（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）boseeinstein凝聚中一類非線性schrodinger方程.pdf

摘要 b o s e e i n s t e i n 凝聚中一類非線性s c h r 6 d i n g e r 方程 作者簡(jiǎn)介 魏贊贊 女 1 9 7 7 年9 月生 2 0 0 4 年從師于郭科教授 于2 0 0 7 年6 月畢業(yè)于成都理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 摘要 以2 0 0 1 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)為標(biāo)志 b o s e e i n s t e i n 凝聚的研究已成為當(dāng)今 國際物理學(xué)界研究的幾個(gè)熱點(diǎn)領(lǐng)域之一 我們將根據(jù)描述b o s e e i n s t e i n 凝聚 的一類數(shù)學(xué)模型 一類帶調(diào)和勢(shì)并具組合冪非線性項(xiàng)的非線性s c h r s d i n g e r 方 程 對(duì)b o s e e i n s t e i n 凝聚所特別關(guān)注的如下問題進(jìn)行研究 l 該方程的整體解和爆破解存在的條件及最佳條件 2 該方程的駐波解的性態(tài) 整個(gè)論文的方法是現(xiàn)代變分法 通過分析這個(gè)方程的特征 以方程的c a u c h y 問題的局部適定性為基礎(chǔ) 構(gòu)造合適的泛函和n e h a r i 流形 從而設(shè)置相應(yīng)的強(qiáng) 制變分問題 通過分析這些變分問題的特性 構(gòu)造某些特定的函數(shù) 結(jié)合這些 函數(shù)特征 方程的特征以及一些重要不等式的特征 建立了它的所謂發(fā)展不變流 然后 討論該方程的整體解存在性與有限時(shí)問內(nèi)的爆破性質(zhì) 最后結(jié)合變分特 征確定出該方程整體解存在的最佳條件 進(jìn)一步 討論了其駐波解的存在性和不 穩(wěn)定性 第一章 介紹了方程的相關(guān)物理背景 已有研究狀況 問題 以及這篇論文 的工作 第二章 運(yùn)用變分方法 研究了方程整體解和爆破解存在的條件 從理論上 獲得了該方程c a u c h y 問題的整體解和爆破解的一個(gè)分界門檻 第三章 用能量泛函作為判別準(zhǔn)則 給出了方程整體解和爆破解的門檻條件 同時(shí) 回答了在能量空間中 初值到底要小到什么程度 其解才會(huì)整體存在 特 別值得一提的是 本章的結(jié)論是可以用于實(shí)際計(jì)算的 因此它更有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值 第四章 研究了方程的駐波解 證明了該方程駐波解的存在性 進(jìn)一步 證 明了其駐波的不穩(wěn)定性 關(guān)鍵詞 非線性s c h r b d i n g e r 方程 調(diào)和勢(shì) 整體解 爆破解 駐波解 成都理工大學(xué)碩十學(xué)位論文 ac l a s so fn o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s i nb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s i n t r o d u c t i o no ft h ea u t h o r w e iy u n y u nw a sb o r ni ns e p t e m b e r1 9 7 7 u n d e r t h eg u i d a n c eo fp r o f g u ok e s h ew a sg r a d u a t e df r o mc o l l e g eo fi n f o r m a t i o n m a n a g e m e n t a t c h e n g d uu n i v e r s i t y o f t e c h n o l o g y h e rm a j o r i s a p p l i e d m a t h e m a t i c s a b s t r a c t 功en o b e lp h y s i c sp r i z ei n2 0 0 1i n d i c a t e dt h a tt h er e s e a r c ha b o u tb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e si sv e r yi m p o r t a n ti nt h em o d e mi n t e r n a t i o n a lp h y s i c s a c c o r d i n gt o o n eo ft h em a t h e m a t i c a lm o d e l si nb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e s an o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n w i t hah a r m o n i c p o t e n t i a l a n dc o m b i n e d p o w e rt y p e n o n l i n e a r i t i e s w es h a l l r e s e a r c ht h e f o l l o w i n gp r o b l e m s i nb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e s 1 t h ec o n d i t i o n so fg l o b a le x i s t e n c e b l o w u pa n ds h a r pt h r e s h o l d 2 t h ee x i s t e n c ea n dp r o p e r t i e so ft h es t a n d i n gw a v e s o u rm e t h o di st h em o d e mv a r i a t i o n a l m e t h o d f i r s t l y w ea n a l y z e t h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h ee q u a t i o nb a s i n go nt h el o c a lw e l l p o s e d n e s so ft h ec a u c h y p r o b l e mo ft h ee q u a t i o n t h e nw es e ts o m ep r o p e rf u n c t i o n a l sa n dn e h a r im a n i f o l d s t op o s ec o n s t r a i n e dv a r i a t i o n a lp r o b l e m c o m b i n i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ee q u a t i o n w i t ht h ev a r i a t i o n a lp r o b l e ma n ds o m ei m p o r t a n ti n e q u a l i t i e s w ec o n s t r u c ts o m e e v o l u t i o ni n v a r i a n tf l o w so ft h ee q u a t i o n a f t e rt h a t w es t u d yt h eg l o b a le x i s t e n c e a n db l o w u pp r o p e r t i e s t h e na c c o r d i n gt ot h ev a r i a t i o n a lp r o b l e m w ed e r i v eo u tt h e s h a r pc r i t e r i ao fb l o w u pa n dg l o b a le x i a e n c eo ft h ee q u a t i o n a tl a s t w eo b t a i nt h e e x i s t e n c ea n di n s t a b i l i t yo ft h es t a n d i n gw a v e s i nt h ef i r s tc h a p t e r w es h o wt h ep h y s i c a lb a c k g r o u n da n ds o m ek n o w nr e s e a r c h r e s u l t so ft h en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n a tt h es a m et i m e w ea l s op r e s e n to u r g o a la n dt h em a i nr e s u l t so ft h ep a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r u s i n gt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d w ec o n s i d e rt h ec o n d i t i o n s o fg l o b a le x i s t e n c ea n db l o w u p f u r t h e r m o r e w eo b t a i nt h es h a r pt h r e s h o l db e t w e e n t h e g l o b a le x i s t e n c ea n db l o w u po ft h ec a u c h yp r o b l e mo ft h ee q u a t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r u s i n gt h ee n e r g yf u n c t i o n a la st h ec r i t e r i o n w eg e ta n o t h e r l i 摘要 s h a r pt h r e s h o l d o fg l o b a le x i s t e n c ea n db l o w u po ft h e s o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n f u r t h e r m o r e w ea n s w e rt h ef o l l o w i n gp r o b l e m h o ws m a l la r et h ei n i t i a ld a t as u c h t h a tt h eg l o b a ls o l u t i o ne x i s t i ti sd e s e r v e dt on o t et h a tt h er e s u l t si nt h i sc h a p t e rc a n b ec a l c u l a t e di nt h ea p p l i c a t i o n so fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s i nt h el a s tc h a p t e r w ea r ei n t e r e s t e di nt h es t a n d i n gw a v e so ft h ee q u a t i o n w e f i r s t l yp r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es t a n d i n gw a v e s t h e nw eo b t a i nt h a tt h ei n s t a b i l i t yo f t h es t a n d i n gw a v e s k e y w o r d s n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n h a r m o n i cp o t e n t i a l g l o b a le x i s t e n c e b l o w u p s t a n d i n gw a v e s 1 1 i 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的 研究成果 據(jù)我所知 除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外 論文中不包含其 他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果 也不包含為獲得盛趕堡王盔堂或其他教 育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料 與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何 貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示謝意 學(xué)位論文作洲磁 泖吖 學(xué)位論文作者簽名 施 於凌 l 仲7 年r 月二 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解盛都理王太堂有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤 允許論文被查閱和 借閱 本人授權(quán)盛趕堡王太堂可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù) 據(jù)庫進(jìn)行檢索 可以采用影印 縮印或掃描等復(fù)制手段保存 匯編學(xué)位論文 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書 學(xué)位論文作者簽名 荔良資 矽7 年f 月2 日 第1 章前言 1 1背景 第1 章前言 1 9 2 4 年 愛因斯坦 e i n s t e i n 根據(jù)印度科學(xué)家玻色 b o s e 提出的計(jì)量微觀 原子運(yùn)動(dòng)的方法 即著名的b o s e 統(tǒng)計(jì)理論 提出了一個(gè)著名的預(yù)測(cè) 當(dāng)原子被 冷卻到非常低溫 接近絕對(duì)零度 時(shí) 宏觀數(shù)量的原子會(huì)大量凝聚到動(dòng)量為零的 能量最低狀態(tài) 達(dá)到可觀的數(shù)量 并且產(chǎn)生波動(dòng) 直至漸漸失去原子本身的特性 它們的移動(dòng)速度是低至不能量度 最后形成一個(gè)宏觀量子態(tài) 這種狀態(tài)后來被命 名為b o s e e i n s t e i n 凝聚狀態(tài) 簡(jiǎn)稱b e c b o s e e i n s t e i n 凝聚理論提出 直到7 0 余年之后才得到證實(shí) 1 9 9 5 年7 月 美國科羅拉多大學(xué)實(shí)驗(yàn)天體物理聯(lián)合研究所的康奈爾教授 國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研 究所維曼教授 和麻省理工學(xué)院的克特勒教授成功將銣原子冷卻至非常接近絕對(duì) 溫度零度 銣?zhǔn)菈A金屬的一種 呈銀白色度軟金屬的稀有元素 科學(xué)家們發(fā)現(xiàn) 物質(zhì)在這種低溫的情況下 會(huì)冷凝成為一種新的物質(zhì)狀態(tài) 成為一個(gè)巨大的原子 這種狀態(tài)和氣體 液體及固體的特性都不同 科學(xué)家稱這種狀態(tài)為b o s e e i n s t e i n 凝聚狀態(tài) 因此這三位教授獲得了2 0 0 1 年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng) b o s e e i n s t e i n 凝聚在原子激光 原子鐘 原子芯片技術(shù) 精密測(cè)量 量 子計(jì)算機(jī)和納米技術(shù)等領(lǐng)域都有非常廣闊的應(yīng)用前景 對(duì)發(fā)展更微細(xì)和更快的電 子有很大幫助 不僅如此 b o s e e i n s t e i n 凝聚對(duì)于基礎(chǔ)理論研究也有著重要 而深遠(yuǎn)的影響 現(xiàn)在 關(guān)于b o s e e i n s t e i n 凝聚的研究已成為當(dāng)今國際物理學(xué)界研究的幾 個(gè)熱點(diǎn)領(lǐng)域之一 我們將根據(jù)描述b o s e e i n s t e i n 凝聚的數(shù)學(xué)模型 一類帶調(diào)和 勢(shì)并具組合冪非線性項(xiàng)的非線性s c h r s d i n g e r 方程 2 5 1 5 3 1 3 2 5 1 5 2 對(duì) b o s e e i n s t e i n 凝聚所特別關(guān)注的幾個(gè)問題進(jìn)行研究 本論文考慮帶調(diào)和勢(shì)并具組合冪非線性項(xiàng)的非線性s c h r s d i n g e r 方程 f 仍 礦i 工f 礦 j 伊f 1 礦 l 礦r q 妒 0 1 1 1 其中 妒 伊 f r o d 斗c 為復(fù)值波函數(shù) 0 t 佃 d 是空間維數(shù) f 一l 是虛數(shù)單位 是r 上的l a p l a c e 算子 參數(shù) 和y 都是正的實(shí)數(shù) 1 p q 考爭(zhēng) 這里苗爭(zhēng)表示 當(dāng)d l 2 時(shí) 苗壽 佃 當(dāng)d 3 時(shí) 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 吉?jiǎng)?wù) 簧 方程 1 1 1 描述在磁場(chǎng)勢(shì)下 具有相互吸引的粒子相互作用的 b o s e e i n s t e i n 凝聚現(xiàn)象 各向同迷的調(diào)和勢(shì)l 引2 代表了磁場(chǎng)勢(shì)的影響 2 5 1 5 3 1 3 2 5 1 5 2 下面介紹關(guān)于方程 1 1 1 的已有研究現(xiàn)狀 在介紹之前 我們先回顧如下 幾個(gè)相關(guān)的方程 首先是經(jīng)典的非線性s c h r s d i n g e r 方程 3 5 5 1 5 2 娩 伊 l 礦i p l 礦 0 1 1 2 有許多數(shù)學(xué)家對(duì)它進(jìn)行了研究并且得到了大量的數(shù)學(xué)成果 g i n i b r e 和 v e l o 2 4 2 5 建立了其c a u c h y 問題在相應(yīng)的能量空間中解的局部適定性 當(dāng) 1 p l 告時(shí) 此時(shí)被稱作超臨界 g l a s s e y 2 6 o g a w a 和t s u t s u m i 3 8 3 9 已經(jīng)證明其解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破 特別是對(duì)于充分大的初值 同時(shí)6 i n i b r e 和v e l o 2 5 c a z e n a v e 8 9 和s t r a u s s 4 6 都獲得其解也會(huì)整體存在 特別是 對(duì)于充分小的初值 因此 對(duì)于p 2 1 舌 自然出現(xiàn)了解爆破和解整體存在的 最佳分界的問題 k u z n e t s o v 3 3 3 和z h a n g 5 3 都從不同角度研究過這個(gè)問題 同時(shí)b 6 9 0 u t 1 也得到了其一個(gè)整體解存在的充分條件和必要條件 對(duì)于經(jīng)典的非線性s c h r 5 d i n g e r 方程 1 1 2 另外一個(gè)研究的重要問題便是 其駐波的性態(tài) 方程 1 1 2 的駐波是具如下形式e p x t 力的解 其中 w r 是頻率 石 滿足非線性橢圓方程 刪一i l 產(chǎn)1 0 u e h l r 口 首先s t r a u s s 4 7 證明了其駐波的存在性 也可參見b e r e s t y c k i 和 l i o n s 4 k w o n g 3 4 證明了其駐波的唯一性 當(dāng)p 0 駐波 力都是軌道穩(wěn)定 當(dāng)p l 告 時(shí) 對(duì)于任意的w 0 w e i n s t e i n 5 0 證明了其駐波是不穩(wěn)定的 當(dāng)p l 告 時(shí) 對(duì)于任意的w 0 b e r e s t y c k i 和c a z e n a v e 3 證明了其駐波不穩(wěn)定 對(duì)于帶組合冪非線性項(xiàng)的經(jīng)典的非線性s c h r s d i n g e r 方程 娩 妒 i 緲i p 妒 l 礦i q 妒 0 1 1 3 我們知道 它僅僅在非線性項(xiàng)方面比經(jīng)典的非線性s c h r s d i n g e r 方程 1 1 2 多 第l 章前言 出了一項(xiàng) 所以稱之為帶組合冪非線性項(xiàng)的經(jīng)典的非線性s c h r 5 d i n g e r 方程 正 是因?yàn)槎嗉恿艘粋€(gè)非線性項(xiàng) 方程 1 1 3 的研究就比方程 1 1 2 的研究困難了 許多 原因是 對(duì)于方程 1 2 研究行之有效而且非常關(guān)鍵的方法 比如 經(jīng)典 的尺度變換技巧 g a l i b e i 變換 時(shí)空擴(kuò)張以及著名的擬共形變換等 他們對(duì)于 方程 1 1 2 是不變的 但對(duì)于方程 1 1 3 這些非常關(guān)鍵的方法就失去功效 他們不再不變 4 2 4 8 因此 需要重新尋求其它的方法和技巧對(duì)方程 1 1 3 進(jìn)行研究 對(duì)于方程 1 1 3 c a z e n a v e 8 得到了其解的局部適定性 o h t a 4 1 研究了它一維時(shí)駐波解的性質(zhì) t a o 4 8 對(duì)其整體解 爆破解以及散射作了細(xì)致 的研究 對(duì)于帶調(diào)和勢(shì)的非線性s c h r 5 d i n g e r 方程 娩 a 礦l 工r 礦 l 妒i p i 緲 0 1 1 4 我們發(fā)現(xiàn) 它僅僅只比經(jīng)典的非線性s c h r s d i n g e r 方程 1 1 2 多了一個(gè)調(diào)和勢(shì) 項(xiàng) 故稱之為帶調(diào)和勢(shì)的非線性s c h r s d i n g e r 方程 方程 1 1 4 可以模擬一類 b o s e e i n s t e i n 凝聚 因此它有著與方程 1 1 2 和 1 1 3 不一樣的物理背景 故近年來備受關(guān)注 但是 正因?yàn)檫@個(gè)調(diào)和勢(shì)項(xiàng) 使得對(duì)方程 1 1 4 的研究陷 入了一個(gè)新的尷尬局面 一方面 剛才我們提到的對(duì)于經(jīng)典的非線性 s c h r s d i n g e r 方程 1 1 2 具有不變性的一些非常關(guān)鍵的變換方法現(xiàn)在對(duì)方程 1 1 4 都不成立了 5 4 5 7 另一方面 關(guān)于方程 1 1 4 的研究空間 原來對(duì)于 方程 1 1 2 和 1 1 3 都成立的經(jīng)典的s o b o l e v 空間日1 現(xiàn)在也不適用 從而只 能尋求其它空間 5 4 5 7 而且 空間的變化導(dǎo)致了數(shù)學(xué)上許多根本性質(zhì)的變化 比如空間的范數(shù) 空間的嵌入緊性等等方面都隨之發(fā)生了根本性的改變 因此 對(duì)方程 1 1 4 的研究是一個(gè)非常困難 非常棘手的問題 對(duì)于方程 1 1 4 首先o h 4 0 在1 9 8 9 年得到了它在其相應(yīng)能量空問中解 的局部適定性 這個(gè)結(jié)果也可參見法國數(shù)學(xué)家c a z e n a v e 8 的專著 后來 r a b i n o w i t z 4 3 應(yīng)用 山路引理 研究了其駐波的存在性 其實(shí)早在1 9 8 6 年 w e i y u ed i n g 和w e i m i n gn i 1 6 兩位先生也研究了其駐波的存在性 1 9 9 8 年 z h a n g 5 4 5 5 從數(shù)學(xué)角度對(duì)其駐波的存在性和穩(wěn)定性作了部分工作 接著 f u k u i z u m i 和o h t a 1 7 2 0 也開始對(duì)其駐波的穩(wěn)定性作了一些研究 1 9 9 9 年 k a b e y a 和t a n a k a 3 0 在研究某一類橢圓方程解的性質(zhì)時(shí)得到了其駐波在某些條 件下的唯一性 h i r o s e 和o h t a 2 9 在2 0 0 2 年也得到了其駐波在某些條件下的唯 一性 t s u r u m i 和w a d a t i 4 9 于1 9 9 7 年從物理角度分析了其解的坍塌 爆破 性 質(zhì) 1 9 9 8 年 z h a n g 5 4 從數(shù)學(xué)角度開始對(duì)其坍塌性質(zhì)做了研究 之后 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 c a r i e s 6 7 也開始詳細(xì)的刻畫其坍塌解的性質(zhì) 值得一提的是 2 0 0 0 年后 z h a n g 教授領(lǐng)導(dǎo)的研究小組 包括g a n 2 1 2 3 l i 3 7 c h e n 1 0 一1 4 和 s h u 4 5 對(duì)方程 1 1 4 進(jìn)行了多方面的研究 整體解和爆破解的存在條件 最 佳條件 爆破動(dòng)力學(xué)行為 駐波的存在性以及穩(wěn)定與不穩(wěn)定性 下面 回到我們的研究對(duì)象方程 1 l1 目前 對(duì)于它的研究相對(duì)要少一 些 0 h 4 0 已經(jīng)得到它在其相應(yīng)能量空間中解的局部適定性 這個(gè)結(jié)果也可參 見法國數(shù)學(xué)家c a z e n a v e 8 2 的專著 對(duì)于方程 1 1 1 從物理學(xué)觀點(diǎn)上看 對(duì)于b o s e e i n s t e i n 凝聚現(xiàn)象 如下 問題備受關(guān)注 什么條件下 b o s e e i n s t e i n 凝聚變得不穩(wěn)定從而坍塌 即爆破 什么條件下 b o s e e i n s t e i n 凝聚對(duì)任何時(shí)間都存在 即整體存在 特別地 b o s e e i n s t e i n 凝聚坍塌和整體存在的最佳條件是什么 b o s e e i n s t e i n 凝聚所 對(duì)應(yīng)的孤立波 即數(shù)學(xué)上的駐波解 的性態(tài)是怎樣的 怎樣刻畫 另外 從純粹的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)出發(fā) 對(duì)于像非線性s c h r s d i n g e r 這類的非線性波 動(dòng)方程 研究整體解和爆破解的最佳存在條件 研究方程駐波解的性質(zhì) 這些 問題是非線性波動(dòng)方程目前最有意義最重要的幾個(gè)研究問題之一 美國的著名 數(shù)學(xué)家s t r a u s s 4 6 法國數(shù)學(xué)家c a z e n a v e 8 在他們各自專注中明確指出了這 些問題的重要性 因此該論文旨在研究方程 1 1 1 的如下問題 1 方程 1 1 1 的整體解和爆破解存在的條件及最佳條件是什么 2 方程 1 1 1 的駐波解是否存在 如果存在 其性態(tài)怎么樣 但是由于方程 1 1 1 綜合了方程 1 1 3 和方程 1 1 4 的研究難點(diǎn) 故方 程 1 1 1 的研究就顯得更困難 整個(gè)論文的方法是現(xiàn)代變分法 結(jié)合到b e r e s t y c k i 和c a z e n a v e 3 k u z n e t s o v 3 3 b e g o u t 1 p a y n e 和s a t t i n g e r 4 2 l e v i n e 3 6 z h a n g 5 3 5 7 的思想 我們作了進(jìn)一步的發(fā)展 通過分析這個(gè)方程的特征 以 方程的c a u c h y 問題的局部適定性為基礎(chǔ) 構(gòu)造合適泛函和n e h a r i 流形 從而設(shè) 置強(qiáng)制約束變分問題 通過分析這些變分問題的特性 構(gòu)造某些特定的函數(shù) 結(jié)合這些函數(shù)特征 方程的特征以及一些重要不等式的特征 建立了它的所謂發(fā) 展不變流 然后 討論該方程的整體解存在性與有限時(shí)間內(nèi)的坍塌性質(zhì) 最后 結(jié)合變分特征確定出該方程整體解存在的最佳條件 進(jìn)一步 討論了其駐波解的 存在性和不穩(wěn)定性 4 第l 章前言 1 2 預(yù)備知識(shí) 首先 賦予方程 1 1 1 的初值條件 烈毛o 曲 x r 1 2 1 設(shè)置能量空間 口 如 日1 r 0 x f l f d r o o 1 2 2 其中 s o b o l e v 空間日1 協(xié) l 2 r 罷 l 2 r f l 2 3 d 另外 為 簡(jiǎn)單起見 j 岳表示 0 d x 當(dāng)賦予如下內(nèi)積 劬妒 v 伊v 歹 而 瓣 1 2 3 日變成了一個(gè)h i l b e r t 空問 連續(xù)的嵌入科 r o 其相應(yīng)的范數(shù)我們用 k 表示 同時(shí) 我們用 i 表示l p r 空間的范數(shù) 對(duì)于方程 1 1 1 o h 4 0 證明了在能量空間 中柯西問題的如下局部適 定性 也可參見c a z e n a v e 8 命題1 2 1 8 4 0 假設(shè)l p q 考爭(zhēng) 那么對(duì)于任意初值 h 一定 存在柯西問題 1 1 1 一 1 2 1 的唯一解妒 f 功在c o d 日 這里t o 叫 表示最大的存在時(shí)間 滿足或者t 0 0 整體存在 或者t 并且 啦0 妒峙 m 爆破 t l 進(jìn)一步 對(duì)于所有的t o d 柯西問題 1 1 1 一 1 2 1 的解礦 f 滿足如下 質(zhì)量和能量?jī)蓚€(gè)守恒律 肘 伊 f j 妒 f f 出 m 1 2 4 知 e 烈f 丟扣v 妒 f p l x l 2 i 妒 f f i 各 i 卯 r 1 一壽 i 烈t i q 協(xié) e 1 2 5 命題1 2 2 1 8 設(shè)初值 h 那么對(duì)于1 p q p l 舌 如果0 l b 充分小 c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 在h 中有唯一 有界的整體解妒 命題1 2 3 1 8 設(shè)初值 h 對(duì)于q p l 舌 如果e 0 那么 5 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 c a u c h yf q 題 1 i 1 一 i 2 i 的解伊在有限時(shí)間內(nèi)爆破 命題i 2 4 8 讓初值 h 礦是柯西問題 1 1 1 一 1 2 1 在 o 印上 的解 i j t 0 工f i 礦1 2 d x 那么 嘉 8 脅1 2 枷卜器m r l 麗d q 1 小 協(xié) 1 2 6 引理1 2 1 5 0 假設(shè)妒 h r 那么 j 1 卯出s 云 j 1 v 卯a(chǎn) x 2 j 1 工1 2 l q 1 2 a x 2 1 2 7 引理i 2 2 1 1 3 假設(shè)l p g 0 為 c 端蘆崠鏟 竿i q 尹川 1 2 1 0 引理1 2 3 1 5 4 設(shè)1 s p 考務(wù) 那么日嵌入口 艫 是緊的 證明我們首先證明當(dāng)p 1 時(shí)的情況 因?yàn)閔 嵌 k h r 連續(xù) 由s o b o l e v 嵌入定理 故h 嵌入r r 是連續(xù) 的 取一個(gè)序列饑 c h 滿足 一0 在日中弱收斂 從而 一0 在 r 弱收斂 1 2 1 1 從而a s u p 0 峙 0 存在b 0 使得當(dāng)l 工i b 時(shí) 有 1 i x l 2 占 并且由 1 2 1 1 可得 u n 斗0 在r l x 峰研 中 所以存在m 0 使得當(dāng)行 m 時(shí) l i f 出s 占 那么當(dāng)竹 m 時(shí) 6 第1 章前言 n fd x l u n p 出 k l p 出s s k i f 出5 s s c a 2 從而在r r 上 叫0 因此日嵌a l 2 r d 是緊的 當(dāng)p 1 時(shí) 利用p l 的結(jié)論和引理1 2 2 中的g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不 等式可立即得結(jié)論 1 3 主要結(jié)論 1 對(duì)于方程 1 l 1 當(dāng)1 舌 p g r 甜 o 在分析了d 0 后便有 定理1 假設(shè)1 舌 p q 考爭(zhēng) q oe 并且滿足 0 那么c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的解妒 f 功在日空 間整體存在 2 若r 0 那么c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的解尹 力在有限時(shí) 間內(nèi)爆破 另外 由命題1 2 2 知 當(dāng)l 舌 p g 巷務(wù) 只要其能量空間中的初 值充分小 其解一定整體存在 但究竟要小到什么程度才行呢 第二章 我們將 回答這個(gè)問題 定理2 假設(shè)l 舌 p g 苗壽 如果 h r 且滿足 寺j i i v f l 編1 2 i x l 2 i p 斑 d 那么 c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的解礦在日空間整體存在 2 第三章 我們用能量泛函作為判別準(zhǔn)則 給出了c a u c h y 問題 7 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 1 一 1 2 1 在l 告 p g 考爭(zhēng)時(shí) 整體解和爆破解存在的條件 特別值 得一提的是 這一章的結(jié)論是可以用于實(shí)際計(jì)算的 因此它更有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值 首先定義了與初值編相關(guān)的兩個(gè)常量彳和a e 3 1 1 和 3 1 2 于 是得到 定理3 假設(shè)l 舌 p q 巷務(wù) h 1 如果e 0 那么c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的解妒 五f 在有 限時(shí)間內(nèi)爆破 2 如果o e b 并且r i v 緬f i 引2 i 1 2 l a x 爿 那么c a u c h y 問 題 1 1 1 一 1 2 1 的解妒 f 在日空間整體存在 3 如果o e a 那么c a u c h y 問題 i 1 i 1 2 i 的解礦 f 在有限時(shí)間內(nèi)爆破 下面的定理將回答 當(dāng)l 告 p 口 考務(wù)時(shí) 初值到底要小到什么程度 c a u c h y 問題 1 i 1 一 1 2 1 的解妒在h 空間才整體存在 定理4 假設(shè)l 舌 p g 學(xué)芳 日并且滿足f 仍 0 如果 芻 慨1 2 i 工f i f of i 仍of 出 醬等圳川 那么c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的解妒在 空間整體存在 3第四章 我們研究了方程 1 1 1 的駐波 首先 我們證明了方程 1 1 1 的駐波存在 然后 討論了它的性態(tài) 定理5 存在性 假設(shè)1 p g 0 方程 1 1 1 的非平凡駐波 功存在 定理6 不穩(wěn)定性 假設(shè)1 舌 p q 吉爭(zhēng) 如果 脅p 一出箋籌幽 一堂等等幽 州協(xié) o 那么在日空間 方程 1 1 1 的駐波是非線性不穩(wěn)定的 第2 章整體解和爆破解分界的門檻條件 第2 章整體解和爆破解分界的門檻條件 這一章 主要研究c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的整體解和爆破解分界條 件的問題 運(yùn)用勢(shì)井方法和凹方法 以柯西問題局部適定性為基礎(chǔ) 構(gòu)造合適的 泛函和n e h a r i 流形 從而設(shè)置強(qiáng)制交分問題 通過對(duì)該變分問題的求解 并結(jié) 合方程固有的特性 構(gòu)造兩個(gè)不變流 據(jù)此不變流 我們得到了該方程整體解和 爆破解存在的門檻條件 令 2 1 一個(gè)變分問題 在日空間定義如下兩個(gè)泛函 力 m v 妒f i 妒f i 工f lq f 一暑t 盧i p i 川一齋 i 伊r 1 扛 2 1 1 r 糾 j l v 礦f l x f l p 1 2 d p l i i 1 1 1 i r 1 一魯籌苦 i 礦r 協(xié) 2 1 2 現(xiàn)定義一個(gè)變分問題 q p h r q r 力 o 2 i 3 d i n n f 力 2 1 4 定理2 1 1 假設(shè)l 舌 p q 0 證明選擇一個(gè)極小化序列 織 則有紙 h i o l i m l z i l l v 織f i f l x f i f o f i 2 石 i 純i p i i 2 石 l 純f 1 協(xié) d 2 1 6 以及 胍h 垌純f 一嬲比r 一籌北 協(xié) o 2 1 7 9 盛塑墼堂堡主堂堡堡奎 由 2 1 7 和s o b o l e v 不等式知 慨p 嘲純1 2 礎(chǔ)2 麗d p 1 盧j 1 r 出 麗o q d j 1 q 且l v f i 紙1 2 且i v 1 2 i l z 蚴孚 2 i 8 這里及以后 為簡(jiǎn)單起見 我們用c 表示各種正常數(shù) 由引理1 2 1 知 j 1 f 出 雖 j v 1 2 1 j 1 工l i 紙j 踟m s c 扣 f 凼 j 1 x f i f 出 2 1 9 因此 由 2 1 8 2 1 9 得 扣睨f i j r f 敗f 2 妣 c t q c f v p i 算1 2 l 織i 竿 且j v 純i i x r i 純門出 等 2 1 1o 由于l 告 p 拿 o 使得 l v p i xf i 1 2 出 c o 2 1 1 1 又由 2 1 7 以及l(fā) 告 叮 2 1 1 2 所以d 0 另外 由 2 1 6 和 2 1 7 知 壇 甏著比r 百d q 可1 4 概r 1 扣f 2 d 2 1 1 3 所以 純 一在日上有界 因此存在一個(gè)礦 胃使得 的子序列 我們?nèi)?l o 第2 章整體解和爆破解分界的門檻條件 用 表示 滿足 一礦在日中 由引理1 2 3 知 純一伊在l z r 中 純 礦在礦1 r 中 純 礦在口 j p 中 因此 由 2 1 6 2 1 7 以及 2 1 1 5 得 2 1 1 4 2 1 1 5 2 熙 等等比 等旭p 耐2 也 2 1 1 6 且等等小h 孚小p 扣 如 另外 由 2 1 1 5 以及且阿純p i j f i f 出是強(qiáng)制和凸的 得 黝 緲l i m f 胍h 瑚 p 一籌小r 一鬻地r 協(xié) 熙胍h 硼純 2 一器比p 一器化r 協(xié) 0 因此 一定存在 0 i 滿足r 勵(lì) o 即 11 7 2 2 脅1 2 i 垌卯肛籌 1 j 挑d 2 川p 1 b r j i 覷 2 1 1 8 故勵(lì) q 所以l f l q d 又由 o 1 2 1 1 6 和 2 1 1 8 有 2 鼉等m r 瓦d q 百i 4 小h 扣2 姥 2 茅 i i 孚礦m i 掃礦p 協(xié) d f 孚巾h 等小p j 1 i 訛 2 1 1 9 于是 口 1 從而 r r 們 r r 砌 0 結(jié)合到 2 1 1 6 1 宦理得證 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 2 整體解存在的最佳門檻 命題2 2 1 置 墨 伽 日 r r 0 1 u d 2 2 1 足j e h r r o i d 那么 k 和疋在c a u e h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 產(chǎn)生的流上是不變的 證明設(shè)編e 耳 f o t 方程 1 1 1 相應(yīng)于初值 的解 由 1 2 4 和 1 2 5 有 烈f m 烈f 石 妒 f t o d 因此 由j d 得 妒o o t o 乃 2 2 3 如果 2 2 3 不成立 由連續(xù)性和r 0 知 存在一個(gè) o d 使得 r 認(rèn) o 故緲 f 1 q 同時(shí) 注意到 2 2 2 從而 伊 d 烈 矛盾 因此 2 2 3 成立 故疋在c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 產(chǎn)生的流上 是不變的 同理可證 趕在c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 產(chǎn)生的流上是不變的 定理2 2 1 假設(shè)1 告 p g 盎務(wù) h r 那么 1 如果c o o 墨 c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的解伊 f 功整體存在 2 如果 趕 c a u c h y l 3 t i 1 1 1 一 1 2 1 的解礦 f 曲在有限時(shí)間內(nèi)爆破 證明1 設(shè) k 且妒 f 力是方程 1 1 1 相應(yīng)于初值 在t o d 上的解 由命題2 2 1 有妒 疋 即 坳 圭脅1 2m 1 2 小1 2 i 妒1 2 一雨2 巾 p 一而2 m r 協(xié) j 鍺c 酬2 小一咖扣卜眨z 6 1 2 第2 章整體解和爆破解分界的門檻條件 故 妒峙 c 因此由局部適定性定理知 c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的解 妒 f 曲整體存在 2 設(shè) e 疋且烈f 曲是方程 1 1 1 相應(yīng)于初值 在t 0 d 上的解 由命題2 2 1 有矽 k 即 刪 扣v 妒h 礦m 硼妒f 一而2 咖 一南小r 坶 2 2 7 蝴 舾h 硼礦p 一端咖卜麗d q 1 m r 協(xié) 三荊 2 2 9 因此 由命題i 2 4 2 2 9 k 和 2 1 4 得 等卅 出 8 脅h 硼礦f 一面d p 而 1 咖r 一一麗d q 可 1 m r 協(xié) 一1 66 工f i 礦f 出 8 r 力 8 r 咖 1 6 z 力一 a 壚 1 6 i o p d 1 6 j 一d o q 2 i o 從而 c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的解妒 f 功在有限時(shí)間內(nèi)爆破 下面這個(gè)定理將回答 初值到底要小到什么程度 c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的解才會(huì)整體存在 定理2 2 2 假設(shè)1 舌 p g 吉 h r 且滿足 曇 i v p 1 f l x l 2 lq op 協(xié) 以 2 2 1 1 那么 c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的解妒 f 整體存在 證明設(shè) 0 且滿足 2 2 1 1 顯然 滿足j 0 如果它不成立 那么 肌 瑚 f 一端 i 口 ol 川一器 i 仍o r l 出姐 2 2 1 2 首先 我們證明 肌1 2 i 奸 2 一淵 i q or 1 一籬y iq or l 出 o 2 2 1 3 否則 純 q 但是 扣v f i 仍f 小1 2 i q o f 一雨2 i p oi l 一雨2 i p o 1 9 1 協(xié) 寺j 1 v 1 2 i r l 石1 2 l 純1 2 k d 2 2 1 4 這與定理2 1 1 矛盾 故 慨m 玎蚶一嬲 i 口 or 1 一器 i q o i 協(xié) 2 2 1 5 因此 存在 o 1 使得n p q o 0 從而p q o q 但由 2 2 1 1 我們有 鯫 i 1 2 且i v f l 1 2 i x r i 1 2 協(xié) 一萬l 川 l r 出一南 1 出 告 2 i v f l q of l x f l 仍o1 2 p 2 2 1 6 2 d d 這與定理2 1 1 矛盾 從而 k 由定理2 2 1 c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的解妒 f 一 整體存在 1 4 第3 章能量判別準(zhǔn)則 第3 章能量判別準(zhǔn)則 這一章 用能量泛函作為判別準(zhǔn)則 得到了c a u c h y 問題 1 1 1 一 1 2 1 的整體解和爆破解的最佳分界條件 同時(shí)回答了能量空間中的初值到底要小到 什么程度 其整體解才會(huì)存在 值得一提的是 這一章得到的所有結(jié)論都可以運(yùn) 用于實(shí)際計(jì)算中 因此 它更有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值 3 1 主要結(jié)論 對(duì)于方程 1 1 1 假設(shè)1 舌 p g o 滿足如下方程 其中q 是非線性橢圓方程 1 2 8 的基態(tài)解 我們能證明一是方程 3 1 2 的唯 一正解 見引理3 2 1 另外 令 咖 r 緲1 2 i 石p i 妒f 弦l 3 1 3 同時(shí) 定義 哎 扣 h o u a 0 z u 彳 0 e 口 其中e u 是如 1 2 5 的能量泛函 那么對(duì)于柯西問題 1 1 1 一 1 2 1 的解 有如下結(jié)果 定理3 1 1 假設(shè)1 舌 p g 巷務(wù) h 則有 1 如果 巧 柯西問題 1 1 1 一 1 2 1 的解妒 f 在h 空間整體存 在 2 如果 e 柯西問題 1 1 1 一 1 2 1 的解妒瓴f 在有限時(shí)間內(nèi)爆 半 鼉 籜 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 破 備注3 1 1 假設(shè)1 舌 p g 盎爭(zhēng) h 妒 f 是柯西問題 1 1 1 一 1 2 1 相應(yīng)于初值 的解 那么由c a z e n a v e 8 和定理3 1 1 知 1 如果e 0 認(rèn)x t 在有限時(shí)間內(nèi)爆破 2 如果o e b 并且在i v f i 工p i 1 2 d x a 妒 f 在日空間 整體存在 3 如果o e 傷 a 烈并 f 在有限時(shí) 間內(nèi)爆破 然而 遺憾的是 如果占 b 對(duì)于柯西問題 1 1 1 一 1 2 1 我們沒 有找到整體解和爆破解存在的最佳條件 下面的定理將回答 當(dāng)g p l 舌時(shí) 初值到底多小時(shí) 柯西問題 1 1 1 一 1 2 1 的解整體存在 定理3 1 2 假設(shè)1 舌 p 窖 孝寺 e h 如果 滿足以編 o 并 且 幛 i v r i x f l r i 1 2 協(xié) 錯(cuò)舢i i 仍0 1 1 2 2 3 1 4 那么在日空間 柯西問題 1 1 1 一 1 2 1 相應(yīng)于初值 的解妒 f 整體存在 3 2 主要結(jié)論的證明 卒節(jié) 找1 f 將讓明足埋3 1 1 相定理3 1 2 首先 給出如f 的引理 引理3 2 1 假設(shè)1 舌 p g 0 剛 l 叫等葺孑當(dāng)產(chǎn) 竿 y 掣爿畢 一 生虹磐p 產(chǎn)羋例一 i i 刪t 掣彳竿 d q n 其中o 是非線性橢圓方程 1 2 8 的基態(tài)解 因?yàn)?1 6 第3 章能量判別準(zhǔn)則 萬dg 鋤 叫 筆器亭馮竿里與堅(jiān)i i q l 醫(yī) 圳f 坪嚴(yán) 7 避囂尸嚴(yán)垃掣刪 半 印 0 時(shí) f 例嚴(yán)格單減 并且關(guān)于a 連續(xù) 又因?yàn)?i g o 1 0 i i g 似等蕞箸馮竿 滬1 i 掣 確 避穢p 掣 州掣 州 詈 鏟i i q l 滬i i 觥嗶 糍 0 因此 方程 3 1 2 有唯一正解 引理3 2 2 假設(shè)l 舌 p q 孝務(wù) 那么巧和 在柯西問題 1 i 1 一 1 2 1 產(chǎn)生的發(fā)展流上是不變的 證明假設(shè) k g 伊 f 是柯西問題 1 1 1 一 1 2 1 相應(yīng)于初值 的解 由 1 2 5 知 e 礦 f e 純 t o d 因?yàn)閛 e f o o b 所以 o e f a f et o 3 2 1 欲證妒 f e 髟 只須證 o 妒o 4 t o n 3 2 2 如果 3 2 2 不成立 因?yàn)?純 o 1 8 3 2 5 第3 章能量判別準(zhǔn)則 f o 三 一熹掣辮竿i i qj l c 圳 r 掣產(chǎn) 2 d p 一1 d p 1 三勺4 q 1 d 2 掣l l q i 惻e 衛(wèi)學(xué) 芋 d q 1 d q 1 一 3 2 6 對(duì)于o e o 佃 有 1 當(dāng)o a 0 0 2 當(dāng)o a f o o 所以 由引理3 2 1 知 在點(diǎn)a 處f o 取得最大值 并且 1 2 a 地2 p 1 掣崠號(hào)望嚴(yán)i i q l l 滬 i i q o1 1 掣么掣 呈勺4 q i d 2