歷年希望杯初一競賽試題精選及答案

Su.15 第 1 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 1. 1992 年第三屆希望杯初中一年級第二試試題及答案 2. 1995 年第六屆希望杯初中一年第二試試題及答案 3. 2009 年第二十屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽初一第一試 希望杯第三 屆 （ 1992年）初中一年 級 第二 試題 一、選擇題（每題 1分，共 10分） 1若 8.0473=521.077119823，則 0.80473等于 A 0.521077119823 B 52.1077119823 C 571077.119823 D 0.00521077119823 2若一個數(shù)的立方小于這個數(shù)的相反數(shù)，那么這個數(shù)是 A正數(shù) B負(fù)數(shù) C奇數(shù) D偶數(shù) 3若 a 0， b 0且 a |b|，則下列關(guān)系式中正確的是 A -b a -a b B b a -b -a C -b a b -a D a b-a -b 4在 1992個自然數(shù)： 1， 2， 3， 1991， 1992的每一個數(shù)前面任意添Su.15 第 2 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 上“ +”號或“ -”號，則其代數(shù)和一定是 A奇數(shù) B偶數(shù) C負(fù)整數(shù) D非負(fù)整數(shù) 5某同學(xué)求出 1991個有理數(shù)的平均數(shù)后，粗心地把 這個平均數(shù)和原來的 1991個有理數(shù)混在一起， 成為 1992個有理數(shù)，而忘掉哪個是平均數(shù)了如果這 1992個有理數(shù)的平均數(shù)恰為 1992則原來的 1991個有理數(shù)的平均數(shù)是 A 1991.5 B 1991 C 1992 D 1992.5 6四個互不相等的正數(shù) a， b， c， d中， a最大 ,d最小 ,且 ,則 a+d與 b+c的大小關(guān)系是 A a+d b+c B a+d b+c C a+d=b+c D不確定的 7.已知 p為偶數(shù) ,q為奇數(shù) ,方程組 19921 9 9 3 3x y px y q的解是整數(shù) ,那么 A.x是奇數(shù)， y是偶數(shù) B x是偶數(shù)， y是奇數(shù) C x是偶數(shù)， y是偶數(shù) D x是奇數(shù)， y是奇數(shù) 8若 x-y=2， x2+y2=4，則 x1992+y1992的值是 A 4 B 19922 C 21992 D 41992 9如果 x， y只能取 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9中的數(shù)，并且 3x-2y=1，那么代數(shù)式 10x+y可以取到 不同的值 A 1個 B 2個 C 3個 D多于 3個的 10某中學(xué)科技樓窗戶設(shè)計如圖 15所示如果每個符號（窗戶形狀）代表一個阿拉伯?dāng)?shù)碼， 每橫行三個符號自左至右看成一個三位數(shù)這四層組成四個三位數(shù)，它們是 837， 571， 206， 439則按照圖 15中所示的規(guī)律寫出 1992應(yīng)是圖 16中的 Su.15 第 3 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 二、填空題（每題 1分，共 10分） 1.a,b,c,d,e,f是六個有理數(shù) ,關(guān)且 1 1 1 1 1, , , , ,2 3 4 5 6a b c d eb c d e f 則fa =_. 2若三個連續(xù)偶數(shù)的和等于 1992則這三個偶數(shù)中最大的一個與最小的一個的平方差等于 _ 3若 x3+y3=1000，且 x2y-xy2=-496，則(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=_ 4三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為 1， a+b,a的形式 ,又可表示為0,ba,b, 的形式 ,則 a1992+b1993=_. 5海灘上有一堆核桃第一天猴子吃掉了這堆核桃的個數(shù)的 25,又扔掉 4個到大海中去 ,第二天吃掉的核桃數(shù)再加上 3個就是第一天所剩核桃數(shù)的 58,那么這堆核桃至少剩下 _個 . 6已知不等式 3x-a 0的正整數(shù)解恰是 1， 2， 3那么 a的取值范圍是_ 7 a， b， c是三個不同的自然數(shù)，兩兩互質(zhì)已知它們?nèi)我鈨蓚€之和都能被第三個整除則 a3+b3+c3=_ 8若 a=1990， b=1991， c=1992，則 a2+b2+c2-ab-bc-ca=_ 9將 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11這個 10個自然數(shù)填到圖 17中 10個格子里，每個格子中只填一個數(shù)，使得田字 形的 4個格子中所填數(shù)字之Su.15 第 4 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 和都等于 p則 p的最大值是 _ 10購買五種教學(xué)用具 A1， A2， A3， A4， A5的件數(shù)和用錢總數(shù)列成下表： 那么，購買每種教具各一件共需 _元 三、解答題（每題 5分，共 10分） 1將分別寫有數(shù)碼 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9的九張正方形卡片排成一排，發(fā)現(xiàn)恰是一個能被 11整除的最大的九位數(shù)請你寫出這九張卡片的排列順序，并簡述推理過程 Su.15 第 5 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 2一個自然數(shù) a，若將其數(shù)字重新排列可得一個新的 自然數(shù) b如果 a恰是 b的 3倍，我們稱 a是一個“希望數(shù)” (1)請你舉例說明：“希望數(shù)”一定存在 (2)請你證明：如果 a， b都是“希望數(shù)”，則 ab一定是 729的倍數(shù) 答案與提示 一、選擇題 提示： 所以將 8.0473=512.077119823的小數(shù)點向前移三位得 0.512077119823，即為 0.80473的值，選 A 2設(shè)該數(shù)為 a，由題意 -a為 a的相反數(shù)，且有 a3 -a， Su.15 第 6 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 a3+a 0， a(a2+1) 0， 因為 a2+1 0，所以 a 0,即該數(shù)一定是負(fù)數(shù)，選 B 3 已知 a 0， b 0， a |b|在數(shù)軸上直觀表示出來， b到原點的距離大于 a到原點的距離，如圖 18所示所以 -b a -a b，選 A 4由于兩個整數(shù) a， b前面任意添加“ +”號或“ -”號，其代數(shù)和的奇偶性不變這個性質(zhì)對 n個整數(shù)也是正確的因此， 1， 2， 3， 1991， 1992，的每一個數(shù)前面任意添上“ +”號或“ -”號，其代數(shù)和的奇偶性與 (-1)+2-3+4-5+6-7+8- -1991+1992=996的奇偶性相同，是偶數(shù)，所以選 B 5原來 1991個數(shù)的平均數(shù)為 m，則這個 1991個數(shù)總和為 m 1991當(dāng) m混入以后，那 1992個數(shù)之和為 m 1991+m,其平均數(shù)是 1992， m=1992，選 C 6在四個互不相等的正數(shù) a， b， c， d中， a最大， d最小，因此有 a b，a c， a d， b d， c d 所以 a+b b+c，成立，選 B 7由方程組 以及 p為偶數(shù)， q為奇數(shù)，其解 x， y又是整數(shù) 由可知 x為偶數(shù)，由可知 y是奇數(shù)，選 B 8由 x-y=2 Su.15 第 7 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 平方得 x2-2xy+y2=4 又已知 x2+y2=4 所以 x， y中至少有一個為 0，但 x2+y2=4因此， x， y中只能有一個 為 0，另一個為 2或 -2無論哪種情況，都有 x1992+y1992=01992+( 2)1992=21992，選 C 9設(shè) 10x+y=a，又 3x-2y=1，代入前式得 由于 x， y取 0 9的整數(shù)， 10x+y=a的 a值取非負(fù)整數(shù)由 (*)式知，要 a為非負(fù)整數(shù)， 23x必為奇數(shù)，從而 x必取奇數(shù) 1， 3， 5， 7， 9 三個奇數(shù)值， y相應(yīng)地取 1， 4， 7這三個值這時， a=10x+y可以取到三個不同的值 11， 34和 57，選 C 二、填空題 提示： Su.15 第 8 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 與 666，所以最大的一個偶數(shù)與最小的一個偶數(shù) 的平方差等于 6662-6622=(666+662)(666-662)=1328 4=5312 3由于 x3+y3=1000，且 x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分組、湊項表示為含 x3+y3及 x2y-xy2的形式，以便代入求值，為此有 (x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000-2(-496)=1992 4由于三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為 1， 下，只能是 b=1于是 a=-1 所以， a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2 5設(shè)這堆核桃共 x個依題意 我們以 m表示這堆核桃所剩的數(shù)目（正整數(shù)），即 Su.15 第 9 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 目標(biāo)是求 m的最小正整數(shù)值 可知，必須 20|x即 x=20， 40， 60， 80， m為正整數(shù)，可見這堆核桃至少剩下 6個 由于 x取整數(shù)解 1、 2、 3，表明 x不小于 3， 即 9 a 12 可被第三個整除，應(yīng)有 b|a+c b 2，但 b|2，只能是 b=2 于是 c=1， a=3因此 a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36 8因為 a=1990， b=1991， c=1992，所以 a2+b2+c2-ab-bc-ca 9將 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11填入這 10個格子中，按田字格 4Su.15 第 10 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 個數(shù)之和均等于 p，其總和為 3p，其中居中 2個格子所填之?dāng)?shù)設(shè)為 x與 y，則 x、 y均被加了兩次，所以這 3個田字形所填數(shù)的總和為 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得 3p=65+x+y 要 p最大，必須 x， y最大，由于 x+y 10+11=21 所以 3p=65+x+y 65+21=86 所以 p取最大整數(shù)值應(yīng)為 28 事實上，如圖 19所示可以填入這 10個數(shù)使得 p=28成立 所以 p的最大值是 28 10設(shè) A1， A2， A3， A4， A5的單價分別為 x1， x2， x3， x4， x5元 則依題意列得關(guān)系式如下： 2-式得 x1+x2+x3+x4+x5=2 1992-2984=1000 所以購買每種教具各一件共需 1000元 三、解答題 1解（邏輯推理解） 我們知道，用 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9排成的最大九位數(shù)是 987654321但Su.15 第 11 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 這個 數(shù)不是 11倍的數(shù)，所以應(yīng)適當(dāng)調(diào)整，尋求能被 11整除的最大的由這九個數(shù)碼組成的九位數(shù) 設(shè)奇位數(shù)字之和為 x，偶位數(shù)字之和為 y 則 x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 由被 11整除的判別法知 x-y=0， 11， 22， 33或 44 但 x+y與 x-y奇偶性相同，而 x+y=45是奇數(shù)，所以 x-y也只能取奇數(shù)值 11或33 于是有 但所排九位數(shù)偶位數(shù)字和最小為 1+2+3+4=10 6所以（）的解不合題意，應(yīng)該排除，由此只能取 x=28， y=17 987654321的奇位數(shù)字和為 25，偶位數(shù)字和為 20，所以必須調(diào)整數(shù)字，使奇位和增 3，偶位和減 3才行。為此調(diào)整最后四位數(shù)碼，排成 987652413即為所求 解（觀察計算法） 987654321被 11除余 5因此， 987654316是被 11整除而最接近 987654321的九位數(shù)但 987654316并不是由 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9排成的，其中少數(shù)字 2，多數(shù)字 6于是我們由 987654316開始，每次減去 11，直到遇到恰由 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9九個數(shù)字組成的九位數(shù)為止其過程是 Su.15 第 12 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 987654316 987654305 987654294 987654283 987654272 987654261 987654250 987654239 987654228 987654217 987654206 987654195 987654184 987652435 987652424 987652413 這其間要減去 173次 11，最后得出一個恰由九個數(shù)碼組成的九位數(shù)987652413，為所求，其最大性是顯見的，這個方法雖然操作 173次，但算量不繁，尚屬解決本題的一種可行途徑，有一位參賽學(xué)生用到了此法，所以我們整理出來供大家參考 2 (1)答：由于 428571=3 142857，所以 428571是一個“希望數(shù)” 說明：一個自然數(shù) a，若將其數(shù)字重新排列可得一個新的自然數(shù) b如果 a恰是 b的 3倍，我們稱 a是一個“希望數(shù)”這實際上給出了“希望數(shù)”的定義?？疾靺①悓W(xué)生閱讀理解定義的能力，并能舉例說明被定義的對象存在在一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)中找不到“希望數(shù)”而在四位數(shù)中很容易找到實例 如： 3105=3 1035，所以 3105是個“希望數(shù)”； 或： 7425=3 2475，所以 7425是個“希望數(shù)”； 或： 857142=3 285714，所以 857142是個“希望數(shù)”； 以下我們再列舉幾個同學(xué)們舉的例子供參考，如： 37124568=3 12374856 43721586=3 14573862 Su.15 第 13 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 692307=3 230769 461538=3 153846 705213=3 235071 8579142=3 2859714 594712368=3 198237456 37421568=3 12473856 341172=3 113724 可見 37124568， 43721586， 592307， 461538， 705213， 8579142， 594712368，37421568， 341172都是希望數(shù)，事實上用 3105是希望數(shù)，可知 31053105也是“希望數(shù)”，只要這樣排下去，可以排出無窮多個“希望數(shù)”因此，“希望數(shù)”有無窮多個 (2)由 a為“希望數(shù)”，依“希望數(shù)”定義知，存在一個由 a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù) p，使得 a=3p并且 a的數(shù)字和等于 p的數(shù)字和 由 a=3p和 a為 3的倍數(shù) 因此 a被 9整除 于是 a是 27的倍數(shù) 這樣就證明了，“希望數(shù)”一定能被 27整除 現(xiàn)已知 a， b都是“希望數(shù)”，所以 a， b都是 27的倍數(shù) Su.15 第 14 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 即 a=27n1， b=27n2（ n1， n2為正整數(shù)） 所以 ab=(27n1)(27n2) =(27 27)(n1 n2) =729n1n2 所以 ab一定是 729的倍數(shù) 希望杯第三 屆 （ 1992年）初中一年 級 第二 試題 一、選擇題（每題 1分，共 10分） 1若 8.0473=521.077119823，則 0.80473等于 A 0.521077119823 B 52.1077119823 C 571077.119823 D 0.00521077119823 2若一個數(shù)的立方小于這個數(shù)的相反數(shù) ，那么這個數(shù)是 A正數(shù) B負(fù)數(shù) C奇數(shù) D偶數(shù) 3若 a 0， b 0且 a |b|，則下列關(guān)系式中正確的是 A -b a -a b B b a -b -a C -b a b -a D a b-a -b 4在 1992個自然數(shù)： 1， 2， 3， 1991， 1992的每一個數(shù)前面任意添上“ +”號或“ -”號，則其代數(shù)和一定是 A奇數(shù) B偶數(shù) C負(fù)整數(shù) D非負(fù)整數(shù) 5某同學(xué)求出 1991個有理數(shù)的平均數(shù)后，粗心地把這個平均數(shù)和原來的1991個 有理數(shù)混在一起，成為 1992個有理數(shù)，而忘掉哪個是平均數(shù)了如果這 1992個有理數(shù)的平均數(shù)恰為 1992則原來的 1991個有理數(shù)Su.15 第 15 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 的平均數(shù)是 A 1991.5 B 1991 C 1992 D 1992.5 6四個互不相等的正數(shù) a， b， c， d中， a最大 ,d最小 ,且 ,則 a+d與 b+c的大小關(guān)系是 A a+d b+c B a+d b+c C a+d=b+c D不確定的 7.已知 p為偶數(shù) ,q為奇數(shù) ,方程組 19921 9 9 3 3x y px y q的解是整數(shù) ,那么 A.x是奇數(shù)， y是偶數(shù) B x是偶數(shù)， y是奇數(shù) C x是偶數(shù)， y是偶數(shù) D x是奇數(shù)， y是奇數(shù) 8若 x-y=2， x2+y2=4，則 x1992+y1992的值是 A 4 B 19922 C 21992 D 41992 9如果 x， y只能取 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9中的數(shù)，并且 3x-2y=1，那么代數(shù)式 10x+y可以取到 不同的值 A 1個 B 2個 C 3個 D多于 3個的 10某中學(xué)科技樓窗戶設(shè)計如圖 15所示如果每個符號（窗戶形狀）代表 一個阿拉伯?dāng)?shù)碼，每橫行三個符號自左至右看成一個三位數(shù)這四層組成四個三位數(shù)，它們是 837， 571， 206， 439則按照圖 15中所示的規(guī)律寫出 1992應(yīng)是圖 16中的 二、填空題（每題 1分，共 10分） Su.15 第 16 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 1.a,b,c,d,e,f是六個有理數(shù) ,關(guān)且 1 1 1 1 1, , , , ,2 3 4 5 6a b c d eb c d e f 則fa =_. 2若三個連續(xù)偶數(shù)的和等于 1992則這三個偶數(shù)中最大的一個與最小的一個的平方差 等于 _ 3若 x3+y3=1000，且 x2y-xy2=-496，則(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=_ 4三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為 1， a+b,a的形式 ,又可表示為0,ba,b, 的形式 ,則 a1992+b1993=_. 5海灘上有一堆核桃第一天猴子吃掉了這堆核桃的個數(shù)的 25,又扔掉 4個到大海中去 ,第二天吃掉的核桃數(shù)再加上 3個就是第一天 所剩核桃數(shù)的 58,那么這堆核桃至少剩下 _個 . 6已知不等式 3x-a 0的正整數(shù)解恰是 1， 2， 3那么 a的取值范圍是_ 7 a， b， c是三個不同的自然數(shù)，兩兩互質(zhì)已知它們?nèi)我鈨蓚€之和都能被第三個整除則 a3+b3+c3=_ 8若 a=1990， b=1991， c=1992，則 a2+b2+c2-ab-bc-ca=_ 9將 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11這個 10個自然數(shù)填到圖 17中 10個格子里，每個格子中只填 一個數(shù)，使得田字形的 4個格子中所填數(shù)字之和都等于 p則 p的最大值是 _ Su.15 第 17 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 10購買五種教學(xué)用具 A1， A2， A3， A4， A5的件數(shù)和用錢總數(shù)列成下表： 那么，購買每種教具各一件共需 _元 三、解答題（每題 5分，共 10分） 1將分別寫有數(shù)碼 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9的九張正方形卡片排成一排，發(fā)現(xiàn)恰是一個能被 11整除的最大的九位數(shù)請你寫出這九張卡片的排列順序，并簡述推理過程 2一個自然數(shù) a，若將其數(shù)字重新 排列可得一個新的自然數(shù) b如果 a恰是 b的 3倍，我們稱 a是一個“希望數(shù)” (1)請你舉例說明：“希望數(shù)”一定存在 Su.15 第 18 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 (2)請你證明：如果 a， b都是“希望數(shù)”，則 ab一定是 729的倍數(shù) 答案與提示 一、選擇題 提示： 所以將 8.0473=512.077119823的小數(shù)點向前移三位得 0.512077119823，即為 0.80473的值，選 A 2設(shè)該數(shù)為 a，由題意 -a為 a的相反數(shù)，且有 a3 -a， a3+a 0， a(a2+1) 0， 因為 a2+1 0，所以 a 0,即該數(shù)一定是負(fù) 數(shù)，選 B 3已知 a 0， b 0， a |b|在數(shù)軸上直觀表示出來， b到原點的距離大于 a到原點的距離，如圖 18所示所以 -b a -a b，選 A Su.15 第 19 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 4由于兩個整數(shù) a， b前面任意添加“ +”號或“ -”號，其代數(shù)和的奇偶性不變這個性質(zhì)對 n個整數(shù)也是正確的因此， 1， 2， 3， 1991， 1992，的每一個數(shù)前面任意添上“ +”號或“ -”號，其代數(shù)和的奇偶性與 (-1)+2-3+4-5+6-7+8- -1991+1992=996的奇偶性相同，是偶數(shù)，所以選 B 5原來 1991個數(shù)的平均數(shù)為 m，則這個 1991個數(shù) 總和為 m 1991當(dāng) m混入以后，那 1992個數(shù)之和為 m 1991+m,其平均數(shù)是 1992， m=1992，選 C 6在四個互不相等的正數(shù) a， b， c， d中， a最大， d最小，因此有 a b，a c， a d， b d， c d 所以 a+b b+c，成立，選 B 7由方程組 以及 p為偶數(shù)， q為奇數(shù)，其解 x， y又是整數(shù) 由可知 x為偶數(shù)，由可知 y是奇數(shù)，選 B 8由 x-y=2 平方得 x2-2xy+y2=4 又已知 x2+y2=4 所以 x， y中至少有一個為 0，但 x2+y2=4因此， x， y中只能有一個為 0，Su.15 第 20 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 另一個為 2或 -2無論哪種情況，都有 x1992+y1992=01992+( 2)1992=21992，選 C 9設(shè) 10x+y=a，又 3x-2y=1，代入前式得 由于 x， y取 0 9的整數(shù)， 10x+y=a的 a值取非負(fù)整數(shù)由 (*)式知，要 a為非負(fù)整數(shù)， 23x必為奇數(shù)，從而 x必取奇數(shù) 1， 3， 5， 7， 9 三個奇數(shù)值， y相應(yīng)地取 1， 4， 7這三個值這時， a=10x+y可以取到三個不同的值 11， 34和 57，選 C 二、填空題 提示： 與 666，所以最大的一個偶數(shù) 與最小的一個偶數(shù)的平方差等于 6662-6622=(666+662)(666-662)=1328 4=5312 3由于 x3+y3=1000，且 x2y-xy2=-496，因此要把Su.15 第 21 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 (x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分組、湊項表示為含 x3+y3及 x2y-xy2的形式，以便代入求值，為此有 (x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000-2(-496)=1992 4由于三個互不相等的有理數(shù)，既 可表示為 1， 下，只能是 b=1于是 a=-1 所以， a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2 5設(shè)這堆核桃共 x個依題意 我們以 m表示這堆核桃所剩的數(shù)目（正整數(shù)），即 目標(biāo)是求 m的最小正整數(shù)值 可知，必須 20|x即 x=20， 40， 60， 80， Su.15 第 22 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 m為正整數(shù)，可見這堆核桃至少剩下 6個 由于 x取整數(shù)解 1、 2、 3，表明 x不小于 3， 即 9 a 12 可被第三個整除，應(yīng)有 b|a+c b 2，但 b|2，只能是 b=2 于是 c=1， a=3因此 a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36 8因為 a=1990， b=1991， c=1992，所以 a2+b2+c2-ab-bc-ca 9將 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11填入這 10個格子中，按田字格 4個數(shù)之和均等于 p，其總和為 3p，其中居中 2個格子所填之?dāng)?shù)設(shè)為 x與 y，則 x、 y均被加了兩次，所以這 3個田字形所填數(shù)的總和為 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得 3p=65+x+y 要 p最大，必須 x， y最大，由于 x+y 10+11=21 Su.15 第 23 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 所以 3p=65+x+y 65+21=86 所以 p取最大整數(shù)值應(yīng)為 28 事實上，如圖 19所示可以填入這 10個數(shù)使得 p=28成立 所以 p的最大值是 28 10設(shè) A1， A2， A3， A4， A5的單價分別為 x1， x2， x3， x4， x5元 則依題意列得關(guān)系式如下： 2-式得 x1+x2+x3+x4+x5=2 1992-2984=1000 所以購買每種教具各一件共需 1000元 三、解答題 1解（邏輯推理解） 我們知道，用 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9排成的最大九位數(shù)是 987654321但這個數(shù)不是 11倍的數(shù)，所以應(yīng)適當(dāng)調(diào)整，尋求能被 11整除的最大的由這九個數(shù)碼組成的九位數(shù) 設(shè)奇位數(shù)字之和為 x，偶位數(shù)字之和為 y 則 x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 第六 屆 (1995年 )初中一年第二 試試題 Su.15 第 24 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 一、選擇題 : 1若 y是正數(shù)，且 x+y 0，則在下列結(jié)論中，錯誤的一個是 A x3y 0 B x+ y 0 C x +y 0 D x-y2 0 2已知 a =-a，則化簡 a-1 - a-2所得的結(jié)果是 A -1 B 1 C 2a-3 D 3-2a 3已知 a=1995x+1994， b=1995x+1995， c=1995x+1996那么(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的值等于 A 4 B 6 C 8 D 10 4用一副學(xué)生用的三角板的內(nèi)角 (其中一個三角板的內(nèi)角是 45， 45，90；另一個是 30 ,60 ,90 )可以畫出大于 0且小于 176的不同角度的角共有 _種 A 8 B 9 C 10 D 11 5數(shù)軸上坐標(biāo)是整數(shù)的點稱為整點 ，某數(shù)軸的單位長度是 1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為 1995厘米的線段 AB，則線段 AB蓋住的整點是 個 A 1994或 1995 B 1994或 1996 C 1995或 1996 D 1995或 1997 6方程 1995x+6y=420000的一組整數(shù)解 (x、 y)是 A (61， 48723) B (62， 48725) C (63， 48726) D (64，48720) 7某同學(xué)到集貿(mào)市場買蘋果，買每公斤 3元的蘋果用去所帶錢數(shù)的一半，而其余的錢都買了每公斤 2元的蘋果 ，則該同學(xué)所買的蘋果的平均價格Su.15 第 25 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 是每公斤 _元 A 2.6 B 2.5 C 2.4 D 2.3 8 a、 b、 c的大小關(guān)系如圖 7所示 , 則 a b b c c a a b a ca b b c c a a b a c 的值是 A -1 B 1 C 2 D 3 9.設(shè) P=- 11 2 3 4 5 1 2 3 4 6,Q=- 11 2 3 4 4 1 2 3 4 6,R=- 11 2 3 4 4 1 2 3 4 5,則 P,Q,R,的大小關(guān)系是 A P Q R B Q P R C P R Q D R Q P 10某項球類規(guī)則達(dá)標(biāo)測驗，規(guī)定滿分 100分， 60分及格，模擬考試與正式考試形式相同，都是 25道選擇題，第題答對記 4分，答錯或不答記 0分并規(guī)定正式考試中要有 80分的試題就是模擬考試中的原題假設(shè)某人在模擬考試中答對的試題，在正式考試中仍能答對，某人欲在正式考試中確保及格，則他在模擬考試中，至少要得 A 80分 B 76分 C 75分 D 64分 二、填空題 1計算： 12+2-3 4 5+62+7-8 9 10=_ 2若 a+b 0，則化簡 a+b-1 - 3-a-b的結(jié)果是 _ 3某市舉行環(huán)城自行車比賽，跑的路線一圈 是 6千米 ,甲車速是乙車速的 ,在出發(fā)后 1小時 10分鐘時 ,甲 ,乙二人恰在行進(jìn)中第二次相遇 ,則乙車比甲車每分鐘多走 _千米 4如圖 8，兩條線段 AB、 CD將大長方形分成四個小長方形，其中 S1面積Su.15 第 26 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 是 8， S2的面積是 6， S3的面積是 5則陰影三角形的面積是 _ 5.若 n= 1 7 9 1 1 1 3 1 5 1 713 1 2 2 0 3 0 4 2 5 6 7 2 ,則 n的負(fù)倒數(shù)是 _. 6一次數(shù)學(xué)小測 驗共有十道選擇題，每題答對得 3分，答錯或不答均扣 1分，則這次小測驗的成績至多有 _種可能的分?jǐn)?shù) 7已知 p、 q均為質(zhì)數(shù)，并且存在兩個正整數(shù) m,n,使得 p=m+n,q=mn,則pqnmmn 的值為 _. 8如圖 9，已知 ABC中， C=90， AC=1.5BC,在 AC上取點 D,使得 AD=0.5BC,量得 BD=1cm,則 ABD的面積是 _cm2. 9若 S=15+195+1995+19995+ +44個 91999 95 則和數(shù) S的末四位數(shù)字的和是_ 10用分別寫有數(shù)字的四張卡片，可以排出不同的四位數(shù)，如 1234，1342， 4231，等等共 24個，則其中可被 22整除的四位數(shù)的和等于_ 三、解答題 1某班參加校運動會的 19名運動員的運動服號碼恰是 119號，這些運動員隨意地站成一個圓圈，則一定有順次相鄰的某 3名運動員，他們運動服號碼數(shù)之和不小于 32，請你說明理由 Su.15 第 27 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 2已知 ax+by=7， ax2+by2=49， ax3+by3=133， ax4+by4=406，試求1995(x+y)+6xy-172(a+b )的值 . Su.15 第 28 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 答案提示 一、選擇題 提示： 1 y 0，若 x 0則 x+y 0，與 x+y 0矛盾所以由 y 0， x+y 0必有Su.15 第 29 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 x 0 因此， x3 0， x3y 0，即 (A)是錯誤的 事實上， y 0， x+y 0，即 x+ y 0， (B)成立 x +y 0， (C)成立 x 0， y2 0， x-y2 0， (D)成立因 此，選 (A) 2 a =-a， a 0 a-1 - a-2 =-(a-1)+(a-2)=-1，選 (A) 3 a-b=(1995x+1994)-(1995x+1995)=-1 b-c=(1995x+1995)-(1995x+1996)=-1 c-a=(1995x+1996)-(1995x+1994)=2 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(-1)2+(-1)2+22=6選 (B) 4由于 15 =45 -30，所以 15可以畫出因為 30， 45， 60，90都是 15的倍數(shù) 0 176之間度數(shù)為 15的倍數(shù)的角都可畫出這些不同度數(shù)的角共計 11種，它們是： 15， 30 ,45 ,60， 75，90， 105， 120， 135， 150， 165選 (D) 5若所畫的長為 1995厘米的線段的兩個端點 A與 B均為整點時，此時線段AB蓋住的整點個數(shù)是 1995+1=1996個若 A點不是整點，則 B點也不是整點，此時線段 AB蓋住的整點個數(shù)為 1995個，所以長為 1995厘米的線段蓋住的整點是 1995個，所以長為 1995厘米的線段蓋住的整點是 1995或 1996個選(C) 6設(shè) x， y均為整數(shù)，且滿足 1995x+6y=420000 則 5 1995x， 5 420000，所以 5 6y 但 (5， 6)=1，因此 5 y所以排除 (A)， (C)對 (B)，若 (62， 48725)滿Su.15 第 30 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 足方程，則 事實上， 1995 64+6 48720=420000成立選 (D) 7設(shè)該同學(xué)買了 3元一公斤的蘋果 x公斤， 2 了 x+y公斤蘋果，花去了 3x+2y=6x元所以所買的 8從圖 9中可見， a b c且 a 0， b 0， c 0 所以 a-b 0， b-c 0， c-a 0， ab 0， ac 0 所以 ab-ac 0， =(-1)-(-1)+1+1=2選 (C) 9因為 12344 12345 12346 所以 12344 12345 12344 12346 12345 12346 即 R Q P選 (A) 10設(shè)在模擬考試中至少要得 x分，則在模擬 Su.15 第 31 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 解得 x 80即某人欲在正式考試中確保及格，則他在模擬考試中至少要得 80分選 (A) 二、填空題 提示： 1原式 =1+2-3 4 5+36+7-8 9 10=3-12 5+36+7-7210=3-2.4+43-7=36.4 2 a+b 0,a+b-1 0,3-a-b=3-(a+b) 0 a+b-1 - 3-a-b =-(a+b-1)-(3-a-b)=-a-b+1-3+a+b=-2 甲、乙二人在行進(jìn)中第二次相遇，乙要追過甲兩圈，所以 解得 x=36(千米小時 )，即乙車速 36千米 因此，乙車比甲車每分鐘多走 Su.15 第 32 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 4如圖 8，設(shè) AB、 CD交于 O，陰影三角形面積為 S，則矩形 6設(shè)這次小測驗答對 x道題，則有 10-x道題答錯或沒答，應(yīng)得分?jǐn)?shù) w=3x-(10-x)=4x-10 因此，可能得到的分?jǐn)?shù)為偶數(shù)，且不被 4整 除，又最高得分為滿分 30分，最低得分為 -10分，在 -1030之間被 2整除但不被 4整除的數(shù)有 -10， -6，-2， 2， 6， 10， 14， 18， 22， 26， 30共 11種可能，容易驗證，這 11種分?jǐn)?shù)值都是可以取到的 7 q是質(zhì)數(shù)， q=m n， 所以 m， n只能一個為 1，另一個為 q 此時 p=m+n=1+q，而 p又是質(zhì)數(shù)，只能 p=3， q=2 即 m， n一個是 1，另一個是 2 Su.15 第 33 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 即 BCD為等腰直角三角形 (圖 10)，四個等腰 9 S=(20-5)+(200-5)+(2000-5)+(20000-5)+ +(-5) =20+200+2000+20000+ +-5 45=-225 所以 S的末四位數(shù)字的和為 1+9+9+5=24 10在由 1， 2， 3， 4組成的 24個四位數(shù)中，末位數(shù)字是 1， 3的不能被 22整除，這樣的數(shù)共 12個，而其余 12個末位數(shù)字是偶數(shù)，有可能被 22整除，它們是 1234， 1324， 1432， 1342， 2134， 2314， 3124， 3412， 3142， 3214， 4132， 4312 由奇位數(shù)字和減去偶位數(shù)字和之差是 11倍數(shù)者，原數(shù)為 11的倍數(shù)，可知其中被 11整除的只有 1342， 2134， 3124， 4312即這四個數(shù)被 22整除，它們的和是 1342+2134+3124+4312=10912 三、解答題 1證：在圓周上按逆時針順序以 1號為起點記運動服號碼數(shù)為 a1， a2，a3， a18， a19(圖 11)，顯然 a1=1，而 a2， a3， a18， a19就是 2，3， 4， 5， 6， 18， 19的一個排列 Su.15 第 34 頁 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 令 A1=a2+a3+a4 A2=a5+a6+a7 A3=a8+a9+a10 A4=a11+a12+a13 A5=a14+a15+a16 A7=a17+a18+a19 則 A1+A2+A3+A4+A5+A6 =a2+a3+a4+ +a17+a18+a19 =2+3+4+ +17+18+19 =189 如果 A1， A2， A3， A4， A5， A6中每一個都 31，則有 A1+A2+A3+A4+A5+A6 6 31=186，與 (*)式矛盾所以 A1， A2， A3， A4， A5， A6中至少有一個大于 31為確定起見，不妨就是 A1 31，即 a2+a3+a4 31，但 a2+a3+a4是整數(shù)，所以必有 a2+a3+a4 32成立即一定有順次相鄰的某三名運動員，他們運動服號碼數(shù)之和不小于 32 說明：本試題來