談橢圓焦半徑的幾何轉(zhuǎn)化[文檔資料]

談橢圓焦半徑的幾何轉(zhuǎn)化 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 我們平時對解析幾何的認(rèn)識是幾何問題代數(shù)化，即用代數(shù)方法解決幾何問題 .因此，往往將思路固定在了代數(shù)方法而忽略了其本質(zhì)還是幾何問題 .事實(shí)上，解析幾何問題合理的方式是要優(yōu)先運(yùn)用幾何性質(zhì)，然后運(yùn)用代數(shù)技巧 .就如老師輔導(dǎo)學(xué)生一樣，因?yàn)閷W(xué)生才是主體，若學(xué)生自身不努力，那老師的輔導(dǎo)是很艱難的 . 對于江蘇高考，解析幾何有其特殊的重要地位，一般是 18題，若此題做不好，那分?jǐn)?shù)不但得不高，還會產(chǎn)生 焦慮，影響后兩道難題 .而通過筆者的研究，解析幾何問題也是有規(guī)可循的 .原因是 2002 年初中課改，已經(jīng)將韋達(dá)定理排除在課程之外，命題就較為單一 .08 年、 09 年高考命題是直線和圓的問題，需要緊扣圓的幾何性質(zhì)解決，而 10年、 11年、12年又回到了直線和橢圓問題，因此，直線和橢圓問題仍會是高考解析幾何的命題重點(diǎn) .那是不是因?yàn)闄E圓的性質(zhì)少了，就純用代數(shù)方法去解決了呢？ 下面筆者就 “ 直線過橢圓焦點(diǎn) ” 問題來談一談 .（附注：直線和橢圓的三類相交問題是指 “ 直線過橢圓焦點(diǎn) ” 問題、 “ 直線過橢圓上已知點(diǎn) ” 問題、 “ 直線 過橢圓中心 ” 問題 .） 例 1（ 2012 年江蘇）如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 ,橢圓 x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1(-c,0),F2(c,0).已知 (1,e)和 (e,32)都在橢圓上 ,其中 e 為橢圓的離心率 . （ 1）求橢圓的方程； （ 2）設(shè) A,B 是橢圓上位于 x 軸上方的兩點(diǎn) ,且直線 AF1與直線 BF2 平行 ,AF2 與 BF1 交于點(diǎn) P. ()若 AF1-BF2=62,求直線 AF1 的斜率； ()求證 :PF1+PF2 是定值 . 分析 1 第一 小題求橢圓的方程就要求兩個參數(shù)，而已知條件為兩個點(diǎn)，利用方程思想即可解決 . 解 (1)由題設(shè)知 ,a2=b2+c2,e=ca,由點(diǎn) (1,e)在橢圓上 ,得 12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以 c2=a2-1. 由點(diǎn) (e,32)在橢圓上 ,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2. 所以橢圓的方程為 x22+y2=1. 分析 2 第二小 題很多人的想法就是代數(shù)運(yùn)算，設(shè)出直線 AF1 的方程，根據(jù)平行關(guān)系得出直線 BF2 的方程，從而聯(lián)立方程解出 A,B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出 AF1,BF2 的長，進(jìn)而解決第二小題，過程計(jì)算非常復(fù)雜，見下方答案： (2)由 (1)得 F1(-1,0),F2(1,0),又因?yàn)?AF1BF2, 所以設(shè) AF1、 BF2 的方程分別為 my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y10,y20. 所以 x212+y21=1， my1=x1+1 (m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2. 所以 AF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21 =m2+1 m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2. 同理 ,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2. ()由 得 ,AF1-BF2=2mm2+1m2+2. 解 2mm2+1m2+2=62 得 m2=2. 注意到 m0,所以 m=2. 所以直線 AF1 的斜率為 1m=62. ()證明 :因?yàn)?AF1BF 2,所以 PBPF1=BF2AF1, 即 PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1. 所以 PF1=AF1AF1+BF2BF1 . 由點(diǎn) B 在橢圓上知 , BF1+BF2=22, 所以 PF1=AF1AF1+BF2(22-BF2). 同理 PF2=BF2AF1+BF2(22-AF1). 所以 PF1+PF2=AF1AF1+BF2 (22-BF2)+BF2AF1+BF2(22 函數(shù)式為 y=3sin6t+10 （ 2）由題意，水深 y4.5+7, 即y=3sin6t+1011.5, t 0,24化簡得 sin6t12 ，于是 t 1,5或 t 13,17 所以，該船在 1 時至 5 時或 13時至 17 時能安全進(jìn)港 若該船當(dāng)天安全離港，在港內(nèi)停留的時間最多不能超過 16 h 函數(shù) y=Asin(x+) 作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究的實(shí)際問題十分廣泛 .由于周期現(xiàn)象有明顯的圖象特征，在解決這些實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)圖象的應(yīng)用，既可以加深對函數(shù) y=Asin(x+) 的圖象和性質(zhì)的認(rèn)識和理解，又能培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力 .在學(xué)習(xí)函數(shù) y=Asin(x+) 時，是一個值得我們引起關(guān)注的重要環(huán)節(jié) -AF1)=22-2AF1 BF2AF1+BF2. 由 得 ,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,AF1 BF2=m2+1m2+2, 所以 PF1+PF2=22-22=322. 所以 PF1+PF2 是定值 . 分析 3 如果能重視解析幾何問題的本質(zhì)還是幾何問題，優(yōu)先思考幾何性質(zhì)的運(yùn)用，那就簡單很多了 .那過焦 點(diǎn)的直線 AF1 如何求呢？關(guān)鍵是對點(diǎn) A 的處理，除了上述代數(shù)上的 “ 設(shè)點(diǎn)法 ” ，還可以根據(jù)幾何圖形用 “ 設(shè)角法 ”. 如右圖，設(shè) AF1O= ，點(diǎn) A 到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 d，根據(jù)統(tǒng)一定義：而將 d 平移到對稱軸 F1F2 上即為 OC，因此 AF1=ed=e OC=e (CF1+F1O).而 CF1 是焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離即為 p，且在直角 AF1O 中， OF1=AF1 cos ，哪怕 為鈍角，還是成立的 .所以， AF1=e(p+AF1 cos). 從而解出 AF1=ep1-ecos. 同理： BF2=ep1+ecos. 所以 AF1-BF2=ep1-ecos -ep1+ecos=62 （其中離心率 e=22，焦準(zhǔn)距 p=1），則 cos=63 ，所以 kAF1=tan=22.運(yùn)用了幾何性質(zhì)來解題后，代數(shù)運(yùn)算過程大量減少 . 第二小題同樣可以運(yùn)用幾何性質(zhì)來解決， 因?yàn)?AF1BF2 ，則 PAF1PF2B ， 所以 PF1PB=AF1BF2. 又因?yàn)?BF1+BF2=2a,即 PF1+PB+ep1+ecos=2a. 由 兩式可得 PF1=324+cos. 同理可得 PF2=324-cos. 所以 PF1+PF2=322,即 PF1+PF2 是定值 . 根據(jù)以上研究，筆者將兩種方法的結(jié)構(gòu)整合，考慮直線過橢圓的焦點(diǎn)時，只需考慮焦點(diǎn)弦 AB，因而只需焦半徑 AF（或 BF），那如何確定焦半徑，可以設(shè)角（設(shè) =AFO ）或設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè) A(x,y)），即 “ 設(shè)角法 ” （就是有人認(rèn)為所謂的極坐標(biāo)法）與 “ 設(shè)點(diǎn)法 ”.“ 設(shè)點(diǎn)法 ” 表面上好像有兩個變量 x,y，實(shí)際上由于點(diǎn)在橢圓上即滿足橢圓方程，即由一個變量決定點(diǎn) A 的位置 .但每次計(jì)算成為這種純代數(shù)法的弊端 .而如果注重了解析幾何問題的幾何