小學(xué)升初中奧數(shù)專(zhuān)題講解(90頁(yè))

乘法中的巧算 （一）學(xué)習(xí)指導(dǎo) 首先認(rèn)識(shí)乘法交換律： 乘法結(jié)合律： 如： 或 利用這些定律，可以使式題簡(jiǎn)便，同時(shí)可以推廣到多個(gè)數(shù)相乘，我們可以選擇兩個(gè)因數(shù)相乘，得出較簡(jiǎn)單的（整十、整百、整千）積，再將這個(gè)積與其它因數(shù)相乘，有時(shí)也可以把某個(gè)因數(shù)再分解成兩個(gè)因數(shù)，使其中一個(gè)因數(shù)與其它的乘數(shù)的積成為較簡(jiǎn)單的數(shù)，然后再與其它的因數(shù)相乘，這樣就可以進(jìn)行巧算。 例 1. 用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。 （ 1） （ 3） （ 2） （ 4） 分析： （ 1）可以將 4 和 25 結(jié)合起來(lái)先乘。這樣： 原式 （ 2）可以將 125 和 8 相結(jié)合起來(lái)乘，這樣： 原式 （ 3）可以把 28 變成 4 7，再將 125 和 4 結(jié)合起來(lái)先乘： 原式 （ 4）我們先把 32 變?yōu)?4 8，再把 25 和 4， 125 和 8 結(jié)合起來(lái)乘： 原式 利用乘法分配律，可以使一些題簡(jiǎn)便： ，這個(gè)定律可以推廣，一般的有 ，如 ，當(dāng)兩 個(gè)數(shù)相乘時(shí)，有時(shí)可以把一個(gè)因數(shù)變?yōu)閮蓚€(gè)數(shù)的和與另一個(gè)因數(shù)相乘，也可以把一個(gè)因數(shù)變?yōu)閮蓚€(gè)數(shù)的差與另一個(gè)因數(shù)相乘，這樣計(jì)算簡(jiǎn)便。 例 2. 用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題。 （ 1） （ 3） （ 2） （ 4） 分析： （ 1）、（ 2）題可以直接用乘法分配律去計(jì)算。 （ 1） （ 2） （ 3）題可以先把 4004 變?yōu)椋?），然后再用分配律計(jì)算。 （ 4）小題可以先把 798 變?yōu)椋?），再運(yùn)用分配律計(jì)算 。 例 3. 巧算一個(gè)數(shù)乘以 10， 100， 1000 分析： 一個(gè)數(shù)乘以 10，就是在這個(gè)數(shù)后添 0，如： 當(dāng)一個(gè)數(shù)乘以 100 時(shí)，就是在這個(gè)數(shù)后添 00，如： 當(dāng)一個(gè)數(shù)乘以 1000 時(shí)，就是在這個(gè)數(shù)后添 000，如 例 4. 巧算一個(gè)數(shù)與 99 相乘。 分析： 先填空，再觀察一個(gè)數(shù)與 99 相乘的 規(guī)律。 觀察發(fā)現(xiàn)：“一個(gè)數(shù)與 99 相乘，先在這個(gè)數(shù)后添 00，再減去此數(shù)”即可。如果是一個(gè)數(shù)與 999 相乘，是否也具有這樣的規(guī)律呢？請(qǐng)你先填空，再總結(jié)規(guī)律。 由此得到：幾與 999 相乘，就用幾千減去幾？ 例 5. 巧算兩位數(shù)與 11 相乘。 分析： 觀察上面一組數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩位數(shù)與 11 相乘，只要把這個(gè)兩位數(shù)打開(kāi)，個(gè)位數(shù)字做積的個(gè)位，十位數(shù)字做積的百位，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字相加做積的十位，如果滿十，就向百位進(jìn) 1。 如： 方法是：兩邊一拉，中間相加，滿十進(jìn) 1。 例 5. 巧算三位數(shù)與 11 相乘。 分析： 三位數(shù)與 11 相乘的速算方法同樣可以概括為“兩邊拉，中間加”。注意中間是相鄰位相加。 練一練： 例 6. 巧算兩位數(shù)與 101 相乘。 豎式： 觀察發(fā)現(xiàn)“ 4343、 8989”，兩位數(shù)與 101 相乘，積是把這個(gè)兩位數(shù)連續(xù)寫(xiě)兩遍。 練一練： 例 7. 巧算三位數(shù)與 1001 相乘。 豎式： 發(fā)現(xiàn)：三位數(shù)與 1001 相乘，積是把這個(gè)三位數(shù)連續(xù)寫(xiě)兩遍。 練一練： 例 8. 根據(jù) ，簡(jiǎn)算下面各題。 （ 1） 37 6 （ 5） 37 30 （ 2） 37 9 （ 6） 37 24 （ 3） 37 12 （ 7） 37 33 （ 4） 37 15 （ 8） 37 27 分析： 我們根據(jù) ，計(jì)算下面各題。想 37 6 中的因數(shù) 6 可以分解為 23。所以（ 1） 37 6 37 3 2 111 2 222 以此類(lèi)推： （ 2） 37 9 37 3 3 111 3 333 （ 3） 37 12 37 3 4 111 4 444 （ 4） 37 15 37 3 5 111 5 555 除法中的巧算 （一）學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) 我們利用“商不變的性質(zhì)”進(jìn)行除法中的巧算，因?yàn)椤吧滩蛔冃再|(zhì)”，是被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)（零除外），它們的商不變。 一般有這樣的公式： 或 如： 或 例 1. 用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題。 （ 1） （ 2） 分析： （ 1）（ 2）可以利用“商不變的性質(zhì)”去計(jì)算。 （ 1） 想辦法使其中一個(gè)數(shù)擴(kuò)大、或縮小后成為整十、整百、整千，如 25 擴(kuò)大 4 倍得 100。 （ 2） 看到被除數(shù)，與除數(shù)末尾都有 00，這樣讓它們同時(shí)縮小 100 倍。 在除法運(yùn)算中，還有兩個(gè)數(shù)的和，（或差）除以一個(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)分別去除這兩個(gè)數(shù)（在都能整除的情況下），再求兩個(gè)商的和或差。 一般公式： 如： 這個(gè)性質(zhì)可以推廣到多個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)的情況。 例 2. 用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。 （ 1） （ 2） 分析： 這兩題都可以運(yùn)用以上性質(zhì)去解答，就是“兩個(gè)數(shù)的和（差）除以一個(gè)數(shù)”的除法運(yùn)算性質(zhì)。 （ 1） （ 2） 除了以上性質(zhì)外，使計(jì)算題簡(jiǎn)便，同時(shí)還有利用乘、除同級(jí)運(yùn)算帶著符號(hào)“搬家”的性質(zhì)： （ 1）兩個(gè)數(shù)的商除以一個(gè)數(shù)，等于商中的被除數(shù)先除以這個(gè)數(shù)，再除以原來(lái)商中的除數(shù)。 一般有： 如： （ 2）兩個(gè)數(shù)的積除以一個(gè)數(shù)，等于用除數(shù)先去除積的任意一個(gè)因數(shù)，再與另一個(gè)因數(shù)相乘。 一般有： 或 如： 或： 例 3. 計(jì)算下面各題。 （ 1） （ 2） 分析： 這兩題可以運(yùn)用乘除混合運(yùn)算帶著符號(hào)“搬家”的性質(zhì)。 （ 1） （ 2） 在運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn)乘除混合運(yùn)算及括號(hào)等，怎么辦，仍有一些性質(zhì)： 1. 一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的積，等于這個(gè)數(shù)依次除以積的兩個(gè)因數(shù)。 一般公式： 如： 例 5. 簡(jiǎn)便計(jì)算下面各題。 （ 1） （ 2） 分析： 利用以上公式計(jì)算，發(fā)現(xiàn)（ 1）被除數(shù)兩個(gè)數(shù)的積，可以用下面公式計(jì)算： （ 1） （ 2） 2. 一個(gè)數(shù)乘以兩個(gè)數(shù)的商，等于這個(gè)數(shù)乘以商中的被除數(shù)，再除以商中的除數(shù)。 一般的有： 如： 例 6. 簡(jiǎn)便計(jì)算。 （ 1） （ 2） 分析： 以上兩題可以利用乘除混合運(yùn)算“去括號(hào)”，或“添括號(hào)”的性質(zhì)進(jìn)行巧算。 （ 1） （ 2） 3. 一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的商，等于這個(gè)數(shù)除以商中的被除數(shù)，再乘以商中的除數(shù)。 一般有： 如： 例 7. 簡(jiǎn)便計(jì)算下面各題。 （ 1） （ 2） 分析： 這兩題即根據(jù)小性質(zhì)去做，可“添括號(hào)”。 （ 1） （ 2） 以上 6 題都是利用乘除混合運(yùn)算去括號(hào)，或添括號(hào)的性質(zhì)解決的。但要注意：我們?cè)谑褂靡陨先砍ǖ倪\(yùn)算性質(zhì)時(shí)，必須具備的條件是商不能有余數(shù)。如果商有余數(shù)，在使用這些運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，余數(shù)是會(huì)發(fā)生變化的。如： 例 8. 巧算下面各題。 （ 1） （ 3） （ 2） （ 4） 分析： 以上 4 題，有些算式表面看起來(lái)不能進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)，可把已知數(shù)適當(dāng)分解或轉(zhuǎn)化，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便 。另外，在計(jì)算時(shí)無(wú)論題目是否要求簡(jiǎn)算，都應(yīng)盡量地使用簡(jiǎn)便方法，有時(shí)可反復(fù)使用有關(guān)的定律和性質(zhì)。 （ 1） 這題我們將 39 分解為 ，然后按性質(zhì)去做。 （ 2） 此題將 125 轉(zhuǎn)化為 （ 3） 這一步將 99 轉(zhuǎn)化為 此題直接利用乘法分配律計(jì)算就可以。 （ 4） 再次轉(zhuǎn)化為 對(duì)接近 100 的兩位數(shù)相乘的速算。 接近 100 的兩位數(shù)，用被乘數(shù)減去， 100 減乘數(shù)的差，所得的結(jié)果作積的前兩位；再用100 減去被乘數(shù)的差與 100 減乘數(shù)的差相乘，所得的結(jié)果作積的后兩位?；蛴贸藬?shù)減去， 100減被乘數(shù)的差，所得的結(jié)果作積的前兩位，再用 100 減去被乘數(shù)的差與 100 減去乘數(shù)的差相乘，所得的結(jié)果作積的后兩 位。我們用這種方法計(jì)算。 例 9. 計(jì)算： 分析： 因?yàn)?差對(duì) 98 而言 差對(duì) 91 而言 所以 或 所以 用這種方法，有兩種特例需要注意： 特例 1. 用 100 分別減去兩個(gè)因數(shù)所得的差相乘之積不足 10 時(shí)，要在這個(gè)一位數(shù)前添 0，否則積變成三位數(shù)就錯(cuò)了。 如： 速算為： （注意 8 前添 0） 發(fā)現(xiàn)：差 、差 ，用第一個(gè)因數(shù)差 ，再用差 差 ，最后結(jié)果是第一個(gè)因數(shù)差 的結(jié)果做為前兩位數(shù)，差 差 的結(jié)果做為后兩位數(shù)。如果結(jié)果為一位數(shù)，前面要添 0。 特例 2. 用 100 分別減去兩個(gè)因數(shù)所得的差相乘之積大于 10 時(shí)，要將百位作為向前進(jìn)位的數(shù)，否則積變成五位數(shù)就錯(cuò)了。 如： 速算為： （注意百位上的 1 要向前進(jìn)位） 【試題答案】 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） 和倍問(wèn)題 （一）學(xué)習(xí)指導(dǎo) 例 1. 秦奮和媽媽的年齡加在一起是 40 歲，媽媽的年齡是秦奮年齡的 4 倍，問(wèn)秦奮和媽媽各是多少歲？ 分析： 我們把秦奮的年齡作為 1 倍，“媽媽的年齡是秦奮的 4 倍”，這樣秦奮和媽媽年齡的和就相當(dāng)于秦奮年齡的 5 倍是 40 歲，也就是（ 4 1）倍，也可以理解為 5 份是 40 歲，那么求1 倍是多少，接 著再求 4 倍是多少？ 解： （ 1）秦奮和媽媽年齡倍數(shù)和是： 4 1 5（倍） （ 2）秦奮的年齡： 40 5 8 歲 （ 3）媽媽的年齡： 8 4 32 歲 綜合： 40（ 4 1） 8 歲 8 4 32 歲 為了保證此題的正確，驗(yàn)證 （ 1） 8 32 40 歲 （ 2） 32 8 4（倍） 計(jì)算結(jié)果符合條件，所以解題正確。 例 2. 甲乙兩架飛機(jī)同時(shí)從機(jī)場(chǎng)向相反方向飛行， 3 小時(shí)共飛行 3600 千米，甲的速 度是乙的 2 倍，求它們的速度各是多少？ 分析： 看圖： 已知兩架飛機(jī) 3 小時(shí)共飛行 3600 千米，就可以求出兩架飛機(jī)每小時(shí)飛行的航程，也就是兩架飛機(jī)的速度和?？磮D可知，這個(gè)速度和相當(dāng)于乙飛機(jī)速度的 3 倍，這樣就可以求出乙飛機(jī)的速度，再根據(jù)乙飛機(jī)的速度求出甲飛機(jī)的速度。 （ 1）甲乙兩架飛機(jī)每小時(shí)的航程（速度和）是 （千米） （ 2）乙飛機(jī)的速度是： （千米） （ 3）甲飛機(jī)的速度是： （千米） 答： 甲乙飛機(jī)的速度分別每小時(shí)行 800 千米、 400 千米。 例 3. 弟弟有課外書(shū) 20 本，哥哥有課外書(shū) 25 本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書(shū)是哥哥的 2 倍？ 分析： 思考：（ 1）哥哥在給弟弟課外書(shū)前后，題目中不變的數(shù)量是什么？ （ 2）要想求哥哥給弟弟多少本課外書(shū)，需要知道什么條件？ （ 3）如果把哥哥剩下的課外書(shū)看作 1 倍，那么這時(shí)（哥哥給弟弟課外書(shū)后）弟弟的課外書(shū)可看作是哥哥剩下的課外書(shū)的幾倍？ 思考以上幾個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，再求哥哥應(yīng)該給弟弟多少本課外書(shū)。根據(jù)條件需要先求出哥哥剩下多少本課外書(shū)。如果我們把哥哥剩下的課外書(shū)看作 1 倍，那么這時(shí)弟弟的課外書(shū)可看作是哥哥剩下的課外書(shū)的 2 倍，也就是兄弟倆共有的倍數(shù)相當(dāng)于哥哥剩下的課外書(shū)的 3倍，而兄弟倆人課外書(shū)的總數(shù)始終是不變的數(shù)量。 （ 1）兄弟倆共有課外書(shū)的數(shù)量是 20 25 45。 （ 2）哥哥給弟弟若干本課外書(shū)后 ，兄弟倆共有的倍數(shù)是 2 1 3。 （ 3）哥哥剩下的課外書(shū)的本數(shù)是 45 3 15。 （ 4）哥哥給弟弟課外書(shū)的本數(shù)是 25 15 10。 試著列出綜合算式： 答： 哥哥給弟弟 10 本課外書(shū)。 例 4. 甲乙兩個(gè)糧庫(kù)原來(lái)共存糧 170 噸，后來(lái)從甲庫(kù)運(yùn)出 30 噸，給乙?guī)爝\(yùn)進(jìn) 10 噸，這時(shí)甲庫(kù)存糧是乙?guī)齑婕Z的 2 倍，兩個(gè)糧庫(kù)原來(lái)各存糧多少噸？ 分析： 根據(jù)甲乙兩個(gè)糧庫(kù)原來(lái)共存糧 170 噸，后來(lái)從甲庫(kù)運(yùn)出 30 噸，給乙?guī)爝\(yùn)進(jìn) 10 噸，可求 出這時(shí)甲、乙兩庫(kù)共存糧多少噸。根據(jù)“這時(shí)甲庫(kù)存糧是乙?guī)齑婕Z的 2 倍”，如果這時(shí)把乙?guī)齑婕Z作為 1 倍，那么甲、乙?guī)焖婕Z就相當(dāng)于乙存糧的 3 倍。于是求出這時(shí)乙?guī)齑婕Z多少噸，進(jìn)而可求出乙?guī)煸瓉?lái)存糧多少噸。最后就可求出甲庫(kù)原來(lái)存糧多少噸。 （ 1）甲庫(kù)運(yùn)出 30 噸，這時(shí)甲乙兩庫(kù)共存糧噸數(shù)是 噸 （ 2）給乙?guī)爝\(yùn)進(jìn) 10 噸，這時(shí)甲、乙兩個(gè)庫(kù)共存糧噸數(shù)是 （噸） （ 3）這時(shí)甲乙兩個(gè)糧庫(kù)共存糧相 當(dāng)于乙?guī)齑婕Z的倍數(shù)是 倍 （ 4）這時(shí)乙糧庫(kù)存糧噸數(shù)是 噸 （ 5）乙糧庫(kù)原存糧噸數(shù)是 噸 （ 6）甲糧庫(kù)原存糧噸數(shù)是 噸 列綜合算式： 答： 甲庫(kù)原存糧 130 噸，乙?guī)煸婕Z 40 噸。 驗(yàn)算： （ 1） 噸 （ 2） 倍 想一想，如果不用上面的方法求甲糧庫(kù)原來(lái)存糧多少噸，還可以怎樣求？ 你能根據(jù)下面的算式講一講理由嗎？ 例 5. 少先隊(duì)員種柳樹(shù)和楊樹(shù)共 125 棵，楊樹(shù)的棵數(shù)比柳樹(shù)的棵數(shù)的 3 倍多 5 棵，兩種樹(shù)各種多少棵？ 分析： 如果楊樹(shù)少 5 棵，楊樹(shù)和柳樹(shù)的總棵數(shù)是 棵，這時(shí)楊 樹(shù)的棵數(shù)恰好是柳樹(shù)的 3 倍，所以柳樹(shù)的棵數(shù)是： 棵，楊樹(shù)棵數(shù)是 棵。 解： 棵 棵 答： 種柳樹(shù) 30 棵，楊樹(shù) 95 棵。 例 6. 花園里的菊花、月季花、杜鵑花共 1200 棵，其中月季花是菊花的 2 倍，杜鵑花是菊花的 3 倍，求三種花各多少棵？ 分析： 看圖： 我們把菊花看作 1 份，總棵數(shù)是菊花的 份，所以菊花的棵數(shù)是棵，月季花的棵數(shù)是 棵，杜鵑花的棵數(shù)是 棵。 解： （棵） （棵） （棵） 和倍問(wèn)題的課題要點(diǎn)： 和（倍數(shù) 1）小數(shù)（即 1 倍數(shù)） 小數(shù)倍數(shù)大數(shù) 奇數(shù)與偶數(shù)（二） 閱讀思考： 其實(shí)，在日常生活中同學(xué)們就已經(jīng)接觸了很多的奇數(shù)、偶數(shù)。 凡是能被 2 整除的數(shù)叫 偶數(shù) ，大于零的偶數(shù)又叫雙數(shù)；凡是不能被 2 整除的數(shù)叫 奇數(shù) ，大于零的奇數(shù)又叫單數(shù)。 因?yàn)榕紨?shù)是 2 的倍數(shù)，所以通常用 這個(gè)式子來(lái)表示偶數(shù)（這里是整數(shù)）。因?yàn)槿魏纹鏀?shù)除以 2 其余數(shù)都是 1，所以通常用式子來(lái)表示奇數(shù)（這里 是整數(shù)）。 奇數(shù)和偶數(shù)有許多性質(zhì)，常用的有： 性質(zhì) 1 兩個(gè)偶數(shù)的和或者差仍然是偶數(shù)。 例如： 8+4=12， 8-4=4 等。 兩個(gè)奇數(shù)的和或差也是偶數(shù)。 例如： 9+3=12， 9-3=6 等。 奇數(shù)與偶數(shù)的和或差是奇數(shù)。 例如： 9+4=13， 9-4=5 等。 單數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇，雙數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，幾個(gè)偶數(shù)的和仍是偶數(shù)。 性質(zhì) 2 奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)。 例如： 等 偶數(shù)與整數(shù)的積是偶數(shù)。 例如： 等。 性質(zhì) 3 任何一個(gè)奇數(shù)一定不等于任何一個(gè)偶數(shù)。 例 1. 有 5 張撲克牌，畫(huà)面向上。小明每次翻轉(zhuǎn)其中的 4 張，那么，他能在翻動(dòng)若干次后，使 5 張牌的畫(huà)面都向下嗎？ 分析與解答： 同學(xué)們可以試驗(yàn)一下，只有將一張牌翻動(dòng)奇數(shù)次，才能使它的畫(huà)面由向上變?yōu)橄蛳?。要想?5 張牌的畫(huà)面都向下，那么每張牌都要翻動(dòng)奇數(shù)次。 5 個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以翻動(dòng)的總張數(shù)為奇數(shù)時(shí)才能使 5 張牌的牌面都向下。而小明每次翻動(dòng) 4 張，不管翻多少次，翻動(dòng)的總 張數(shù)都是偶數(shù)。 所以無(wú)論他翻動(dòng)多少次，都不能使 5 張牌畫(huà)面都向下。 例 2. 甲盒中放有 180 個(gè)白色圍棋子和 181 個(gè)黑色圍棋子，乙盒中放有 181 個(gè)白色圍棋子，李平每次任意從甲盒中摸出兩個(gè)棋子，如果兩個(gè)棋子同色，他就從乙盒中拿出一個(gè)白子放入甲盒；如果兩個(gè)棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一個(gè)棋子，這個(gè)棋子是什么顏色的？ 分析與解答： 不論李平從甲盒中拿出兩個(gè)什么樣的棋子，他總會(huì)把一個(gè)棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子數(shù)就減少一個(gè)，所以他拿 180+181-1=360 次后 ，甲盒里只剩下一個(gè)棋子。 如果他拿出的是兩個(gè)黑子，那么甲盒中的黑子數(shù)就減少兩個(gè)。否則甲盒子中的黑子數(shù)不變。也就是說(shuō)，李平每次從甲盒子拿出的黑子數(shù)都是偶數(shù)。由于 181 是奇數(shù)，奇數(shù)減偶數(shù)等于奇數(shù)。所以，甲盒中剩下的黑子數(shù)應(yīng)是奇數(shù)，而不大于 1 的奇數(shù)只有 1，所以甲盒里剩下的一個(gè)棋子應(yīng)該是黑子。 例 3. 如圖（ 1-1）是一張 的正方形紙片。將它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干個(gè) 的長(zhǎng)方形紙片？ 圖（ 1-1） 圖（ 1-2） 分析與解答： 如圖 1-2，我們?cè)诜礁駜?nèi)順序地填上奇、偶兩字。這時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，要從上面剪下一個(gè) 的長(zhǎng)方形紙片，不論怎樣剪，都會(huì)包含一個(gè)奇，一個(gè)偶。我們?cè)贁?shù)一下奇字和偶字的個(gè)數(shù)，奇字有 30 個(gè)，偶字有 32 個(gè)。所以這張紙不能剪成若干個(gè) 的長(zhǎng)方形紙片。 2. 一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是：前兩個(gè) 數(shù)都是 1，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是： 1， 1， 2， 3， 5， 那么這串?dāng)?shù)的第 100 個(gè)是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 分析與解答： 這道題的規(guī)律是兩奇一偶，第 100 個(gè)為奇數(shù)。 列方程組解應(yīng)用題（一） 列一元一次方程解應(yīng)用題，同學(xué)們已經(jīng)在課本上學(xué)習(xí)了。今天我們主要和同學(xué)們共同研究如何列方程組解應(yīng)用題。較好地掌握這一解題思路是提高解答較難應(yīng)用題的重要方法，這個(gè)內(nèi)容共安排兩講，這一講研究學(xué)習(xí)如何解方程組。 （一）思路指導(dǎo)： 例 1. 用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身 16 個(gè)，或 制盒底 43 個(gè)，一個(gè)盒身和兩個(gè)盒底配成一個(gè)罐頭盒，現(xiàn)有 150 張鐵皮，用多少?gòu)堉坪猩?，多少?gòu)堉坪械祝拍苁购猩砼c盒底正好配套？ 分析與解答： 依據(jù)題意可知這個(gè)題有兩個(gè)未知量，一個(gè)是制盒身的鐵皮張數(shù)，一個(gè)是制盒底的鐵皮張數(shù)，這樣就可以用兩個(gè)未知數(shù)表示，要求出這兩個(gè)未知數(shù)，就要從題目中找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出兩個(gè)方程，組在一起，就是 方程組 。 兩個(gè)等量關(guān)系是： A 做盒身張數(shù) +做盒底的張數(shù) =鐵皮總張數(shù) B 制出的盒身 數(shù) 2=制出的盒底數(shù) 解： 設(shè)用 張鐵皮制盒身， y 張鐵皮制盒底。 像上面這組方程，我們叫它二元一次方程組。你知道什么是方程組了嗎？又怎樣求出這兩個(gè)未知數(shù)呢？ 這里我們主要介紹兩種方法： 第一種方法：代入法 由（ 1）式得 把（ 3）代入（ 2）得 把 代入方程（ 3）得 答： 用 86 張白鐵皮做盒身， 64 張白鐵皮做盒底。 你知道怎樣用代入法解方程組了嗎？請(qǐng)有條理地說(shuō)一說(shuō)。 試一試，看誰(shuí)學(xué)會(huì)了。 （ 1） （ 2） （ 1）題是劉莉和王穎合作完成的。 （ 2）題是吳可非完成的，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀她們的解題過(guò)程，判斷是否正確？ （ 1） 解： 由得 把代入方程得： 把 代入得 所以 是方程組的解。 （ 2） 解： 由得 把代入方程得 把 代入得 所以 是該方程的解。 經(jīng)檢查他們做得完全正確，你判斷對(duì)了嗎？ 第二種方法：消去法 例 2. 解： 根據(jù)題意可先做如下變化： 用 得 用 得 把 代入方程得 所以 是方程組的解。 例 3. 一 . 確定；二 . 變化；三 . 求解 解： 得 得 得 把 代入得 所以 是方程組的解。 請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)如何用“消去法”解方程組。 練習(xí)題答題時(shí)間： 30 分鐘 根據(jù)題目特點(diǎn)選擇方法解下面方程組。 1. 2. 3. 4. 5. 第 1 講 數(shù)論的方法技巧（上） 數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強(qiáng)大的生命力。數(shù)論問(wèn)題敘述簡(jiǎn)明，“很多數(shù)論問(wèn)題可以從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來(lái)，并且僅用三言兩語(yǔ)就能向一個(gè)行外人解釋清楚，但要證明它卻遠(yuǎn)非易事”。因而有人說(shuō)：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒(méi)有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì)，并勸他將來(lái)從事數(shù)學(xué)方面的工作?！彼栽趪?guó)內(nèi)外各級(jí)各類(lèi)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽 中，數(shù)論問(wèn)題總是占有相當(dāng)大的比重。 小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有： 1帶余除法：若 a， b 是兩個(gè)整數(shù)， b 0，則存在兩個(gè)整數(shù) q， r，使得 a=bq+r（ 0 r b）， 且 q， r 是唯一的。 特別地，如果 r=0，那么 a=bq。這時(shí)， a被 b 整除，記作 b|a，也稱b 是 a的約數(shù)， a是 b的倍數(shù)。 2若 a|c， b|c，且 a， b互質(zhì)，則 ab|c。 3唯一分解定理：每一個(gè)大于 1的自然數(shù) n都可以寫(xiě)成質(zhì) 數(shù)的連乘積，即 其中 p1 p2 pk為質(zhì)數(shù)， a1， a2， ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。（ 1）式稱為 n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。 4約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè) n 的標(biāo)準(zhǔn)分解式為（ 1），則它的正約數(shù)個(gè)數(shù)為： d（ n） =（ a1+1）（ a2+1）（ ak+1）。 5整數(shù)集的 離散性： n 與 n+1 之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式 x y與 x y-1是等價(jià)的。 下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來(lái)分類(lèi)講解。 一、利用整數(shù)的各種表示法 對(duì)于某些研究整數(shù)本身的特性的問(wèn)題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常有助于問(wèn)題的解決。這些常用的形式有： 1十進(jìn)制表示形式： n=an10n+an-110n-1+ +a0； 2帶余形式： a=bq+r； 4 2的乘方與奇數(shù)之積式： n=2mt，其中 t為奇數(shù)。 例 1 紅、黃、白和藍(lán)色卡片各 1張，每張上寫(xiě)有 1個(gè)數(shù)字，小明將這 4 張卡片如下圖放置，使它們構(gòu)成 1 個(gè)四位數(shù)，并計(jì)算這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的 10 倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無(wú)論白色卡片上是什么數(shù)字，計(jì)算結(jié)果都是 1998。問(wèn)：紅、黃、藍(lán) 3張卡片上各是什么數(shù)字？ 解： 設(shè)紅、黃、白、藍(lán)色卡片上的數(shù)字分別是 a3， a2， a1， a0，則這個(gè)四位數(shù)可以寫(xiě)成 1000a3+100a2+10a1+a0， 它的各位數(shù)字之和的 10 倍是 10（ a3+a2+a1+a0） =10a3+10a2+10a1+10a0， 這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的 10 倍的差是 990a3+90a2-9a0=1998， 110a3+10a2-a0=222。 比較上式 等號(hào)兩邊個(gè)位、十位和百位，可得 a0=8， a2=1， a3=2。 所以紅色卡片上是 2，黃色卡片上是 1，藍(lán)色卡片上是 8。 解： 依題意，得 a+b+c 14， 說(shuō)明：求解本題所用的基本知識(shí)是，正整數(shù)的十進(jìn)制表示法和最簡(jiǎn)單的不定方程。 例 3 從自然數(shù) 1， 2， 3， 1000 中，最多可取出多少個(gè)數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和能被 18 整除？ 解： 設(shè) a， b， c， d 是所取出的數(shù)中的任意 4 個(gè)數(shù)，則 a+b+c=18m， a+b+d=18n， 其中 m， n是自然數(shù)。于是 c-d=18（ m-n）。 上式說(shuō)明所取出的數(shù)中任意 2 個(gè)數(shù)之差是 18 的倍數(shù)，即所取出的每個(gè)數(shù)除以 18 所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個(gè)余數(shù)為 r，則 a=18a1+r， b=18b1+r， c=18c1+r， 其中 a1， b1， c1是整數(shù)。于是 a+b+c=18（ a1+b1+c1） +3r。 因?yàn)?18|（ a+b+c），所以 18|3r，即 6|r，推知 r=0， 6， 12。因?yàn)?000=55 18+10，所以，從 1， 2， 1000 中可取 6， 24， 42， 996共 56 個(gè)數(shù)，它們中的任意 3個(gè)數(shù)之和能被 18 整除。 例 4 求自然數(shù) N，使得它能被 5和 49 整除，并且包括 1 和 N 在內(nèi)，它共有 10 個(gè)約數(shù)。 解： 把數(shù) N 寫(xiě)成質(zhì)因數(shù)乘積的形式 由于 N能被 5和 72=49 整除，故 a3 1， a4 2，其余的指數(shù) ak為自然數(shù)或零。依題意，有 （ a1+1）（ a2+1）（ an+1） =10。 由于 a3+1 2， a4+1 3，且 10=2 5，故 a1+1=a2+1=a5+1= =an+1=1， 即 a1=a2=a5= an=0， N只能有 2 個(gè)不同的質(zhì)因數(shù) 5 和 7，因?yàn)?a4+1 3 2，故由 （ a3+1）（ a4+1） =10 知， a3+1=5， a4+1=2 是不可能的。因而 a3+1=2， a4+1=5，即 N=52-1 75-1=5 74=12005。 例 5 如果 N 是 1， 2， 3， 1998， 1999， 2000 的最小公倍數(shù)，那么 N 等于多少個(gè) 2與 1個(gè)奇數(shù)的積？ 解： 因?yàn)?210=1024， 211=2048 2000，每一個(gè)不大于 2000 的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中 2的個(gè)數(shù)不多于 10 個(gè)，而 1024=210，所以， N等于10 個(gè) 2與某個(gè)奇數(shù)的積。 說(shuō)明：上述 5例都是根據(jù)題目的自身特點(diǎn)，從選擇恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問(wèn)題迎刃而解。 二、枚舉法 枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對(duì)象分成若干種情況（分類(lèi)），然后對(duì)各種情況逐一討論，最終解決整個(gè)問(wèn)題。 運(yùn)用枚舉法有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)，分類(lèi)的原則是不重不漏。正確的分類(lèi)有助于暴露問(wèn)題的本質(zhì)，降低問(wèn)題 的難度。數(shù)論中最常用的分類(lèi)方法有按模的余數(shù)分類(lèi)，按奇偶性分類(lèi)及按數(shù)值的大小分類(lèi)等。 例 6 求這樣的三位數(shù)，它除以 11 所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和。 分析與解： 三位數(shù)只有 900 個(gè)，可用枚舉法解決，枚舉時(shí)可先估計(jì)有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計(jì)算量。 設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為 x， y， z。由于任何數(shù)除以 11 所得余數(shù)都不大于 10，所以 x2+y2+z2 10， 從而 1 x 3， 0 y 3， 0 z 3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中： 100， 101， 102， 103， 110， 111， 112， 120， 121， 122， 130， 200， 201， 202， 211， 212， 220， 221， 300， 301， 310。 不難驗(yàn)證只有 100， 101 兩個(gè)數(shù)符合要求。 例 7 將自然數(shù) N接寫(xiě)在任意一個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將 2 接寫(xiě)在35 的右面得 352），如果得到的新數(shù)都能被 N 整除，那么 N稱為魔術(shù)數(shù)。問(wèn)：小于 2000 的自然數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)？ 對(duì) N 為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。 N|100，所以 N=10， 20， 25， 50； N|1000，所以 N=100， 125， 200， 250， 500； （ 4）當(dāng) N為四位數(shù)時(shí)，同理可得 N=1000， 1250， 2000， 2500， 5000。符合條件的有 1000， 1250。 綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為 14 個(gè)。 說(shuō)明：（ 1）我們可以證明： k位魔術(shù)數(shù)一定是 10k的約數(shù)，反之亦然。 （ 2）這里將問(wèn)題分成幾種情況去討論，對(duì)每一種情況都增加了一個(gè)前提條件，從而 降低了問(wèn)題的難度，使問(wèn)題容易解決。 例 8 有 3張撲克牌，牌面數(shù)字都在 10 以內(nèi)。把這 3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光 3人。每個(gè)人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后， 3人各自記錄的數(shù)字的和順次為 13， 15，23。問(wèn)：這 3張牌的數(shù)字分別是多少？ 解： 13+15+23=51， 51=3 17。 因?yàn)?17 13，摸 17 次是不可能的，所以摸了 3次， 3張撲克牌數(shù)字之和是 17，可能的情況有下面 15 種： 1， 6， 10 1， 7， 9 1， 8， 8 2， 5， 10 2， 6， 9 2， 7， 8 3， 4， 10 3， 5， 9 3， 6， 8 3， 7， 7 (11)4， 4， 9 (12)4， 5， 8 (13)4， 6， 7 (14)5， 5， 7 (15)5， 6， 6 只有第種情況可以滿足題目要求，即 3+5+5=13； 3+3+9=15； 5+9+9=23。 這 3 張牌的數(shù)字分別是 3， 5和 9。 例 9 寫(xiě)出 12 個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。 分析一：在尋找質(zhì)數(shù)