2016年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(四)含答案

第 1 頁，共 12 頁 x y O M N A E F （第 12 題） A B P C （第 13 題） 1100223Pr （第 5 題） 2016 年高考模擬試卷 (4) 南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題 第 卷（必做題，共 160 分） 一 、 填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分 1 已知集合 | 2 2A x x ，集合 B 為自然數(shù)集，則 2 已知 2 11z a a i a R， 若 z 為純虛數(shù) ，則 a 3 在樣本頻率分布直方圖中，共有 11 個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他 10 個小長方形面積和的 14，且樣本容量為 160，則中間一組的頻數(shù)為 _ _. 4 從 2 個紅球， 2 個黃球， 1 個白球中隨機(jī)取出兩個球，則兩球顏色 不同的概率是 5 根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果 S 為 6 在三棱錐 S ，面 是以 S 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且 ，則三棱錐 S 表面積是 _ _ 7 已知 F 為雙曲線 C ： 222 4 ( 0 )x m y m m 的一個焦點(diǎn)，則點(diǎn) F 到 C 的一條漸近線的距離為 8 （用“ ”或“ ”連接） 9 為了得到 co 的圖像，只需將 圖像向左平移 0 個單位，則 的最小值為 10 若函數(shù) 0,2,() 0l n , x xa x x 在其定義域上恰有 兩 個零點(diǎn)，則 正實(shí) 數(shù) a 的值為 11 已知 為等比數(shù)列，其前 n 項和分別為若對任意的 *nN ，總有 314 ，則 33 12 如圖，在圓 O ： 224上取一點(diǎn) ( 3 1)A ， ， 為 y 軸上的兩點(diǎn)，且 F ， 延長 別與圓交于點(diǎn) ，則直線 斜率為 第 2 頁，共 12 頁 13 如圖， 0 4 5A B B C A P B B P C ， ，則 C 14 已知正實(shí)數(shù) a b c， ， 滿足 111， 1 1 1 1a b b c c a ，則實(shí)數(shù) c 的取值范圍是 二、解答題：本大題共 6 小題，共計 90 分請在 答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟 15 （本小題滿分 14 分） 已知向量 ( xxa , ( xxb ， ( 1,0)c （ 1）若 3x，求向量 a ， c 的夾角 ； （ 2）若 3 ,84x ，函數(shù) ()最大值為 12，求實(shí)數(shù) 的值 16 （本小題滿分 14 分） 如圖，平面 平面 A B A C A B A C D B D C ， ， D E D B C 平 面 ， 2E （ 1）求證： /D E ； （ 2）求證： A E A B C 平 面 17 （本小題滿分 14 分） 現(xiàn)有一個以 半徑的扇形池塘，在 分別取點(diǎn) C、 D，作 弧 點(diǎn) E、 F，且 用漁網(wǎng)沿著 池塘分成 如圖所示的 三種 的 養(yǎng)殖區(qū)域若 2， ( 0 )2E O F （ 1）求區(qū)域 的總面積； （ 2）若養(yǎng)殖區(qū)域 、 、 的 每平方千米的年收入分別是 15 萬元、 20 萬元、 10 萬元， 記 年總 收入為 y 萬元 試問 當(dāng) 為多少時，年 總 收入最大？ B E C D A （ 第 16 題） （第 17 題） O C A F E B D 第 3 頁，共 12 頁 （第 18 題） （本小題滿分 16 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 ， A， B 分別是橢圓 G： 2 2 14x y的左、右 頂 點(diǎn)， 20P t t tR， ， 且為直線 2x 上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn) P 任意作一條直線 l 與橢圓 G 交于 C， D，直線 別與直線 于 E， F. （ 1）當(dāng)直線 l 恰好經(jīng)過橢圓 G 的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)時，求 t 的值； （ 2） 記直線 斜率分別為12 若 1t ，求證：1211為定值； 求證：四邊形 平行四邊形 . 19 （本小題滿分 16 分） 已知數(shù)列 足：對于任意的正整數(shù) n，當(dāng) n 2 時， 221 21n n na b a n . （ 1）若 ( 1)，求 1821 的值； （ 2）若 數(shù)列 各項均為正數(shù)，且1 2a， 14 in ， 12a a a L ， 試比較說明理由 . 20 （本小題滿分 16 分） 已 知函數(shù) 212f x x， x a x （ 1）若曲線 y f x g x在 1x 處的切線的方程為 6 2 5 0 ，求實(shí)數(shù) a 的值； （ 2） 設(shè) h x f x g x，若對任意兩個不等的正數(shù)12都有 12122h x h 恒成立， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 3）若在 1,e 上存在一點(diǎn)0x，使得 0 0 001f x g x g 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 卷（附加題，共 40 分） 21 【選做題】本題包括 A、 B、 C、 D 共 4 小題， 請選定其中兩小題 ， 并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若多做，則按作答的前兩小題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 A （選修：幾何證明選講） 在圓 O 中， 互相平行的兩條弦，直線 圓 O 相切于點(diǎn)A，且與 延長線交于點(diǎn) E，求證： A B C D E O （第 21 題（ A） 第 4 頁，共 12 頁 y O A M B l x （第 22 題） B （選修：矩陣與變換） 在平面直角坐標(biāo)系 ， 直線 20 在 矩陣 A 1 2對應(yīng)的變換 作用 下得到 的直線仍為 20 ，求矩陣 A 的 逆矩陣 1A C （選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 已知直線 l： co t （ t 為參數(shù)）恒經(jīng)過橢圓 C： （ 為參數(shù)）的右焦點(diǎn) F （ 1）求 m 的值； （ 2）設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，求 B 的最大值與最小值 D （選修：不等式選講） 已知 ， 均為正數(shù)， 且 a 2b 3c 9求證： 14a118b1108c19 【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計 20 分 . 22 （本小題滿分 106 分） 如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系 ，拋物線 2 2y （ 0p ）的準(zhǔn)線 l 與 x 軸交于點(diǎn) M ，過點(diǎn) M 的直線與拋物線交于 兩點(diǎn) 設(shè)11A x y（ ， ）到準(zhǔn)線 l 的距離 （ 0 ） （ 1）若1 1，求拋物線的 標(biāo)準(zhǔn) 方程； （ 2）若 A M A B0求證 ： 直線 斜率為定值 23 （本小題滿分 10 分） 在自然數(shù)列 1 2 3 ， ， ， 中，任取 k 個元素位置 保持 不動 ，將其余 個元素變動位置，得到不同的新數(shù)列由此產(chǎn)生的不同新數(shù) 列的個數(shù) 記為 （ 1） 求 3 1P； （ 2） 求 440k ； （ 3）證明 1100 k n P k，并求出 0kP k的值 第 5 頁，共 12 頁 A B P C y x 2016 年高考模擬試卷 (4) 參考答案 南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題 第卷（必做題，共 160 分） 一、填空題 1 0,1 . 2 1 4 45. 【 解 析 】 概率 24110 5P 5 205. 【 解 析 】2 1 0 1 3 2 0 5S 3.【解析】 設(shè)側(cè)棱長為 a，則 2a 2， a 2，側(cè)面積為 312 3，底面積為 34 22 3 ，表面積為 3 3 . 7 2 . 8 22 e. 【解析】 因?yàn)?6 26l n 2 1l n 2 l n 8 l n ，222 1 13，所以22 e 9 23.【解析】 co 可化為 ，而 12 s i n s i 2 3 ， 則 的最小值為 23 10 1e.【解析】 易知函數(shù) () ,0 上有一個零點(diǎn)，所以由題意得方程 ax x 在 0+， 上恰有一解 ，即 0+， 上恰有一解 . 令 21 ) 0x ，得 ，當(dāng) 0,時， ()調(diào)遞增，當(dāng) e,+x時， ()調(diào)遞減，所以 1e . 11 9 .【解析】 設(shè) 公比分別為 , 1,2,3n 可知，11 9, 3， 所以233 ( ) 9a 12 3 .【解析】 取點(diǎn) A 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn) ( 3 1)A ， ，易知 A 為 中點(diǎn)，連接 ，則 N ，因?yàn)?33 ，所以 3（提示：本題還可以采取特殊化處理） . 13 45.【解析】（方法一） 2()P A P C P A P B B C P A B C P A A B P A u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 在 ，設(shè) PB x ，知易 2A x ，所以 22(2 ) 1，即2 15x ，所以 C5； （方法二）設(shè) PB x ，知易 2PA x ，同方法一有2 15x ，又 22PC x ， 所以 C 4( 2 ) ( 2 2 ) c o ；（方法三） （方法 4）建立如圖所示的坐標(biāo)系， 設(shè) ( ,0) ( , )C b b ，（ 0 , 0 )， 第 6 頁，共 12 頁 則 (0, )2以 且 22 14， 所以2 45a ，即 25( ,0)5A， 2 5 2 5( , )55C ，所以 C5 14 4(1, 3.【解析】 （方法一）由題意， a b ， a b c ， 令 ， ， ， , , (0, )2A B C ， 因?yàn)?t a n t a n t a n t a n 1t a n t a n ( ) 1t a n t a n 1 t a n t a n 1 t a n t a n 1A B A A B A B A B A B ， 由題意， t a n t a n t a n t a n 2 t a n t a A B A B ， 所以 ，所以 413c （方法二）因?yàn)?11, (0,1)可設(shè)2211c o s , s i （ 02）， 由 1 1 1 1a b b c c a ，易得 21 1 31 s i n 2 , 144c .，所以 43c （方法三）由題意可得，1ca b a b c ， 因?yàn)?22，所以 211 4 1， 所以 41，解得 413c （方法四）由方法三知， 11 ， 故 可看做方程2 011 的兩根， 由于方程有兩正根，故1212000 ，結(jié)合 c 為正數(shù)即可得到41 3c 二、解答題 15 （ 1） 當(dāng) 3x時， 3 1,22 a，所以 3 32c o s| | | 1 1 2 a c， 又 0, ，因而 56 6 分 （ 2） ( ) ( 1 c o s 2 s i n 2 ) 1 2 s i n ( 2 )2 2 4f x x x x ， 8 分 因?yàn)?3 ,84x ，所以 2,44x ， 當(dāng) 0 時， m a x 1( ) 1 122 ，即 12， 10 分 第 7 頁，共 12 頁 當(dāng) 0 時， m a x 1( ) 1 222 ，即 12 ， 12 分 所以 2121 或 14 分 16 （ 1）取 點(diǎn) F，連結(jié) 因?yàn)?以 因?yàn)?平面 平面 且交線為 所以 面 3 分 因?yàn)?平 面D E D B C ，所以， 因?yàn)?平面 平面 所以 /D E 6 分 （ 2）連結(jié) 因?yàn)?，A B A C A B A C，所以 2F ， 因?yàn)?2E ，所以 E 8 分 因?yàn)?以四邊形 平行四邊形， 所以 /F 因?yàn)?C ， F 為 點(diǎn)，所以 C ， 所以 C 10 分 因?yàn)?平 面D E D B C ， 平 面D F D B C ，所以 F ， 所以四邊形 矩形， 所以 F 12 分 因?yàn)?,C 平面 C FI ， 所以 A E A B C 平 面 14 分 17 （ 1）因?yàn)?B D A C O B O A， ，所以 C 因?yàn)?2， 所以 D E O B C F O A， 又因?yàn)?F ，所以 所以 1 ()22D O E C O F C O F ， 2 分 所以 1 c o s c o s ( ) 22O C O F C O F 所以 11s i n c o C O F C O F ， 所以= 區(qū) 域， (0 )2 6 分 第 8 頁，共 12 頁 （ 2）因?yàn)镮 12S 區(qū) 域，所以I I I I I I 11 c o 2S S S S 總區(qū) 域 區(qū) 域 區(qū) 域 所以 11 111 5 2 0 c o s 1 0 ( c o s )2 2 4 2 2y 55 5 c o s ( 0 )2 2 2 ， 10 分 所以 5 (1 2 s 2y ，令 =0y ，則 =6 12 分 當(dāng) 60時， 0y ，當(dāng) 62時， 0y 故當(dāng) =6時， y 有最大值 答： 當(dāng) 為 6時，年總收入最大 14 分 18 （ 1）由題意 ,上頂點(diǎn) 0,1C ，右焦點(diǎn) 3,0E ，所以 : 3 1l y x ， 令 2x ，得 2313t . 4 分 （ 2）直線 1:2A C y k x，與 2 2 14x y聯(lián)立得 211222 8 4,1 4 1 4， 6 分 同理得 2222 8 4,1 4 1 4,由 ,點(diǎn)共線得 即12221222441 4 1 42 8 2 8221 4 1 4，化簡得 1 2 1 24 k k t k k， 1t 時，12114 （定值） 10 分 要證四邊形 平行四邊形，即只需證 E、 F 的中點(diǎn)即點(diǎn) O， 由 111, 4222 kx k x ， 12 分 同理224 2 ， 將12124 代入得 1211 2 1242k k k， 1222 1 2242k k k， 14 分 所以 0, 02E F E y x x . 即四邊形 平行四邊形 . 16 分 19 （ 1）由題意， 22215， 22439， 226513， ， 2218 17 37. 將上面的式子相加，得 18215 9 1 3 3 7 1 8 9 L. 5 分 （ 2） 由 221 2 1 ( 2 )a n n ， 22215， 22327， 22439， ， 221 21a n . 第 9 頁，共 12 頁 將上面的式子相加，得 221 ( 2 1 5 ) ( 1 )2n ， 所以22( 2 1 5 ) ( 1 ) 4 ( 1 ) ( 2 )2n n n . 因?yàn)?各項均為正數(shù)， 故 1 ( 2)n. 因?yàn)? 2a也適合上式，所以 1（ *nN ） . 8 分 所以 21， 2 3 ( 1 ) L， 10 分 下面我們來比較 大小 . 取 n=1， 2， 3， 4， 5， 6， 有 32， 42， 52 ， n=1 或 6n 時 n. 16 分 20（ 1）由 21 f x g x x a x ，得 ， 由題意， 13a ，所以 2a 3 分 （ 2） 21 x f x g x x a x ， 因?yàn)閷θ我鈨蓚€不等的正數(shù)12都有 12122h x h ， 設(shè)12則 1 2 1 22h x h x x x ，即 1 1 2 222h x x h x x 恒成立， 問題等價于函數(shù) 2F x h x x，即 21 l n 22F x x a x x 在 0, 為增函數(shù) 6 分 所以 20aF x 在 0, 上恒成立，即 22a x x 在 0, 上恒成立， 所以 2m a x x，即實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1, 8 分 （ 3）不等式 0 0 001f x g x g 等價于00001 ln ax a ， 整理得00 01l n 0ax a x x 第 10 頁，共 12 頁 設(shè) 1ln am x x a ，由題意知，在 1,e 上存在一點(diǎn)0x，使得 0 0 10 分 由 22 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )11 x a x a x a x x x x 因 為 0x ，所以 10x ，即令 0 ，得 1 當(dāng) 11a ，即 0a 時， 1,e 上單調(diào)遞增， 只需 1 2 0 ，解得 2a 12 分 當(dāng) 1 1 ，即 0 e 1a 時， 處取最小值 令 1 1 l n ( 1 ) 1 0m a a a a ，即 1 1 )a a a ，可得 11 1)a 考查式子 1 ， 因?yàn)?1 ，可得左端大于 1，而右端小于 1，所以不等式不能成立 14 分 當(dāng) 1 ，即 時， 1,e 上單調(diào)遞減， 只需 1e e 0e ，解得 2 綜上所述，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 2,2 U 16 分 第卷（附加題，共 40 分） 21A 連接 因?yàn)?直線 圓 O 相切，所以 4 分 又因?yàn)?所以 所以 8 分 從而 以 10 分 B 設(shè) P()是直線 20 上任意一點(diǎn)，其在矩陣 A 1 2對應(yīng)的變換下 得到 1 2=2x y仍在直線上， 所以 得 2 2 0x a y b x y ， 4 分 與 20 比較得 1121，解得 01，故 A 1 10 2， 8 分 求得逆矩陣 1 11 210 2A 10 分 第 11 頁，共 12 頁 C （ 1） 橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，得22125 9， 因?yàn)?, 3, 4a b c ,則點(diǎn) ,0). 因?yàn)橹本€,0)m，所以 4m . 4 分 （ 2） 將直線 的參數(shù)方程代入橢圓整理得： 2 2 2( 9 c 5 72 c 81 0 . 6 分 設(shè)點(diǎn), 12|B t t 2 2 281 819 c 5 16 當(dāng)時， B 取最大值 ； 當(dāng)1時， B 取最小值8125 10 分 D 證明：因?yàn)?a， b， c 都是正數(shù)， 所以 (a 2b 3c) 21 1 1 1 1 1234 1 8 1 0 8 4 1 8 1 0 8a b ca b c a b c ， 8 分 因?yàn)?a 2b 3c 9， 所以 14a 118b 1108c 19 10 分 22（ 1）由條件知， (1 1)2 ， 代入拋