第八章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析.ppt

第八章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析 8 6阻抗和導(dǎo)納 8 7正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析 8 8正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 8 9最大功率傳輸 分析正弦穩(wěn)態(tài)電路通常有兩種方法一是時域分析方法 列寫微分方程 求方程的特解或穩(wěn)態(tài)解 計算比較復(fù)雜 二是相量法分析法 8 1引言 兩種分析法的簡單比較 對圖示電路求解正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的過程如下 1 兩種分析法的簡單比較 1 用時域分析法列寫電路方程 代入微分方程比較系數(shù)確定和 設(shè)特解為 解正弦函數(shù)方程 定出和 再求出 2 用相量法列寫電路電壓相量方程解這個代數(shù)方程 用復(fù)數(shù)運算求出 再寫出與相對應(yīng)的瞬時值 即求出電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 兩種分析法的簡單比較 8 2 1正弦信號的三個特征量按正弦或余弦規(guī)律變化的周期電壓 電流 電荷和磁鏈信號統(tǒng)稱為正弦信號 以余弦信號為例 正弦信號的一般表達(dá)式為若表示電路中的電流信號 在選定參考方向下 可表示為 8 2正弦信號 是正弦信號的振幅或最大值 是瞬時相位 是初相 周期T 正弦信號每經(jīng)過一個周期T的時間 相位變化弧度 8 2正弦信號 表示正弦信號單位時間內(nèi)變化的弧度數(shù) 單位為弧度 s 為角頻率 或 8 2正弦信號 表示每秒鐘正弦波變化的次數(shù) 單位為赫茲 HZ 正弦量的振幅 頻率 或角頻率 初相稱為正弦量的三個特征量 這三個特征量確定了 正弦量的變化規(guī)律就唯一地確定了 例如 已知一個正弦電流 則 8 2正弦信號 相位差 規(guī)定180 設(shè)兩個同頻率的正弦信號波形如圖8 2 3所示 8 2 2相位差 與的相位差 同頻正弦信號的相位差即是它們的初相之差 討論相位差 說明超前于度 u滯后于i度或i趨前于u度 8 2 2相位差 表示與同相 表示與反相 表示與正交 例8 2 1已知 求與的相位差 解 說明趨前240 由于規(guī)定180 8 2 2相位差 周期電流i流過電阻R在一個周期T內(nèi)作功與直流電流I流過同樣電阻R在同樣時間T內(nèi)所作功相等 稱直流電流量I為此周期性電流i的有效值 周期電流i流過電阻R在一個周期T內(nèi)所作功為 8 2 3有效值 直流電流流過在內(nèi)所作功為兩者相等即上式表明 周期性電流的有效值 等于周期性電流瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的平均值再取平方根 因此有效值又稱為方均根值 8 2 3有效值 周期電壓的有效值如果周期信號是正弦電流 有效值為 8 2 3有效值 同理可得正弦電壓的有效值可見 正弦量有效值是最大值的倍正弦電流和電壓也可用有效值表示 實際應(yīng)用中有關(guān)交流電流 電壓指示值都是有效值 例如電氣設(shè)備的額定值 儀器儀表的量測值 8 2 3有效值 8 3正弦信號的相量表示 8 1復(fù)數(shù)及其運算法則一 復(fù)數(shù)的表示設(shè)復(fù)數(shù)式中 是虛數(shù)單位 a為復(fù)數(shù)的實部 b為復(fù)數(shù)的虛部 a b都為實數(shù) 復(fù)數(shù)可用復(fù)平面上的一點來表示 該點在實軸上的坐標(biāo)是a 在虛軸上的坐標(biāo)是b 復(fù)數(shù)還可用從原點指向點 a b 的向量來表示 如圖所示 該向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模 記作 8 1復(fù)數(shù)及其運算法則 復(fù)數(shù)A的向量與實軸正向間的夾角稱為的輻角 記作復(fù)數(shù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的表示為 或 8 1復(fù)數(shù)及其運算法則 復(fù)數(shù)的三角表示為由歐拉公式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示 8 1復(fù)數(shù)及其運算法則 二 復(fù)數(shù)的代數(shù)運算設(shè)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的加 減運算 8 1復(fù)數(shù)及其運算法則 復(fù)數(shù)的乘除運算采用極坐標(biāo)形式 8 1復(fù)數(shù)及其運算法則 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì) 實部相同 虛部符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù) 例如復(fù)數(shù)A 其共軛復(fù)數(shù)記作 8 1復(fù)數(shù)及其運算法則 用直角坐標(biāo)形式和極坐標(biāo)形式表示式的結(jié)果 解 1 11 2 27 j 例8 用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路 先討論用相量表示正弦量 由歐拉公式 8 3 2正弦量的相量表示 設(shè)正弦電流用復(fù)數(shù)表示其中稱為電流的振幅相量 8 3 2正弦量的相量表示 稱為電流的有效值相量 是復(fù)常量 它們的模是正弦電流的最大幅度或有效值幅度 幅角是正弦電流的初相角 8 3 2正弦量的相量表示 在同一電路里 各正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)都與激勵同頻率 因此 用振幅 或有效值 與初相就能確定正弦響應(yīng)中的電流 所以或是能夠表征正弦電流的復(fù)數(shù) 在式 8 3 1 中 相量與相乘 幅角是時間t的函數(shù) 隨著時間的推移 相量以原點為中心 以角速度作周期性旋轉(zhuǎn) 因此稱為旋轉(zhuǎn)相量 其中稱為旋轉(zhuǎn)因子 8 3 2正弦量的相量表示 求對應(yīng)的相量并畫出相量圖 求相位差 解 對應(yīng)的振幅相量為 例 已知正弦電流和電壓 對應(yīng)的有效值相量對應(yīng)的相量相量圖為 2 與的相位差電流滯后電壓40 解題時注意 相量與正弦量 或瞬時值 是對應(yīng)關(guān)系不是相等關(guān)系 已知正弦電路某三支路電壓的相量分別為畫出相量圖 寫出對應(yīng)的正弦電壓表達(dá)式 解 為了表示統(tǒng)一 將三支路電壓相量表示成標(biāo)準(zhǔn)的振幅相量形式 例8 相量圖為所對應(yīng)的正弦電壓為 或者 8 4基爾霍夫定律的相量形式 基爾霍夫電流定律 KCL 時域表示當(dāng)電路處于正弦穩(wěn)態(tài)時 各支路電流都是同頻率正弦電流 于是上式可表示為 因 或 所以 KCL相量形式表明 正弦穩(wěn)態(tài)電路中 任一節(jié)點上各支路電流相量代數(shù)和為零 8 4基爾霍夫定律的相量形式 KCL相量形式 注意 電流相量的代數(shù)和為零 意味著節(jié)點上各支路電流的瞬時值代數(shù)和為零 而不是電流振幅值或有效值代數(shù)和為零 即 它表明 正弦穩(wěn)態(tài)電路中 沿著任一回路的所有支路電壓相量的代數(shù)和為零 8 4基爾霍夫定律的相量形式 基爾霍夫電壓定律的相量形式 注意 電壓相量的代數(shù)和為零 意味著回路中各支路電壓的瞬時值代數(shù)和為零 而不是電壓的振幅值或有效值代數(shù)和為零 即 某電路節(jié)點電流為如8 4 1圖所示 求并畫出電路相量圖 解 先將電流換算成同一函數(shù)形式 寫出已知電流的相量 例8 4 1 由KCL得 對應(yīng)的 相量圖 8 5電阻 電感 電容元件伏安關(guān)系的相量形式 一 電阻元件伏安關(guān)系的相量形式設(shè)流過電阻R的電流為由歐姆定律得 對應(yīng)的相量形式 或比較得電阻電壓的有效值等于電阻電流有效值與電阻乘積 電壓與電流相位相同 電阻元件相量模型圖如8 5 1所示 電壓與電流相量圖如8 5 2所示 電阻元件相量模型 電感電壓為 二 電感元件伏安關(guān)系的相量形式 設(shè)流過電感元件L的電流為 電感元件的伏安關(guān)系的相量形式 其中稱為感抗 單位是 或 電感電壓與電流的有效值關(guān)系為 電壓相位超前電流90度 相量圖如圖所示 或可寫為即 電感元件相量模型如圖所示 設(shè)電容兩端電壓為 流過電容電流為 三 電容元件伏安關(guān)系的相量形式 比較上兩式 也可寫為 電容電壓與電流的有效值關(guān)系為 電壓相位滯后電流 電容元件的電壓電流相量圖 8 6阻抗和導(dǎo)納 一 阻抗由R L C元件組成的無源二端網(wǎng)絡(luò)如圖所示 電流相量和電壓相量為關(guān)聯(lián)參考方向 電壓相量與電流相量的比稱為二端網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗 即 Z的單位為 Z為復(fù)數(shù) 其中是阻抗的模 它是二端網(wǎng)絡(luò)輸入電壓和電流的振幅或有效值之比 阻抗角是端電壓與電流之間的相位差 阻抗模及阻抗角與電阻和電抗的關(guān)系為 阻抗三角形 阻抗是復(fù)量 不是相量 不能代表正弦量 R L C三元件的阻抗 求R L C串聯(lián)電路的阻抗 解 由于 例8 6 1 電路等效阻抗 的值域取決于電路的性質(zhì) 討論如下 無源二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗導(dǎo)納 二 導(dǎo)納 8 6阻抗和導(dǎo)納 導(dǎo)納是阻抗的倒數(shù) 也是復(fù)量 單位為西門子 s 式中G是導(dǎo)納的實部 稱為電導(dǎo) B是導(dǎo)納的虛部 稱為電納 是導(dǎo)納的模 為導(dǎo)納角 R L C元件的導(dǎo)納分別為 與G B的關(guān)系 阻抗與導(dǎo)納的轉(zhuǎn)換 模和幅角為 8 6阻抗和導(dǎo)納 二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗它可等效為一個電阻和一個電抗的串聯(lián) 如圖 a 所示 二端網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納 它可等效為一個電導(dǎo)和一個電納元件的并聯(lián) 如圖 b 所示 三 阻抗 導(dǎo)納串并聯(lián)電路 8 6阻抗和導(dǎo)納 若干個導(dǎo)納并聯(lián) 如圖所示 等效導(dǎo)納為 若干個阻抗串聯(lián) 如圖 c 所示 等效阻抗為 已知圖 a 所示電路的電壓 電流為1 求輸入阻抗Z 并畫出等效電路圖 2 求輸入導(dǎo)納Y 并畫出等效電路圖解 電壓 電流的振幅相量 例8 6 2 1 輸入阻抗 對應(yīng)的元件值 等效電路如圖 b 所示 2 輸入導(dǎo)納 對應(yīng)的元件值 等效電路如圖 c 所示 圖示電路 求 與的相位差 解 電路的輸入阻抗 電流有效值 例8 6 3 電流電壓相量圖如圖所示 8 7正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析 KCL KVL和元件的伏安關(guān)系是分析電路的基本依據(jù) 前面已經(jīng)定義了這兩類約束關(guān)系的相量形式 相量形式的電路方程和電阻電路的電路方程一樣 也是線性代數(shù)方程 所以分析電阻電路的定律 定理 方法和公式等 都適用于相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路 以下舉例說明正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析計算 圖 a 電路 求電路的戴維南等效電路 例8 7 1 解 電路的相量模型如圖 b 所示 開路電壓相量 等效阻抗 開路電壓相量 戴維南等效電路如圖 c 所示 列寫圖示電路的節(jié)點電壓方程和網(wǎng)孔電流方程 解 選 為參考節(jié)點 節(jié)點電壓方程為 例8 7 2 網(wǎng)孔電流方程 電路如圖所示 求與的相位差 解 為節(jié)點電壓 列寫節(jié)點電壓方程 例8 7 3 8 8正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 8 8 1瞬時功率 一個無源二端網(wǎng)絡(luò)N 端口電壓與電流是關(guān)聯(lián)參考方向 如圖所示 網(wǎng)絡(luò)N在任一瞬時吸收的功率為 設(shè)端口電壓 電流分別為 阻抗角 二端網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時功率為 第一項是不隨時間變化的恒定值 如波形圖虛線所示 第二項是以為中心線 隨時間變化的正弦波 符號相同時 二端網(wǎng)絡(luò)從外電路吸收能量 符號相異時 二端網(wǎng)絡(luò)向外電路釋放能量 瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值稱為平均功率 即 P也稱有功功率 單位是瓦特 w 8 8 2平均功率 當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)是純電阻時 當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)是純電感時 當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)是阻抗時 可以用等效電路表示 如圖 a 所示 二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率 就是網(wǎng)絡(luò)中電阻消耗的功率 假設(shè) 若二端網(wǎng)絡(luò)中有N個電阻 網(wǎng)絡(luò)吸收的總平均功率等于各電阻吸收的平均功率之和 即 8 8 2平均功率 電感和電容雖然不消耗能量 但卻存在與外電路交換能量的過程 這種能量交換用無功功率來計量 8 8 3無功功率 瞬時功率也可另推導(dǎo)如下 以電源的兩倍頻作周期變化 它代表了二端網(wǎng)絡(luò)中等效電抗所吸收的瞬時功率 代表了二端網(wǎng)絡(luò)中等效電阻所吸收的 電抗元件只與外電路進(jìn)行能量交換 能量交換的最大速度 稱為二端網(wǎng)絡(luò)的無功功率 表示 為了區(qū)別有功功率 無功功率的單位為乏 Var 當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)等效為純電阻時 有 當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)等效為純電感時 有 當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)等效為純電容時 有 二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓與電流的有效值乘積稱為視在功率 記為單位為伏安 VA 一般電氣設(shè)備都要規(guī)定額定電壓和額定電流 工程上用它們的乘積視在功率表示某些電氣設(shè)備的容量 二端網(wǎng)絡(luò)的有功功率與視在功率之比稱為功率因數(shù) 記為 8 8 4視在功率和功率因數(shù) 由于0 1 有0 P S 實際中為了提高電氣設(shè)備的利用率 應(yīng)盡量提高負(fù)載的功率因數(shù) 例如的變壓器 額定視在功率是 如果所接負(fù)載的功率因數(shù) 1 它能傳輸?shù)墓β适?如果 0 5 它只能傳輸了 所以要更充分的利用該電氣設(shè)備的容量 就應(yīng)設(shè)法提高負(fù)載的功率因數(shù) 以上討論的二端網(wǎng)絡(luò)是假設(shè)無源的網(wǎng)絡(luò) 對于上述定義的各功率也適用有源二端網(wǎng)絡(luò) 只要將阻抗角改為二端口電壓與電流的相位差即可 設(shè)二端網(wǎng)絡(luò)N的輸入電壓與電流的相量為 電流的共軛復(fù)數(shù)為 8 8 5復(fù)功率 復(fù)功率 單位為伏安 VA 復(fù)功率可表述為 復(fù)功率等于電壓相量與電流相量的共軛復(fù)量的乘積 復(fù)功率只是計算用的復(fù)量不代表正弦量 因此不能視為相量 復(fù)功率的模為視在功率復(fù)功率的實部是有功功率復(fù)功率的虛部是無功功率 8 8 5復(fù)功率 的關(guān)系為 8 8 5復(fù)功率 功率三角形如圖所示 復(fù)功率具有守恒性 視在功率不守恒 圖示電路 求電路消耗的總平均功率 電路功率因數(shù) 電源輸出的復(fù)功率 視在功率 無功功率 解 電路的總阻抗為 例8 8 1 電源支路的電流為電路消耗的總平均功率為 功率因數(shù) 電源輸出的復(fù)功率 視在功率 在正弦穩(wěn)態(tài)電路中 電源電壓和電源內(nèi)阻抗一定 怎樣的負(fù)載才能獲得最大的平均功率 這是電氣電子技術(shù)經(jīng)常遇到的問題 電路的等效信號源和內(nèi)阻抗是一定的 負(fù)載阻抗可變 討論獲得最大的平均功率的條件 8 9最大功率傳輸 第一種情況 其中與均可變 電路電流 8 9最大功率傳輸 電流有效值 負(fù)載電阻吸收的功率 欲使最大 令 有 8 9最大功率傳輸 此時分母最小 功率 再令 得 所以當(dāng) 負(fù)載可獲最大功率 負(fù)載獲得最大功率的條件為 8 9最大功率傳輸 稱為負(fù)載阻抗與信號源內(nèi)阻抗共軛匹配 這種匹配也是最佳匹配 在共軛匹配的條件下 負(fù)載可以獲得最大功率為 8 9最大功率傳輸 第二種情況 負(fù)載阻抗的?？梢愿淖?負(fù)載電阻吸收的功率 上式只有分母與有關(guān) 對分母求極小值 即是對求極大值 令分母的導(dǎo)數(shù)等于零 即 得 負(fù)載獲得最大功率的條件是阻抗的模與電源內(nèi)