江蘇省鹽城市2016屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

高三數(shù)學(xué)試題第 1 頁(yè)（共 4 頁(yè)） 鹽城市 2016 屆高三年級(jí)第三次模擬考試 數(shù) 學(xué) 試 題 (總分 160 分，考試時(shí)間 120 分鐘 ) 參考公 式 1錐體的體積公式： 13V 其中 S 為底面積 ,h 為高 . 2樣本數(shù)據(jù)12, , , nx x x的方差2211 ()x ，標(biāo)準(zhǔn)差為 2s ，其中11 . 一、填 空題 （本大題共 14 小題，每小題 5 分，計(jì) 70 分 . 不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上） 1已知集合 1, 2 , 3, 4 , 5A ， 1, 3, 5, 7 , 9B ， C A B I ，則集合 C 的子集的個(gè)數(shù) 為 . 2若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 ( 2 ) 4 3i z i （ i 為虛數(shù)單位），則 |z . 3甲、乙兩盒中各有除顏色外完全相同的 2 個(gè)紅球和 1 個(gè)白球，現(xiàn)從兩盒中隨機(jī)各取一個(gè)球，則至少有一個(gè)紅球的概率為 . 4已知一組數(shù)據(jù)1 2 3 4 5, , , ,x x x x ，則數(shù)據(jù)1 2 3 4 52 , 2 , 2 , 2 , 2x x x x . 5 如圖所示，該偽代碼運(yùn)行的結(jié)果為 . 6以雙曲線 22 1 ( 0 , 0 )xy 的右焦點(diǎn) F 為圓心， a 為半徑的圓恰 好與雙曲線的兩條漸近線相切，則該雙曲線的離心率為 . 7設(shè) , 的棱 ,C 的中點(diǎn)，三棱錐 P 的體積記為1V，三棱錐 P 的體積記為2V，則21 . 8已知實(shí)數(shù) , 52 ，則 2123的最大值為 . 9若 ( ) 3 s i n ( ) c o s ( ) ( )22f x x x 是定義在 R 上的偶函數(shù)，則 . 10 已知向量 ,4, 3)a r ， | | 1br ， | | 21則向量 , . S0 i1 20 SS+i ii+2 i 第 5 題圖 高三數(shù)學(xué)試題第 2 頁(yè)（共 4 頁(yè)） 11 已知線段 長(zhǎng)為 2 ，動(dòng)點(diǎn) C 滿(mǎn)足 B 為常數(shù)），且點(diǎn) C 總不在以點(diǎn) B 為圓心， 12為半徑的圓內(nèi)，則負(fù)數(shù) 的最大值是 . 12 若函數(shù) 3 1( ) 12xf x e x x 的圖象上有且只有兩點(diǎn)12,使得 函數(shù) 3( ) + mg x 圖象上存 在兩點(diǎn)12,1實(shí)數(shù) m 的取值集合 是 . 13 若數(shù)列 任意的 ，只有有限個(gè)正整數(shù) m 使得立，記這樣的 m 的個(gè)數(shù)為得到一個(gè)新數(shù)列 例如，若數(shù)列 , 2, 3, , ,n ，則數(shù)列 1, 2 , , 1,n . 現(xiàn)已知數(shù)列 等比數(shù)列，且 252, 1 6，則數(shù)列 滿(mǎn)足 2016的正整數(shù) i 的個(gè)數(shù)為 . 14在 中，角 ,對(duì)的邊分別為 , 為銳角三角形，且滿(mǎn)足 22b a ，則 11取值范圍是 . 二、解答題 （ 本大題共 6 小題，計(jì) 90 分 明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi) ） 15 (本小題滿(mǎn)分 14 分 ) 在 中， 角 ,A B C 所 對(duì)的邊分別為 ,a b c ，已知 60B o , 4 （ 1） 當(dāng) , 的面積； （ 2）設(shè) D 為 的中點(diǎn)，求線段 的最小值 16 (本小題滿(mǎn)分 14 分 ) 如圖，四棱錐 P 中，底面 矩形， 2D ， 底面 ,C 的中點(diǎn) . （ 1） 求證： /面 （ 2） 求證： 平面 平面 17 (本小題滿(mǎn)分 14 分 ) 一位創(chuàng)業(yè)青年租用了一塊邊長(zhǎng)為 1 百米的正方形田地 養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，他在正方形的P A B C D E 第 16 題圖 F 高三數(shù)學(xué)試題第 3 頁(yè)（共 4 頁(yè)） 邊 ,D 上分別取點(diǎn) ,與正方形的頂點(diǎn)重合），連接 ,F 使得 45 . 現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長(zhǎng)區(qū)， 部分規(guī)劃為蜂巢區(qū)， 部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū) . 若 蜂源植物生長(zhǎng)區(qū)的投入約為 52 10 元 /百米 2， 蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為 510 元 /百米 2，則這三個(gè)區(qū)域的總投入最少需要多少元？ 18 (本小題滿(mǎn)分 16 分 ) 在平面直角坐標(biāo)系 ，已知橢圓 22:143的左頂點(diǎn)為 A ，右焦點(diǎn)為 F ， ,上兩點(diǎn)，圓 2 2 2: ( 0 )O x y r r . （ 1）若 PF x 軸，且滿(mǎn)足直線 圓 O 相切，求圓 O 的方程； （ 2）若圓 O 的半徑為 3 ，點(diǎn) ,4O P O ，求直線 圓 O 截得弦長(zhǎng)的最大值 . 19 (本小題滿(mǎn)分 16 分 ) 已知函數(shù) ( ) x m x （ ） . （ 1）若函數(shù) ()y f x x的最小 值為 0 ，求 m 的值； （ 2）設(shè)函數(shù) 22( ) ( ) ( 2 )g x f x m x m x ，試求 () A B C D E F 第 17 題圖 高三數(shù)學(xué)試題第 4 頁(yè)（共 4 頁(yè)） （ 3）試給出一個(gè)實(shí)數(shù) m 的值，使得函數(shù) ()y f x 與 1( ) ( 0 )2xh x 的圖象有且只有一條公切線，并說(shuō)明此時(shí)兩函數(shù)圖象有且 只有一條公切線的理由 . 20 (本小題滿(mǎn)分 16 分 ) 已知數(shù)列 *12 , 2 1 ( , ),2nn na n ka k N r Ra r n k ，其前 n 項(xiàng)和為（ 1）當(dāng) m 與 r 滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，對(duì)任意的 *，數(shù)列 ？ （ 2）對(duì)任意實(shí)數(shù) ,否存在實(shí)數(shù) p 與 q ，使得 2 +1 2同一個(gè)等比數(shù)列？若存在 ，請(qǐng)求出 ,不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 3）當(dāng) 1時(shí)，若對(duì)任意的 *，都有，求實(shí)數(shù) 的最大值 . 鹽城市 2016 屆 高三年級(jí) 第三次模擬 考試 數(shù)學(xué)附加題部分 （本部分滿(mǎn)分 40 分，考試時(shí)間 30 分鐘） 21 選做題 （在 A、 B、 C、 2 題 ,每小題 10 分 ,計(jì) 20 分 答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)） A.（選修 4 1：幾何證明選講） 如圖， 圓 O 的直徑，弦 ,D 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E ， 直 延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ，連結(jié) 求證： D E A D F A . A B O F C D E 第 21 題（ A）圖 高三數(shù)學(xué)試題第 5 頁(yè)（共 4 頁(yè)） B.（選修 4 2：矩陣與變換） 已知矩陣 21 ，201，若 12，求 2M . C（選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 已知直線 l 的參數(shù)方程為 1 2，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 4 ，試判斷直線 l 與曲線 D (選修 4 5：不等式選講） 已知正數(shù) ,足 2 3 1x y z ，求 1 2 3x y z的最小值 . 必做題 （第 22、 23 題 ,每小題 10 分 ,計(jì) 20 分 答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)） 22（ 本小題滿(mǎn)分 10 分 ） 甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判， 假設(shè)每局比賽中，甲勝乙的概率為 12，甲勝丙 、乙勝丙 的概率都為 23，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第 1 局甲當(dāng)裁判 . （ 1）求第 3 局甲當(dāng)裁判的概率； （ 2） 記 前 4 局中乙當(dāng)裁判 的次數(shù)為 X ，求 X 的概率分布與數(shù)學(xué)期望 . 高三數(shù)學(xué)試題第 6 頁(yè)（共 4 頁(yè)） 23 （本小題滿(mǎn)分 10 分） 記 2 2 2 2 *2 3 4( ) ( 3 2 ) ) ( 2 , )nf n n C C C C n n N L（. （ 1）求 ( 2 ), (3 ), ( 4 )f f f 的值； （ 2） 當(dāng) *2,n n N時(shí)， 試 猜想所有 () 約數(shù)，并證明 . 鹽城市 2016 屆高三年級(jí)第三次模擬考試 數(shù)學(xué)參考答案 一、填空題 ： 本大題共 14 小題，每小題 5 分，計(jì) 70 分 . 1 8 2. 5 3. 894. 22 5. 11 6. 2 7. 148. 759. 310. 3（或 60 ） 11. 3412. 22 13. 20152 14. 23(1, )3二、解答題： 本大題共 6 小題，計(jì) 90 分 明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi) . 15解：（ 1）因?yàn)?,以 22， 2分 由余弦定理，得 2 2 2 22 c o s ( ) 3 1 6 3 4b a c a c B a c a c a c ，解得 4， 6分 從而 13s i n 2 322a c B . 8 分 （ 2）方法一：因?yàn)?D 為 的中點(diǎn)，所以 1 ()2B D B A B C 10分 則 2 2 2211( ) ( 2 )44B D B A B C B A B A B C B C u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 2 211( 2 c o s ) ( ( ) )44c a c B a a c a c 14 4 12 分 高三數(shù)學(xué)試題第 7 頁(yè)（共 4 頁(yè)） 214 ( ) 342 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)， 所以 線段 的最小值為 3 . 14分 方法二： 因?yàn)?D 為 的中點(diǎn)，所以可設(shè) D d， 由 c o s c o s 0A D B C D B ，得 2 2 2 2 2 2 022B d c B D d D d B D ， 即 222 2 282 d a c d ， 10分 又因?yàn)?2 2 2 22 c o s ( ) 3 1 6 3b a c a c B a c a c a c ， 即 24 1 6 3d a c ，所以 2 344d ， 12分 故 22114 4 ( ) 34 4 2 a c ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)， 所以 線段 的最小值為 3 . 14分 16證明：（ 1）取 中點(diǎn) G ，連接 ,G . . 因?yàn)?,D 的中點(diǎn)， 所以 /C ，且 12C， 又 E 是 中點(diǎn)，所以 /C ，且 12C， 所以 /E ，且 E ， 所以 平行四邊形，故 /G . . 又 平面 平面 /面 . （說(shuō)明：也可以取 點(diǎn)，用面面平行來(lái)證線面平行） （ 2）因?yàn)?底面 底面 所以 D . . 取 點(diǎn) H ，連接 因?yàn)?矩形，且 2D ， 所以 ,A D H E B C H 所以 45D E H C E H ，即 E . . 又 ,E 是平面 的兩條相交直線， 所以 平面 . 而 平面 所以平面 平面 .17解： 解法一：設(shè)陰影部 分面積為 S ， 三個(gè)區(qū)域的總投入為 T . P A B C D E 第 16題圖 1 F G P A B C D E 第 16題圖 2 F H 高三數(shù)學(xué)試題第 8 頁(yè)（共 4 頁(yè)） 則 5 5 52 1 0 1 0 ( 1 ) 1 0 ( 1 )T S S S ，從而只要求 S 的最小值 . .設(shè) ( 0 4 5 ) ，在 中，因?yàn)?1, 9 0A B B ，所以 ， 則 11 t a B B E ； .又 45D A F ，所以 1 t a n ( 4 5 )2A D ， .所以 1 1 1 t a n( t a n t a n ( 4 5 ) ) ( t a n )2 2 1 t a ， .令 ta n ( 0 ,1)x ，則 1 1 1 1 1 2( ) ( ) ( 1 )2 1 2 1 2 1x x xx x x .1 2 1 ( 1 ) 2 2 2 2 2 12 1 2x x ， 當(dāng)且僅當(dāng) 211x x，即 21x 時(shí)取等號(hào) . .從而 三個(gè)區(qū)域的總投入 T 的最小值約為 52 10 元 . . （說(shuō)明：這里 S 的最小值也可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解： 因?yàn)?( ( 2 1 ) ) ( ( 2 1 ) )2 ( 1 ) ，則由 0S ，得 21x . 當(dāng) (0 , 2 1)x 時(shí)， 0S ， S 遞減；當(dāng) ( 2 1,1)x 時(shí)， 0S ， S 遞增 . 所以當(dāng) 21x 時(shí)， S 取得最小值為 ( 2 1) .） 解法二：設(shè)陰影部分面積為 S ， 三個(gè)區(qū)域的總投入為 T . 則 5 5 52 1 0 1 0 ( 1 ) 1 0 ( 1 )T S S S ， 從而只要求 S 的最小值 . . 如圖，以點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 在直線為 x 軸， 建立平面直角坐標(biāo)系 . 設(shè)直線 方程為 ( 0 1)y k x k ， 即 ，因?yàn)?45 ， 所以直線 斜率為 1t a n ( 4 5 )1 k ， 從而直線 程為 11 . . 在方程 y 中，令 1x ，得 (1, )以 1122 B B E k ； A B C D E F x y 高三數(shù)學(xué)試題第 9 頁(yè)（共 4 頁(yè)） 在方程 11 中，令 1y ，得 1( ,1)1 kF k，所以 1 1 12 2 1A D F D D F k ； 從而 11( ) , ( 0 , 1 )21 kS k . .以下同方法一 . . 解法三： 設(shè)陰影部分 面積為 S ， 三個(gè)區(qū)域的總投入為 T . 則 5 5 52 1 0 1 0 ( 1 ) 1 0 ( 1 )T S S S ，從而只要求 S 的最小值 . .設(shè) , ( 0 , 4 5 )D A F B A E ，則 1 ( t a n t a n )2S . .因?yàn)?9 0 4 5 ，所以 t a n t a nt a n ( ) 11 t a n t a n ， .所以 2t a n t a nt a n t a n 1 t a n t a n 1 ( )2 ， .即 221 ，解得 21S ，即 S 取得最小值為 ( 2 1) ， 從而 三個(gè)區(qū)域的總投入 T 的最小值約為 52 10 元 . . 18解：（ 1）因?yàn)闄E圓 C 的方程為 22143，所以 ( 2,0)A ， (1,0)F . .因?yàn)?PF x 軸，所以 3(1, )2P ，而直線 圓 O 相切， 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可取 3(1, )2P， . 則直線 方程為 1 ( 2)2， 即 2 2 0 . . 由圓 O 與直線 切，得 25r， 所以圓 O 的方程為 2245. . （ 2）易知，圓 O 的方程為 223. 當(dāng) PQ x 軸時(shí)， 2 34O P O Q O Pk k k ， 所以 32， x y A O F P x y O P Q 高三數(shù)學(xué)試題第 10 頁(yè)（共 4 頁(yè)） 此時(shí)得直線 圓 O 截得的弦長(zhǎng) 為 677. . 當(dāng) x 軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 方程為 y kx b，1 1 2 2 1 2( , ) , ( , ) ( 0 )P x y Q x y x x ， 首先由 34O P O ，得1 2 1 23 4 0x x y y， 即1 2 1 23 4 ( ) ( ) 0x x k x b k x b ，所以 221 2 1 2( 3 4 ) 4 ( ) 4 0k x x k b x x b （ *） . . 聯(lián)立 22143y kx ，消去 x ，得 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k b x b ， 將 21 2 1 2228 4 1 2,3 4 3 4k b bx x x 代入（ *）式，得 222 4 3. 14分 由于圓心 O 到直線 距離為2|1， 所以直線 圓 O 截得的弦長(zhǎng)為 2222 3 41ld k ，故當(dāng) 0k 時(shí)， l 有最大值為 6 . 綜上，因?yàn)?6767，所以直線 圓 O 截得的弦長(zhǎng)的最大值為 6 . 16分 19解：（ 1） 由題意，得函數(shù) m x x， 所以 1m x ， 當(dāng) 0m 時(shí)，函數(shù) y 在 (0, ) 上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)最小值，舍去； 2分 當(dāng) 0m 時(shí)，由 0y ，得 . 當(dāng) (0, )， 0y ，原函數(shù)單調(diào)遞減； ( , ) ， 0y ，原函數(shù)單調(diào)遞增 . 所以 時(shí)，函數(shù) y 取最小值，即 ) 0m m m ，解得 . 4分 （ 2）由題意，得 22( ) l n ( 2 )g x m x m x m x ， 則 222 ( 2 ) ( 2 ) ( 1 )() m x m x m x m m ， 6分 當(dāng) 0m 時(shí)， ( ) 0 ，函數(shù) ()0, ) 上單調(diào)遞增； 當(dāng) 0m 時(shí)，由 ( ) 0 ，得2或 1， （ A）若 2m ，則 12m m ，此時(shí) ( ) 0 ，函數(shù) ()0, ) 上單調(diào)遞減； 高三數(shù)學(xué)試題第 11 頁(yè)（共 4 頁(yè)） （ B）若 20m ，則 12m m ， 由 ( ) 0 ，解得 1(,2mx m ），由 ( ) 0 ，解得 10+2mx m U（ ， ） （ ， ）， 所以函數(shù) ()(,2m m）上單調(diào)遞增，在 02m（ ， ）與 1 +m（ ， ）上單調(diào)遞減； （ C）若 2m ，則 12m m ， 同理可得，函數(shù) ()(,2）上單調(diào)遞增，在 10m（ ， ）與 +2m（ ， ）上單調(diào)遞減 . 綜上所述， () 當(dāng) 0m 時(shí)，函數(shù) ()0, ) 上單調(diào)遞增； 當(dāng) 2m 時(shí)，函數(shù) ()0, ) 上單調(diào)遞減； 當(dāng) 20m 時(shí)，函數(shù) ()(,2m m），減區(qū)間為 02m（ ， ）與 1 +m（ ， ）； 當(dāng) 2m 時(shí)，函數(shù) ()增區(qū)間為 1(,2），減區(qū)間為 10m（ ， ）與 +2m（ ， ）. 10分 （ 3） 12m符合題意 . 12分 理由如下：此時(shí) 1( ) x x. 設(shè)函數(shù) (), 2A x x，2221( , )2x ， 則 () 為切點(diǎn)的切線方程為111 1 1 2y x ， () 為切點(diǎn)的切線方程為 22222122， 由兩條切線重合，得2122121122211 2 （ *）， 14分 消去1x，整理得2 21x x ，即2 21 0x x ， 令 1( ) ，得221 1 1() xx x x x ， 所以函數(shù) ()x 在 (0,1) 單調(diào)遞減，在 (1+ )， 單調(diào)遞增， 又 (1) 0 ，所以函數(shù) ()x 有唯一零點(diǎn) 1x ， 高三數(shù)學(xué)試題第 12 頁(yè)（共 4 頁(yè)） 從而方程組（ *）有唯一解 1211，即此時(shí) 函數(shù) () 故 12m符合題意 . 16 分 20. 解： （ 1）由題意，得12122a a m，32 2a a r m r ， 首先由31得 0 . 2分 當(dāng) 0 時(shí)，因?yàn)?*12 , 2 1 (),2nn na n ka k Na m n k， 所以13a a m ，24 2a a m ，故對(duì) 任意的 *，數(shù)列 . 即當(dāng)實(shí)數(shù) , 時(shí)，題意成立 . 4分 （ 2）依題意，2 1 2 2 1=2n n na a r a r ，則2 1 2 1= 2 ( )r a r， 因?yàn)? =a r m r，所以當(dāng) 0 時(shí)， 21是 等 比 數(shù) 列 ， 且2 1 1= ( ) 2 ( ) 2r a r m r . 為使 21是等比數(shù)列，則 . 同理，當(dāng) 0 時(shí)，2 2 = ( ) 2 r m r，則欲 2 2等比數(shù)列，則 2. 8分 綜上所述： 若 0 ，則不存在實(shí)數(shù) ,得 21與 2等比數(shù)列； 若 0 ，則當(dāng) ,2q p r時(shí)， 21與 2同一個(gè)等比數(shù)列 . 10分 （ 3）當(dāng) 1時(shí)，由（ 2）可得21 21 ， 12 =2 2 ， 當(dāng) 2時(shí)， 12 = 2 2， 1 2 2 3 1 12 ( 2 2 + 2 ) ( 2 2 + 2 ) 3 = 3 2 2 )k k k k （， 所以 3 1(1 )22k k ， 令122k ，則 11 2 1 2 11 (1 ) 2 2 02 2 2 2 ( 2 2 ) ( 2 2 )k k k kk k ， 所以 32， 32， 13分 當(dāng) 21時(shí)，21= 2 1， 1 1 222 3 2 2 ) ( 2 2 ) 2 3 4k k kn k a k k （， 所以 3421n ，同理可得 1 ， 1 ， 綜上所述，實(shí)數(shù) 的最大值為 1. 16高三數(shù)學(xué)試題第 13 頁(yè)（共 4 頁(yè)） 分 附加題答案 21. A、 證明：連結(jié) Q 圓 O 的直徑， 90A D B o， 90A D E o, 4分 又 BQ ， 90 o ，所以 , , ,A F E D 四點(diǎn)共圓， D E A D F A . 10分 B、 解：設(shè)矩陣 M 的特征向量1對(duì)應(yīng)的特征值為1，特征向量2對(duì)應(yīng)的特征值為2， 則 由 1 1 12 2 2 可解得：120 , 2 , 1 ， 4分 又121 1 0222 0 1 ， 6分 所以 2 2 2 21 2 1 1 2 21 0 4( 2 ) 2 4 20 1 2 . 10分 C、解： 直線 l 的普通方程為 2 2 0 ； 曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為： 22( 2 ) 4 ，它表示圓 . 4分 由圓心到直線 l 的距離 44 5255d ，得直線 l 與曲線 C 相交 . 10分 D、解： 1 2 3 1 4 9( ) ( 2 3 )23 x y