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二元一次方程組復習 復習思路 一 概念二 解法三 應用四 聯(lián)系 歸納 每個二元一次方程都可轉化為一次函數 實際問題 數學問題 二元或三元一次方程組 數學問題的解 二元或三元一次方程組的解 實際問題的答案 一 本章知識結構圖 代入法加減法 消元 二 有關概念1 二元一次方程 通過化簡后 只有兩個未知數 并且兩個未知數的項的次數都是1 的 整式 方程 叫做二元一次方程 2 二元一次方程的解 適合一個二元一次方程的一組未知數的值 使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值 叫做二元一次方程的一個解 3 二元一次方程組 含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程 叫做二元一次方程組 學習二元一次方程組概念時 必須注意以下六點 1 二元一次方程是整式方程 如方程x 2就不是二元一次方程 因為x 不是整式 2 二元一次方程必須含有兩個未知數 如y 3 0 3x 5y 2z 0都不是二元一次方程 3 二元一次方程中的 一次 是指含未知數的項的次數 而不是未知數的次數 如方程xy 2 0 雖然含有兩個未知數 而且未知數的次數都是 1 但整個xy這一項是二次 所以它不是二元一次方程 4 適合一個二元一次方程的每一對未知數的值 都叫做二元一次方程的一個解 要注意二元一次方程的解是一組數 如x 3 y 2就是二元一次方程x y 5的一個解 寫成這里要特別注意的是 x 3不是方程x y 5的一個解 y 2也不是方程x y 5的一個解 只有把它們組合在一起 才是二元一次方程x y 5的一個解 5 二元一次方程組里一共含有兩個未知數 而不是每個方程一定要含有兩個未知數 6 二元一次方程組至少要由兩個一次方程組成 但不限于兩個一次方程組成 不過我們目前只研究由二元一次方程組成的含有兩個未知數的二元一次方程組 二元一次方程組的解有三種情況 1 有唯一解 2 有無數個解 3 無解 那么在什么情況下有唯一解 有無數個解 無解呢 4 二元一次方程組的解 二元一次方程組中各個方程的公共解 使二元一次方程組的兩個方程左 右兩邊的值都相等的兩個未知數的值 叫做二元一次方程組的解 三 方程組的解法 根據方程未知數的系數特征確定用哪一種解法 基本思想或思路 消元 常用方法 代入法和加減法及圖象法 用代入法解二元一次方程組的步驟 1 求表達式 從方程組中選一個系數比較簡單的方程 將此方程中的一個未知數 如y 用含x的代數式表示 2 把這個含x的代數式代入另一個方程中 消去y 得到一個關于x的一元一次方程 3 解一元一次方程 求出x的值 4 再把求出的x的值代入變形后的方程 求出y的值 5 合寫6 檢驗 用加減法解二元一次方程組的步驟 1 利用等式性質把一個或兩個方程的兩邊都乘以適當的數 變換兩個方程的某一個未知數的系數 使其絕對值相等 2 把變換系數后的兩個方程的兩邊分別相加或相減 消去一個未知數 得一元一次方程 3 解這個一元一次方程 求得一個未知數的值 4 把所求的這個未知的值代入方程組中較為簡便的一個方程 求出另一個未知數 從而得到方程的解 5 合寫6 檢驗 圖象法解方程組的步驟 將方程組中各方程化為y kx b的形式 畫出各個一次函數的圖象 由交點坐標得出方程組的解 4 列方程解應用題的步驟 審題 設 列 解 檢 答 解三元一次方程組的基本思路與解二元一次方程組的基本思路一樣 即 三元一次方程組 消元 二元一次方程組 消元 一元一次方程 三元一次方程組的解法 四 知識應用 二元一次方程2m 3n 11 A 任何一對有理數都是它的解 B 只有兩組解 C 只有兩組正整數解 D 有負整數解 C 一 選擇題 1 在 x 3y 3x 5y z 2xy x 2y 1 x十 2 x 3y 0 6中是二元一次方程的個數是 A 5B 4C 3D 2 2 方程2x y 5與x 2y 0的公共解是 A B C D 3 已知方程組 那么x y的值是 A 1B 1C 0D 2 C B 2 填空題 1 已知2x 3y 0 用x表示y得 用y表示x得 2 已知方程mx ny 10有兩個解分別是和 則m n 3 若一個二元一次方程的一個解為 則這個方程可以是 只要求寫出一個 2x y 3 3 運用加減消元法解下列方程組 4 分別用代入法和加減法解方程組 1 2 3 4 6 解方程組 7 解方程組 8 解方程組 1 已知方程組 問a b各為何值時 方程組 1 有唯一解 2 有無窮多解 3 無解 典例 1 某車間每天能生產甲種零件120個 或者乙種零件100個 或者丙種零件200個 甲 乙 丙3種零件分別取3個 2個 1個 才能配一套 要在30天內生產最多的成套產品 問甲 乙 丙3種零件各應生產多少天 2 方程組中 x與y的和為12 求k的值 解得 K 14 解法1 解這個方程組 得 依題意 x y 12 所以 2k 6 4 k 12 解法2 根據題意 得 解這個方程組 得k 14 3 已知是方程組的解 求的值 4 若點P x y 3x y 與點Q 1 5 關于X軸對稱 則x y 3 5 已知 2x 3y 5 3x 2Y 25 2 0 則x y 30 6 若兩個多邊形的邊數之比是2 3 兩個多邊形的內角和是1980 求這兩個多邊形的邊數 6和9 在一次函數中的應用1 確定一次函數的表達式2 兩條直線相交 一條直線 方案設計 綜合運用 一家電信公司給顧客提供兩種上網收費方式 方式A以每分0 1元的價格按上網時間計費 方式B初收月租費20元外再以每分0 05元的價格按上網時間計費 如何選擇收費方式能使上網者更合算 解法1 設上網時間為x分 若按方式A則收費y 0 1x元 若按方式B則收費y 0 05x 20元 在同一直角坐標系中分別畫出這兩個函數的圖象 解方程組 所以兩圖象交于 400 40 當0 x 400時 直線y 0 1x在直線y 0 05x 20的下方 0 1x 0 05x 20 選A種方式合算 當x 400時兩者均可 當x 400時 直線y 0 1x在直線y 0 05x 20的上方 0 1x 0 05x 20 選B種方式合算 解法2 設上網時間為x分 方式A與方式B兩種計費差額為y元 則y與x的函數關系式為 y 0 05x 20 0 1x 0 05x 200 一家電信公司給顧客提供兩種上網收費方式 方式A以每分0 1元的價格按上網時間計費 方式B初收月租費20元外再以每分0 05元的價格按上網時間計費 如何選擇收費方式能使上網者更合算 畫出這個函數的圖象 400 解方程 0 05x 200 0 得x 400 所以圖象與x軸交點為 400 0 由圖象可知 當0 x 400時 y 0 選A方式合算 當x 400時 y 0 兩者均可 當x 400時 y 0 選B方式合算 1 為了學生的身體健康 學校的課桌 凳子都是按一定的關系科學設計的 小明對學校的一批課桌 凳子進行了觀察研究 發(fā)現它們可以根據人的身高調節(jié)高度 于是他測量了一套課桌 凳子上相對應的四檔高度 得到如下數據 1 試研究y與x可能滿足的關系式 2 小明回家后 測量了家里的寫字臺和凳子 寫字臺的高度為77cm 凳子的高度為43 5cm 請你判斷它們是否配套 2 小聰和小慧去某風景區(qū)游覽 約好在 飛瀑 見面 上午7 00小聰乘電動汽車從 古剎 出發(fā) 沿景區(qū)公路去 飛瀑 車速為36km h 小慧也于上午7 00從 塔林 出發(fā) 騎電動自行車沿景區(qū)公路去 飛瀑 車速為26km h 1 當小聰追上小慧時 他們是否已經過了 草甸 2 當小聰到達 飛瀑 時 小慧離 飛瀑 還有多少km 10km 10km 25km 小聰 小慧 2 小聰和小慧去某風景區(qū)游覽 約好在 飛瀑 見面 上午7 00小聰乘電動汽車從 古剎 出發(fā) 沿景區(qū)公路去 飛瀑 車速為36km h 小慧也于上午7 00從 塔林 出發(fā) 騎電動自行車沿景區(qū)公路去 飛瀑 車速為26km h 1 當小聰追上小慧時 他們是否已經過了 草甸 2 當小聰到達 飛瀑 時 小慧離 飛瀑 還有多少km 解 設經過t時 小聰與小慧離 古剎 的路程分別為S1 S2 由題意得 S1 36t S2 26t 10 將這兩個函數解析式畫在同一個直角坐標系上 觀察圖象 得 36 S1 36t S2 26t 10 兩條直線S1 36t S2 26t 10的交點坐標為 1 36 這說明當小聰追上小慧時 S1 S2 36km 即離 古剎 36km 已超過35km 也就是說 他們已經過了 草甸 2 小聰和小慧去某風景區(qū)游覽 約好在 飛瀑 見面 上午7 00小聰乘電動汽車從 古剎 出發(fā) 沿景區(qū)公路去 飛瀑 車速為36km h 小慧也于上午7 00從 塔林 出發(fā) 騎電動自行車沿景區(qū)公路去 飛瀑 車速為26km h 1 當小聰追上小慧時 他們是否已經過了 草甸 2 當小聰到達 飛瀑 時 小慧離 飛瀑 還有多少km S1 36t S2 26t 10 42 5 當小聰到達 飛瀑 時 即S1 45km 此時S2 42 5km 所以小慧離 飛瀑 還有45 42 5 2 5 km 思考 用解析法如何求得這兩個問題的結果 3 已知兩條直線y 2x 3和y 5 x 1 在同一坐標系內作出它們的圖象 2 求出它們的交點A坐標 3 求出這兩條直線與x軸圍成的三角形ABC的面積 解 1 2 由解得所以交點坐標A為 A 3 直線y 2x 3與x軸的交點坐標為B 0 當直線y 5 x與x軸的交點坐標為C 5 0 則 E 4 如圖表示一艘輪船和一艘快艇沿相同路線從甲港出發(fā)到乙港行駛過程中 路程隨時間變化的圖象 分別是正比例函數圖象和一次函數圖象 根據圖象解答下列問題 1 請分別求出表示輪船和快艇行駛過程的函數解析式 不要求寫出自變量的取值范圍 2 輪船和快艇在途中行駛的速度分別是多少 3 問快艇出發(fā)多長時間趕上輪船 解 1 設表示輪船行駛過程的函數解析式為y kx k 0 由圖象知 當x 8時 y 160 代入上式 得8k 160 可解得k 20 所以輪船行駛過程的函數解析式為y 20 x 設表示快艇行駛過程的函數解析式為y ax b a 0 由圖象知 當x 2時 y 0 當x 6時 y 160 代入上式 得可解得所以快艇行駛過程的函數解析式為y 40 x 80 2 由圖象可知 輪船在8小時內行駛了160千米 快艇在4小時內行駛了160千米 所以輪船的速度是 千米 時 快艇的速度是 千米 時 3 設輪船出發(fā)x小時快艇趕上輪船 20 x 40 x 80得x 4 x 2 2 答快艇出發(fā)了2小時趕上輪船 5 某水果店進了60千克西瓜 開始以每千克1 6元的價格出售了40千克后 再以半價把剩余的處理掉 設賣這些西瓜的總銷售額為y 元 總銷售量為x 千克 請列出y隨x變化的函數關系式 并畫出圖象 提示 兩段函數都是一次函數 其中第一段函數還是正比例函數 A城有化肥200噸 B城有化肥300噸 現要把化肥運往C D兩農村 現已知C地需要240噸 D地需要260噸 如果從A城運往C D兩地運費分別是20元 噸與25元 噸 從B城運往C D兩地運費分別是15元 噸與24元噸 怎樣調運花錢最少 X噸 200 X 噸 240 X 噸 300 240 X 噸 解 設 城往 村的化肥有x噸 則往 村的有 200 X 噸 城往 村的有 240 X 噸 剩余的 300 240 X 噸運往 村 若設總運費為y元 則y 20 x 25 200 X 15 240 X 24 60 x 整理得 y 4x 10040其中0 x 200 由于這個函數是個一次函數 且y隨x的增大而增大 而x越小 y也越小 所以當x 0時 y最小 此時y 0 10040 10040 因此 應由 城調往 村 噸 調往 村 0 噸 再由 城調往 村 噸 調往 村 噸 書本 357 A地有機器 臺 B地有機器 臺 現要把化肥運往甲 乙兩地 現已知甲地需要 臺 乙地需要 臺 如果從A地運往甲 乙兩地運費分別是500元 臺與400元 臺 從B地運往甲 乙兩地運費分別是300元 臺與6 元 臺 怎樣調運花錢最少 X臺 16 X 臺 15 X 臺 12 15 X 臺 整理得 y 400 x 9100其中0 x 16 設A地運往甲地x臺 運輸總費用為y 則 y 500 x