模糊數(shù)學(xué)精品講義 第三章 模糊數(shù)學(xué)

1 管理系統(tǒng) -非經(jīng)典數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用 主講人：張 強(qiáng) 博士 教授 博導(dǎo) 北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院 管理科學(xué)與工程系 E-mail: Tel: 68912844 (O) 2 應(yīng)用模糊數(shù)學(xué) 主講人：張 強(qiáng) 博士 教授 博導(dǎo) 北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院 管理科學(xué)與工程系 E-mail: Tel: 68912844 (O) 3 教材： 朱劍英 . 智能系統(tǒng) 非經(jīng)典數(shù)學(xué)方法 . 華中科技大學(xué)出版社， 2001. 4 模糊集理論及其應(yīng)用 主講人：張 強(qiáng) 博士 教授 博導(dǎo) 北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院 管理科學(xué)與工程系 E-mail: Tel: 68912844 (O) 5 教材： 宋曉秋 . 模糊數(shù)學(xué)原理與方法 .（ 第二版 ） 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社， 2004. 胡寶清 . 模糊理論基礎(chǔ)，武漢大學(xué)出版社， 2004 . 6 第一章 緒論 第二章 三次數(shù)學(xué)危機(jī)及其啟示 第三章 模糊數(shù)學(xué) 第四章 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第五章 遺傳算法 7 第三章 模糊數(shù)學(xué) 3.1 模糊集合論的基本概念 3.2 模糊集合的分解定理 3.3 模糊集合的隸屬度 3.4 模糊集合的擴(kuò)張?jiān)?3.5 模糊模式識(shí)別 3.6 模糊關(guān)系與聚類分析 3.7 模糊綜合評(píng)判 3.8 模糊邏輯與模糊推理 8 確定性 經(jīng)典數(shù)學(xué)， 量 隨機(jī)性 隨機(jī)數(shù)學(xué)， 不確定性 模糊性 模糊數(shù)學(xué)。 隨機(jī)性 ：事件本身的狀態(tài)是清楚的，但是否發(fā)生 不確定 。 （事件是否發(fā)生不確定） 模糊性 ：事件本身的狀態(tài)不很分明，不在于事件 發(fā)生與否。 （事件本身的狀態(tài)不確定） 9 模糊數(shù)學(xué)也是由于實(shí)踐的需要而產(chǎn)生的，模糊概念（或現(xiàn)象）處處存在。 有時(shí)使用模糊性比使用精確性還要好 。 例如，“大胡子高個(gè)子長(zhǎng)頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡的中年男人” 模糊數(shù)學(xué)決不是把數(shù)學(xué)變成模模糊糊的東西，它也具有數(shù)學(xué)的共性：條理分明、一絲不茍。即使描述模糊概念（或現(xiàn)象），也會(huì)描述得清清楚楚。 一般來(lái)說，隨機(jī)性是一種外在因果的不確定性， 而模糊性是一種內(nèi)在結(jié)構(gòu)的不確定性。 10 模糊集理論的產(chǎn)生與發(fā)展 1965 年美國(guó)加尼福利亞大學(xué)控制論專家扎德 （ Zadeh L. A.) 教授在 Information and Control 雜志上發(fā)表了一篇開創(chuàng)性論文 “ Fuzzy Sets”，這標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。 由扎德教授創(chuàng)立的模糊數(shù)學(xué)是繼經(jīng)典數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)之后數(shù)學(xué)的一個(gè)新發(fā)展。統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)將數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從必然現(xiàn)象領(lǐng)域擴(kuò)大到偶然現(xiàn)象領(lǐng)域，模糊數(shù)學(xué)則把數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從精確現(xiàn)象擴(kuò)大到模糊現(xiàn)象的領(lǐng)域。 11 模糊數(shù)學(xué)研究的四大中心 美國(guó)、西歐、日本、中國(guó) 模糊技術(shù)的應(yīng)用涉及到各個(gè)領(lǐng)域。家用電器采用了模糊控制技術(shù)的有： 空調(diào)器 電冰箱 洗衣機(jī) 洗碗機(jī) 12 學(xué)術(shù)刊物 Fuzzy Sets and Systems (1978) （荷蘭） IEEE Trans. on Fuzzy System （美國(guó)） Fuzzy Mathematics （美國(guó)） Fuzzy Optimization and Decision Making （美國(guó)） 模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué) (1987) （國(guó)防科技大學(xué)） 模糊數(shù)學(xué) (1981) （華中理工大學(xué)） 13 參 考 書 羅承忠， 模糊集引論 (上冊(cè) )， 北京師范大學(xué)出版社 ，1989（ 2006 再版 ） 。 張文修，王國(guó)俊，劉旺金，方錦暄，模糊數(shù)學(xué)引論，西安交通大學(xué)出版社 ， 1991。 胡寶清，模糊理論基礎(chǔ)，武漢大學(xué)出版社， 2004。 陳水利，李敬功，王向公，模糊集理論及其應(yīng)用 ，科學(xué)出版社， 2005。 14 彭祖贈(zèng)，孫溫玉，模糊 (Fuzzy) 數(shù)學(xué)及其應(yīng)用 ，武漢大學(xué)出版社， 2002。 曹炳元，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng)， 科學(xué)出版社， 2005。 韓立巖，汪培莊， 應(yīng)用模糊數(shù)學(xué) (修訂版 )， 首都經(jīng)貿(mào)大學(xué)出版社， 1998。 Zimmermann H-J. Fuzzy Set Theory and its Applications. Boston: Kluwer Nijhof, 1996. 15 方述誠(chéng)，汪定偉，模糊數(shù)學(xué)與模糊優(yōu)化，科學(xué)出版社， 1997。 謝季堅(jiān)，劉承平，模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用 (第 2版 )，華中科技大學(xué)出版社， 2001。 邢文訓(xùn)，謝金星，現(xiàn)代優(yōu)化計(jì)算方法，清華大學(xué)出版社， 1999 （ 2006 第二版 ） 。 16 3.1 模糊集合論的基本概念 3.1.1 經(jīng)典集合論的基本概念 3.1.2 模糊集合的定義 3.1.3 模糊集合的運(yùn)算 17 由于計(jì)算機(jī)科學(xué)及許多現(xiàn)代科學(xué)和現(xiàn)代工程的發(fā)展，特別是各個(gè)領(lǐng)域智能化的發(fā)展趨勢(shì)，客觀上迫切需要把數(shù)學(xué)研究的對(duì)象擴(kuò)大到質(zhì)與量統(tǒng)一的對(duì)象和具有模糊性概念的對(duì)象。換言之，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，不能只考慮“非此即彼”的集合和“二值邏輯”，而必須考慮邊界不清晰的集合和非二值邏輯。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，早在 20 世紀(jì) 80 年代初期，日本就提出要發(fā)展 18 第五代計(jì)算機(jī) 智能計(jì)算機(jī)，但是到現(xiàn)在，十多年過去了，也沒有能研制出來(lái)。究其原因，主要是計(jì)算機(jī)的邏輯基礎(chǔ)沒有改變，仍然是二值邏輯（又稱經(jīng)典邏輯），而人們智慧所依賴的邏輯卻是非經(jīng)典邏輯。這就使得新發(fā)展的數(shù)學(xué)，從一開始就涉及到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的兩個(gè)學(xué)科：集合論與數(shù)理邏輯。這種情況與微積分剛出現(xiàn)時(shí)的情況不同。微積分剛出現(xiàn)時(shí) 19 是先建立數(shù)學(xué)方法而后再逐步建立其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。諸多非經(jīng)典數(shù)學(xué)論文中，發(fā)展最快、應(yīng)用最多的就是模糊數(shù)學(xué)。關(guān)于模糊數(shù)學(xué)的第一篇論文是由 L. A. Zadeh 在 1965 年發(fā)表的。論文的題目是“模糊集合”，發(fā)表的雜志是美國(guó)的 信息與控制 。由此可見，新的數(shù)學(xué)方向往往是在技術(shù)學(xué)科領(lǐng)域中提出來(lái)的，而且一開始就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)方法同時(shí)發(fā)展的。 20 3.1.1 經(jīng)典集合論的基本概念 1. 集合運(yùn)算 由于經(jīng)典集合論是經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)了解模糊集合論又必須與經(jīng)典集合論相對(duì)照 ，為了能循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)模糊集合論，有必要先將經(jīng)典集合論中的一些與模糊集合論有關(guān)的基本概念先給予介紹。 21 定義 3.1.1 論域 是所論數(shù)學(xué)對(duì)象的全體 。 它可以是無(wú)窮集，例如自然數(shù)的全體。但它不能是“不以自己為元素的集合”的全體，亦即不能是“非本身分子集”的集合。這樣就避免了 Russell 悖論情況。事實(shí)上，我們研究某問題時(shí)，并不關(guān)心那些與所論問題無(wú)關(guān)的對(duì)象。 22 定義 3.1.2 設(shè) X 是論域， A 是 X 的子集，即 A 的所有元素均是 X 的元素，或者說 A 是 X 中某些元素的集。 x 是 A 的元素（或 x 屬于 A），記為 xA ， x 不是 A 的元素（或 x 不屬于 A），記為 xA 。在經(jīng)典集合論范圍內(nèi)，對(duì)任一元素 x 而言，或者 xA ，或者 xA ，二者必居其一。 A 是 X 的 子集 ，記為 A X。 23 定義 3.1.3 集合用符號(hào) 表示。例如，元素 x1， x2， ，xn 組成的集合，記為 x1， x2， ， xn 。若 P 是關(guān)于論域 X 中元素的一個(gè)性質(zhì)，記號(hào) x X | x 具有 P 或 x X | P(x) 表示 X 內(nèi)具有性質(zhì) P(x) 的一切元素的集合。不含任何元素的集叫 空集 ，記為 。 24 定義 3.1.4 X 為論域 ， A、 B 為 X 的子集 ， 若 A 的元素也是 B 的元素，稱 A 包含于 B， 或 B 包含于 A，或 A 是 B 的子集 ， 記為 A B。若 A 與 B 由相同的元素組成，即 A B， 且 B A， 則稱 A 與 B 相等 ，記為 A = B。 定義 3.1.5 X 的所有子集組成的集合，稱為 X 的冪集 ，記為 P ( X ) = A | A X 。 （ 3.1.1） 25 命題 3.1.1 P ( X ) 的元素間的包含關(guān)系有以下性質(zhì) : (1) 自反性： A P ( X )， A A； (2) 反對(duì)稱性： A、 B P ( X )， 若 A B 且 B A， 則 A = B ； (3) 傳遞性： A、 B、 C P ( X )， 若 A B 且 B C， 則 A C。 26 定義 3.1.7 若 A、 B P ( X )， 稱集 A B = x X | x A 或 x B （ 3.1.3） 為 A 與 B 的 并集 ；稱集 A B = x X | x A 且 x B （ 3.1.4） 為 A 與 B 的 交集 。 27 設(shè) T 為某個(gè)指標(biāo)集 , X 的子集 At | t T P ( X ), 當(dāng) T 時(shí)， X 的子集的并和交分別定義為： 特別地，當(dāng) A、 B P ( X ) 時(shí)， A 與 B 的并 A B及交 A B 就是定義 3.1.7 的情況。當(dāng) T = ， 有 )6.1.3(,|)5.1.3(,|tTtttTttAxTtXxAAxTtXxA 使)7.1.3(, XAATttTtt 28 定義 3.1.6 若 A、 B P ( X ), 稱集 A B = A B =x X | x A 但 xB。 （ 3.1.2） 為 A 與 B 的 差集 ，特別地 X A 稱為 A（ 關(guān)于 X ） 的 補(bǔ)集 ，記為 Ac ( ) 。 A29 在一個(gè)非空集合上，可以建立若干運(yùn)算，上述并、交、補(bǔ)就是集合上的運(yùn)算。 我們把四元組 (P ( X )， ， ， c） 稱為一個(gè) 代數(shù)系統(tǒng) 。實(shí)際上它是一個(gè) 布爾代數(shù) 。 定義 3.1.8 符號(hào) x 表示 “有一個(gè) x” ！ x 表示“有且僅有一個(gè) x”， x 表示 “對(duì)于全體 x”。 30 命題 3.1.2 代數(shù)系統(tǒng) (P ( X )， ， ， c） 有以下性質(zhì)： （ 1） 交換律： A B = B A， A B = B A。 （ 2） 結(jié)合律 : A ( B C ) = ( A B) C, A ( B C ) = ( A B) C。 （ 3） 冪等律： A A =A， AA = A。 （ 4） 分配律 : A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )。 31 （ 5） 兩極律 : A X = A， A X = X， A = ， A = A。 （ 6） 吸收律 : A ( AB ) = A， A( A B ) = A。 （ 7） 復(fù)原律 : ( Ac )c = A。 （ 8） 排中律 （ 互補(bǔ)律 ）： A Ac =X， AAc = 。 （ 9） 對(duì)偶律 : ( A B)c = AcBc； ( AB)c= Ac Bc。 （ 10） 對(duì)稱差： ( AcB) (ABc) = ( AcBc)(AB)， ( Ac B) (A Bc) = ( AcBc)(AB)。 32 分配律與對(duì)偶律有以下更一般地形式：設(shè) T 為某指標(biāo)集， At | t TP ( X )， AP ( X )， 有 以上各命題的證明是顯然的，故從略。 .,)9(.)()(),()()4(TttTttTttTttTttTttTttTttAAAAAAAAAAAA33 2. 映射 定義 3.1.9 設(shè) A、 B 是兩個(gè)集合，若有一規(guī)則 f ，使每一個(gè) xA 唯一確定一個(gè) yB 與之對(duì)應(yīng)，則稱 f 是從 A 到 B 的一個(gè) 映射 ，記為 f ： AB， A 稱為映射 f 的 定義域 ， B 稱為 f 的 值域 ； y 稱為 x 在 f 作用下的 象 ， 記作 y f (x)， 并用符號(hào) f : x |y 表示 ， x 稱為 y 的一個(gè) 原象 。 34 由此可見，一個(gè)映射必須聯(lián)系兩個(gè)集合 （ 可以是同一論域上的集合，也可以不是同一論域上的集合 ）和一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則。 例 3.1.1 取 A=0， 2， B =-1， 1， 從 A 到 B的映射： f ： AB， x |y = f (x) = sin x 是我們熟知的正弦函數(shù)。 通常我們了解的 函數(shù)都是映射 ，因此函數(shù)是映射的特殊形式，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，映射和函數(shù)是同義詞。 35 定義 3.1.10 A 到 A 的 映射 IA ，即 IA： AA， a |a ， 稱為 A 上的 單位映射 （ 或 恒等映射 ） 。 映射相等：兩個(gè)映射 f ： AB， g ： CD，若有 A C， B D， 并且 xA， f (x) = g(x)， 則稱這兩個(gè) 映射相等 ，記為 f g。 36 單射： 對(duì)于映射 f ： AB， 若有 x， yA， xy f (x) f (y)， 則稱 f 為單射。 滿射： 對(duì)于映射 f ： AB， 若有 yB， x A 使 y f (x), 則稱 f 為滿射。 雙射： 如果 f 既是單射，又是滿射，則稱 f 為雙射。雙射也叫 一一對(duì)應(yīng) 或 可逆 映射 。 37 例 3.1.2 設(shè) A=a， b， c， B =1， 2， 3， 4。 （ 1） 若有對(duì)應(yīng)規(guī)則 f ： a |1， b |1， c |2， 則 f 為 A 到 B 的一個(gè)映射，但不是單射，也不是滿射。 （ 2） 若有對(duì)應(yīng)規(guī)則 g： a |1， b |2， c |3， 則 g 為 A 到 B 的一個(gè)映射， g 是單射，但不是滿射。 38 （ 3） 若有對(duì)應(yīng)規(guī)則 h： a |1， b |2， 則 h 不是 A 到 B 的一個(gè)映射，因?yàn)?c 沒有對(duì)應(yīng)的象。 （ 4） 若有對(duì)應(yīng)規(guī)則 k： a |1， a |2 ， b |3， c |4， 則 k 不是 A 到 B 的一個(gè)映射，因?yàn)?a 在 k 作用下的象不唯一。 例 3.1.1 中的映射是滿射而不是單射。 39 定義 3.1.11 設(shè) f 是 A 到 B 的映射， S A，記 f ( S ) = f (x) | xS ， 這是 B 的一個(gè)子集，叫做 S 在 f 作用下的象 (當(dāng) S 時(shí)，規(guī)定 f (S) = )。 特別地，當(dāng) S A 時(shí)， f (A) 稱 為映射 f 的象（ 參見圖 3.2） 。 40 T B，記 f 1( T ) = xA | f (x)T , 這是 A 是一個(gè)子集，叫做在 f 作用下 T 的完全原象 （ 當(dāng) T 時(shí)，規(guī)定 f 1 () = )。 f 1() 又稱為 f 的逆映射。 顯然，一個(gè)映射若可逆，則其逆映射是唯一的。 41 定義 3.1.12 設(shè) A、 B、 C 是三個(gè)集合，已知兩個(gè)映射 f ： AB， g ： BC，則可以確定一個(gè) A 到 C 的映射： h： AC a|h(a) = g( f (a)， 稱為映射 f 與 g 的 合成映射 （ 或 復(fù)合映射 ） ，記為 h g 。 f 。 42 例 3.1.3 設(shè) A=a， b， c， d ， B=， ， ， C = 1， 2。 已知映射 f 及 g 如下： f ： A B g： B C a | ， |1， b | ， |2， c | ， |2。 d |， 43 則它們的合成映射 h = g 。 f 為 a | 1， b | 1， c | 2， d | 2。 因?yàn)?f 不是單射， g 也 不是單射，所以 f 和 g 都不可逆，合成映射 h 當(dāng)然也不可逆。 44 3. 特征函數(shù) 定義 3.1.13 設(shè) AP ( X )，由集合 A 誘導(dǎo)出的映射 A() ： X 0， 1， 稱為 ( X 上 ) 集合 A 的特征函數(shù)。 （ 注 ： A (x) =A(x)） 集合與其特征函數(shù)可以相互唯一確定，集合是直觀概念，特征函數(shù)則是它的數(shù)學(xué)表現(xiàn)。 .,0,1)(AxAxxA45 例如： X a, b, c, d, e， A a, c, e， A(a) = A(c) = A(e) = 1， A(b) = A(d) = 0。 集合若用特征函數(shù)來(lái)表現(xiàn)，則可寫成 A x X | A(x) =1。 46 .),(1)()5(.) ,(),(m i n )()4(.) ,(),(m a x )()3(.),()()2(.),()()1(XxxAxAXxxBxAxBAXxxBxAxBAXxxBxABAXxxBxABA) .(i n f)()7() .(s u p)()6(xAxAxAxAtTtTtttTtTtt集合與特征函數(shù)在運(yùn)算上有下列關(guān)系： 47 其中， sup 表示集合的上確界， inf 表示集合的下確界。 當(dāng)指標(biāo)集 T 為有限的情形， sup = max， inf = min。有時(shí)上、下確界分別用內(nèi)插符 、 來(lái)表示，即 = sup， = inf 。 為了簡(jiǎn)化，還寫成 =， = 。 于是便有 48 記 F 0( X ) = A() A() : X0, 1 定理 P ( X ) F 0( X )。 ) .()() ,()(xAxAxAxAtTtTtttTtTtt),()()(),()()(xBxAxBAxBxAxBA49 例 3.1.4 考慮一個(gè)五元素的論域集合 X x1， x2 ， x3， x4， x5 ， 其中有一子集 A x1, x3 , x5， 其特征函數(shù)為 A(x1) = A(x3) = A(x5) = 1, A(x2) = A(x4) = 0。 用特征函數(shù)表示集合 A ，可以寫成 A (x1 , 1)， (x2 , 0)， (x3 , 1)， (x4 , 0)， (x5 ,1) 。 50 例 3.1.5 設(shè)在上述論域中有兩個(gè)子集 A 及 B： A (x1 , 1)， (x2 , 0)， (x3 , 1)， (x4 , 0)， (x5 ,1) ， B (x1 , 1)， (x2 , 0)， (x3 , 1)， (x4 , 1)， (x5 ,1) ， 則可以求得 A B (x1 , 1)， (x2 , 0)， (x3 , 1)， (x4 , 0)， (x5 ,1) ， A B (x1 , 1)， (x2 , 0)， (x3 , 1)， (x4 , 1)， (x5 ,1) ， (x1 , 0)， (x2 , 1)， (x3 , 0)， (x4 , 1)， (x5 ,0) ， (x1 , 0)， (x2 , 1)， (x3 , 0)， (x4 , 0)， (x5 ,0) 。 _BA _BA 51 3.1.2 模糊集合的定義 在經(jīng)典集合中排除了 “非本身分子集的集合”，就排除了 Russell 悖論。在經(jīng)典集合中可以用 Cantor造集的原則，即任給一性質(zhì) （ 概念 ） p，就對(duì)應(yīng)的有一集合 G，它是由所有滿足 p 的對(duì)象 g，而且僅由這些 g 所組成的： G g | p(g) 。 (3.1.8) 52 我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)說過，這里的性質(zhì) p 是“非此即彼” 清晰概念，它的特征函數(shù)的數(shù)值也僅是 0、 1 兩個(gè)值。 A(x)=1，表明 x A，即對(duì)象 x 滿足性質(zhì) (概念 ) p。 A(x)=0，表明 x A，即對(duì)象 x 不滿足性質(zhì) (概念 ) p。 二者必取其一，也僅取其一。 但是在現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常使用的概念是非清晰的概念，它們沒有明確的外延，不是 “非此即彼” 的， 53 而是“亦此亦彼”的模糊概念，如“上午”、“黃昏”、“年青人”、“老年人”、“強(qiáng)磁”、“弱磁”等等。它們不能用論域 X 上的經(jīng)典集來(lái) 表示。為此，必須把經(jīng)典集及其運(yùn)算加以拓廣。拓廣的最簡(jiǎn)單的方法就是把特征函數(shù) A(x) 的取值從值域 0, 1 拓廣到區(qū)間 0, 1。相應(yīng)的我們把集合 A 拓廣成模糊集 A， 特征函數(shù) A(x) 就拓廣成隸屬度函數(shù) (簡(jiǎn)稱隸屬函數(shù) ) A(x)。 54 例 3.1.6 如圖 3. 3 所示， x1， x2 ， x3， x4 ， x5 ， 是 5 個(gè)小塊，它們組成論域 X。 “ 圓塊塊 ” 是 X 上的一個(gè)模糊集，記為 A， 它的隸屬函數(shù)為： A (x1) = 1， A (x2) = 0.75， A (x3) = 0.5， A (x4) = 0.25， A (x5) = 0。 這 個(gè)模糊集 A 還可以寫成如下的形式： A = (x1 | 1)， (x2 | 0.75)， (x3 | 0.5)， (x4 | 0.25)， (x5 | 0) 55 定義 3.1.14 設(shè) X 是論域，映射 A()： X 0, 1 x A(x) 稱為 X 的模糊子集 (合 ) A ( Fuzzy Set )，簡(jiǎn)稱 F 集(合 ) 。 對(duì) x X， A (x) 稱為 x 對(duì) A 的隸屬度， A 稱為 F 集的隸屬函數(shù) (我們也將 A (x) 簡(jiǎn)記為 A(x)。 56 定義 3.1.14 設(shè) X 為論域， x 為 X 中的元素。對(duì)于任意的 x X，給定了如下的映射 x | A(x) 0, 1， 即 A： X 0, 1，我們稱所有 “序偶”組成的集合 A (x， A(x) | x X (A(x) / x)， | x X , 為 X 上的模糊子集合， 簡(jiǎn)稱模糊集合 ，稱 A() 為模糊集合 A 的 隸屬函數(shù) ，對(duì)某個(gè)具體的 x ，稱 A(x) 為 x 對(duì) A 的 隸屬度 。 57 X 上的所有模糊子集組成的集合記為 F ( X )。 正如經(jīng)典集合完全由特征函數(shù)刻畫一樣，模糊集合也完全由隸屬函數(shù)所刻畫。 當(dāng) A 的值域蛻化為 0, 1時(shí)， A 就是經(jīng)典集合，所以經(jīng)典集合是模糊集合的特例。于是便有 P ( X )F ( X ) 。 58 兩個(gè)特殊的模糊集合： 空集 的隸屬函數(shù)恒為 0， 即 (x) 0， x X ； 論域 X 的隸屬函數(shù)恒為 1，即 X(x) 1， x X。 59 模糊集可以用幾種方法表示 : (1) A = (x , A(x) )| xX 。 (3.1.9) (2) A = A(x) / x | xX 。 (3.1.10) (3) (3.1.11) (“” 這里不表示積分） X xxAA)(60 當(dāng) X = x1， x2， ， xn 為有限集時(shí)，也可以表示為： (4) A= A(x1)/ x1 + A(x2)/ x2 + . + A(xn)/ xn (3.1.12) (這里 + 不是求和 ) 。 (5) A = ( A(x1)， A(x2), ., A(xn) ) (3.1.13) (向量表示式 ， A(x) = 0 的項(xiàng)不可略去 )。 61 例 有 5 人 x1， x2 ， x3， x4 ， x5 屬于 “ 年輕人 ” 的程度分別為 0.4， 0.7， 0.4， 0.9， 1.0， 則模糊集 Y = “ 年輕人 ” 可表示為 Y = 0.4 / x1 + 0.7 / x2 + 0.4 / x3 + 0.9 / x4 + 1.0 / x5 或 Y = ( x1, 0.4 ), (x2, 0.7 ), (x3, 0.4 ), (x4, 0.9 ), ( x5, 1.0 )。 62 例 設(shè) X = R = 全體實(shí)數(shù) ， A 表示概念 “ X 中接近于 5 的數(shù) ” ，其隸屬函數(shù)是 A(x) = (1+( x 5) 2 ) 1 ， 則模糊集 A 可表示為 A =(1+( x 5) 2 ) 1 / x 。 63 例 3.1.8 設(shè)論域 X , 200 表示人的年齡， Zadeh 給出 “ 年老 ” (O(x) 與 “ 年青 ” (Y(x) 兩個(gè)模糊集的隸屬函數(shù)分別為： ;20050,5501,500,0)(12xxxxO64 特別地 O(55)=0.5; O(60)=0.8; O(80)=0.97; Y(30)=0.5; Y(35)=0.2. .20025,5251,250,1)(12xxxxY65 3.1.3 模糊集合的運(yùn)算 定義 3.1.15 設(shè) A、 BF ( X ) (1) 若 xX 有 A(x) B(x)， 稱 A 含于 B 或 B 包含 A， 記為 A B。 (2) 若 xX 有 A(x) = B(x)， 稱 A 與 B 相等 ， 記為 A B。 66 由上述定義，易證下面的命題。 命題 3.1.3 F ( X ) 上的包含關(guān)系 “ ” 有以下性質(zhì)： (1) AF ( X )， A X。 (2) 自反性： AF ( X )， A A。 (3) 反對(duì)稱性： A、 BF ( X )， 若 A B 且 B A， 則 A B。 (4) 傳遞性： A、 B、 CF ( X )， 若 A B 且 B C， 則 A C 。 67 定義 3.1.16 設(shè) A、 BF ( X )， 則它們的交、并、補(bǔ)運(yùn)算可定義如下： (1) A 與 B 的并集，記為 AB， 其隸屬函數(shù)為 (AB)(x) = A(x)B(x)， xX， 其中 “ ” 表示取最大值 （ 上確界 ） 。 (2) A 與 B 的交集，記為 AB， 其隸屬函數(shù)為 (AB)(x) = A(x)B(x)， xX， 其中 “ ” 表示取最小值 （ 下確界 ） 。 (3) A 的余 (補(bǔ) )模糊集，記為 Ac， 其隸屬函數(shù)為 Ac(x) =1 A(x)， x X。 68 )14.1.3()()(Xx xxBxABA采用 Zadeh 的記號(hào)，還可以寫成 （ 1） 并 ： （ 2） 交 ： )15.1.3()()(Xx xxBxABA69 （ 3） 余 (補(bǔ) )： 設(shè) T 為任意指標(biāo)集， At | t T F ( X )，其并和交 運(yùn)算 分別定義為： ).18.1.3(),()(,),17.1.3(),()(,xAxBXxABxAxAXxAAtTtTtttTtTtt)16.1.3()(1XxcxxAA70 例 3.1.9 在例 3.1.6 中，再定義 這時(shí)，就有 （ 采用第（ 4）種記法）， ,17.05.03.01.0)(54321 xxxxxB 方塊塊543215432117.05.075.01107.025.05.05.03.075.01.01)(xxxxxxxxxxBA 或方或圓71 ）種方法采用第（又方又圓）5)0,25.0,5.0,3.0,1.0()10,7.025.0,5.05.0,3.075.0,1.01(BA ）種方法采用第（不圓）11,75.0,5.0,25.0,0,01,25.01,5.01,75.01,11,5432154321xxxxxxxxxxAC72 4321543213.05.07.09.0117.015.013.011.01xxxxxxxxxBXxXxC（不方）73 命題 3.1.4 代數(shù)系統(tǒng) (F ( X )， ， ， c） 有以下性質(zhì) : （ 1） 交換律： A B = B A， A B = B A。 （ 2） 結(jié)合律 : A ( B C ) = ( A B) C, A ( B C ) = ( A B) C。 （ 3） 冪等律： A A =A， AA = A。 （ 4） 分配律 : A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )。 74 （ 5） 兩極律 : A X = A， A X = X， A = ， A = A。 （ 6） 吸收律 : A ( AB ) = A， A( A B ) = A。 （ 7） 復(fù)原律 : ( Ac )c = A。 （ 8） 對(duì)偶律： (AB)c =AcBc； (AB)c= AcBc。 （ 9） 對(duì)稱差： ( AcB) (ABc) = ( AcBc)(AB)， ( Ac B) (A Bc) = ( AcBc)(AB)。 75 分配律與對(duì)偶律有以下更一般地形式：設(shè) T 為某指標(biāo)集， At | t TF ( X )， AF ( X )， 有 證明： 根據(jù)定義 3.1.15， 要證以上各式，只 須驗(yàn)證對(duì) .,)8(.)()(),()()4(TttTttTttTttTttTttTttTttAAAAAAAAAAAA對(duì)偶律：分配律：76 每個(gè) x X，以上各式兩邊的隸屬度相等便可。現(xiàn)以對(duì)偶律為例證明如下： xX， xBAxBxAxBxAxBxAxBAxBACCCCC1111 .CCCCCCBABABABA同理可證故有77 注意： 在 代數(shù)系統(tǒng) (F ( X )， ， ， c） 中定義的并、交、補(bǔ)運(yùn)算已不再滿足互補(bǔ)律，即 A Ac X， A Ac 。 這是由于模糊集合不再表示 “非此即彼” 的概念，而是在表示 “亦此亦彼” 的模糊概念了。 78 3.2 模糊集合的分解定理 3.2.1 模糊集合的截集 定義 3.2.1 設(shè) AF ( X ) ， 0， 1，記 (A) = xX | A(x) , (3.2.1) = xX | A(x) , (3.2.2) 稱 (A) 為 A 的 截集 ，簡(jiǎn)記為 A ； 稱 為 A 的 強(qiáng)截集 或開截集，簡(jiǎn)記為 。 )( A)( A A79 A2 A1 0 1 2 1 x A(x) 圖 3.6 A1， A2 的示意圖 顯然， A 或 都是 X 上的普通集。 A命題 若 2 1，則 A2 A1 。 80 例 3.2.1 取 則有 65432102.05.06.08.01xxxxxxA 。XAxxxxxAxxxxxAxxxxAxxxAxxAxxAAxA0543210543212.043214.03216.0217.0218.0111, 81 命題 3.2.1 截集與強(qiáng)截集關(guān)于模糊集的“ ”、“ ”運(yùn)算具有下列性質(zhì)： 。）（。）（。）（。）（。）（TttTttTttTttTttTttAAAAAABABABABABABABABA)()(5)()(4)()(3)(,)(2)(,)(182 。）（。）（。且）（。）（。）（10)1(1)()(,)13()()()12()()()11(10987)()(6AXAAAAAAAAAAAAAAAAAccccTtTtTttTttttTtttTt83 證明： (1) x( A B ) ( A B )(x) A(x) B(x) A(x) 或 B(x) xA 或 xB x A B 亦即 (A B) = A B 。 84 (2) 類似 (1) 的證明，略。 (3) 故 xAxAAxTtAxtTtttTtt000使 .)(,)()(TttTttTttTttAAAxxA！ 85 在以上推理中，第三步不一定可逆 (極限值不等于某一個(gè)點(diǎn)的值 ) ，故一般只有包含式成立而等號(hào)不一定成立。 例 若 An(x)1/4(1 1/n)， x X， n=1, 2, 。則 ，從而 但是，對(duì)任何 n， (An)1/4=， 因此 ， XxxAnn ,41)(1 .)( 411XAnn XAAnnnn 4111 41)( 86 但是，在上述推理過程中，如果把“截集”改成“強(qiáng)截集”，即把 “ ” 需改成 “ ” ，這時(shí)推理過程的每一步都可逆，因而 (4) 的等號(hào)成立 。 (5)、 (6) 讀者自證。 (7)、 (8) 顯然。 87 (9) 一方面， 另一方面， 因此 綜合兩方面有 ;)()(tTtttTttAAAATttTtt,)()()()()(tTtttAxxAxATtAxTtAxtTttTt .)(tTttAATt.)(tTttAATt88 (10) 類似 (9)。 (11) (12) 類似 (11) 。 (13) 顯然 。 cccAxAxxAxAxAxAAx)(1)(1)()(1)()(11 不大于89 定義 3.2.2 設(shè) AF ( X )。 稱 A1 為 A 的 核 ，記作 Ker A，即 Ker A x X | A(x) =1， (3.2.3) 稱 為 A 的 支集 （ 亦稱支撐 ） ，記為 supp A，即 Supp A x X | A(x) 0， (3.2.4) 稱集合 Bd A = x X | 0 ， 有 故有 另一方面 ，由 和 （ 3.2.6） 式 ， 有 , AAA)15.2.3(. AA AA)16.2.3( AAA 114 模糊集的表現(xiàn)定理 定義 設(shè)映射 H： 0， 1 P (X)， H()。 若 H 具有性質(zhì)： 1 2 H(1) H(2) ， 則稱 H 為 X 上的集合套 。 X 上集合套的全體記為 U (X)。 115 容易看出，模糊集合 A 的截集族 A0, 1 和強(qiáng)截集族 0, 1 都是 集合套 。 分解定理 告訴我們，一個(gè)模糊集可以由它自己分解出的集合套“拼成”。那么，任給一個(gè)集合套能否拼成一個(gè)模糊集，并具有良好的性質(zhì)呢？下面的表現(xiàn)定理給了我們答案。 A116 定理（表現(xiàn)定理 ） 設(shè) H 為 X 上的一個(gè)集合套，則 0, 1 H()， 是 X 上的一個(gè)模糊集。若將其記作 A，則對(duì)任意0, 1， 有 (1) A = H ()。 A117 定理（表現(xiàn)定理 ） 設(shè) H 為 X 上的一個(gè)集合套。如果 1. H(0) = X； 2. 對(duì)任意 (0, 1， H() = H ()， 則 A= 0, 1 H()， 是 X 上的一個(gè)模糊集，并且對(duì)任意 0, 1， 有 A = H ( ) 。 118 3.3 模糊集合的隸屬度 模糊集是客觀世界數(shù)量與質(zhì)量的統(tǒng)一體，人們刻畫模糊集是通過模糊集的特有的性質(zhì)，即隸屬度來(lái)表現(xiàn)的。隸屬度是人們認(rèn)識(shí)客觀事物所賦予的該元素隸屬于該集合的程度，帶有主觀經(jīng)驗(yàn)的色彩。現(xiàn)在的問題是如何使得主、客觀盡可能地一致，并且在實(shí)踐中不斷修改，使得主觀不斷接近客觀。 由于模糊現(xiàn)象的多樣性與復(fù)雜性，現(xiàn)在還沒有 統(tǒng)一的、固定的方法來(lái)確定模糊集的隸屬度。 119 下面僅介紹一些較常應(yīng)用的方法。 3.3.1 邊界法 模糊集是沒有明確的邊界的。在論域中的元素的隸屬度一般而言也是漸變的。但是客觀事物有質(zhì)變，人們對(duì)客觀事