大學(xué)物理學(xué)課后答案_第3版_下冊(cè)_北京郵電大學(xué)出版社

大學(xué)物理習(xí)題及解答 習(xí)題八 8-1 電量都是 q 的三個(gè)點(diǎn)電荷，分別放在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)試問： (1)在這三角形的中心放一個(gè)什么樣的電荷，就可以使這四個(gè)電荷都達(dá)到平衡 (即每個(gè)電荷受其他三個(gè)電荷的庫侖力之和都為零 )?(2)這種平衡與三角形的邊長(zhǎng)有無關(guān)系 解 : 如題 8-1圖示 (1) 以 A 處點(diǎn)電荷為研究對(duì)象，由力平衡知： q 為負(fù)電荷 20220 )33(4130cos412aqqaq 解得 qq 33 (2)與三角形邊長(zhǎng)無關(guān) 題 8-1 圖 題 8-2圖 8-2 兩小球的質(zhì)量都是 m ，都用長(zhǎng)為 l 的細(xì)繩掛在同一點(diǎn)，它們帶有相同電量，靜止時(shí)兩線夾角為 2 ,如題 8-2圖所示設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可以忽略不計(jì)，求每個(gè)小球所帶的電量 解 : 如題 8-2圖示 220 )s in2(41s inc o slqFTmgTe解得 ta n4s in2 0 mglq 8-3 根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式 204 rqE ，當(dāng)被考察的場(chǎng)點(diǎn)距源點(diǎn)電荷很近 (r0) 時(shí)，則場(chǎng)強(qiáng) ，這是沒有物理意義的，對(duì)此應(yīng)如何理解 ? 解 : 0204 rrqE 僅對(duì)點(diǎn)電荷成立，當(dāng) 0r 時(shí)，帶電體不能再視為點(diǎn)電荷，再用上式求場(chǎng)強(qiáng)是錯(cuò)誤的，實(shí)際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶電體上的分布求出的場(chǎng)強(qiáng)不會(huì)是無限大 8-4 在真空中有 A ， B 兩平行板，相對(duì)距離 為 d ，板面積為 S ，其帶電量分別為 +q 和 -q 則這兩板之間有相互作用力 f ，有人說 f = 2024 dq ,又有人說，因?yàn)閒 =qE , SqE0 ，所以 f = Sq02 試問這兩種說法對(duì)嗎 ?為什么 ? f 到底應(yīng)等于多少 解 : 題中的兩種說法均不對(duì)第一種說法中把兩帶電板視為點(diǎn)電荷是不對(duì)的，第二種說法把合場(chǎng)強(qiáng) SqE0 看成是一個(gè)帶電板在另一帶電板處的場(chǎng)強(qiáng)也是不對(duì)的正確解答應(yīng)為一個(gè)板的電場(chǎng)為 SqE02 ，另一板受它的作用力 SqSqqf020 22 ，這是兩板間相互作用的電場(chǎng)力 8-5 一電偶極子的電矩為 lqp ，場(chǎng)點(diǎn)到偶極子中心 O點(diǎn)的距離為 r ,矢量 r 與 l 的夾角為 ,(見題 8-5圖 )，且 lr 試證 P點(diǎn) 的場(chǎng)強(qiáng) E 在 r 方向上的分量 rE 和垂直于 r 的分量E 分別為 rE = 302cosrp, E = 304sinrp證 : 如題 8-5所示，將 p 分解為與 r 平行的分量 sinp 和垂直于 r 的分量 sinp lr 場(chǎng)點(diǎn) P 在 r 方向場(chǎng)強(qiáng)分量 302cosrpEr 垂直于 r 方向，即 方向場(chǎng)強(qiáng)分量 300 4sin rpE 題 8-5圖 題 8-6 圖 8-6 長(zhǎng) l 的直導(dǎo)線 AB上均勻地分布著線密度 =5.0x10-9Cm -1 的正電荷試求： (1)在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與導(dǎo)線 B端相距 1a =5.0cm處 P 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)； (2)在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距 2d =5.0cm 處 Q 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng) 解： 如題 8-6圖所示 (1)在帶電直線上取線元 xd ，其上電量 qd 在 P 點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為 20 )(d4 1d xa xEP 22 20 )(d4d xaxEE llPP 21214 0 lala )4( 220 lal 用 15l cm ， 9100.5 1mC , 5.12a cm 代入得 21074.6 PE 1CN 方向水平向右 (2)同理 2220 dd4 1d x xEQ方向如題 8-6 圖所示 由于對(duì)稱性 l QxE 0d ，即 QE 只有 y 分量， 22222220 dddd41d xxxEQy 224dd l QyQy EE22 23222 )d(dllxx2220 d42 ll以 9100.5 1cmC , 15l cm , 5d2 cm 代入得 21096.14 QyQ EE 1CN ，方向沿 y 軸正向 8-7 一個(gè)半徑為 R 的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為 ,求環(huán)心處 O 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng) 解 : 如 8-7圖在圓上取 Rddl 題 8-7圖 ddd Rlq ，它在 O 點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為 204dd RRE 方向沿半徑向外 則 ds in4s indd0 REE x dc o s4)c o s (dd0 REE y 積分 RRE x 000 2ds in4 0dc o s400 RE y REE x 02 ，方向沿 x 軸正向 8-8 均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長(zhǎng)為 l ，總電量為 q (1)求這正方形軸線上離中心為r 處的場(chǎng)強(qiáng) E ； (2)證明：在 lr 處，它相當(dāng)于點(diǎn)電荷 q 產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) E 解 : 如 8-8圖示，正方形一條邊上電荷 4q 在 P 點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng) PEd 方向如圖，大小為 44c osc osd22021lrE P 22co s221lrl12 coscos 244d22220lrllrE PPEd 在垂直于平面上的分量 co sdd PEE 4244d2222220lrrlrlrlE題 8-8圖 由于對(duì)稱性， P 點(diǎn)場(chǎng) 強(qiáng)沿 OP 方向，大小為 2)4(44d422220lrlrlrEEP lq4 2)4(422220lrlrqrEP方向沿 OP 8-9 (1)點(diǎn)電荷 q 位于一邊長(zhǎng)為 a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場(chǎng)中穿過立方體的一個(gè)面的電通量； (2)如果該場(chǎng)源點(diǎn)電荷移動(dòng)到該立方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，這時(shí)穿過立方體各面的電通量是多少 ?*(3)如題 8-9(3)圖所示，在點(diǎn)電荷 q 的電場(chǎng)中取半徑為 R的圓平面 q在該平面軸線上的 A 點(diǎn)處，求：通過圓平面的電通量 ( xRarctan 解 : (1)由高斯定理 0d qSEs 立方體六個(gè)面，當(dāng) q 在立方體中心時(shí)，每個(gè)面上電通量相等 各 面電通量 06qe (2)電荷在頂點(diǎn)時(shí)，將立方體延伸為邊長(zhǎng) a2 的立方體，使 q 處于邊長(zhǎng) a2 的立方體中心，則邊長(zhǎng) a2 的正方形上電通量 06qe 對(duì)于邊長(zhǎng) a 的正方形，如果它不包含 q 所在的頂點(diǎn)，則 024qe ， 如果它包含 q 所在頂點(diǎn)則 0e 如題 8-9(a)圖所示題 8-9(3)圖 題 8-9(a)圖 題 8-9(b)圖 題 8-9(c)圖 (3) 通過半徑為 R 的圓平面的電通量等于通過半徑為 22 xR 的球冠面的電通量，球冠面積 * 1)(2 2222 xR xxRS )(4 2200 xR Sq 02q 221 xRx *關(guān)于球冠面積的計(jì)算：見題 8-9(c)圖 0 dsin2 rrS 02 dsin2 r )cos1(2 2 r 8-10 均勻帶電球殼內(nèi)半徑 6cm，外半徑 10cm，電荷體密度為 2 510 Cm -3求距球心5cm， 8cm ,12cm 各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng) 解 : 高斯定理 , 024 qrE當(dāng) 5r cm 時(shí)， 0q , 0E 8r cm 時(shí)， q 34p 3(r )3內(nèi)r 2023434rrrE 內(nèi)41048.3 1CN ， 方向沿半徑向外 12r cm時(shí) , 34 q 3(外r ）內(nèi) 3r 420331010.4434 rrrE 內(nèi)外1CN 沿半徑向外 . 8-11 半徑為 1R 和 2R ( 2R 1R )的兩無限長(zhǎng)同軸圓柱面，單位長(zhǎng)度上分別帶有電量 和 - ,試求 :(1)r 1R ； (2) 1R r 2R ； (3) r 2R 處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng) 解 : 高斯定理 0d qSEs取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積 rlS 2 則 rlESES 2d 對(duì) (1) 1Rr 0,0 Eq (2) 21 RrR lq rE 02 沿徑向向外 (3) 2Rr 0q 0E 題 8-12 圖 8-12 兩個(gè)無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為 1 和 2 ，試求空間各處場(chǎng)強(qiáng) 解 : 如題 8-12圖示，兩帶電平面均勻帶 電，電荷面密度分別為 1 與 2 ， 0 d q S E s 兩面間， nE )(2 1210 1 面外， nE )(2 1 210 2 面外， nE )(2 1 210 n ：垂直于兩平面由 1 面指為 2 面 8-13 半徑為 R 的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為 ,若在球內(nèi)挖去一塊半徑為 r R 的小球體，如題 8-13圖所示試求：兩球心 O 與 O 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的 解 : 將此帶電體看作帶正電 的均勻球與帶電 的均勻小球的組合，見題 8-13 圖(a) (1) 球在 O 點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng) 010E ， 球在 O 點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)d43430320 OOrE O 點(diǎn)電場(chǎng) d3 3030 OOrE； (2) 在 O 產(chǎn)生電場(chǎng)d4d3430301 OOE 球在 O 產(chǎn)生電場(chǎng) 002 E O 點(diǎn)電場(chǎng) 00 3EOO 題 8-13 圖 (a) 題 8-13 圖 (b) (3)設(shè)空腔任一點(diǎn) P 相對(duì) O 的位矢為 r ，相對(duì) O 點(diǎn)位矢為 r (如題 8-13(b)圖 ) 則 03rEPO ， 03rEOP, 000 33)(3 dOOrrEEEOPPOP 腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)是均勻的 8-14 一電偶極子由 q =1.010 -6 的兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷組成，兩電荷距離 d=0.2cm，把這電偶極子放在 1.010 5NC -1 的外電場(chǎng)中，求外電場(chǎng)作用于電偶極子上的最大力矩 解 : 電偶極子 p 在外場(chǎng) E 中受力矩 EpM qlEpEM max 代入數(shù)字 4536m a x 100.2100.1102100.1 M mN 8-15 兩點(diǎn)電荷 1q =1.510 -8C， 2q =3.010 -8C，相距 1r =42cm，要把它們之間的距離變?yōu)?r =25cm，需作多少功 解 : 2221 0212021 44 dd rrrrqqrrqqrFA )11(21 rr 61055.6 J 外力需作的功 61055.6 AA J 題 8-16 圖 8-16 如題 8-16圖所示，在 A ， B 兩點(diǎn)處放有電量分別為 +q ,-q 的點(diǎn)電荷， AB 間距離為 2R ，現(xiàn)將另一正試驗(yàn)點(diǎn)電荷 0q 從 O 點(diǎn)經(jīng)過半圓弧移到 C 點(diǎn)，求移動(dòng)過程中電場(chǎng)力作的功 解 : 如題 8-16圖示 041OU 0)( RqRq 041OU )3( RqRq Rq06 RqqUUqA oCO 00 6)( 8-17 如題 8-17圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為 的正電荷 ,兩直導(dǎo)線的長(zhǎng)度和半圓環(huán)的半徑都等于 R 試求環(huán)中心 O 點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì) 解 : (1)由于電荷均勻分布與對(duì)稱性， AB 和 CD 段電荷在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)互相抵消，取dd Rl 則 dd Rq 產(chǎn)生 O 點(diǎn) Ed 如圖，由于對(duì)稱性， O 點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿 y 軸負(fù)方向 題 8-17 圖 c o s4 dd 22 20 RREE y R04 )2sin( 2sin R02 (2) AB 電荷在 O 點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)，以 0U AB 2 0001 2ln44 d4 d RR xxxxU 同理 CD 產(chǎn)生 2ln4 02 U半圓環(huán)產(chǎn)生 003 44 RRU 00321 42ln2 UUUUO 8-18 一電子繞一帶均勻電荷的長(zhǎng)直導(dǎo)線以 210 4ms -1的勻速率 作圓周運(yùn)動(dòng)求帶電直線上的線電荷密度 (電子質(zhì)量 0m =9.110 -31kg，電子電量 e =1.6010 -19C) 解 : 設(shè)均勻帶電直線電荷密度為 ，在電子軌道處場(chǎng)強(qiáng) rE 02 電子受力大小 reeEFe 02 rvmre 202 得 1320 105.122 e mv 1mC 8-19 空氣可以承受的場(chǎng)強(qiáng)的最大值為 E =30kVcm -1，超過這個(gè)數(shù)值時(shí)空氣要發(fā)生火花放電今有一高壓平行板電容器，極板間距離為 d =0.5cm，求此電容器可承受的最高電壓 解 : 平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場(chǎng) 4105.1d EU V 8-20 根據(jù)場(chǎng)強(qiáng) E 與電勢(shì) U 的關(guān)系 UE ，求下列電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)： (1)點(diǎn)電荷 q 的電場(chǎng)；(2)總電量為 q ，半徑為 R 的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)； *(3)偶極子 qlp 的 lr 處 (見題8-20圖 ) 解 : (1)點(diǎn)電荷 rqU04 題 8-20 圖 0200 4 rrqrrUE 0r 為 r 方向單位矢量 (2)總電量 q ，半徑為 R 的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)電勢(shì) 2204 xRqU ixRqxixUE 2/32204 (3)偶極子 lqp 在 lr 處的一點(diǎn)電勢(shì) 200 4c o s)c o s21(1)c o s2(14 rqlllrqU 302c o s rprUEr 304s in1 rpUrE 8-21 證明：對(duì)于兩個(gè)無限大的平行平面帶電導(dǎo)體 板 (題 8-21 圖 )來說， (1)相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相反； (2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相同 證 : 如題 8-21 圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體 A 、 B 的四個(gè)平面均勻帶電的電荷面密度依次為 1 ，2 ， 3 ， 4 題 8-21 圖 (1)則取與平面垂直且底面分別在 A 、 B 內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時(shí)，有 0)(d 32 SSEs 2 03 說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號(hào)相反； (2)在 A 內(nèi)部任取一點(diǎn) P ，則其場(chǎng)強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均勻帶電平面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)疊加而成的，即 0222204030201 又 2 03 1 4 說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號(hào)相同 8-22 三個(gè)平行金屬板 A ， B 和 C 的面積都是 200cm2， A 和 B 相距 4.0mm， A 與 C 相距2.0 mm B ， C 都接地，如題 8-22圖所示如果使 A 板帶正電 3.010 -7C，略去邊緣效應(yīng)，問 B 板和 C 板上的感應(yīng)電荷各是多少 ?以地的電勢(shì)為零，則 A 板的電勢(shì)是多少 ? 解 : 如題 8-22圖示，令 A 板左側(cè)面電荷面密度為 1 ，右側(cè)面電荷面密度為 2 題 8-22 圖 (1) ABAC UU ，即 ABABACAC EE dd 2dd21 ACABABACEE且 1 + 2 SqA 得 ,32 SqA SqA321 而 71 10232 AC qSq C C101 72 Sq B (2) 301 103.2dd ACACACA EU V 8-23 兩個(gè)半徑分別為 1R 和 2R （ 1R 2R )的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電 +q ，試計(jì)算： (1)外球殼上的電荷分布及電勢(shì)大?。?(2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷分布及電勢(shì)； *(3)再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢(shì)的改變量 解 : (1)內(nèi)球帶電 q ；球殼內(nèi)表面帶電則為 q ,外表面帶電為 q ，且均勻分布，其電勢(shì) 題 8-23 圖 2 2 020 44 ddR R RqrrqrEU (2)外殼接地時(shí)，外表面電荷 q 入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為 q 所以球殼電勢(shì)由內(nèi)球 q 與內(nèi)表面 q 產(chǎn) 生： 0442020 RqRqU (3)設(shè)此時(shí)內(nèi)球殼帶電量為 q ；則外殼內(nèi)表面帶電量為 q ，外殼外表面帶電量為q q (電荷守恒 )，此時(shí)內(nèi)球殼電勢(shì)為零，且 04 4 4 202010 RqqRqRqU A 得 qRRq21外球殼上電勢(shì) 220 21202020 4444RqRRRqqRqRqUB 8-24 半徑為 R 的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為 Rd 3 處有一點(diǎn)電荷 +q ，試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量 解 : 如題 8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為 q ，則球接地時(shí)電勢(shì) 0OU 8-24圖 由電勢(shì)疊加原理有： OU 034400 RqRq 得 q 3q8-25 有三個(gè)大小相同的金屬小球，小球 1， 2帶有等量同號(hào)電荷，相距甚遠(yuǎn)，其間的庫侖力為 0F 試求： (1)用帶絕緣柄的不帶電小球 3先后分別接觸 1， 2后移去，小球 1， 2之間的庫侖力； (2)小球 3依次交替接觸小球 1， 2很多次后移去，小球 1， 2之間的庫侖力 解 : 由題意知 2020 4 rqF (1)小球 3 接觸小球 1 后，小球 3 和小球 1 均帶電 2qq , 小球 3 再與小球 2 接觸后，小球 2 與小球 3 均帶電 qq 43 此時(shí)小球 1 與小球 2 間相互作用力 002201 8348342FrqrqqF (2)小球 3 依次交替接觸小球 1 、 2 很多次后，每個(gè)小球帶電量均為 32q . 小球 1 、 2 間的作用力 002 94432322FrqqF *8-26 如題 8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是 S，相距為 d ，分別維持電勢(shì)AU =U ， BU =0不變現(xiàn)把一塊帶有電量 q 的導(dǎo)體薄片平行地放在兩極板正中間，片的面積也是 S，片的厚度略去不計(jì)求導(dǎo)體薄片的電勢(shì) 解 : 依次設(shè) A , C , B 從上到下的 6 個(gè)表面的面電荷密度分別為 1 ， 2 ， 3 ，4 , 5 , 6 如圖所示由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持 UUAB 可得以下 6 個(gè)方程 題 8-26 圖 6543215432065430021001dUSqSqdUUCSSqBA解得 Sq261 SqdU 2032 SqdU 2054 所以 CB 間電場(chǎng) SqdUE0042 2 )2 d(212d02 SqUEUUCBC 注意：因?yàn)?C 片帶電，所以 2UUC ，若 C 片不帶電，顯然 2UUC 8-27 在半徑為 1R 的金屬球之外包有一層外半徑為 2R 的均勻電介質(zhì)球殼，介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)為 r ，金屬球帶電 Q 試求： (1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)； (2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢(shì)； (3)金屬球的電勢(shì) 解 : 利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理 qSDS d (1)介質(zhì)內(nèi) )( 21 RrR 場(chǎng)強(qiáng) 303 4,4 rrQErrQDr 內(nèi) ; 介質(zhì)外 )( 2Rr 場(chǎng)強(qiáng) 303 4,4 rrQErQrD 外 (2)介質(zhì)外 )( 2Rr 電勢(shì) rQEU 0r 4rd 外 介質(zhì)內(nèi) )( 21 RrR 電勢(shì) 2020 4)11(4 RQRrqr )11(420 RrQ rr (3)金屬球的電勢(shì) rdrd 221 RRR EEU 外內(nèi) 22 2020 44 dr RRR r rQ d rrQ )11(4210 RRQ rr 8-28 如題 8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對(duì)介電常數(shù)為 r 的電介質(zhì)試求：在有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自 由電荷面密度的比值 解 : 如題 8-28 圖所示，充滿電介質(zhì)部分場(chǎng)強(qiáng)為 2E ，真空部分場(chǎng)強(qiáng)為 1E ，自由電荷面密度分別為 2 與 1 由 0d qSD 得 11 D ， 22 D 而 101 ED , 202 ED r d21 UEE rDD 1212題 8-28 圖 題 8-29 圖 rdrd rr EEU 外內(nèi)8-29 兩個(gè)同軸的圓柱面，長(zhǎng)度均為 l ，半徑分別為 1R 和 2R ( 2R 1R )，且 l 2R - 1R ，兩柱面之間充有介電常數(shù) 的均勻電介質(zhì) .當(dāng)兩圓柱面分別帶等量異號(hào)電荷 Q 和 -Q 時(shí)，求： (1)在半徑 r 處 ( 1R r 2R ，厚度為 dr，長(zhǎng)為 l 的圓柱薄殼中任一點(diǎn)的電場(chǎng)能量密度和整個(gè)薄殼中的電場(chǎng)能量； (2)電介質(zhì)中的總電場(chǎng)能量； (3)圓柱形電容器的電容 解 : 取半徑為 r 的同軸圓柱面 )(S 則 rlDSDS 2d)( 當(dāng) )( 21 RrR 時(shí)， Qq rlQD 2 (1)電場(chǎng)能量密度 2222282 lrQDw 薄殼中 rlrQrlrlrQwW 4 dd28dd22222 (2)電介質(zhì)中總電場(chǎng)能量 21 1222 ln44 dd RRV RRlQrlrQWW (3)電容： CQW 22 )/ln(22 122RRlWQC *8-30 金屬球殼 A 和 B 的中心相距為 r ， A 和 B 原來都不 帶電現(xiàn)在 A 的中心放一點(diǎn)電荷 1q ，在 B 的中心放一點(diǎn)電荷 2q ，如題 8-30 圖所示試求： (1) 1q 對(duì) 2q 作用的庫侖力， 2q 有無加速度； (2)去掉金屬殼 B ，求 1q 作用在 2q 上的庫侖力，此時(shí) 2q 有無加速度 解 : (1)1q 作用在 2q 的庫侖力仍滿足庫侖定律，即 2 21041rqqF 但 2q 處于金屬球殼中心，它受 合力 為零，沒有加速度 (2)去掉金屬殼 B ， 1q 作用在 2q 上的庫侖力仍是 221041rqqF ，但此時(shí) 2q 受合力不為零，有加速度 題 8-30 圖 題 8-31 圖 8-31 如 題 8-31圖所示， 1C =0.25 F， 2C =0.15 F， 3C =0.20 F 1C 上電壓為50V求： ABU 解 : 電容 1C 上電量 111 UCQ 電容 2C 與 3C 并聯(lián) 3223 CCC 其上電荷 123 QQ 355025231123232 C UCCQU86)35251(5021 UUU AB V 8-32 1C 和 2C 兩電容器分別標(biāo)明 “200 pF 、 500 V” 和 “300 pF 、 900 V” ，把它們串聯(lián)起來后等值電容是多少 ?如果兩端加上 的電壓，是否會(huì)擊穿 ? 解 : (1) 1C 與 2C 串聯(lián)后電容 120300200 3002002121 CC CCCpF (2)串聯(lián)后電壓比 231221 CCUU，而 100021 UU 6001 U V , 4002U V 即電容 1C 電壓超過耐壓 值會(huì)擊穿，然后 2C 也擊穿 8-33 將兩個(gè)電容器 1C 和 2C 充電到相等的電壓 U 以后切斷電源，再將每一電容器的正極板與另一電容器的負(fù)極板相聯(lián)試求： (1)每個(gè)電容器的最終電荷； (2)電場(chǎng)能量的損失 解 : 如題 8-33圖所示，設(shè)聯(lián)接后兩電容器帶電分別為 1q , 2q 題 8-33 圖 則 2122112121201021UUUCUCqqUCUCqqqq解得 (1) 1q UCCCCCqUCCCCC21212221211 )(,)( (2)電場(chǎng)能量損失 WWW 0 )22()2121(2221212221 CqCqUCUC 221212 UCC CC8-34 半徑為 1R =2.0cm 的導(dǎo)體球，外套有一同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)、外半徑分別為2R =4.0cm和 3R =5.0cm，當(dāng)內(nèi)球帶電荷 Q =3.010-8 時(shí)，求： (1)整個(gè)電 場(chǎng)儲(chǔ)存的能量； (2)如果將導(dǎo)體殼接地，計(jì)算儲(chǔ)存的能量； (3)此電容器的電容值 解 : 如圖，內(nèi)球帶電 Q ，外球殼內(nèi)表面帶電 Q ，外表面帶電 Q 題 8-34 圖 (1)在 1Rr 和 32 RrR 區(qū)域 0E 在 21 RrR 時(shí) 301 4 rrQE 3Rr 時(shí) 302 4 rrQE 在 21 RrR 區(qū)域 21 d4)4(21 222001 RR rrrQW 21 )11(88 d 2102202RR RRQrrQ 在 3Rr 區(qū)域 3 2 30222002 18d4)4(21R RQrrrQW 總能量 )111(8 3210221 RRRQWWW 41082.1 J (2)導(dǎo)體殼接地時(shí)，只有 21 RrR 時(shí) 304 rrQE , 02 W 421021 1001.1)11(8 RRQWW J (3)電容器電容 )11/(422102 RRQWC 121049.4 F 習(xí)題九 9-1 在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn) B 的數(shù)值是否都相等 ?為何不把作用于運(yùn)動(dòng)電荷的磁力方向定義為磁 感應(yīng)強(qiáng)度 B 的方向 ? 解 : 在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn) B 的數(shù)值一般不相等因?yàn)榇艌?chǎng)作用于運(yùn)動(dòng)電荷的磁力方向不僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 的方向有關(guān)，而且與電荷速度方向有關(guān)，即磁力方向并不是唯一由磁場(chǎng)決定的，所以不把磁力方向定義為 B 的方向 題 9-2圖 9-2 (1)在沒有電流的空間區(qū)域里，如果磁感應(yīng)線是平行直線，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 的大小在沿磁感應(yīng)線和垂直它的方向上是否可能變化 (即磁場(chǎng)是否一定是均勻的 )? (2)若存在電流，上述結(jié)論是否還對(duì) ? 解 : (1)不可能變化，即磁場(chǎng)一定是均勻的如圖作閉合回路 abcd 可證明 21 BB 0d 021 IbcBdaBlBa b c d 21 BB (2)若存在電流，上述結(jié)論不對(duì)如無限大均勻帶電平面兩側(cè)之磁力線是平行直線，但 B方向相反，即 21 BB . 9-3 用安培環(huán)路定理能否求有限長(zhǎng)一段載流直導(dǎo)線周圍的磁場(chǎng) 答 : 不能，因?yàn)橛邢揲L(zhǎng)載流直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)雖然有軸對(duì)稱性，但不是穩(wěn)恒電流，安培環(huán)路定理并不適用 9-4 在載流長(zhǎng)螺線管的情況下，我們導(dǎo)出其內(nèi)部 nIB 0 ，外面 B =0，所以在載流螺線管 外面環(huán)繞一周 (見題 9-4圖 )的環(huán)路積分 外BL d l =0 但從安培環(huán)路定理來看，環(huán)路 L中有電流 I穿過，環(huán)路積分應(yīng)為 外BL d l = I0 這是為什么 ? 解 : 我們導(dǎo)出 nlB 0內(nèi) , 0外B 有一個(gè)假設(shè)的前提，即每匝電流均垂直于螺線管軸線這時(shí)圖中環(huán)路 L 上就一定沒有電流通過，即也是 L IlB 0d 0外 ，與 L llB 0d0d 外 是不矛盾的但這是導(dǎo)線橫截面積為零，螺距為零的理想模型實(shí)際上以上假設(shè)并不真實(shí)存在，所以使得穿過 L 的電流為 I ，因此實(shí)際螺線管若是無限長(zhǎng)時(shí)，只是 外B 的軸向分量為零，而垂直于軸的圓周方向分量 rIB 2 0 ,r 為管外一點(diǎn)到螺線管軸的距離 題 9 - 4 圖 9-5 如果一個(gè)電子在通過空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，能否肯定這個(gè)區(qū)域中沒 有磁場(chǎng) ?如果它發(fā) 生偏轉(zhuǎn)能否肯定那個(gè)區(qū)域中存在著磁場(chǎng) ? 解：如果一個(gè)電子在通過空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，不能肯定這個(gè)區(qū)域中沒有磁場(chǎng)，也可能存在互相垂直的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，電子受的電場(chǎng)力與磁場(chǎng)力抵消所致如果它發(fā)生偏轉(zhuǎn)也不能肯定那個(gè)區(qū)域存在著磁場(chǎng)，因?yàn)閮H有電場(chǎng)也可以使電子偏轉(zhuǎn) 9-6 已知磁感應(yīng)強(qiáng)度 0.2B Wbm -2 的均勻磁場(chǎng)，方向沿 x 軸正方向，如題 9-6 圖所示試求： (1)通過圖中 abcd 面的磁通量； (2)通過圖中 befc 面的磁通量； (3)通過圖中aefd 面的磁通量 解： 如題 9-6圖所示 題 9-6圖 (1)通過 abcd 面積 1S 的磁通 是 24.04.03.00.211 SB Wb (2)通過 befc 面積 2S 的磁通量 022 SB (3)通過 aefd 面積 3S 的磁通量 24.0545.03.02c o s5.03.0233 SB Wb (或曰 24.0 Wb ) 題 9-7圖 9-7 如題 9-7圖所示， AB 、 CD 為長(zhǎng)直導(dǎo)線， CB 為圓心在 O 點(diǎn)的一段圓弧形導(dǎo)線，其半徑為 R 若通以電流 I ，求 O 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 解：如題 9-7圖所示， O 點(diǎn)磁場(chǎng)由 AB 、 CB 、 CD 三部分電流產(chǎn)生其中 AB 產(chǎn)生 01 B CD 產(chǎn)生 RIB 1202 ，方向垂直向里 CD 段產(chǎn)生 )2 31(2)60s in90( s in24003 RIRIB，方向 向里 )62 31(2 03210 RIBBBB，方向 向里 9-8 在真空中，有兩根互相平行的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線 1L 和 2L ，相距 0.1m，通有方向相反的電流， 1I =20A,2I =10A，如題 9-8圖 所示 A ， B 兩點(diǎn)與導(dǎo)線在同一平面內(nèi)這兩點(diǎn)與導(dǎo)線2L 的距離均為 5.0cm試求 A ， B 兩點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，以及磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)的位置 題 9-8圖 解：如題 9-8圖所示 , AB 方向垂直紙面向里 42010 102.105.02)05.01.0(2 IIB AT (2)設(shè) 0B 在 2L 外側(cè)距離 2L 為 r 處 則 02)1.0(2 20 rIr I 解得 1.0r m 題 9-9圖 9-9 如題 9-9圖所示，兩根導(dǎo)線沿半徑方向引向鐵環(huán)上的 A ， B 兩點(diǎn)，并在很遠(yuǎn)處與電源相連已知圓環(huán)的粗細(xì)均勻，求環(huán)中心 O 的磁感應(yīng)強(qiáng)度 解： 如題 9-9 圖所示，圓心 O 點(diǎn)磁場(chǎng)由直電流 A 和 B 及兩段圓弧上電流 1I 與 2I 所產(chǎn)生，但 A 和 B 在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為零。且 21221 RRII 電阻電阻. 1I 產(chǎn)生 1B 方向 紙面向外 2 )2(2 101 RIB ， 2I 產(chǎn)生 2B 方向 紙面向里 22 202 RIB 1)2(2121 IIBB有 0210 BBB 9-10 在一半徑 R 的無限長(zhǎng)半圓柱形金屬薄片中，自上而下地有電流 I =5.0 A通過，電流分布均勻 .如題 9-10圖所示試求圓柱軸線任一點(diǎn) P 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度 題 9-10圖 解：因?yàn)榻饘倨瑹o限長(zhǎng)，所以圓 柱軸線上任一點(diǎn) P 的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向都在圓柱截面上，取坐標(biāo)如題 9-10 圖所示，取寬為 ld 的一無限長(zhǎng)直電流 lRII dd ，在軸上 P 點(diǎn)產(chǎn)生 Bd 與R 垂直，大小為 RIRRRIRIB20002d2d2dd RIBB x 20 2 dc o sc o sdd RIBB y 20 2 ds in)2c o s (dd 5202022 21037.6)2s in (2 s in22 dc o s RIRIRIB x T 0)2 ds in(22 20 RIBy iB 51037.6 T 9-11 氫原子處在基態(tài)時(shí)，它的電子可看作是在半徑 a =0.5210 -8cm 的軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率 v =2.210 8cms -1求電子在軌道中心所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度和電子磁矩的值 解：電子在軌道中心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 300 4 aaveB 如題 9-11圖，方向垂直向里，大小為 134 200 aevB T 電 子磁矩 mP 在圖中也是垂直向里，大小為 242 102.92 e v aaTeP m 2mA 題 9-11 圖 題 9-12 圖 9-12 兩平行長(zhǎng)直導(dǎo)線相距 d =40cm，每根導(dǎo)線載有電流 1I =2I =20A，如題 9-12 圖所示求： (1)兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)與該兩導(dǎo)線等距的一點(diǎn) A 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度； (2)通過圖中斜線所示面積的磁通量 (1r =3r l =25cm) 解： (1) 52010 104)2(2)2(2dIdIBA方向 紙面向外 (2)取面元 rlS dd 612010110 102.23ln31ln23ln2)(22 1211 lIlIlIldrrd IrIrrr Wb 9-13 一根很長(zhǎng)的銅導(dǎo)線載有電流 10A，設(shè)電流均勻分布 .在導(dǎo)線內(nèi)部作一平面 S ，如題 9-13圖所示試計(jì)算通過 S平面的磁通量 (沿導(dǎo)線長(zhǎng)度方向取長(zhǎng)為 1m的一段作計(jì)算 )銅的磁導(dǎo)率 0 . 解：由安培環(huán)路定律求距圓導(dǎo)線軸為 r 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度 l IlB 0d 2202 RIrrB 202 RIrB 題 9-13 圖 磁通量 600 20)( 1042 IdrRIrSdBRsmWb 9-14 設(shè)題 9-14圖中兩導(dǎo)線中的電流均為 8A，對(duì)圖示的三條閉合曲線 a ,b ,c ，分別寫出安培環(huán)路定理等式右邊電流的代數(shù)和并討論： (1)在各條閉合曲線上，各點(diǎn)的磁 感應(yīng)強(qiáng)度 B 的大小是否相等 ? (2)在閉合曲線 c 上各點(diǎn)的 B 是否為零 ?為什么 ? 解： a lB 08d ba lB 08d c lB 0d (1)在各條閉合曲線上，各點(diǎn) B 的大小不相等 (2)在閉合曲線 C 上各點(diǎn) B 不為零只是 B 的環(huán)路積分為零而非每點(diǎn) 0B 題 9-14 圖 題 9-15圖 9-15 題 9-15圖中所示是一根很長(zhǎng)的長(zhǎng)直圓管形導(dǎo)體的橫截面，內(nèi)、外半徑分別為 a ,b ，導(dǎo)體內(nèi)載有沿軸線方向的電流 I ，且 I 均勻地分布在管的橫截面上設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率0 ，試證明導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn) )( bra 的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小由下式給出： rarabIB 2222 0 )(2 解：取閉合回路 rl 2 )( bra 則 l rBlB 2d 2222 )( ab IarI )(2)(22220abrarIB9-16 一根很長(zhǎng)的同軸電纜，由一導(dǎo)體圓柱 (半徑為 a )和一同軸的導(dǎo)體圓管 (內(nèi)、外半徑分別 為 b ,c )構(gòu)成，如題 9-16 圖所示使用時(shí)，電流 I 從一導(dǎo)體流去，從另一導(dǎo)體流回設(shè)電流都是均勻地分布在導(dǎo)體的橫截面上，求： (1)導(dǎo)體圓柱內(nèi) (r a ),(2)兩導(dǎo)體之間 (a r b )，（ 3）導(dǎo)體圓筒內(nèi) (b r c )以及 (4)電纜外 (r c )各點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 解： L IlB 0d (1) ar 2202 RIrrB 202 RIrB (2) bra IrB 02 rIB 20 (3) crb Ibc brIrB 0222202 )(2)(22220bcrrcIB(4) cr 02 rB 0B 題 9-16 圖題 9-17圖 9-17 在半徑為 R 的長(zhǎng)直圓柱形導(dǎo)體內(nèi)部，與軸線平行地挖成一半徑為 r 的長(zhǎng)直圓