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2016年中考總復習 專題三 新定義探究 一、基本運算新定義 1.( 2013河北)定義新運算:對于任意實數 a, b,都有 a b=a( a b) +1,等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算,比如: 2 5=2( 2 5) +1 =2( 3) +1 = 6+1 = 5 ( 1)求( 2) 3 的值; ( 2)若 3 x 的值小于 13,求 x 的取值范圍,并在圖所示的數軸上表示出來 解:( 1) a b=a( a b) +1, ( 2) 3= 2( 2 3) +1=10+1=11; ( 2) 3 x 13, 3( 3 x) +1 13, 9 3x+1 13, 3x 3, x 1在數軸上表示如下: 2. ( 1) 2 3 ( 2+3)( 2 3)+23( 2+3) 1( 5)+ 231 5+6 1 ( 2)因為 a b (a+b)(a b)+2b(a+b)= 2a 2b +2 2b = 2; b a (b+a)(b a)+2a(b+a)= 2b 2a +2 2a = 2 所以 a b b a 二、幾何圖形 新定義 1( 2015臺州)定義:如圖 1,點 M, N 把線段 割成 以 邊的三角形是一個直角三角形,則稱點 M, N 是線段 勾股分割點 ( 1)已知點 M, N 是線段 勾股分割點,若 , ,求 長; ( 2)如圖 2,在 , 中位線,點 D, E 是線段 勾股分割點,且 D,連接 E 分別交 點 M, N,求證:點 M, N 是線段 勾股分割點; ( 3)已知點 C 是線段 的一定點,其位置如圖 3 所示,請在 畫一點 D,使點 C, D 是線段 勾股分割點(要求尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,畫一種情形即可); ( 4)如圖 4,已知點 M, N 是線段 勾股分割點, N, 為等邊三角形, 別交 點 F, G, H,若 H 是 中點,試探究 S S S 四邊形 數量關系,并說明理由 ( 1)解: 當 最大線段時, 點 M、 N 是線段 勾股分割點, = = ; 當 最大線段時, 點 M、 N 是線段 勾股分割點, = = ,綜上所述: 或 ; ( 2)證明: 中位線, C , = = =1, 點 M、 N 分別是 中點, 點 D、 E 是線段 勾股分割點,且 D , = ( 22=( 22+( 22, = 點 M、 N 是線段 勾股分割點; ( 3)解:作法: 在 截取 A; 作 垂直平分線,并截取 A; 連接 作 垂直平分線,交 D; 點 D 即為所求;如圖所示:( 4)解: S 四邊形 S理由如下:設 AM=a, BN=b, MN=c, H 是 中點, N= c, 為等邊三角形, D=0 ,在 , , N=b , MG=c b, N , , c 2=2ac+ 點 M、 B 的勾股分割點, c 2=a2+ ( a b) 2=( b a) c,又 b ac , a=b ,在 , , S S c 2=a2+ S SS S SS 四邊形 M SSS S 四邊形 S 2( 2015嘉興)類比等腰三角形的定義,我們定義:有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做 “等鄰邊四邊形 ” ( 1)概念理解: 如圖 1,在四邊形 ,添加一個條件使得四邊形 “等鄰邊四邊形 ”請寫出你添加的一個條件 ( 2)問題探究: 小紅猜想:對角線互相平分 的 “等鄰邊四邊形 ”是菱形,她的猜想正確嗎?請說明理由 如圖 2,小紅畫了一個 中 0, , ,并將 平分線 向平移得到 ABC,連結 小紅要使平移后的四邊形 是 “等鄰邊四邊形 ”,應平移多少距離(即線段 長)? ( 3)拓展應用: 如圖 3, “等鄰邊四邊形 ”, D, 0, 對角線, 探究數量關系 解:( 1) C=D= B(任寫一個即可);( 2) 正確,理由為: 四邊形的對角線互相平分, 這個四邊形是平行四邊形, 四邊形是 “ 等鄰邊四邊形 ” , 這個四邊形有一組鄰邊相等, 這個 “ 等鄰邊四邊形 ” 是菱形; 0 , , , , 將 移得到 ABC , , AB AB= ,BC= , AC=,( I)如圖 1,當 , ;( 圖 2,當 AC 時,A C= ;( AC= 時, 如圖 3,延長 CB 交 點 D,則 CB 平分 5 , =45 BD=B ,設 BD=BD=x ,則 CD=x+1 , x, 在 CD 中, CD ) 2=( ) 2x 2+( x+1) 2=( ) 2, 解得: , 2(不合題意,舍去), x= ( )當 時,如圖 4,與( )方法一同理可得: CD ) 2=( ) 2,設 BD=BD=x ,則 x+1) 2=22, 解得: , (不合題意,舍去), x= ; ( 3) 數量關系 為: 圖 5, D , 將 點 A 旋轉到 連接 C, D, = =1, = = , 60 , 360 ( =360 90=270 , 70 , 0 , + 2=2+ 3( 2015杭州)如圖 1, O 的半徑為 r( r 0), 若點 P在射線 ,滿足 OP=稱點 P是點 P 關于 O 的 “反演點 ” 如圖 2, O 的半徑為 4,點 B 在 O 上, 0, ,若點 A, B分別是點A, B 關于 O 的反演點,求 AB的長 解:設 O 于 C,連結 BC ,如圖 2, 2,而 r=4, , 2 , 2, 4 , 即點 B 和 B 重合, 0 , C, 等邊三角形,而點 A 為 中點, BA 在 AB 中, , AB=42 三、函數新定義 1( 2015揚州)平面直角坐標系中,點 P( x, y)的橫坐標 x 的絕對值表示為 |x|,縱坐標 y 的絕對值表示為 |y|,我們把點 P( x, y)的橫坐標與縱坐標的絕對值之和叫做點 P( x, y)的勾股值,記為 P,即 P =|x|+|y|(其中的 “+”是四則運算中的加法) ( 1)求點 A( 1, 3), B( +2, 2)的勾股值 A、 B; ( 2)點 M 在反比例 函數 y= 的圖象上,且 M =4,求點 M 的坐標; ( 3)求滿足條件 N =3 的所有點 N 圍成的圖形的面積 解:( 1) A( 1, 3), B( +2, 2), A =| 1|+|3|=4, B =| +2|+| 2|= +2+2 =4; ( 2)設:點 M 的坐標為( m, n),由題意得 解得: , , , , M( 1, 3),( 1, 3),( 3, 1),( 3, 1) ( 3)設 N 點的坐標為( x, y), N =3, |x|+|y|=3, x+y=3, x y=3, x y=3, x+y=3, y= x+3, y= x 3, y=x 3, y=x+3,如圖:所有點 N 圍成的圖形的面積 =3 =18 2( 2015河南)如圖,邊長為 8 的正方形 兩邊在坐標軸上,以點 C 為頂點的拋物線經過點 A,點 , C 間的一個動點(含端 點 ),過點 P 作 點 F,點 D、 E 的坐標分別為( 0, 6),( 4, 0),連接 ( 1)請直接寫出拋物線的解析式; ( 2)小明探究點 P 的位置發(fā)現:當 P 與點 A 或點 C 重合時, 差為定值,進而猜想:對于任意一點P, 差為定值,請你判斷該猜想是否正確,并說明理由; ( 3)小明進一步探究得出結論:若將 “使 的點 好點 ”,則存在多個 “好點 ”,且使 也是一個 “好點 ”請直接寫出所有 “好點 ”的個數,并求出 長最小時 “好點 ”的坐標 解:( 1) 邊長為 8 的正方形 兩邊在坐標軸上,以點 C 為頂點的拋物線經過點 A, C( 0, 8), A( 8, 0), 設拋物線解析式為: y=c,則 ,解得: 故拋物線的解析式為: y= ; ( 2)正確,理由:設 P( a, ),則 F( a, 8), D( 0, 6), = = , ( ) = ;( 3)在點 P 運動時, 小不變,則 和最小時, 周長最小, , , D=F+2, 當 P、 E、 F 三點共線時, F 最小,此時點 P, E 的橫坐標都為 4, 將 x= 4 代入 y= ,得 y=6, P( 4, 6),此時 周長最小,且 面積為 12,點 P 恰為 “好點, 周長最小時 ”好點 “的坐標為:( 4, 6),由( 2)得: P( a, ), 點 D、 E 的坐標分別為( 0, 6),( 4, 0), 當 4a 0 時, S = ; 4 S 2,當 a=0 時, S , 8 a 4 時, S +6) ( a) 46( a 4) ( ) = 3a+4, 4S 3, 當 a= 8 時, S 2, 面積可以等于 4 到 13 所有整數,在面積為 12 時, a 的值有兩個,所以面積為整數時好點有 11 個,經過驗證周長最小的好點包含這 11 個之內,所以好點共 11 個, 11 個好點, P( 4, 6) 3、( 2011河北)如圖,在平面直角坐標系中,點 出發(fā),沿 個單位長的速度運動t 0),拋物線 y=x2+bx+和點 P,已知矩形 A ( 1, 0), B ( 1, 5),D ( 4, 0) ( 1)求 c, b (用含 ( 2)當 4 t 5時,設拋物線分別與線段 , N 在點 認為 大小是否會變化?若變化,說明理由;若不變,求出 值; 求 面積 S與 求 ; ( 3)在矩形 含邊界),把橫、縱 坐標都是整數的點稱為 “ 好點 ” 若拋物線將這些 “ 好點 ”分成數量相等的兩部分,請直接寫出 解:( 1)把 x=0, y=0 代入

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