統(tǒng)計(jì)學(xué)論文-ADF檢驗(yàn)中滯后長(zhǎng)度的選擇——基于ARIMA(0,1,q)過程的模擬證據(jù).doc

統(tǒng)計(jì)學(xué)論文-ADF檢驗(yàn)中滯后長(zhǎng)度的選擇基于ARIMA(0,1,q)過程的模擬證據(jù)【摘要】在進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時(shí)如何確定一個(gè)最優(yōu)的滯后長(zhǎng)度一直是研究者們關(guān)注的問題。最近的研究表明，不同的滯后長(zhǎng)度選擇方法對(duì)ADF檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)推斷影響很大。本文在已有研究的基礎(chǔ)上，模擬了更為一般的ARIMA(0,1,q)過程，分析了在不同的數(shù)據(jù)生成過程、檢驗(yàn)式以及樣本容量下，各種滯后長(zhǎng)度選擇方法對(duì)ADF檢驗(yàn)功效和實(shí)際檢驗(yàn)水平的影響，最后認(rèn)為修正的信息準(zhǔn)則通常具有較合理的實(shí)際檢驗(yàn)水平，而從一般到特殊法具有更為穩(wěn)健的ADF檢驗(yàn)性質(zhì)。關(guān)鍵詞ADF檢驗(yàn)滯后長(zhǎng)度信息準(zhǔn)則修正的信息準(zhǔn)則從一般到特殊法Abstract:TheoptimallaglengthinestimatingAugmentedDickey-Fullerstatisticshavebeenconcentratedonforyears.PreviousresearchindicatedthatdifferentleglengthselectionmodelsaffectalotonthestatisticalinferenceofADFtest.Basedonalltheresearchesavailable,thispapersimulatesamoregeneralARIMA(0,1,q)processandanalyzestheinfluenceoflaglengthselectioncriterionstothesizeandpoweroftheADFtestwithdifferentdatageneratingprocesses,ADFregressions,andsamplesizes.Finally,itisprovedthattheModifiedInformationCriteriaalwaysshowsamorepropersizeandtheGeneraltoSpecialCriteriahasmorerobustpropertiesinADFtest.Keywords:ADFtestLagLengthInformationCriteriaModifiedInformationCriteriaGeneraltoSpecific一、引言隨著時(shí)間序列非平穩(wěn)問題的提出，單位根檢驗(yàn)?zāi)壳耙呀?jīng)成為宏觀數(shù)據(jù)建模前首先要進(jìn)行的工作。為此，Dickey和Fuller(1979,1981)1提出了著名的ADF檢驗(yàn)，并推導(dǎo)了當(dāng)時(shí)間序列yt是ARIMA(p,1,0)過程且滿足檢驗(yàn)式中滯后差分項(xiàng)長(zhǎng)度kp時(shí)ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布。然而，在實(shí)際運(yùn)用ADF檢驗(yàn)時(shí)，真實(shí)的p是不知道的，因此需要研究者自己確定k。總的來說滯后長(zhǎng)度的選擇方法主要分為兩類。一類是經(jīng)驗(yàn)法(ruleofthumb)。這種方法是研究者任意選擇k，或?qū)表示為樣本容量的函數(shù)。另外一類就是根據(jù)數(shù)據(jù)來選擇k。這種方法主要有Akaike(1973)信息準(zhǔn)則(AkaikeInformationCriteria，以下簡(jiǎn)寫為AIC)、Schwarz(1978)信息準(zhǔn)則(SchwarzInformationCriteria，以下簡(jiǎn)寫為SIC)、Hannan和Quinn(1979)信息準(zhǔn)則(HannanandQuinnInformationCriteria，以下簡(jiǎn)寫為HQIC)、從一般到特殊法則(GeneraltoSpecialCriteria，以下簡(jiǎn)寫為GSC)、從特殊到一般法則(SpecialtoGeneralCriteria，以下簡(jiǎn)寫為SGC)等。此外，在后來的研究中，Weber(1998)又提出了非自相關(guān)法則(NoAutocorrelationCriteria)，即從一個(gè)比較簡(jiǎn)化的模型開始，逐漸增加滯后差分項(xiàng)直到殘差不能拒絕非自相關(guān)的原假設(shè)。2001年他又提出了一種考慮滯后長(zhǎng)度k在特定區(qū)間kmin,kmax內(nèi)的從特殊到一般法，該方法運(yùn)用了一系列F檢驗(yàn)，確定的最優(yōu)滯后長(zhǎng)度是使得比其大的直到kmax的所有滯后差分項(xiàng)對(duì)應(yīng)參數(shù)的聯(lián)合檢驗(yàn)均不顯著的最小的k。然而很多學(xué)者都指出，ADF檢驗(yàn)的結(jié)論對(duì)滯后長(zhǎng)度k的選擇非常敏感。Phillips和Perron(1988)模擬發(fā)現(xiàn)當(dāng)真實(shí)數(shù)據(jù)生成過程為隨機(jī)游走時(shí)，隨著檢驗(yàn)式中差分項(xiàng)滯后長(zhǎng)度的增加，會(huì)導(dǎo)致ADF檢驗(yàn)的功效和水平都降低。另外，Schwert(1989)、Agiakloglou和Newbold(1992)以及Harris(1992)等也指出不同的滯后長(zhǎng)度選擇方法對(duì)ADF檢驗(yàn)的實(shí)際水平和功效有明顯影響。這就引發(fā)了關(guān)于不同方法確定滯后長(zhǎng)度是否以及如何影響ADF統(tǒng)計(jì)量極限分布的討論。其實(shí)早在ADF檢驗(yàn)提出不久，Said和Dickey(1984)就證明了對(duì)階數(shù)未知的ARMA過程檢驗(yàn)單位根時(shí)，只要檢驗(yàn)式中的滯后長(zhǎng)度k滿足一定的上界條件和下界條件，仍可以用ADF統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)原過程中單位根的存在。緊接著，Lewis和Reinsel(1985)提出了一個(gè)與Said和Dickey(1984)下界條件等價(jià)的條件，并證明當(dāng)滿足該下界條件和Said和Dickey(1984)上界條件時(shí)檢驗(yàn)式中滯后差分項(xiàng)的參數(shù)估計(jì)量具有一致性和漸近正態(tài)性。Hannan和Deistler(1988)2則提出了各信息準(zhǔn)則確定一個(gè)平穩(wěn)可逆的ARMA過程滯后長(zhǎng)度的若干性質(zhì)。隨后，Ng和Perron(1995)明確解答了哪些滯后長(zhǎng)度選擇方法滿足這些上界與下界條件，以及運(yùn)用它們確定滯后長(zhǎng)度如何影響ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量極限分布的問題。首先，該文討論了檢驗(yàn)式中滯后長(zhǎng)度k不滿足Said和Dickey(1984)或Lewis和Reinsel(1985)下界條件對(duì)ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量極限分布的影響。他們認(rèn)為這時(shí)仍漸近服從標(biāo)準(zhǔn)DF分布，同時(shí)滯后差分項(xiàng)的參數(shù)估計(jì)量仍具有一致性，但其向真值收斂的速度要小于(T為樣本容量，下同)。接著，Ng和Perron(1995)將滯后長(zhǎng)度的選擇準(zhǔn)則與上述極限分布條件相比較，證明了在ADF檢驗(yàn)中，利用各信息準(zhǔn)則確定的滯后長(zhǎng)度時(shí)不滿足下界條件，但統(tǒng)計(jì)量仍服從標(biāo)準(zhǔn)DF分布。而當(dāng)運(yùn)用GSC時(shí)，如果我們確定的滯后長(zhǎng)度最大值滿足上界條件和Lewis和Reinsel(1985)下界條件，則滯后差分項(xiàng)的參數(shù)估計(jì)量具有一致性和漸近正態(tài)性，可以用t統(tǒng)計(jì)量、F統(tǒng)計(jì)量和Wald統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)其顯著性。最后通過模擬重點(diǎn)討論了當(dāng)數(shù)據(jù)生成過程為ARIMA(0,1,1)時(shí)各方法確定的滯后長(zhǎng)度以及對(duì)ADF檢驗(yàn)功效和實(shí)際檢驗(yàn)水平的影響。類似地，Hall(1994)還從一個(gè)純自相關(guān)過程入手，給出了當(dāng)真實(shí)數(shù)據(jù)生成過程是一個(gè)ARIMA(p,1,0)過程時(shí)，ADF統(tǒng)計(jì)量服從DF分布應(yīng)滿足的假設(shè)條件。并討論了不同滯后長(zhǎng)度選擇準(zhǔn)則對(duì)ADF統(tǒng)計(jì)量極限分布的影響。他認(rèn)為當(dāng)運(yùn)用AIC、SIC、HQIC以及GSC確定滯后長(zhǎng)度時(shí)，滿足上述條件，因此ADF統(tǒng)計(jì)量仍服從標(biāo)準(zhǔn)DF分布，而運(yùn)用SGC時(shí)不能滿足上述條件，從而ADF統(tǒng)計(jì)量的極限分布發(fā)生變化，不再服從標(biāo)準(zhǔn)DF分布。最后對(duì)于不同的ARIMA(p,1,0)過程，模擬了基于各種準(zhǔn)則的ADF檢驗(yàn)功效與實(shí)際檢驗(yàn)水平。此外，隨著研究的不斷深入，學(xué)者們又從一些新的角度對(duì)滯后長(zhǎng)度選擇的問題進(jìn)行了探討。比如Ng和Perron(2001)將Elliott、Rothenberg、和Stock(1996)3以及Dufour和King(1991)4提出的局部GLS退勢(shì)法與Perron和Ng(1996)5提出的修正的單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量相結(jié)合，提出了一系列MGLS統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)單位根。在這種檢驗(yàn)中，他們首度運(yùn)用了一系列修正的信息準(zhǔn)則(ModifiedInformationCriteria，以下簡(jiǎn)寫為MIC)來確定滯后長(zhǎng)度，并給出了其局部漸近性質(zhì)。MIC與一般信息準(zhǔn)則的本質(zhì)區(qū)別就在于它考慮到檢驗(yàn)式中一階滯后項(xiàng)參數(shù)估計(jì)量的偏差與滯后長(zhǎng)度是高度相關(guān)的，進(jìn)而通過加入一個(gè)包含一階滯后項(xiàng)參數(shù)估計(jì)量的修正項(xiàng)對(duì)信息準(zhǔn)則擬和不足的問題進(jìn)行了一定的校正。Ng和Perron(2005)又重點(diǎn)探討了在運(yùn)用各種信息準(zhǔn)則時(shí)，可用觀測(cè)值個(gè)數(shù)(即調(diào)整的樣本容量)、計(jì)算均方誤差時(shí)的自由度、以及計(jì)算懲罰因子(penaltyfactor)時(shí)使用的觀測(cè)值個(gè)數(shù)對(duì)滯后長(zhǎng)度選擇的影響。結(jié)果表明在有限樣本下AIC與SIC選擇的滯后長(zhǎng)度對(duì)上述三個(gè)因素非常敏感。綜上所述，已有的研究主要集中在對(duì)ARIMA(p,1,0)和ARIMA(0,1,1)過程進(jìn)行單位根檢驗(yàn)時(shí)，各方法確定的滯后長(zhǎng)度以及相應(yīng)的單位根檢驗(yàn)的功效與實(shí)際水平上。而對(duì)ARIMA(0,1,q)即含有單位根的高階移動(dòng)平均過程的研究則比較少。另外，也鮮見MIC與其他方法比較的相關(guān)研究。針對(duì)這些問題，本文對(duì)Hall(1994)，Ng和Perron(1995,2001)的方法和結(jié)論進(jìn)行擴(kuò)展，在接下來的部分中用蒙特卡羅模擬的方法在有限樣本下研究一個(gè)更一般的ARIMA(0,1,q)過程，對(duì)模擬結(jié)果中不同滯后期選擇方法尤其是MIC的優(yōu)劣進(jìn)行比較，以期找到一種能應(yīng)用在更一般的數(shù)據(jù)生成過程中，并使ADF檢驗(yàn)推斷更真實(shí)可靠的滯后長(zhǎng)度選擇方法。最后一部分是對(duì)全文的總結(jié)，并提出了一些滯后項(xiàng)選擇及ADF檢驗(yàn)中需要注意的問題。二、模擬結(jié)果根據(jù)Hall(1994)，Ng和Perron(1995,2001)文章中的結(jié)論，運(yùn)用信息準(zhǔn)則和GSC確定滯后長(zhǎng)度時(shí)，ADF統(tǒng)計(jì)量仍服從標(biāo)準(zhǔn)DF分布。其中運(yùn)用GSC時(shí)滯后差分項(xiàng)以的速度收斂于真值，從而使ADF檢驗(yàn)有一個(gè)更優(yōu)的有限樣本性質(zhì)。MIC是對(duì)通常信息準(zhǔn)則的修正。因此本文選取AIC、SIC、MAIC、MSIC以及GSC五種方法來確定ADF檢驗(yàn)式中的滯后長(zhǎng)度。重點(diǎn)考察小樣本下當(dāng)誤差項(xiàng)為高階移動(dòng)平均過程時(shí)基于各準(zhǔn)則的ADF檢驗(yàn)功效和實(shí)際檢驗(yàn)水平的特征，以及MIC與其他方法相比對(duì)ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷的影響和滯后長(zhǎng)度選擇的異同。各方法確定滯后長(zhǎng)度的原理如下：首先，AIC與SIC具有相似的形式，選擇的滯后長(zhǎng)度k滿足使(1)式的值最小。其中AIC準(zhǔn)則中CT=2，SIC準(zhǔn)則中CT=logT，表示估計(jì)方程的誤差均方，它往往隨著滯后長(zhǎng)度的增加而下降。是ADF檢驗(yàn)式中的解釋變量個(gè)數(shù)，它等于滯后差分項(xiàng)個(gè)數(shù)k加上常數(shù)項(xiàng)以及時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，會(huì)隨滯后長(zhǎng)度的增加而變大，代表了對(duì)過度擬和的懲罰。因此選擇k使(1)最小意味著在較少參數(shù)和較小的殘差平方和之間做出選擇。(1)另外，Ng和Perron(2001)提出了一系列的修正的信息準(zhǔn)則即MIC。其選擇的滯后長(zhǎng)度是使得目標(biāo)方程(2)的值最小的k，依據(jù)CT的表達(dá)式不同MIC又分別稱為MAIC與MSIC。(2)它與一般的信息準(zhǔn)則的不同就是增加了一個(gè)修正因子，其表達(dá)式為：(3)其中是ADF檢驗(yàn)式中一階滯后項(xiàng)的參數(shù)估計(jì)量。Ng和Perron(2001)證明會(huì)隨著ADF檢驗(yàn)式中滯后差分項(xiàng)個(gè)數(shù)k的增加而減小，尤其當(dāng)數(shù)據(jù)生成過程的移動(dòng)平均部分含有負(fù)根時(shí)，這種減小更加明顯，因此可以有效地校正一般信息準(zhǔn)則擬和不足的問題。GSC則是在ADF檢驗(yàn)式中選取r=j+m個(gè)滯后差分項(xiàng)，并通過對(duì)最后m個(gè)參數(shù)(i=1,m)的顯著性進(jìn)行聯(lián)合檢驗(yàn)來完成的，其中j0,jmax。該檢驗(yàn)的Wald形式為：(4)其中(5)(6)它代表所有解釋變量的方差協(xié)方差矩陣，是中右下方mm階的塊矩陣。代表該檢驗(yàn)式回歸函數(shù)的誤差均方，其中代表回歸式的殘差。檢驗(yàn)規(guī)則為：j從最大的取值jmax開始，依次降低其取值直到(4)式表示的統(tǒng)計(jì)量顯著。該統(tǒng)計(jì)量服從自由度為m的2分布。基于顯著性水平，滯后長(zhǎng)度k的取值為k=j+1，當(dāng)是統(tǒng)計(jì)量所有值中第一個(gè)大于臨界值的值時(shí)。k=0，當(dāng)統(tǒng)計(jì)量所有值均小于臨界值時(shí)。為了考察誤差項(xiàng)為高階移動(dòng)平均過程時(shí)ADF檢驗(yàn)中滯后長(zhǎng)度的選擇問題，我們對(duì)形如(7)式的數(shù)據(jù)生成過程共10種情況運(yùn)用上述五種方法選擇滯后長(zhǎng)度繼而進(jìn)行ADF檢驗(yàn)。(7)其中L是滯后因子，ut是白噪聲，y0=0。10種數(shù)據(jù)生成過程如下：1=0.8,2=0.0,3=0.0,4=0.0；1=0.5,2=0.0,3=0.0,4=0.0；1=-0.5,2=0.0,3=0.0,4=0.0；1=-0.8,2=0.0,3=0.0,4=0.0；1=0.8,2=0.5,3=0.0,4=0.0；1=0.5,2=0.3,3=0.0,4=0.0；1=-0.5,2=0.3,3=0.0,4=0.0；1=-0.8,2=0.5,3=0.0,4=0.0；1=-0.8,2=-0.5,3=0.0,4=0.0；1=0.5,2=0.3,3=0.2,4=0.1。這10種情況描述了誤差項(xiàng)移動(dòng)平均部分的根在個(gè)數(shù)、大小、正負(fù)等方面的不同情形。ADF檢驗(yàn)的原假設(shè)H0:=1；備擇假設(shè)H1:1。ADF檢驗(yàn)式如下：(a)(b)為考察不同情形下ADF檢驗(yàn)的功效和實(shí)際檢驗(yàn)水平，我們對(duì)每種數(shù)據(jù)生成過程分別取=1、0.95、0.85，用Rats6.2模擬樣本容量T=100時(shí)基于兩種檢驗(yàn)式(a)和(b)的上述檢驗(yàn)過程以及T=250時(shí)基于檢驗(yàn)式(a)的上述檢驗(yàn)過程。對(duì)每種情況重復(fù)10000次，計(jì)算ADF統(tǒng)計(jì)量小于臨界值的概率，同時(shí)記錄每次選擇的滯后長(zhǎng)度，最后計(jì)算滯后長(zhǎng)度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)真實(shí)數(shù)據(jù)生成過程是單位根過程即=1時(shí)，ADF統(tǒng)計(jì)量小于臨界值的概率就是犯棄真錯(cuò)誤的概率，即實(shí)際檢驗(yàn)水平。而當(dāng)真實(shí)數(shù)據(jù)生成過程為平穩(wěn)過程即1時(shí)，ADF統(tǒng)計(jì)量小于臨界值的概率則是1-犯取偽錯(cuò)誤的概率，即檢驗(yàn)功效。這里運(yùn)用GSC確定滯后長(zhǎng)度時(shí)取m=1，即計(jì)算單個(gè)參數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量，顯著性水平取5%，各準(zhǔn)則的最大滯后長(zhǎng)度取kmax=206。根據(jù)模擬結(jié)果，我們重點(diǎn)比較了各方法在滯后長(zhǎng)度選擇及其相應(yīng)的ADF檢驗(yàn)功效和實(shí)際檢驗(yàn)水平方面的異同，并考察了誤差項(xiàng)為高階移動(dòng)平均時(shí)的各種數(shù)據(jù)生成過程、不同檢驗(yàn)式以及樣本容量對(duì)滯后長(zhǎng)度選擇及ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷的影響，從而對(duì)Hall(1994)，Ng和Perron(1995)的結(jié)論做了一定的補(bǔ)充。1.不同準(zhǔn)則的比較滯后長(zhǎng)度及其標(biāo)準(zhǔn)差方面(見表1、3、5)，總得來說，GSC、AIC與MAIC選擇的滯后長(zhǎng)度通常要高于SIC與MSIC，前者往往傾向于過度擬和。具體來說，當(dāng)DGP中移動(dòng)平均部分的根為正時(shí)，AIC與MAIC、SIC與MSIC選擇的平均滯后長(zhǎng)度很接近。當(dāng)移動(dòng)平均部分含有負(fù)根時(shí)，修正的信息準(zhǔn)則往往比相應(yīng)的原準(zhǔn)則選擇更大的平均滯后長(zhǎng)度，并且這一差距隨著根更接近于-1或負(fù)根個(gè)數(shù)增加而更加明顯，同時(shí)滯后長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)差也隨之增加。表1滯后長(zhǎng)度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差檢驗(yàn)式(a)T=100ARIMA(p,d,q)1234AICSICMAICMSICGSC1.0ARIMA(0,1,1)0.80.00.00.05.543.062.791.185.292.942.751.238.145.381.0AR