2016屆中考數學專題復習測試題(專題三：新定義探究)含答案教師版

2016年中考總復習 專題三 新定義探究 一、基本運算新定義 1.（ 2013河北）定義新運算：對于任意實數 a， b，都有 a b=a（ a b） +1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如： 2 5=2（ 2 5） +1 =2（ 3） +1 = 6+1 = 5 （ 1）求（ 2） 3 的值； （ 2）若 3 x 的值小于 13，求 x 的取值范圍，并在圖所示的數軸上表示出來 解：（ 1） a b=a（ a b） +1， （ 2） 3= 2（ 2 3） +1=10+1=11； （ 2） 3 x 13， 3（ 3 x） +1 13， 9 3x+1 13， 3x 3， x 1在數軸上表示如下： 2. （ 1） 2 3 ( 2+3)( 2 3)+23( 2+3) 1( 5)+ 231 5+6 1 （ 2）因為 a b (a+b)(a b)+2b(a+b)= 2a 2b +2 2b = 2； b a (b+a)(b a)+2a(b+a)= 2b 2a +2 2a = 2 所以 a b b a 二、幾何圖形 新定義 1（ 2015臺州）定義：如圖 1，點 M， N 把線段 割成 以 邊的三角形是一個直角三角形，則稱點 M， N 是線段 勾股分割點 （ 1）已知點 M， N 是線段 勾股分割點，若 ， ，求 長； （ 2）如圖 2，在 ， 中位線，點 D， E 是線段 勾股分割點，且 D，連接 E 分別交 點 M， N，求證：點 M， N 是線段 勾股分割點； （ 3）已知點 C 是線段 的一定點，其位置如圖 3 所示，請在 畫一點 D，使點 C， D 是線段 勾股分割點（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫一種情形即可）； （ 4）如圖 4，已知點 M， N 是線段 勾股分割點， N， 為等邊三角形， 別交 點 F， G， H，若 H 是 中點，試探究 S S S 四邊形 數量關系，并說明理由 （ 1）解： 當 最大線段時， 點 M、 N 是線段 勾股分割點， = = ； 當 最大線段時， 點 M、 N 是線段 勾股分割點， = = ，綜上所述： 或 ； （ 2）證明： 中位線， C ， = = =1， 點 M、 N 分別是 中點， 點 D、 E 是線段 勾股分割點，且 D ， = （ 22=（ 22+（ 22， = 點 M、 N 是線段 勾股分割點； （ 3）解：作法： 在 截取 A； 作 垂直平分線，并截取 A； 連接 作 垂直平分線，交 D； 點 D 即為所求；如圖所示：（ 4）解： S 四邊形 S理由如下：設 AM=a， BN=b， MN=c， H 是 中點， N= c， 為等邊三角形， D=0 ，在 ， ， N=b ， MG=c b， N ， ， c 2=2ac+ 點 M、 B 的勾股分割點， c 2=a2+ （ a b） 2=（ b a） c，又 b ac ， a=b ，在 ， ， S S c 2=a2+ S SS S SS 四邊形 M SSS S 四邊形 S 2（ 2015嘉興）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做 “等鄰邊四邊形 ” （ 1）概念理解： 如圖 1，在四邊形 ，添加一個條件使得四邊形 “等鄰邊四邊形 ”請寫出你添加的一個條件 （ 2）問題探究： 小紅猜想：對角線互相平分 的 “等鄰邊四邊形 ”是菱形，她的猜想正確嗎？請說明理由 如圖 2，小紅畫了一個 中 0， ， ，并將 平分線 向平移得到 ABC，連結 小紅要使平移后的四邊形 是 “等鄰邊四邊形 ”，應平移多少距離（即線段 長）？ （ 3）拓展應用： 如圖 3， “等鄰邊四邊形 ”， D， 0， 對角線， 探究數量關系 解：（ 1） C=D= B（任寫一個即可）；（ 2） 正確，理由為： 四邊形的對角線互相平分， 這個四邊形是平行四邊形， 四邊形是 “ 等鄰邊四邊形 ” ， 這個四邊形有一組鄰邊相等， 這個 “ 等鄰邊四邊形 ” 是菱形； 0 ， ， ， ， 將 移得到 ABC ， ， AB AB= ，BC= ， AC=，（ I）如圖 1，當 ， ；（ 圖 2，當 AC 時，A C= ；（ AC= 時， 如圖 3，延長 CB 交 點 D，則 CB 平分 5 ， =45 BD=B ，設 BD=BD=x ，則 CD=x+1 ， x， 在 CD 中， CD ） 2=（ ） 2x 2+（ x+1） 2=（ ） 2， 解得： ， 2（不合題意，舍去）， x= （ ）當 時，如圖 4，與（ ）方法一同理可得： CD ） 2=（ ） 2，設 BD=BD=x ，則 x+1） 2=22， 解得： ， （不合題意，舍去）， x= ； （ 3） 數量關系 為： 圖 5， D ， 將 點 A 旋轉到 連接 C， D， = =1， = = ， 60 ， 360 （ =360 90=270 ， 70 ， 0 ， + 2=2+ 3（ 2015杭州）如圖 1， O 的半徑為 r（ r 0）， 若點 P在射線 ，滿足 OP=稱點 P是點 P 關于 O 的 “反演點 ” 如圖 2， O 的半徑為 4，點 B 在 O 上， 0， ，若點 A， B分別是點A， B 關于 O 的反演點，求 AB的長 解：設 O 于 C，連結 BC ，如圖 2， 2，而 r=4， ， 2 ， 2， 4 ， 即點 B 和 B 重合， 0 ， C， 等邊三角形，而點 A 為 中點， BA 在 AB 中， ， AB=42 三、函數新定義 1（ 2015揚州）平面直角坐標系中，點 P（ x， y）的橫坐標 x 的絕對值表示為 |x|，縱坐標 y 的絕對值表示為 |y|，我們把點 P（ x， y）的橫坐標與縱坐標的絕對值之和叫做點 P（ x， y）的勾股值，記為 P，即 P =|x|+|y|（其中的 “+”是四則運算中的加法） （ 1）求點 A（ 1， 3）， B（ +2， 2）的勾股值 A、 B； （ 2）點 M 在反比例 函數 y= 的圖象上，且 M =4，求點 M 的坐標； （ 3）求滿足條件 N =3 的所有點 N 圍成的圖形的面積 解：（ 1） A（ 1， 3）， B（ +2， 2）， A =| 1|+|3|=4， B =| +2|+| 2|= +2+2 =4； （ 2）設：點 M 的坐標為（ m， n），由題意得 解得： ， ， ， ， M（ 1， 3），（ 1， 3），（ 3， 1），（ 3， 1） （ 3）設 N 點的坐標為（ x， y）， N =3， |x|+|y|=3， x+y=3， x y=3， x y=3， x+y=3， y= x+3， y= x 3， y=x 3， y=x+3，如圖：所有點 N 圍成的圖形的面積 =3 =18 2（ 2015河南）如圖，邊長為 8 的正方形 兩邊在坐標軸上，以點 C 為頂點的拋物線經過點 A，點 ， C 間的一個動點（含端 點 ），過點 P 作 點 F，點 D、 E 的坐標分別為（ 0， 6），（ 4， 0），連接 （ 1）請直接寫出拋物線的解析式； （ 2）小明探究點 P 的位置發(fā)現：當 P 與點 A 或點 C 重合時， 差為定值，進而猜想：對于任意一點P， 差為定值，請你判斷該猜想是否正確，并說明理由； （ 3）小明進一步探究得出結論：若將 “使 的點 好點 ”，則存在多個 “好點 ”，且使 也是一個 “好點 ”請直接寫出所有 “好點 ”的個數，并求出 長最小時 “好點 ”的坐標 解：（ 1） 邊長為 8 的正方形 兩邊在坐標軸上，以點 C 為頂點的拋物線經過點 A， C（ 0， 8）， A（ 8， 0）， 設拋物線解析式為： y=c，則 ，解得： 故拋物線的解析式為： y= ； （ 2）正確，理由：設 P（ a， ），則 F（ a， 8）， D（ 0， 6）， = = ， （ ） = ；（ 3）在點 P 運動時， 小不變，則 和最小時， 周長最小， ， ， D=F+2， 當 P、 E、 F 三點共線時， F 最小，此時點 P， E 的橫坐標都為 4， 將 x= 4 代入 y= ，得 y=6， P（ 4， 6），此時 周長最小，且 面積為 12，點 P 恰為 “好點， 周長最小時 ”好點 “的坐標為：（ 4， 6），由（ 2）得： P（ a， ）， 點 D、 E 的坐標分別為（ 0， 6），（ 4， 0）， 當 4a 0 時， S = ； 4 S 2，當 a=0 時， S ， 8 a 4 時， S +6） （ a） 46（ a 4） （ ） = 3a+4， 4S 3， 當 a= 8 時， S 2， 面積可以等于 4 到 13 所有整數，在面積為 12 時， a 的值有兩個，所以面積為整數時好點有 11 個，經過驗證周長最小的好點包含這 11 個之內，所以好點共 11 個， 11 個好點， P（ 4， 6） 3、（ 2011河北）如圖，在平面直角坐標系中，點 出發(fā)，沿 個單位長的速度運動t 0），拋物線 y=x2+bx+和點 P，已知矩形 A （ 1， 0）， B （ 1， 5），D （ 4， 0） （ 1）求 c， b （用含 （ 2）當 4 t 5時，設拋物線分別與線段 ， N 在點 認為 大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出 值； 求 面積 S與 求 ； （ 3）在矩形 含邊界），把橫、縱 坐標都是整數的點稱為 “ 好點 ” 若拋物線將這些 “ 好點 ”分成數量相等的兩部分，請直接寫出 解：（ 1）把 x=0， y=0 代入