波利亞《怎樣解題表》

波利亞的怎樣解題表陜西師范大學(xué) 羅增儒 羅新兵喬治波利亞喬治波利亞(George Polya，18871985)是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家在解題方面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法(指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索法)現(xiàn)代研究的先驅(qū)由于他在數(shù)學(xué)教育方面取得的成就和對世界數(shù)學(xué)教育所產(chǎn)生的影響，在他93歲高齡時，還被（國際數(shù)學(xué)教育大會）聘為名譽主席 作為一個數(shù)學(xué)家，波利亞在函數(shù)論、變分法、概率、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、計算和應(yīng)用數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域，都做出了開創(chuàng)性的貢獻，留下了以“波利亞”命名的定理或術(shù)語；他與其他數(shù)學(xué)家合著的數(shù)學(xué)分析中的問題和定理、不等式、數(shù)學(xué)物理中的等周問題、復(fù)變量等書堪稱經(jīng)典；而以200多篇論文構(gòu)成的四大卷文集，在未來的許多年里，將是研究生攻讀的內(nèi)容 作為一個數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻集中體現(xiàn)在怎樣解題(1945年)、數(shù)學(xué)與似真推理(1954年)、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(1962年)三部世界名著上，涉及“解題理論”、“解題教學(xué)”、“教師培訓(xùn)”三個領(lǐng)域波利亞對數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要是通過“怎樣解題”表來實現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，也在“解題講習(xí)班”中對教師現(xiàn)身說法他的著作把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識和新技能的學(xué)習(xí)過程，他的目標不是找出可以機械地用于解決一切問題的“萬能方法”，而是希望通過對于解題過程的深入分析，特別是由已有的成功實踐，總結(jié)出一般的方法或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用他所總結(jié)的模式和方法，包括笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一般化與特殊化方法、從后往前推、設(shè)立次目標、歸納與類比、考慮相關(guān)輔助問題、對問題進行變形等，都在解題中行之有效尤其有特色的是，他將上述的模式與方法設(shè)計在一張解題表中，并通過一系列的問句或建議表達出來，使得更有啟發(fā)意義著名數(shù)學(xué)家互爾登在瑞士蘇黎世大學(xué)的會議致詞中說過：“每個大學(xué)生、每個學(xué)者、特別是每個教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書”(1952年2月2日) 怎樣解題表 波利亞是圍繞“怎樣解題”、“怎樣學(xué)會解題”來開展數(shù)學(xué)啟發(fā)法研究的，這首先表明其對“問題解決”重要性的突出強調(diào)，同時也表明其對“問題解決”研究興趣集中在啟發(fā)法上波利亞在風(fēng)靡世界的怎樣解題（被譯成14種文字）一書中給出的“怎樣解題表”，正是一部“啟發(fā)法小詞典” “怎樣解題”表的呈現(xiàn)弄清問題 第一，你必須弄清問題未知是什么?已知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知，條 件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?畫張圖，引入適當?shù)姆柊褩l件的各個部分分開你能否把它們寫下來?擬定計劃 第二，找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題 你應(yīng)該最終得出一個求解的計劃你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同? 你是否知道與此有關(guān)的問題?你是否知道一個可能用得上的定理? 看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題 這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題 你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎?你能利用它的方法嗎?為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素? 你能不能重新敘述這個問題?你能不能用不同的方法重新敘述它? 回到定義去 如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題?一個更普遍的問題?一個更特殊的問題?一個類比的問題?你能否解決這個問題的一部分?僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度?它會怎樣變化?你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近? 你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個條件?你是否考慮了包含在問題中的必要的概念?實現(xiàn)計劃 第三，實行你的計劃實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟 你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的?回顧 第四，驗算所得到的解你能否檢驗這個論證?你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果?你能不能一下子看出它來?你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題?下面是實踐波利亞解題表的一個示例，能夠展示波利亞解題風(fēng)格的心路歷程，娓娓道來，栩栩如生 “怎樣解題”表的實踐 例1給定正四棱臺的高h，上底的一條邊長a和下底的一條邊長b，求正四棱臺的體積F(學(xué)生已學(xué)過棱柱、棱錐的體積) 講解第一，弄清問題 問題1你要求解的是什么? 要求解的是幾何體的體積，在思維中的位置用一個單點F象征性地表示出來(圖1) 問題2你有些什么? 一方面是題目條件中給出的3個已知量a、b、h；另一方面是已學(xué)過棱柱、棱錐的體積公式，并積累有求體積公式的初步經(jīng)驗把已知的三個量添到圖示處(圖2)，就得到新添的三個點a、b、h；它們與F之間有一條鴻溝，象征問題尚未解決，我們的任務(wù)就是將未知量與已知量聯(lián)系起來 第二，擬定計劃 問題3怎樣才能求得F? 由于我們已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺的幾何結(jié)構(gòu)(棱臺的定義)告訴我們，棱臺是“用一個平行于底面的平面去截棱錐”，從一個大棱錐中截去一個小棱錐所生成的如果知道了相應(yīng)兩棱錐的體積B和A，我們就能求出棱臺的體積 我們在圖示上引進兩個新的點A和B，用斜線把它們與F聯(lián)結(jié)起來，以此表示這三個量之間的聯(lián)系(圖3，即式的幾何圖示)這就把求F轉(zhuǎn)化為求A、B 圖3問題4怎樣才能求得A與B? 依據(jù)棱錐的體積公式(V)，底面積可由已知條件直接求得，關(guān)鍵是如何求出兩個棱錐的高并且，一旦求出小棱錐的高x，大棱錐的高也就求出，為 我們在圖示上引進一個新的點x，用斜線把A與x、連結(jié)起來，表示A能由a、得出，A2；類似地，用斜線把B與b、連結(jié)起來，表示B可由、得出，2（）(圖4)，這就把求A、B轉(zhuǎn)化為求x 圖4問題5怎樣才能求得x？ 為了使未知數(shù)x與已知數(shù)a、聯(lián)系起來，建立起一個等量關(guān)系我們調(diào)動處理立體幾何問題的基本經(jīng)驗，進行“平面化”的思考用一個通過高線以及底面一邊上中點(圖5中，點Q)的平面去截兩個棱錐，在這個截面上有兩個相似三角形能把a、b、h、x聯(lián)系起來(轉(zhuǎn)化為平面幾何問題)，由12得 圖5 這就將一個幾何問題最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解解方程，便可由a、b、h表示x,在圖示中便可用斜線將x與、h連結(jié)起來至此，我們已在F與已知數(shù)a、b、h之間建立起了一個不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，解題思路全部溝通 第三，實現(xiàn)計劃 作輔助線(過程略)如圖5，由相似三角形的性質(zhì)，得，解得x= 進而得兩錐體的體積為2x， 2（）， 得棱臺體積為 （a2abb2）h 第四，回顧 (1)正面檢驗每一步，推理是有效的，演算是準確的再作特殊性檢驗，令，由可得正四棱錐體的體積公式；令，由可得正四棱柱體的體積公式這既反映了新知識與原有知識的相容性，又顯示出棱臺體積公式的一般性；這既溝通了三類幾何體極限狀態(tài)間的知識聯(lián)系，又可增進三個體積公式的聯(lián)系記憶 (2)回顧這個解題過程可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉有用的信息(如圖1所示，有棱臺，a、b、h、F共5條信息)，同時又要及時提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息(如回想：棱臺的定義、棱錐的體積公式、相似三角形的性質(zhì)定理、反映幾何結(jié)構(gòu)的運算、調(diào)動求解立體幾何問題的經(jīng)驗積累等不下6條信息)，并相應(yīng)將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合這當中，起調(diào)控作用的關(guān)鍵是如何去構(gòu)思出一個成功的計劃(包括解題策略)由這一案例，每一個解題者還可以根據(jù)自己的知識經(jīng)驗各自進一步領(lǐng)悟關(guān)于如何制定計劃的普遍建議或模式 (3)在解題方法上，這個案例是分析法的一次成功應(yīng)用，從結(jié)論出發(fā)由后往前找成立的充分條件為了求F，我們只需求A、B(由棱臺體積到棱錐體積的轉(zhuǎn)化由未知到已知，化歸)；為了求A、B，我們只需求x(由體積計算到線段計算的轉(zhuǎn)化由復(fù)雜到簡單，降維)；為了求x，我們只需建立關(guān)于x的方程(由幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合)；最后，解方程求x，解題的思路就暢通了，在當初各自孤立而空曠的畫面上(圖1)，形成了一個聯(lián)接未知與已知間的不中斷網(wǎng)絡(luò)(圖5)，書寫只不過是循相反次序?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖作一敘述這個過程顯示了分析與綜合的關(guān)系，“分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行；分析是制定一個計劃，綜合是執(zhí)行這個計劃” (4)在思維策略上，這個案例是“三層次解決”的一次成功應(yīng)用首先是一般性解決(策略水平上的解決)，把F轉(zhuǎn)化為A，B的求解（），就明確了解題的總體方向；其次是功能性解決(方法水平的解決)，發(fā)揮組合與分解、相似形、解方程等方法的解題功能；最后是特殊性解決(技能水平的解決)，比如按照棱臺的幾何結(jié)構(gòu)作圖、添輔助線找出相似三角形、求出方程的解、具體演算體積公式等，是對推理步驟和運算細節(jié)作實際完成 (5)在心理機制上，這個案例呈現(xiàn)出“激活擴散”的基本過程首先在正四棱臺(條件)求體積(結(jié)論)的啟引下，激活了記憶網(wǎng)絡(luò)中棱臺的幾何結(jié)構(gòu)和棱錐的體積公式，然后，沿著體積計算的接線向外擴散，依次激活截面知識、相似三角形知識、解方程知識(參見圖1圖5)，直到條件與結(jié)論之間的網(wǎng)絡(luò)溝通這種“擴散激活”的觀點，正是數(shù)學(xué)證明思維中心理過程的一種解釋 (6)在立體幾何學(xué)科方法上，這是“組合與分解”的一次成功應(yīng)用首先把棱臺補充(組合)為棱錐，然后再把棱錐截成(分解)棱臺并作出截面，這種做法在求棱錐體積時曾經(jīng)用過(先組合成一個棱柱、再分解為三個棱錐)，它又一次向我們展示“能割善補”是解決立體幾何問題的一個訣竅，而“平面化”的思考則是溝通立體幾何與平面幾何聯(lián)系的一座重要橋梁這些都可以用于求解其他立體幾何問題，并且作為一般化的思想(化歸、降維)還可以用于其他學(xué)科 (7)“你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果?”在信念上我們應(yīng)該永遠而堅定地做出肯定的回答，操作上未實現(xiàn)只是能力問題或暫時現(xiàn)象對于本例，按照化棱臺為棱錐的同樣想法，可以有下面的解法 如圖6，正四棱臺ABCD-1111中，連結(jié)DA1，B1，1，將其分成三個四棱錐-1111，-11，-11，其中 b2， （等底等高) 圖6圖7為了求，我們連結(jié)A1，將其分為兩個三棱錐-1與-11（圖7），因 ， 故， 但2a2， 故 a2a2 (a2) 從而 (a2) (a2) b2 （a2abb2）h (8)“你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他問題?”能，至少我們可以由正四棱臺體積公式一般化為棱臺體積公式(方法是一樣的)注意到 a21，b22， 可一般化猜想棱臺的體積公式為 臺 (12)波利亞的解題觀 對于波利亞的怎樣解題表及有關(guān)著作，人們從不同的角度闡發(fā)了對波利亞解題思想的認識(見參考文獻)，我們將其歸結(jié)為5個要點 程序化的解題系統(tǒng) 怎樣解題表，就“怎樣解題”、“教師應(yīng)教學(xué)生做些什么”等問題，把“解題中典型有用的智力活動”，按照正常人解決問題時思維的自然過程分成四個階段弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧，從而描繪出解題理論的一個總體輪廓，也組成了一個完整的解題教學(xué)系統(tǒng)既體現(xiàn)常識性，又體現(xiàn)由常識上升為理論(普遍性)的自覺努力 這四個階段首先是一個四步驟的宏觀解題程序，其中“實現(xiàn)計劃”雖為主體工作，但較為容易完成，是思路打通之后具體實施信息資源的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心”；其次，“弄清問題”是認識問題、并對問題進行表征的過程，應(yīng)成為成功解決問題的一個必要前提；與前兩者相比，“回顧”是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來，是一個有遠見的做法，在整個解題表中“擬定計劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容 “擬定計劃”的過程是在“過去的經(jīng)驗和已有的知識”基礎(chǔ)上，探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，波利亞的建議是分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系(模式識別等)；第二，如果找不出直接的聯(lián)系，就對原來的問題做出某些必要的變更或修改，引進輔助問題，為此，波利亞又進一步建議：看著未知數(shù)，回到定義去，重新表述問題，考慮相關(guān)問題，分解或重新組合，特殊化，一般化，類比等，積極誘發(fā)念頭，努力變化問題這實際上是闡述和應(yīng)用解題策略并進行資源的提取與分配 于是，這個系統(tǒng)就集解題程序、解題基礎(chǔ)、解題策略、解題方法等于一身，融理論與實踐于一體 啟發(fā)式的過程分析 (1)還在當學(xué)生的時候，波利亞就有一個問題一再使他感到困惑：“是的，這個解答好像還行，它看起來是正確的，但怎樣才能想出這樣的解答呢?是的，這個實驗好像還行，它看起來是個事實，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這樣的事實?而且我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢?”從解題論的觀點看，這實際上是既提出了“怎樣解題”又提出了“怎樣學(xué)會解題”的問題，波利亞說，這“終于導(dǎo)致他寫出本書”(指怎樣解題) 波利亞認為“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面”，“用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)看來像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實驗性的歸納科學(xué)這兩個側(cè)面都像數(shù)學(xué)本身一樣古老但從某一點說來，第二個側(cè)面則是新的，因為以前從來就沒有照本宣科地把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)照原樣提供給學(xué)生，或教師自己，或公眾”他以數(shù)十年的時間悉心研究數(shù)學(xué)啟發(fā)法，其“怎樣解題”的基本思想就可以概括為“知識啟發(fā)法” 在解題表中，波利亞給出了“啟發(fā)法小詞典”，讓讀者通過閱讀詞典來開闊思路、指導(dǎo)實踐，自己學(xué)會怎樣解題 這些看法來源于波利亞對數(shù)學(xué)教育宗旨的認識，波利亞認為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)“教會年輕人去思考”，培養(yǎng)學(xué)生的“獨立性、能動性和創(chuàng)新精神”；他認為一個人在學(xué)校所受的教育應(yīng)該受益終生，他贊成，良好的教育應(yīng)該“系統(tǒng)地給學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)事物的機會”，“應(yīng)該幫助學(xué)生自己再發(fā)現(xiàn)所教的內(nèi)容”，“學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”；他特別重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要加強思維訓(xùn)練，要發(fā)展學(xué)生運用所學(xué)知識的能力，發(fā)展技能、技巧、有益的思考方式和科學(xué)的思維習(xí)慣，他反復(fù)指出，數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是傳授知識，還要“發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊能力”教師要“教學(xué)生證明問題”，也要“教他們猜想問題”波利亞提出“合情推理”的概念，號召：“讓我們教猜想吧!” (2)在解題表的展開中，波利亞則通過剖析典型例題的思維過程來研究“發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律”波利亞不斷地提問、不斷地建議，“怎樣才能想出這樣的解答呢?”“我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢?”既驅(qū)使人們?nèi)シ治鼋忸}過程，又要求人們?nèi)タ偨Y(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律波利亞在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)序言中提出：“領(lǐng)會方法的最佳時機，可能是讀者解出一道題的時候，或是閱讀它的解法的時候，也可能是閱讀解法形成過程的時候” 波利亞書中的例題，其實就是對典型例題進行解題過程的分析，就是暴露數(shù)學(xué)解題的思維過程，也就是教人“怎樣學(xué)會解題”在例1中，數(shù)學(xué)操作與思維開展相結(jié)合的圖解或闡釋，使我們既領(lǐng)會到了這樣的意圖，也見到了這樣的行動 波利亞對解題過程淋漓盡致的剖析，實質(zhì)上已接觸到心理層面，但沒有用到多少教育學(xué)或思維學(xué)的相關(guān)名詞，基本上都是其數(shù)學(xué)前沿研究中切身體驗的自然流露，數(shù)學(xué)功底和過程體驗發(fā)揮了重要作用這正是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢，處處有數(shù)學(xué)的“真刀真槍”，絕非“紙上談兵”波利亞說“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”，在“知識”與“組織良好”之間，波利亞更強調(diào)后者，他說“良好的組織使得所提供的知識易于用上，這甚至可能比知識的廣泛更為重要”用現(xiàn)在的話來說，波利亞在這里強調(diào)了“原有的知識經(jīng)驗”和“優(yōu)化的認知結(jié)構(gòu)”對問題解決的基礎(chǔ)作用 開放型的念頭誘發(fā) 波利亞解釋說：“我們表中的問題和建議并不直接提到念頭；但實際上，所有的問題和建議都與它有關(guān)(可以說解題表中的每一個問句，都是從認知或元認知的角度向讀者啟發(fā)解題念頭），弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準備；擬訂計劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實現(xiàn)它；回顧此過程和求解的結(jié)果，我們試圖更好地利用它”他強調(diào)指出：“老師為學(xué)生所能做的最大的好事是通過比較自然的幫助，促使他自己想出一個好念頭”在怎樣解題一書里，出現(xiàn)“念頭”這個詞不下四五十次 念頭有什么用?波利亞說：“它會給你指出整個或部分解題途徑”“也許有些念頭會把你引入歧途”，但這并不可怕，“在明顯失敗的嘗試和一度猶豫不決之后”會“突然閃出一個好念頭”，最糟糕的是沒有任何念頭，還“笨頭呆腦地干等著某個念頭的降臨，而不會做任何事情去加速其來到” 這里說的念頭不僅在字面上比“問題表征”更為淺白，而且在內(nèi)涵上更為豐富，其實質(zhì)是開展積極活躍的思維活動，產(chǎn)生念頭與找出解題途徑完全可以理解為同義語那么產(chǎn)生念頭的基礎(chǔ)是什么呢?波利亞的回答是：“過去的經(jīng)驗和已有的知識”(解題力量)“如果我們對該論題知識貧乏，是不容易產(chǎn)生好念頭的如果我們完全沒有知識，則根本不可能產(chǎn)生好念頭” 波利亞一再提到“好念頭”，其實這就是直覺、頓悟或靈感，“想出一個好念頭是一種靈感運動”，“想像力有了一個突然的跳躍，產(chǎn)生了一個好念頭，這是天才的一次閃爍”，“是我們觀點上的重大突變，我們看問題方式的一個驟然變動，在解題步驟方面的一個剛剛露頭的有信心的預(yù)感” 波利亞關(guān)于念頭的種種議論，正是開展積極思維活動的激發(fā)與激活 探索性的問題轉(zhuǎn)換 這里說的“問題轉(zhuǎn)換”，在怎樣解題一書中亦叫“變化問題”、“題目變更”，它揭示了探索解題思路的數(shù)學(xué)途徑，也體現(xiàn)了解題策略的實際運用波利亞強調(diào)：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘，為了找出哪個方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近的一側(cè)，我們從各個方面、各個側(cè)面去試驗，我們變更問題”“變化問題使我們引進了新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了和我們有關(guān)的元素接觸的新可能性”“新問題展現(xiàn)了接觸我們以前知識的新可能性，它使我們做出有用接觸的希望死而復(fù)蘇通過變化問題，顯露它的某個新方面，新問題使我們的興趣油然而生” 在“怎樣解題”表中，波利亞擬出了啟引我們不斷轉(zhuǎn)換問題的30多個問句或建議：把問題轉(zhuǎn)化為一個等價的問題，把原問題化歸為一個已解決的問題，去考慮一個可能相關(guān)的問題，先解決一個更特殊的問題、或更一般的問題、或類似的問題那些啟發(fā)新念頭的問句，也往往與問題轉(zhuǎn)換有關(guān)“如果我們不用題目變更，幾乎是不能有什么進展的”這就是波利亞的結(jié)論 樸素的數(shù)學(xué)解題元認知觀念 元認知是對認知的再認知，包括元認知知識，元認知體驗和元認知監(jiān)控雖然元認知概念提出較晚，但元認知思想早就存在，在波利亞的解題思想中存在著樸素的元認知觀念 波利亞解題表的大量問句或建議，都不是問別人，而是自己給自己提問題、提建議，這是解題者的自我詰問、自我反思問題中的一部分，其對象針對具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，屬于認知性的；另一部分則以解題者自身為對象，屬于元認知性的比如，“你以前見過它嗎?”“你是否知道一個與此有關(guān)的問題?”“這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題你能不能利用它?”等等，都不涉及問題的具體內(nèi)容，都是針對解題主體、對其解題思維活動的反思，都屬于元認知提問，而不完全是認知提問 波利亞解題表中的“回顧”也并不完全是常規(guī)解題中的“檢驗”，主要是有分析地領(lǐng)會所得的解法(參見例1的回顧)，它包含著把“問題及其解法”(認知)作為對象進行自覺反思的元認知意圖至于解題表本身所給出的解題程序(一種程序性知識)，所體現(xiàn)的解題策略(一種策略性知識)及所進行的元認知提問，都屬于元認知知識波利亞對具體范例的分析，基本上是對“問題及其解法”的再認知，已反映出開發(fā)元認知的樸素意圖 波利亞的另一些問句，如“你能不能重新敘述這個問題?你能不能用不同的方法重新敘述它?”“你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近?”(接近度)，“你能不能一下子看出它來?”(題感)等，則屬于樸素的元認知體驗 至于解題表本身，則自始至終體現(xiàn)著元認知調(diào)控 綜上所述，“解題系統(tǒng)”是波利亞解題思想的整體框架，“分析解題過程”是波利亞解題思想的思維實質(zhì)，“念頭誘發(fā)”是波利亞解題思想的外在表現(xiàn)，“問題轉(zhuǎn)換”是波利亞解題思想的具體實現(xiàn)，樸素的元認知觀念是波利亞解題思想的心理學(xué)基礎(chǔ)而這一切的背后，豐富的數(shù)學(xué)前沿研究經(jīng)歷和發(fā)現(xiàn)體驗是波利亞解題思想的物質(zhì)基礎(chǔ)，現(xiàn)代啟發(fā)法是波利亞解題思想的靈魂，揭示“發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律”是波利亞解題思想的目標 波利亞解題研究的發(fā)展 反思 數(shù)學(xué)上存在證明的方法與發(fā)現(xiàn)的方法，在邏輯實證主義占主導(dǎo)地位的歷史時期，關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方法的研究一度陷于停頓，波利亞的貢獻就在于自覺承擔起復(fù)興數(shù)學(xué)啟發(fā)法的重任，并提出合情推理，為數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代研究提供了必要基礎(chǔ)20世紀80年代初期，美國數(shù)學(xué)教育界興起的“問題解決”研究是對波利亞現(xiàn)代啟發(fā)法的直接繼承，曾經(jīng)有“對波利亞的重新發(fā)現(xiàn)”、“數(shù)學(xué)啟發(fā)法幾乎成了問題解決的同義詞”等提法但是，已有數(shù)學(xué)實踐卻未能獲得預(yù)期的成功，盡管學(xué)生已經(jīng)具備了必要的數(shù)學(xué)知識，也已經(jīng)了解了相關(guān)的方法原則，或者說已執(zhí)行了解題表的建議，卻仍不能有效地解決問題，這不能不引起數(shù)學(xué)教育界的反思 (1)波利亞構(gòu)建的“四階段”解題系統(tǒng)具有開創(chuàng)性的意義，但局限于“四階段”對學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”而言是不是有點簡單化了?對數(shù)學(xué)問題解決全過程的探索可能比解題表所簡潔描述的復(fù)雜得多 (2)數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代復(fù)興及其所取得的成功，無論怎樣評價都不算過分，但啟發(fā)法能不能看成影響問題解決能力的惟一要素?“知識+啟發(fā)法”之外可能還有更多的因素需要重視(如“元認知調(diào)節(jié)”、“觀念”等)，“好念頭”的出現(xiàn)可能也需要從方法論的角度做出更為自覺的分析 (3)波利亞從數(shù)學(xué)內(nèi)部研究數(shù)學(xué)問題解決并強調(diào)解題實踐是一個值得繼承的研究方向(與那些連數(shù)學(xué)題都沒有出現(xiàn)的解題研究形成鮮明對照，也與那些對中學(xué)教材作業(yè)題都不那么過關(guān)的研究者形成鮮明對照)，但局限于“解題”、專注于技能技巧是不是狹窄了點?至少“問題發(fā)現(xiàn)(提出)”、“實際應(yīng)用”都與解決問題有同樣的重要性 發(fā)展 近十幾年來，通過反思和對解題實踐活動的深入考察，數(shù)學(xué)教育界已經(jīng)在“問題解決”的全過程和“高級數(shù)學(xué)思維”的內(nèi)外部機制等研究方面取得了新的進展，中國式的“問題解決”也初成特色，這些都構(gòu)成了對波利亞的超越 （）美國學(xué)者舍費爾德在名著數(shù)學(xué)解題一書中，提出了一個新的理論框架，描述了復(fù)雜的智力活動的四個不同性質(zhì)的方面 認識的資源即解題者所已掌握的事實和算法； 啟發(fā)法即在困難的情況下借以取得進展的“常識性的法則”； 調(diào)節(jié)它所涉及的是解題者運用已有知識的有效性(即現(xiàn)代認知心理學(xué)中所說的元認知)； 信息系統(tǒng)即解題者對于學(xué)科的性質(zhì)和應(yīng)當如何去從事工作的看法 （）中國的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來重視解題訓(xùn)練、中國的數(shù)學(xué)教師歷來重視解題研究，20世紀80年代，隨著美國“問題解決”口號傳入中國，波利亞的解題理論受到了重視也得到了發(fā)展 早在20世紀40年代，波利亞的怎樣解題就曾有過中譯本(周佐嚴譯，中華書局出版)，到60年代曾有人翻譯數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)但由于種種原因未能完成（見江澤涵關(guān)于波利亞的怎樣解題和數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)的一些往事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)(皖)，1983，2，）年代以來，波利亞的三部著作都已翻譯發(fā)行，其中的解題觀點已成為許多同行研究解題的指導(dǎo)思想，國內(nèi)一些學(xué)者多次召開了波利亞數(shù)學(xué)思想的討論會，徐利治教授還提出研究波利亞的兩項重要任務(wù)：一是培養(yǎng)和造就一批波利亞型的數(shù)學(xué)工作者，二是按照波利亞的思想改革數(shù)學(xué)教材和教學(xué)方法(后來有“MM教育方式”的理論與實踐，見文)20世紀90年代，張奠宙教授組織“數(shù)學(xué)教育高級研討班”，提出“提倡問題解決”作為進一步改革中國數(shù)學(xué)教育“突破口”的設(shè)計（數(shù)學(xué)素質(zhì)教育設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)，1993，3）這一切，促進了中國特色的解題研究(參見文、等)，并初步形成了“中國的數(shù)學(xué)問題解決”特色主要