【畢業(yè)學(xué)位論文】基于行波變換的無限維動力系統(tǒng)的分岔研究-機(jī)械與運(yùn)載工程博士論文

學(xué)校代號 10532 學(xué) 號 分 類 號 0322 密 級 博士學(xué)位論文 基于 行波變換的 無限維動力系統(tǒng)的分岔研究 學(xué)位申請人姓名 韓峰 培 養(yǎng) 單 位 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院 導(dǎo)師姓名及職稱 唐駕時教授 學(xué) 科 專 業(yè) 一般力學(xué)與力學(xué)基礎(chǔ) 研 究 方 向 非線性動力學(xué) 論文提交日期 學(xué)校代號 ： 10532 學(xué) 號 ： 級 ： 湖南大學(xué)博士學(xué)位論文 基于 行波變換的 無限維動力系統(tǒng)的分岔研究 學(xué)位申請人姓名： 韓峰 導(dǎo)師姓名及職稱： 唐駕時教授 培養(yǎng)單 位 ： 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院 專業(yè)名 稱 ： 一般力學(xué)與力學(xué)基礎(chǔ) 論 文 提 交 日 期 ： 論 文 答 辯 日 期： 答辯委員會主席 ： on of AN (2002 (2006 A in of in 2013 博士學(xué)位論文 I 摘 要 無限維動力系統(tǒng)的分岔分析與控制是非線性科學(xué)的一個重要研究領(lǐng)域。在流體力學(xué)、固 體力學(xué)、斷裂力學(xué)、大氣動力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)以及生物演化系統(tǒng)存在大量的分岔行為，例如，粘彈性均質(zhì)梁的非線性振動、對流和熱傳導(dǎo)、凝聚態(tài)物理、界面生長演化中的非平衡相變等等，因此，需要進(jìn)行分岔分析與控制。本文以行波變換為基礎(chǔ)，通過中心流形方法降維，利用攝動方法求分岔方程，研究了幾類經(jīng)典無限維動力系統(tǒng)的靜態(tài)分岔問題，并對其控制進(jìn)行了探討。 簡單介紹了無限維動力系統(tǒng)分岔研究現(xiàn)狀以及分岔分析與控制方法。基于一種輔助常微分方程方法研究非線性發(fā)展方程的行波解。對輔助方程方法的一般步驟以及現(xiàn)有的幾種常見的輔助方程進(jìn)行了介紹，并對 這些輔助方程的求解步驟進(jìn)行了分析。通過對一個輔助微分方程的解的討論，并借助擴(kuò)展雙曲正切函數(shù)法的一些思想，求得了 (2+1) 維 程和廣義 (2+1) 維程的一些精確的行波解。該方法可以推廣至其他具有孤子解、三角周期解和橢圓函數(shù)解的非線性偏微分方程的求解，前提是行波變換以后的非線性常微分方程要有精確解，如果不可解，則不能用輔助常微分方程方法求解。基于這些精確解，可以直接研究非線性偏微分方程的分岔行為。 利用行波變換和直接積分 方法獲得了 程和 (2+1)維 程的精確解。并對上述方程的靜態(tài)分岔行為進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn) 程和 (2+1)維程均具有典型的跨臨界分岔行為。 對于由非線性偏微分方程控制的 無限維 系統(tǒng)，分岔控制的研究成果還很少。 跨臨界分岔行為是針對一維系統(tǒng)， 可 將程和 (2+1)維 程直接化成為一維系統(tǒng)，對于高維系統(tǒng)要用中心流形等方法對非線性偏微分方程或行波變換后的非線性常微分方程進(jìn)行約化。該方法還可以對偏微分方程的其他類型的靜態(tài)分岔，如叉形分岔和鞍結(jié)分 岔等進(jìn)行分析。 討論了非線性偏微分方程和非線性常微分方程一樣也具有鞍結(jié)分岔、叉形分岔和跨臨界分岔行為。將三類非線性偏微分方程通過行波變換，化為一階常微分方程，并對其進(jìn)行了靜態(tài)分岔分析。其中 程、 (2+1)維 程和 (2+1)維 程具有跨臨界分岔， (2+1)維修改的 程具有鞍結(jié)分岔。并通過構(gòu)造一個偏微分方程，分析了該方程的叉形分岔行為。 采用精確處理方式，用行波變換將非線性偏微分方程變換為常微分方程，用中心流形方法降 維，分析了某些無限維非線性系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔、跨臨界分岔、叉形分岔行為，在參數(shù)平面了解非線性偏微分方程的解的穩(wěn)定性。用反饋控制方法基于行波變換的無限維動力系統(tǒng)的分岔研究 無限維非線性系統(tǒng)的三類靜態(tài)分岔進(jìn)行了控制，分別設(shè)計(jì)了線性、非線性的反饋控制器，對無限維系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔、跨臨界分岔、叉形分岔行為進(jìn)行了有效控制。反饋控制器不會改變原系統(tǒng)的分岔特性，而使非線性系統(tǒng)的 分岔點(diǎn)發(fā)生了改變， 系統(tǒng)解的穩(wěn)定區(qū)域發(fā)生了改變。 研究了帶有激勵項(xiàng)的 程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有鞍結(jié)分岔行為。在該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)中存在跳躍和延遲現(xiàn)象，利用攝動方法，可以得到非線性系統(tǒng) 的幅頻響應(yīng)曲線，并由此繪制出系統(tǒng)的分岔圖。為了實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)的 分岔 控制，設(shè)計(jì)了一種反饋控制器，并根據(jù)反饋系數(shù)的不同而分別進(jìn)行了線性控制、非線性控制和線性與非線性聯(lián)合控制。利用上述控制方法，可以改變系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域以及系統(tǒng)的非線性特性。通過對 程分岔特性及其控制的理論分析和數(shù)值模擬，為研究非線性發(fā)展方程的 分岔 控制提供了有效的思路。 關(guān)鍵詞 ： 無限維動力系統(tǒng)；行波變換；行波解；輔助方程方法；叉形分岔；鞍結(jié)分岔；跨臨界分岔；分岔控制 博士學(xué)位論文 of is a in so on of of of of on of of to a of 2+1)2+1)in be in if on be in 2+1)be of 2+1)of on of In 2+1)- a be to of 于行波變換的無限維動力系統(tǒng)的分岔研究 IV of (2+1)2+1)P (2+1)By a of is By be be of of in to of of is of in be of be To of a is to of in be to 士學(xué)位論文 V 目 錄 摘 要 . I . 錄 . V 第 1 章 緒 論 . 1 限維非線性動力系 統(tǒng)的分岔研究現(xiàn)狀 . 1 岔分析理論 . 3 岔控制方法 . 5 制理論研究概述 . 5 岔 控制方法概述 . 7 究的主要內(nèi)容和創(chuàng)新點(diǎn) . 8 第 2 章 程的 行波解 . 10 微分方程求解的輔助常微分方程法 . 10 2+1)維 程的行波解 . 13 義的 (2+1)維 程的行波解 . 28 結(jié) . 34 第 3 章 程的行波解和跨臨界分岔 . 36 程的行波解 . 36 程的行波變換 . 37 程的解 . 38 2+1)維 程的行波解 . 41 程的跨臨界分岔 . 47 臨界分岔的必要條件 . 47 程的跨臨界分岔 . 48 結(jié) . 49 第 4 章 無限維系統(tǒng)的三類靜態(tài)分岔 . 50 限維系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔 . 50 程的鞍結(jié)分岔 . 50 線性 程的鞍結(jié)分岔 . 55 基于行波變換的無限維動力系統(tǒng)的分岔研究 (2+1)維 程的鞍結(jié)分岔 . 57 限維系統(tǒng)的跨臨界分岔 . 58 限維系統(tǒng)的叉形分岔 . 61 論 . 63 第 5 章 無限維系統(tǒng)的靜態(tài)分岔控制 . 64 動控制原理 . 65 動控制形式 . 65 饋控制 . 66 臨界分岔控制 . 67 結(jié)分岔控制 . 69 形分岔控制 . 72 結(jié) . 74 第 6 章 程的鞍結(jié)分岔及其控制 . 75 程的行波變換 . 75 程的分岔方程 . 77 結(jié)分岔行為 . 78 結(jié)分岔控制 . 79 岔控制方程 . 80 性和非線性控制 . 82 6.5 程的鞍結(jié)分岔 . 85 結(jié) . 88 總結(jié)與展望 . 89 參考文獻(xiàn) . 91 附錄 A 攻讀學(xué)位期間發(fā)表論文目錄 . 102 博士學(xué)位論文 1章 緒 論 動力系統(tǒng)的分岔指的是系統(tǒng)的動力特性隨著某些參數(shù)的變化而發(fā)生質(zhì)的改變， 尤其 是系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 的 穩(wěn)定性 發(fā)生 改變或出 現(xiàn) 解軌道分支。 分岔是一類常見的 、 重要的非線性現(xiàn)象，并與其它 的非線性現(xiàn)象（如混沌、突變、分形等等）密切相關(guān)。 非線性 動力系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象 不僅 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域如 拓?fù)洹缀?、微分方程、動力系統(tǒng)理論，而且在工程科學(xué)如 電網(wǎng)、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、 流體動力學(xué)、 電路、化學(xué)反應(yīng)等方面都 扮演重要的角色 。 在這些方面， 許多 學(xué)者 都作了大量的研究， 取得了一定的成就。 對于無限維動力系統(tǒng)（ 包括由時間演化的偏微分方程、積分 考慮其軌線在無限維的巴拿赫空間上，并且其狀態(tài)或相一般同時與時間和空間相關(guān)，此時它的 動力學(xué)特征和分岔的研究要比有限維動力系統(tǒng)復(fù)雜的多。這類系統(tǒng)廣泛的存在于非線性振動、流體力學(xué)、空氣動力學(xué)和大量的反應(yīng)擴(kuò)散問題中。一般的無限維系統(tǒng)研究內(nèi)容包括吸引子和慣性流形（ 混沌 (分岔 (分形 (孤立子 (。本文將重點(diǎn)研究一些經(jīng)典偏微分方程的行波解以及分岔和穩(wěn)定性等問題。在參數(shù)發(fā)生變化時，系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)改變的現(xiàn)象就是分岔，它可以使一個看似簡單的系統(tǒng)突然走向復(fù)雜，甚至可能從確定性 走向隨機(jī)或者混沌狀態(tài)。因次，研究分岔尤其是無限維系統(tǒng)的分岔具有重要意義。 限維非線性動力系統(tǒng)的分岔研究現(xiàn)狀 18 世紀(jì)以來對 非線性振動、 天體力學(xué) 和 流體力學(xué)中一些失穩(wěn)現(xiàn)象的探討 ,是研究 分岔問題的 起源，其具 應(yīng)用背景深刻 。 對于桿件在縱向壓力作用下的屈曲問題， 伯努利和歐拉等人 早在 18 世紀(jì)中葉就做出研究 。 在研究自引力介質(zhì)的橢球形旋轉(zhuǎn)液體星的平衡圖形時， 雅可比 于 1834 年 首先引入 “ 分岔 (這個術(shù)語。雷諾 在 1883 年 發(fā)現(xiàn)在臨界雷諾數(shù)時層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯默F(xiàn)象， 并 從此開始了流動穩(wěn)定性的研 究。 1885 年，龐加萊提出了旋轉(zhuǎn)液體平衡圖形的演化過程的分岔理論。 雖然 大量 的 分岔現(xiàn)象被 范德波、安德羅諾夫等 學(xué)者 在 20 世紀(jì) 30 年代 研究 非線性振動 時 發(fā) 現(xiàn)就已被發(fā)現(xiàn) 。 但是 ，在 之后較長 的時間里，分岔研究主要在應(yīng)用 層面 中進(jìn)行 。直到上世紀(jì) 60 年代，現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論 的逐漸形成以及 電子計(jì)算機(jī) 技術(shù)的大力發(fā)展和 不同領(lǐng)域中混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn) 等 ，都促使分岔理論迅速發(fā)展。 基于行波變換的無限維動力系統(tǒng)的分岔研究 限維動力學(xué)系統(tǒng) 1常 是指 定義在巴拿赫空間或希爾伯特（ 間中的非線性動力系統(tǒng)。 該類 系統(tǒng) 通常 由一個或一組耦合的偏微分方程、時滯微分方程和 積分微分方程來構(gòu)成。眾所周知， 四十多年來，人們對 有限維動力系統(tǒng)的研究已形成 比較 系統(tǒng)的分支 學(xué)科 。 然而，在人類生存的大自然中，存在著更多 高維以及無限維的問題。 流體力學(xué)（ 的湍流問題 和固體力學(xué)中的梁或 桿等的非線性振動問題，其動力學(xué)模型可 用 一個 關(guān)于 時間和空間變量的非線性波動方程 來描述 4； 此外，斷裂力學(xué)中 應(yīng)力分析的邊界問題、化學(xué)與生物中的反應(yīng)擴(kuò)散問題等等 ，都可以利用無限維動力系統(tǒng)來描述 。近 幾 年來 ， 孤子系統(tǒng)的研究 逐漸成為熱門，各種形式的孤立子解及其 精確或近似 解析表達(dá)式 都得到了 較充分 的研究 和求解 ， 常見的求解方法有 散射反演方法、 線性方法、 通常，我們稱這類具有孤子解的非線性演化方程為可積孤子系統(tǒng)， 如 程 、 程 、非線性薛定諤方程等等。同時在耗散結(jié)構(gòu)作用下， 當(dāng)這類系統(tǒng)亦可 演化出 分岔 與混沌現(xiàn)象。 若 將有限維系統(tǒng) 進(jìn)行 無限模推廣 后的系統(tǒng)視為無限維動力系統(tǒng) ；如 將 貝納爾（ 流方程組的未知函數(shù)作傅里葉展開取前三項(xiàng)， 可 得到著名的洛倫茲方程（ 與有限維系統(tǒng)相比， 無限維動力系統(tǒng)具有更豐富和更 復(fù)雜 的非線性 動力學(xué)特征。 如 湍流混沌問題可能存在與無限維系統(tǒng)的 空間上，而有限維僅 存 在 于時間上 。又如有規(guī)律的斑圖結(jié)構(gòu)自組織形成的原因是 由于反應(yīng) 擴(kuò)散體系內(nèi)部的非線性和耗散相互作用所引起的均勻態(tài)出現(xiàn)不穩(wěn) 。由于 該問題 涉及時空理論， 近年來 成為了許多物理、力學(xué)和化學(xué) 學(xué)者們 探討 的熱門話題 。 通過對具耗散結(jié)構(gòu)非線性發(fā)展方程的整體吸引子和慣性流形進(jìn)行系統(tǒng)、全面的研究， O. A. M. I. R. 等人引入分形維數(shù) (即分維 )來研究復(fù)雜吸引子結(jié)構(gòu)， 同時， 進(jìn)一步提出了近似慣性流形和非線性 法 2。 此外 ， 等在偏微分方程 解的存在性問題和性質(zhì) 上進(jìn)行 了系統(tǒng)的闡述， 其中在 偏微分方程的研究中 具有很理想 的應(yīng)用。 無限維動力系統(tǒng)也可 分 為 為自治和非自治的，其中常被研究的非自治系統(tǒng)有無限維時滯系統(tǒng)、具有外部強(qiáng)迫振動項(xiàng)的系統(tǒng)。無限維動力系統(tǒng)還可以分為隨機(jī)系統(tǒng)和確定 系統(tǒng)。在流體力學(xué)、凝聚物理、非線性光學(xué)、以及表面動力學(xué)等許多領(lǐng)域 中都有隨機(jī)無限維系統(tǒng)的出現(xiàn) ，通常 只有隨機(jī)力和噪聲系數(shù)都是很小的系統(tǒng)可被研究。由于概率分布 已知 ，隨機(jī)擾動的動力學(xué)行為 將不難得到 ， 雖然這一類隨機(jī)擾動 的性質(zhì)被證 實(shí) 與確定性系統(tǒng) 具有一定的 相似 性 ， 然而， 近年來 的一些研究成果也表明，該類隨機(jī)擾動也具有 與確定性系統(tǒng)不一樣的特征和現(xiàn)象。 無窮維動力系統(tǒng) 的研究 包括混沌 (湍流、失穩(wěn)與分岔 (孤立子 (。 作為 流體力學(xué) 近年來熱點(diǎn)方向 ，湍流的相關(guān)問題被國內(nèi)外學(xué)博士學(xué)位論文 們廣泛研究 ； 偏微分方程混沌理論的建立是 過在 有 限模態(tài)下進(jìn)行混沌分析后得到的 。 慣性流形上的有限維系統(tǒng)則由 ， 2人構(gòu)造出。戴 14等人 通過研究非線性偏微分方程的一類特殊的同宿 軌解 ， 并通過對該解進(jìn)行數(shù)值模擬 來 得到混沌圖。另外， 由于 孤子理論涉及一類 具 有 重要 物理意義 的 解，該解是研究 系統(tǒng) 通向 混沌的重要途徑，因 而被認(rèn)為 是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)問題 15 無限維動力系統(tǒng)的分岔研究 不是純理論的研究，而是 有著 廣泛的 工程背景和實(shí)際意義。日常生活和工程系統(tǒng)都與無限維動力系統(tǒng)的分岔研究有著密切的聯(lián)系。在 很多 學(xué)科領(lǐng)域， 如分岔控制和控制理論 、 材料結(jié)構(gòu)的定性分析、化學(xué)反應(yīng)過程的控制等 ，分岔研究都扮演著重要的角色 。近年來， 無限維動力系統(tǒng)的分岔研究被 越來越多的國內(nèi)外學(xué)者 所 重視 。 9于線性全連 續(xù)場譜理論和中心流形定理 提出了吸 引子分岔理論 ， 此外， 隨機(jī)分岔也 得到廣泛的研究 ， 9通過幅值方程或隨機(jī)中心流形約化來進(jìn)行分岔分析。 2、 3人分析了耦合的反應(yīng)擴(kuò)散方程的各種非平衡相變和圖靈斑圖的形成。在 無限維動力系統(tǒng)分岔研究 問題的數(shù)值模擬上， 7用差分法進(jìn)行分岔和混沌分析。在工程計(jì)算問題中 ， 斷方法 40也 被廣泛 運(yùn)用 。 通過 利用 有限差分法 ，1等人 計(jì)算和模擬 了 多孔對流分岔現(xiàn)象和臨界點(diǎn)。 2等 采 用有限差分方法，研究了 流體力學(xué)中的連續(xù)系統(tǒng)分岔特 性 ，獲得了平衡解和流場中變量空間分布的變化。 無限維動力系統(tǒng)分岔和拓?fù)浞治隼碚摫?3較有體系 的 總結(jié)了出來 。 4等人 則 詳細(xì)介紹了奇異性理論和群理論在分岔分析中的應(yīng)用，其中 涉及 了一些重要的理論基礎(chǔ)， 如 化方法、 間中的隱函數(shù)定理等等。 岔分析理論 根據(jù)文 45中的介紹，分岔是指任意小的參數(shù)變化導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的動力學(xué)系統(tǒng)的相軌跡拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生的突然變化。設(shè)有區(qū)域 和 。考慮一個含有參數(shù) 的系統(tǒng)： ( , )x f x (其中 為狀態(tài)變量 ， 1( , , ) 為控制變量。若隨著參數(shù) 的連續(xù)變動，系統(tǒng) (拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)突然在參數(shù) 0 J 處發(fā)生變化，則稱系統(tǒng) (參數(shù) 0 處產(chǎn)生了分岔，并稱 0 為分岔值，所有分岔值組成的集合稱為分岔集。一般 情況下， 動力系統(tǒng)的分岔研究可 根據(jù)研究對象的不同而分 為靜態(tài)分岔和動態(tài)分岔 兩大類分岔 ， 對 奇點(diǎn)個數(shù)及其 類型 或穩(wěn)定性的研究 稱為靜態(tài)分岔 ，包括叉形、鞍結(jié)點(diǎn)、跨臨界 分岔 等。動力系統(tǒng)中 的時間相關(guān)流變化 稱為動態(tài)分岔 ，包括閉 軌基于行波變換的無限維動力系統(tǒng)的分岔研究 岔、 岔 、同宿 或 異宿軌分岔、準(zhǔn)和倍周期 分岔等等。 此外，動力系統(tǒng)的分岔分析還可歸類為全局分岔和局部分岔。 局部分岔是指 在實(shí)際 研究 中，只 討論平衡點(diǎn)或閉軌附近的某個鄰域內(nèi)向量場的分岔行為，全局分岔包括同 、異 宿軌分岔。 分岔問題的研究內(nèi)容較廣，主要?dú)w納為以下幾個方面 45 (1) 找出分岔集和發(fā)生分岔的條件， 并畫出平面分岔圖； (2) 研究發(fā)生分岔之后出現(xiàn)新的定性與穩(wěn)定性問題； (3) 計(jì)算發(fā)生分岔的臨界條件和分岔解，特別是奇點(diǎn)和閉 軌 ； (4) 考察各類不同類的分岔作用和分岔與混沌的關(guān)系。 常見的分岔分析方法 則 有 數(shù)法、 范形方法、小波差分法、奇異性理 論、 、 攝動法、 隱函數(shù)定理、拓?fù)涠群?標(biāo)法等。但對于無限維動力系統(tǒng)的分岔是在無限維的巴拿赫空間上處理的，因此分析方法將更加復(fù)雜 ， 常見的方法有以下幾種 ： (1) 行波解約化和對稱約化 43,44,46,47,48 利用 如下的行波變換 )(),( 將 某些孤子系統(tǒng) 變換 成一個平面系統(tǒng)，再利用分岔理論得到相圖分支，從而得到更多可能的行波解行為和同宿孤子解，以及混沌的存在。 (2) 擴(kuò)展方程法 41,49,50,51 該方法的 思路 是 引入 一個新的方程附加到原系統(tǒng)， 來 達(dá)到去除分岔奇異性的目的。 (3) 限模截斷 2,40,52對于巴拿赫空間上的邊值問題， 該 方法是可以使無限維系統(tǒng)化成為有限維形式。 (4) 近似慣性流形截斷方法 1,56該方法 比經(jīng)典的 法更好 的 逼近于原無限維系統(tǒng)的動力學(xué)行為， 是近年來新發(fā)展出的約化方法， 在有限維流形上的約化系統(tǒng)決定了系統(tǒng)解的長時時間行為，并且動力系統(tǒng)的流在有限的時間內(nèi)都會進(jìn)入到它的一個很薄的小鄰域內(nèi)，因此這種方法 在研究無窮維動力系統(tǒng)長時間行為時能發(fā)揮重要作用。 (5) 差分方法 38,39,64 該方法 是 討論無限維系統(tǒng)的動力學(xué)行為的一種有效地數(shù)值方法，結(jié)合小波理論的小波有 限差分法等方法也已有很多成果，并且改進(jìn)的差分法的優(yōu)勢也已被驗(yàn)證 。 博士學(xué)位論文 岔控制方法 制理論研究概述 1932 年 ， 奈奎斯特 發(fā)表關(guān)于反饋放大器穩(wěn)定性的經(jīng)典論文 ， 該文通常被認(rèn)為是控制論 發(fā)展的起點(diǎn)。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展和人類認(rèn)識自然界的不斷加深 ，控制理論 逐步從 經(jīng)典控制理論 邁向 現(xiàn)代控制理論。 當(dāng) 研究對象 為 線性單回路系統(tǒng)時，屬于經(jīng)典控制理論的范 疇 ， 而 現(xiàn)代控制理論 則著重 研究多變量系統(tǒng)。 二十世紀(jì)六十年代，卡爾曼提出了狀態(tài)變量法，并以此開創(chuàng)了對現(xiàn)代控制理論的研究。而現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)則由龐特里亞金和貝爾曼所奠定，他們提出的極大值原理和動態(tài)規(guī)劃極大的推動了現(xiàn)代控制理論的發(fā)展。 自此以后，現(xiàn)代控制理論有了長足的發(fā)展，自適應(yīng)控制，變結(jié)構(gòu)控制，模型參數(shù)控制等方法相繼提出。雖然，人們對于線性系統(tǒng)的研究已經(jīng)形成了完善的理論體系，然而，嚴(yán)格來講 ，幾乎所有人們接觸的 系統(tǒng)都是非線性的， 換句話說，非線性是普遍存在的，是大自然的本質(zhì)，而線性更多的只是一種合理的假設(shè)和對非線性問 題的簡化。因此，隨著科學(xué)的不斷進(jìn)步，人類不能滿足于對線性現(xiàn)象的研究，而是要將觸角深入這個充滿非線性和復(fù)雜動態(tài)的世界。 正是這種對大自然不斷探索的渴求，推動者 控制理論 一步步發(fā)展至今天。然而，現(xiàn)代控制理論依然面臨著諸多的挑戰(zhàn)， 最 艱巨 的挑戰(zhàn) 就 是非線性 的 本質(zhì)。 對于 衛(wèi)星的定位與姿態(tài)控制、精密數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動控制 以及機(jī)械人控制 等 模型 ， 其運(yùn)動范圍是較大的，受控系統(tǒng)的體積和內(nèi)部的精密程度等客觀因素 都 不可避免的決定著不能 采用線性模型 來對上述系統(tǒng)進(jìn)行簡化研究 。 此外，利用泰勒展開來研究上述大范圍、高精度系統(tǒng)的控制問題也是缺乏有效性 的 ， 要想實(shí)現(xiàn)上述系統(tǒng)的控制， 必須要采用 更有效的 非線性控制方法。同時， 隨著分岔、混沌、奇異吸引子等現(xiàn)象的一一揭示和廣泛研究，人們進(jìn)一步認(rèn)識到利用線性特征來近似描述非線性現(xiàn)象是相當(dāng)局限和不足的 ， 上述現(xiàn)象均已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出 了人們 對線性系統(tǒng)的掌握和理解 ， 線性系統(tǒng)理論完全 無法用來解釋 這一類現(xiàn)象 ，科研工作者 們需要 在非線性控制理論和應(yīng)用方面取得 進(jìn)一步 突破。 早期的、傳統(tǒng)的非線性控制研究是以死區(qū)、飽和、摩擦和間隙等幾種特殊的非線性因素為基本研究對象， 其 主要方法有 ：相平面法 和 描述函數(shù)法 。而對于非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析，則主要有以下理 論分析方法： 絕對穩(wěn)定性理論、李雅普諾夫理論和輸入輸出穩(wěn)定性理論。 上 世紀(jì) 80 年代以來， 計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展推動了非線性科學(xué)的研究進(jìn)展，人們越來越重視也越來越多的開始研究 非線性科學(xué)， 非線性分析、非線性泛函以及 非線性動力學(xué) 等學(xué)科都 迅速 的發(fā)展起來。 同時，非線性控制理論也取得了一定的進(jìn)展。主要表現(xiàn)在以下方面 65： 基于行波變換的無限維動力系統(tǒng)的分岔研究 1）微分幾何方法 通過微分同胚映射來進(jìn)行坐標(biāo)變換并根據(jù)變換后的系統(tǒng)引入非線性反饋，來實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的精確線性化是微分幾何方法的主要思想，通過上述步驟 可將非線性系統(tǒng)的研究轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)的研究 。李群、李代數(shù)是運(yùn)用該方法的重要工具。利 用微分幾何方法研究非線性系統(tǒng) ， 是現(xiàn)代數(shù)學(xué) 理論 發(fā)展的結(jié)果