(jiǎn)化為:二次靜不定 對(duì)稱(chēng)截面上只有軸力和彎矩 利用上一道題的結(jié)論利用上一道題的結(jié)論利用上一道題的結(jié)論利用上一道題的結(jié)論 簡(jiǎn)化為:一次靜不定 對(duì)稱(chēng)截面上的軸力也等于0 2 2 2 2 2 2 2 2）從原結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)截面截開(kāi)，建立靜定基）從原結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)截面截開(kāi)，建立靜定基）從原結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)截面截開(kāi)，建立靜定基）從原結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)截面截開(kāi)，建立靜定基 3 3 3 3 3 3 3 3）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng) 3 X 3 X 4 4 4 4 4 4 4 4）研究切口兩側(cè)相對(duì)轉(zhuǎn)角）研究切口兩側(cè)相對(duì)轉(zhuǎn)角）研究切口兩側(cè)相對(duì)轉(zhuǎn)角）研究切口兩側(cè)相對(duì)轉(zhuǎn)角, , , , , , , , 建立正則方程建立正則方程建立正則方程建立正則方程 =3 P3 333.X + 0= 11 例23、求圖示結(jié)構(gòu)F的作用點(diǎn)的豎直位移 1 1 1 1 1 1 1 1 本題求的是本題求的是F F作用點(diǎn)的豎直位移作用點(diǎn)的豎直位移 所以所以: : 應(yīng)該用莫爾積分求解應(yīng)該用莫爾積分求解 先求原載荷引起的內(nèi)力先求原載荷引起的內(nèi)力 再施加與所求位移對(duì)應(yīng)的單位載荷再施加與所求位移對(duì)應(yīng)的單位載荷 求出單位載荷引起的內(nèi)力求出單位載荷引起的內(nèi)力 然后同一段的同一種內(nèi)力圖乘積分然后同一段的同一種內(nèi)力圖乘積分 但是無(wú)論是原載荷系統(tǒng)但是無(wú)論是原載荷系統(tǒng), , 還是單位載荷系統(tǒng)還是單位載荷系統(tǒng) , , 所以所以: :本題應(yīng)首先用力法求解靜不定結(jié)構(gòu)本題應(yīng)首先用力法求解靜不定結(jié)構(gòu) 然后再用莫爾積分求位移然后再用莫爾積分求位移 分析分析: : 都是六次靜不定結(jié)構(gòu)都是六次靜不定結(jié)構(gòu)都是六次靜不定結(jié)構(gòu)都是六次靜不定結(jié)構(gòu) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù) 約束反力六次靜不定 利用對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)利用對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)利用對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)利用對(duì)稱(chēng)性性質(zhì) 對(duì)稱(chēng)截面上2個(gè)剪力和1個(gè)扭矩等于0, 簡(jiǎn)化為:三次靜不定 利用例題利用例題利用例題利用例題6 6 6 6 6 6 6 6的結(jié)論的結(jié)論的結(jié)論的結(jié)論 簡(jiǎn)化為:一次靜不定 對(duì)稱(chēng)截面上只有1個(gè)軸力和2個(gè)彎矩 這2個(gè)彎矩, 一個(gè)是繞著Z軸的 z M 另一個(gè)是繞著Y軸的 y M位于水平面內(nèi) 對(duì)稱(chēng)截面上的軸力和彎矩 y M也等于0 對(duì)稱(chēng)截面上只有1個(gè)彎矩 z M z M z My M x N 五、當(dāng)系統(tǒng)溫度升高時(shí),下列結(jié)構(gòu)中不會(huì)產(chǎn)生溫度應(yīng)力 (A)(A)(B)(B) (C)(C) (D)(D) 六、圖示等截面直梁, 在中點(diǎn)C 截面承受一集中力偶的作用,在C截面上 答案：(A) (A) 轉(zhuǎn)角0= 撓度 0f (B) 轉(zhuǎn)角0 撓度 0=f (C) 轉(zhuǎn)角0= 撓度 0=f (D) 轉(zhuǎn)角0 撓度 0f C C C C 答案：(B) 七、圖示等腰三角形為靜不定剛 架,利用反對(duì)稱(chēng)性質(zhì),從截面C截開(kāi) 得到的相當(dāng)系統(tǒng)為 C P P X (A)(A) P/2 X (B)(B) P X (C)(C) P/2 X (D)(D) 答案：(D) 八、如圖所示,線膨脹系數(shù)為 的懸臂梁AB,室溫時(shí)右端正好靠在 光滑斜面上,當(dāng)溫度升高T時(shí),斜面 0. 1111 =+ T X正則方程為: 對(duì)桿B的支座反力為 1 X ,若用力法求解 1 X = T1 則:正則方程中的: TlA. .)( TlB. .)( 2/. .)(TlC 2/. .)(TlD 45 L 1 X 答案：(D) 例24:梁ABC原來(lái)是一根直梁,后來(lái)支座A,B發(fā)生沉陷, 沉陷量為,求C處約束反力. ll A B C 解：1 1 1 1 1 1 1 1）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù) ）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù)）判斷靜不定種類(lèi)及次數(shù) 約束反力一次靜不定 2 2 2 2 2 2 2 2）解除）解除）解除）解除C C C C C C C C點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基點(diǎn)約束，建立靜定基 3 3 3 3 3 3 3 3）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng)）對(duì)靜定基進(jìn)行受力分析，建立相當(dāng)系統(tǒng) 4 4 4 4 4 4 4 4）研究）研究）研究）研究C C C C C C C C點(diǎn)豎直線位移，建立正則方程點(diǎn)豎直線位移，建立正則方程點(diǎn)豎直線位移，建立正則方程點(diǎn)豎直線位移，建立正則方程 A BC 1 X =1 = 111.X A BC 1 l = 11 . 1 EI . 2 ). 3 2 . . . 2 1 (ll l EI l 3 2 3 = 由正則方程, 得: 3 1 2 3 l EI X = 例例25252525：求：求 A A A A、B B B B兩點(diǎn)間的相對(duì)線位移兩點(diǎn)間的相對(duì)線位移AB AB AB AB 。 。 A F B F R 由對(duì)稱(chēng)性知由對(duì)稱(chēng)性知: : : : 2 N F F=0, S =F A F B F R FNFN FS FS FS FS MM MM A F/ 2 R MD D 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件: : : : D = 0 )cos1 ( 2 )(=R F MM D 1)(=M s IE MM s D d = =1 222 R F M IE R D = 0 = 1 2 1 FRM D 由此得 A F/ 2 R MD D R 1 )cos1 ( 2 1 2 1 )( =R F FRM = 1 2 cos FR )cos1 ()(=RM d )()( 2 0 =R IE MM D = 1 8 3 IE FR = 2 4 2 3 IE FR DAB A F/ 2 R MD D R 1 討論：對(duì)稱(chēng)性的利用：討論：對(duì)稱(chēng)性的利用： 對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)：對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)：若將結(jié)構(gòu)繞對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后，結(jié)構(gòu)在若將結(jié)構(gòu)繞對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后，結(jié)構(gòu)在 對(duì)稱(chēng)軸兩邊的部分將完全重合。對(duì)稱(chēng)軸兩邊的部分將完全重合。 正對(duì)稱(chēng)載荷：正對(duì)稱(chēng)載荷：繞對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后，結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)軸繞對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后，結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)軸 兩邊的載荷的作用點(diǎn)和作用方向?qū)⒅睾?，而且兩邊的載荷的作用點(diǎn)和作用方向?qū)⒅睾?，而?每對(duì)力數(shù)值相等。每對(duì)力數(shù)值相等。 F 1 F 1 F 2 F 2 反對(duì)稱(chēng)載荷：反對(duì)稱(chēng)載荷：繞對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后，結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)軸繞對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后，結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)軸 兩邊的載荷的數(shù)值相等，作用點(diǎn)重合而作用方兩邊的載荷的數(shù)值相等，作用點(diǎn)重合而作用方 向相反。向相反。 F 1 F 1 F 2 F 2 FF/ 2F/ 2 FF/ 2F/ 2 對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱(chēng)載荷作用下：對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱(chēng)載荷作用下： 結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形是對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形是對(duì)稱(chēng)的 位于對(duì)稱(chēng)軸上的截面位于對(duì)稱(chēng)軸上的截面C C C C的內(nèi)力的內(nèi)力 F F F FS S S S=0=0=0=0 F 1 F1 F 2 F2 FN FS FS MM 對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱(chēng)載荷作用下：對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱(chēng)載荷作用下： 結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形是反對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形是反對(duì)稱(chēng)的 位于對(duì)稱(chēng)軸上的截面位于對(duì)稱(chēng)軸上的截面C C C C的內(nèi)力的內(nèi)力 F F F FN N N N=0=0=0=0 ，MMMM=0 =0 =0 =0 F 1 F1 F 2 F2 FN FS FS MM 例例26262626：平面框架受切向分布載：平面框架受切向分布載 荷荷q q q q作用，求截面作用，求截面A A A A的剪力、彎的剪力、彎 矩和軸力。矩和軸力。 q aa b b A q a A b FSA 解：解： 0, 0, NS = AAA FMqbF 例例27272727：圖示小曲率桿在力偶：圖示小曲率桿在力偶MMMMe e e e與均勻分布剪流與均勻分布剪流q q q q作用下處于平作用下處于平 衡狀態(tài)衡狀態(tài), , , , 已知已知q q q q、R R R R與與EIEIEIEI= = = =常數(shù)常數(shù), , , , 試求截面試求截面A A A A的剪力、彎矩和軸力。的剪力、彎矩和軸力。 Me Me q C A B D R 0, 0, NS = AAA FMqRF 解：解： Me q C A B F SA F SC R F SA F SB R 例例2828：等截面平面框架的受力情：等截面平面框架的受力情 況如圖所示。試求最大彎矩及其況如圖所示。試求最大彎矩及其 作用位置。作用位置。 F aa a a FF F AB C D F F A B C FSA FSC 解：解： FFF A 2 2 45cos S = 2 max Fa M= 作用點(diǎn)處發(fā)生在外載荷FM max 例例29292929：圖示等直桿兩端固定，材料彈性模量為：圖示等直桿兩端固定，材料彈性模量為E E E E，橫截面面積橫截面面積 為為A A A A。求兩端的反力。求兩端的反力。 F B F DCA aaa 例例30303030：如圖所示，：如圖所示，ABABABAB為剛桿，為剛桿，1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3桿桿E E E E、A A A A、l l l l 均相均相 同，求各桿內(nèi)力值。同，求各桿內(nèi)力值。 aa F 123 A B 解：解： 變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件： 02 N21N N3N21N =+ =+ FF FFFF l ll 2 13 2 = + 引用胡克定律，可得：引用胡克定律，可得： 2 N3N1 2N FF F + = F A B aa 123 FN 1FN 2FN 3 1 l 2 l 3 l 靜力平衡條件：靜力平衡條件： 另解：另解： = 1N F = 2N F = 3N F 3 F 3 F 3 F 2 F 0+ 2 F + 6 F = 3 F = 6 5F = aa F 123 aa 123 aa 123 F/ 2 F/ 2F/ 2 F/ 2 =+ 例例31313131：如圖所示，：如圖所示，ABABABAB為剛性桿，為剛性桿，1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3桿桿E E E E、A A A A、l l l l 均相同均相同, , , , 求三桿的軸力和變形。求三桿的軸力和變形。 2a2a F 123 AB a 例例32323232圖示桁架結(jié)構(gòu)，三桿拉壓剛度圖示桁架結(jié)構(gòu)，三桿拉壓剛度EAEAEAEA相同相同, , , ,求桿求桿1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3 的內(nèi)力的內(nèi)力。 l F 1 2 3 例例33333333：兩端固定的梁，跨中受集中力：兩端固定的梁，跨中受集中力F F F F作用作用, , , ,設(shè)梁的抗彎設(shè)梁的抗彎 剛度為剛度為EIEIEIEI，不計(jì)軸力影響。求梁中點(diǎn)的撓度。不計(jì)軸力影響。求梁中點(diǎn)的撓度。 ABC F l/ 2l/ 2 圖 1 M圖 F M EI ll EI2 1 2 1 11 = = AC l/ 2 F/ 2 X1 1 1 F/ 2 F l/ 4 EI FlFl EI 16 1 16 1 22 F1 = = 8 0 1F1111 Fl XX=+得由 C F l/ 8 F/ 2 1 F l/ 4 F l/ 8 l/ 2 ( )= = EI Fl EI Fl C 1924 1 16 1 3 1 16 1 33 解：解： 例例34343434：已知桁架各桿的拉：已知桁架各桿的拉 壓剛度為壓剛度為EAEAEAEA，求各桿的軸求各桿的軸 力。力。 l F 1 2 3 l F 1 2 3 X1 解：解： cos sincos1 33 3 1 NN 11 + = = EA l EA lFF i iii l F F 0 0 1 cos sin cos sin 2 3 1 FNN 1 EA Fl EA lFF i ii F = = FF 33 3 N3 sincos1 )cos1 ( + + = FF 33 2 N1 sincos1 cossin + = FXF 33 2 1N2 sincos1 sin + = 0 F1111 =+ X由由得得 例例35353535：圖示平面桁架，已知各桿的：圖示平面桁架，已知各桿的E E E E皆皆相同相同，CACACACA、ABABABAB 、BFBFBFBF三桿的橫截面面積均為三桿的橫截面面積均為30 cm30 cm30 cm30 cm2 2 2 2, , , , 其余各桿面積均為其余各桿面積均為 15 cm15 cm15 cm15 cm2 2 2 2，a a a a=6m=6m=6m=6m，F(xiàn) F F F=130 =130 =130 =130 kNkNkNkN。試求桿試求桿ABABABAB的軸力。的軸力。 C F AB D EF aaa a C F AB D EF aaa a 解：解： kN 7 .82 245 . 3 223 1 = + + =FX C F/ 2 AB DEF aaa a F/ 2 X1 1 0 0 1 1 1 F/ 2F/ 2 0 F FF 2 2 -F/ EA a EA lFF i i iii += 24 2 7 NN 11 () EA Fa EA lFF i i ii F 223 FNN 1 += 0 F1111 =+ X由由得得 例例36363636：已知圖示桁架：已知圖示桁架 各桿的拉壓剛度為各桿的拉壓剛度為EAEAEAEA ，試求各桿軸力。試求各桿軸力。 a F a F 12 34 5 6 X1 a F a F 解：解： ()222 11 += EA a 1 - 1 - 1 FF F 0 0 0 0 0 21/21/ 21/ 21/ EA Fa 2 , 1F = FX 2 22 1 =0 F1111 =+ X由由得得 FFFFF 2 12 N4N3N2N1 = FF 2 22 , 6 N = 2 N5 F F= 例例37373737：已知圖示桁架各：已知圖示桁架各 桿的拉壓剛度為桿的拉壓剛度為EAEAEAEA， 試求各桿軸力。試求各桿軸力。 解：解： 1 F F F 2 3 4 56 = 30 F F F X1 F F F 1 11 0 0 0 3F/ 3F/ 3F/3-1/ 3-1/ 3-1/() 31 11 += EA a EA Fa = 1F ( ( ( (a a a a為為1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3桿的長(zhǎng)度桿的長(zhǎng)度) ) ) ) 31 1 + = F X0 F1111 =+X得得由由 31 N6N5N4N3N2N1 + = F FFFFFF 例例38383838：半徑為：半徑為R R R R的小曲率圓環(huán)的小曲率圓環(huán) 受力如圖，已知圓環(huán)的彎曲剛受力如圖，已知圓環(huán)的彎曲剛 度為度為EIEIEIEI，MMMMe e e e=2=2=2=2FRFRFRFR，試求圓環(huán)試求圓環(huán)D D D D 截面處的內(nèi)力截面處的內(nèi)力。 解：解： BC D R O A F F Me F/ 2 C D R M / 2 e O A F/ 2 X1 X1 F/ 2 C D R M / 2 e O A F/ 2 1 1 R sinRM= )cos1 ( 2 = FR M EI R EI R 2 dsin 3 0 2 11 = EI FR EI RFR 3 0 2 F1 dsin)cos1 ( 2 1 = = 0 F1111 =+X 由由得得 2 1 F X= 0, 2 , 0 SN = DDD M F FF 例例39393939：圖示直角折桿水平放置，已知折桿的彎曲剛度為：圖示直角折桿水平放置，已知折桿的彎曲剛度為 EIEIEIEI，扭轉(zhuǎn)剛度為扭轉(zhuǎn)剛度為GIGIGIGIp p p p。試求支座試求支座C C C C的反力。的反力。 l A B q q l C A B q q C X1 A B C 1 4 p p 0 2 p 0 2 00 33 F1 12 67 d 2 1 d d 2 d 2 1 ql EIGI EIGI xl ql GI xqlxxx q xx q EI l lll + = + += 3 p p 0 2 p 0 2 11 3 32 d 1 d 2 l EIGI EIGI xl GI xx EI ll + = += () ql EIGI EIGI FX Cy 324 67 p p 1 + + = F l/2l/2 a