2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷（全國Ⅰ.理）含詳解

第 1 頁 共 11 頁 2008 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)（必修 +選修） 本試卷分第 I 卷（選擇題）和第 （非選擇題）兩部分第 I 卷 1 至 2 頁，第 3 至 9 頁考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回 第卷 考生注意： 1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用 米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、填寫清楚 ，并貼好條形碼請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目 2 每小題選出答案后，用 2鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號 在試題卷上作答無效 3本卷共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 參考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面積公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24 如果事件 相互獨(dú)立，那么 其中 R 表示球的半徑 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的體積公式 如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 P ，那么 34 3VRn 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 k 次的概率 其中 R 表示球的半徑 ( ) (1 ) ( 0 1 , 2 )k k n k C P P k n ， ， ， 一、選擇題 1函數(shù) ( 1 )y x x x 的定義域?yàn)椋?） A |0 B |1 C | 1 0 D | 0 1 2汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程 s 看作時(shí)間 t 的函數(shù)，其圖像可能是（ ） 第 2 頁 共 11 頁 3在 中， ABc ， ACb 若點(diǎn) D 滿足 2C ，則 （ ） A 2133523321331233 aR ，且 2()a i i 為正實(shí)數(shù)，則 a （ ） A 2 B 1 C 0 D 1 5已知等差數(shù)列 ，3510，則它的前 10 項(xiàng)的和10S （ ） A 138 B 135 C 95 D 23 6若函 數(shù) ( 1)y f x的圖像與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對稱，則 () ） A 21 B 2 C 21 D 22 7設(shè)曲線 11xy x 在點(diǎn) (32)， 處的切線與直線 10ax y 垂直，則 a （ ） A 2 B 12C 12D 2 8為得到函數(shù) c o s 23的圖像，只需將函數(shù) 的圖像（ ） A向左平移 512個(gè)長度單位 B向右平移 512個(gè)長度單位 C向左平移 56個(gè)長度單位 D向右平移 56個(gè)長度單位 9設(shè)奇函數(shù) ()0 )， 上為增函數(shù)，且 (1) 0f ，則不等式 ( ) ( ) 0f x f 的解集為（ ） A ( 1 0 ) (1 ) ， ， B ( 1) ( 0 1) ， ， C ( 1 ) (1 ) ， ， D ( 1 0) (0 1) ， ， 10若直線 1通 過點(diǎn) (c o s s M ， ，則（ ） A 221 B 221 C22111 D22111 11已知三棱柱1 1 1A B C A B C的側(cè)棱與底面邊長都相等，1的射影為s t O A s t O s t O s t O B C D 第 3 頁 共 11 頁 的中心，則 1底面 成角的正弦值等于（ ） A 13B 23C 33D 2312如圖，一環(huán)形花壇分成 A B C D， ， ， 四塊，現(xiàn)有 4 種不同的花供選種，要求在每塊里種 1 種花，且相鄰的 2 塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（ ） A 96 B 84 C 60 D 48 2008 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)（必修 選修 ） 第 卷 注意事項(xiàng)： 1答題前，考生先在答題卡上用直徑 米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，然后貼好條形碼請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目 2第 卷共 7 頁，請用直徑 米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效 3本卷共 10 小題，共 90 分 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上 （注意： 在試題卷上作答無效 ） 13若 滿足約束條件03003 ， 則 2z x y的最大值為 14已知拋物線 2 1y 的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為 15在 中， C ， 7若以 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) C ，則該橢圓的離心率 e 16等邊三角形 正方形 一公共邊 二面角 C 的余弦值為33 ， 分別是 C， 的中點(diǎn)，則 N， 所成角的余弦值等于 D B C A 第 4 頁 共 11 頁 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17（本小題滿分 10 分） （注意： 在試題卷上作答無效 ） 設(shè) 的內(nèi)角 A B C， ， 所對的邊長分別為 a b c， ， ，且 3c o s c o b A c （ ）求 （ ）求 )的最大值 18（本小題滿分 12 分） （注意： 在試題卷上作答無效 ） 四棱錐 A 中，底面 矩形，側(cè)面 底面 2， 2，C （ ）證明： E ； （ ）設(shè) 平面 成的角為 45 ，求二面角 C 的大小 19（本小題滿分 12 分） （注意： 在試題卷上作答無效 ） 已知函數(shù) 32( ) 1f x x a x x ， aR （ ）討論函數(shù) () （ ）設(shè)函數(shù) ()133，內(nèi)是減函數(shù)，求 a 的取值范圍 20（本小題滿分 12 分） （注意： 在試題卷上作答無效 ） 已知 5 只動物中有 1 只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動物血 液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗(yàn)方法： 方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動物為止 C D E A B 第 5 頁 共 11 頁 方案乙：先任取 3 只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這 3只中的 1 只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外 2 只中任取 1 只化驗(yàn) （ ）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率； （ ） 表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求 的期望 21 （本小題滿分 12 分） （注意： 在試題卷上作答無效 ） 雙曲線的中心為原點(diǎn) O ，焦點(diǎn)在 x 軸上，兩條漸近線分別為12經(jīng)過右焦點(diǎn) F 垂直于1 兩 點(diǎn)已知 O A A B O B、 、 成等差數(shù)列，且 向 （ ）求雙曲線的離心率； （ ）設(shè) 雙曲線所截得的線段的長為 4，求雙曲線的方程 22 （本小題滿分 12 分） （注意： 在試題卷上作答無效 ） 設(shè)函數(shù) ( ) x x x x 數(shù)列 ，1 ()f a （ ）證明：函數(shù) ()01)， 是增函數(shù)； （ ）證明：1 1； （ ）設(shè)1( 1)，整數(shù)11 證明： 1 第 6 頁 共 11 頁 2008 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)（必修 +選修）參考答案 1. C. 由 1 0 , 0 , 1, 0 ;x x x x x 得 或 2. A 根據(jù)汽車加速行駛 212s 勻速行駛 s ，減速行駛 212s 結(jié)合函數(shù)圖像可知； 3. A. 由 2A D A B A C A D ， 3 2 2A D A B A C c b ， 1233A D c b； 4. D. 2 222 1 2 1 0 , 1a i i a a i i a a i a ； 5. C. 由2 4 3 5 1 1 0 14 , 1 0 4 , 3 , 1 0 4 5 9 5a a a a a d S a d ； 6. B. 由 2 1 2 1 2l n 1 , 1 ,yx xy x x e f x e f x e ； 由 321 2 2 11 , , | , 2 , 21 1 21 y y a x ； 55c o s 2 s i n 2 s i n 2 ,3 6 1 2y x x x 只需將函數(shù) 的圖像向 左平移 512個(gè)單位得到函數(shù) c o s 23的圖像 . 奇函數(shù) () ) ( ) 2 ( ) 0f x f x f ，而 (1) 0f ，則 ( 1) (1) 0 ，當(dāng) 0x 時(shí)， ( ) 0 (1)f x f ；當(dāng) 0x 時(shí)， ( ) 0 ( 1)f x f ，又 ()0 )， 上為增函數(shù)，則 奇函數(shù) () ,0) 上為增函數(shù)， 0 1 , 1 0 或 . 題意知直線 1與圓 221有交點(diǎn)，則22221 1 1 111 1, . 另解：設(shè)向量 11( c o s , s i n ) , ( , )m = n =，由題意知 c o s s i n 1由 m n m n 可得22c o s s i n 11a b a b 1 題意知三棱錐1A 正四面體，設(shè)棱長為 a ， 則1 3AB a，棱柱的高 第 7 頁 共 11 頁 2 2 2 21 2 3 6()3 2 3A O a A O a a a （即點(diǎn) 1B 到底面 距離），故 1底面 成角的正弦值為 1123 另解：設(shè)1,C 一組基底，1,C 60 長度均為 a ，平面 法向量為11 1133O A A A A B A C ,11A B A B A A21 1 1 126, , 333O A A B a O A A B 則1成角的正弦值為 111123O A A A B . 兩種花有 24三種花有 342四種花有 44共有2 3 44 4 42 8 4A A A . 另解：按 A B C D 順序種花，可分 同色與不同色有 4 3 (1 3 2 2 ) 8 4 9如圖，作出可行域， 作出直線0 : 2 0l x y，將0 處 時(shí)，函數(shù) 2z x y有最大值 9. 14. 答案： 1y 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 1(0, 1)4a 為坐標(biāo)原點(diǎn)得， 14a ，則 21 14 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為 ( 0 , 1 ) , ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) ，則以這三點(diǎn)圍成的三角形的面積為 1 4 1 22 C， 7則 2 2 2 252 c o A B B C A B B C B 53， 5 8 2 32 1 , 2 1 ,3 3 2 8ca c e a . ，作 C O A B D E 面 ， B ，則 B ， 為二面角 C 的平面角 3 , c o s 1C H O H C H C H O ，結(jié)合等邊三角形 與正方形 知此四棱錐為正四棱錐，則 3A N E M C H (3, 3)A 200 30 O 3x 13 題圖 H o M B D E C N A 16 題圖（ 1） 第 8 頁 共 11 頁 11( ) ,22A N A C A B E M A C A E , 11( ) ( )22A N E M A B A C A C A E 12 故 N， 所成角的余弦值 16A N E E M 另解：以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn) ( 1 , 1 , 0 ) , (1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 )A B E C , 1 1 2 1 1 2( , , ) , ( , , )2 2 2 2 2 2 , 則 3 1 2 1 3 2 1( , , ) , ( , , ) , , 32 2 2 2 2 2 2A N E M A N E M A N E M , 故 N， 所成角的余弦值 16A N E E M . ）在 中，由正弦定理及 3c o s c o b A c可得 3 3 3 3s i n c o s s i n c o s s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i 5 5A B B A C A B A B A B 即 s i n c o s 4 c o s s i A B ，則 ； （ ）由 得 ta n 4 ta n 0 2t a n t a n 3 t a n 3t a n ( ) 1 t a n t a n 1 4 t a n c o t 4 t a B B B B 34 當(dāng)且僅當(dāng) 14 t a n c o t , t a n , t a n 22B B B A 時(shí)，等號成立， 故當(dāng) 1t a n 2 , t a 時(shí)， )的最大值為 34. 18解：（ 1）取 點(diǎn) F ，連接 點(diǎn) O ， C ， C ， 又面 面 面 E 2t a n t a n 2C E D F D C ， 90O E D O D E ， 90 ，即 F ， 面 D （ 2）在面 過 C 點(diǎn)作 垂線，垂足為 G D ， D ， 面 D， 則 即為所求二面角的平面角 z y H B D E C N A x 16 題圖（ 2） F O G A C D E B 18 題圖 第 9 頁 共 11 頁 233A C C D， 63， 22 303E G D E D G ， 6， 則 2 2 2 10c o s 2 1 0C G G E C E C G G E ， 10 a r c c o E ，即 二面角 C 的大小 10 a r c c o 19. 解：（ 1） 32( ) 1f x x a x x 求導(dǎo)： 2( ) 3 2 1f x x a x 當(dāng) 2 3a 時(shí)， 0 ， ( ) 0 ， () 上遞增 當(dāng) 2 3a ， ( ) 0 求得兩根為 2 33 即 () 33 ， 遞增， 223333a a a a ， 遞減， 2 33 ，遞增 （ 2）2232333133 ，且 2 3a 解得： 74a20解： （ ） 解：設(shè)1A、2 次、 2 次。 1B、2 次、 3次； A 表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)。 依題意知212A A A B1 2 14 4 21 2 21 2 3 15 5 5 31 1 1 2( ) , ( ) , ( )5 5 5A C P A P C C 1 2 2 1 2 2 1 1 2 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 2 5P A P A A B P A P A P B 8( ) 1 ( ) 0 . 7 225P A P A （） 的可能取值為 2， 3。 第 10 頁 共 11 頁 3244123 3 15 5 332( ) , ( )55 P C ； 1232( 2 ) ( ) , ( 3 ) ( )55P P B P P B 3 2 1 22 3 2 . 45 5 5E （次） 21. 解：（ ）設(shè) OA m d， AB m ， OB m d 由勾股定理可得： 2 2 2( ) ( )m d m m d 得： 14 ta n ， 4t a n t a n 23 B A O F 由倍角公式 22 431，解得 12則離心率 52e （ ）過 F 直線方程為 ()ay x ,與雙曲