2016年江西省新余市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）含答案解析

第 1 頁（共 25 頁） 2016 年江西省新余市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 . 1設(shè) U=R，已知集合 A=x|x1， B=x|x a，且（ B=R，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1C（ 1， +） D 1， +） 2設(shè)復(fù)數(shù) 復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，若 2i，則 的虛部為（ ） A B C D 3命題 p：若 a b，則 題 q： 0，使得 1 ，則下列命題為真命題的是（ ） A pp （ q） C（ p） p） （ q） 4已知點 F 是拋物線 x 的焦點， M、 N 是該拋物線上兩點， |6，則 點的橫 坐標(biāo)為（ ） A B 2C D 3 5運行如圖所示的程序框圖，若輸出的點恰有 5 次落在直線 y=x 上，則判斷框中可填寫的條件是（ ） A i 6B i 7C i 8D i 9 6在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲 10000 個點，則落入陰影部分（曲線 C 為正態(tài)分布 N（2， 1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（ ） 附：若 X N（ ， 2），則 P（ X +） = P（ 2 X +2） = P（ 3 X +3） = 第 2 頁（共 25 頁） A 430B 215C 2718D 1359 7設(shè)不等式組 所表示的區(qū)域為 M，函數(shù) y= 的圖象與 x 軸所圍成的區(qū)域為 N，向 M 內(nèi)隨機(jī)投一個點，則該點落在 N 內(nèi)的概率為（ ） A B C D 8 7 人站成兩排隊列，前排 3 人，后排 4 人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為（ ） A 120B 240C 360D 480 9函數(shù) g（ x） =2x ） x+ ）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍（縱坐標(biāo)不變）后得到 h（ x）的圖象，設(shè) f（ x） = x2+h（ x），則 f（ x）的圖象大致為（ ） A B C D 10已知 A， B， C 是球 O 的球面上三點， ， ， 0，且棱錐 O 則球 O 的表面積為（ ） A 10B 24C 36D 48 11某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） 第 3 頁（共 25 頁） A 1B 2C 4D 5 12已知數(shù)列 前項和為 任意 nN*， 1） +2n 6，且（ p）（ p） 0 恒成立，則實數(shù) p 的取值范圍是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， 6） D（ 2， ） 二、填空題：本大題共 4 小題，每題 5 分 0 分 13在 明朝程大位算法統(tǒng)宗中有這樣的一首歌謠： “遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈 ”這首古詩描述的這個寶塔其古稱浮屠，本題一共有 7層每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的 2 倍，共有 381 盞燈，問塔頂有幾盞燈？你算出頂層有 盞燈 14（ x） 9展開式中除常數(shù)項外的其余項的系數(shù)之和為 15如圖，在 ， N 為線段 靠近 A 點的四等分點，若 =（ m+ ） + ，則 m= 16設(shè)函數(shù) f（ x） = ，對任意 0， +），不等式恒成立，則正數(shù) k 的取值范圍是 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17如圖，在 ， B=30， ， D 是邊 一點 （ 1）求 積的最大值； （ 2）若 ， 面積為 2， 銳角，求 長 第 4 頁（共 25 頁） 18為弘揚民族古典文化，市電視臺舉行古詩詞知識競賽，某輪比賽由節(jié)目主持人隨機(jī)從題庫中抽取題目讓選手搶答，回答正確將給該選手記正 10 分 ，否則記負(fù) 10 分根據(jù)以往統(tǒng)計，某參賽選手能答對每一個問題的概率均為 ；現(xiàn)記 “該選手在回答完 n 個問題后的總得分為 （ 1）求 0 且 （ i=1， 2， 3）的概率； （ 2）記 X=|求 X 的分布列，并計算數(shù)學(xué)期望 E（ X） 19如圖幾何體 E 四棱錐， 正三角形， 20， D=，D=，且 （ 1）求證：平面 平 面 （ 2） M 是棱 中點，求證： 平面 （ 3）求二面角 D C 的平面角的余弦值 20已知 O 為坐標(biāo)原點， 的左右焦點分別為 頂點為A，上頂點為 B，若 | | |等比數(shù)列，橢圓 2的最短距離為 （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）設(shè) T 為直線 x= 3 上任意一點，過 直線 交橢圓 C 于點 P， Q，且 ，求 的最小值 21已知函數(shù) f（ x） =ax+a 0 且 a1） （ 1）求函數(shù) f（ x）單調(diào)遞增區(qū)間； （ 2）若存在 1， 1，使得 |f（ f（ |e 1（ e 是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù) a 的取值范圍 選修 4何證明選講 22如圖，已知圓 O 外有一點 P，作圓 O 的切線 M 為切點，過 中點 N，作割線圓于 A、 B 兩點 ，連接 延長，交圓 O 于點 C，連續(xù) 圓 O 于點 D，若C （ 1）求證： （ 2）求證：四邊形 平行四邊形 第 5 頁（共 25 頁） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23已知直線 （ t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以 x 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 =2 + ），且 交于 A，B 兩點； （ 1）當(dāng) 時，判斷直線 曲線 位置關(guān)系，并說明理由； （ 2）當(dāng) 變化時，求弦 中點 P 的普通方程，并說明它是什么曲線 選修 4等式選講 24設(shè) f（ x） =|x 1|+|x+1| （ 1）求 f（ x） x+2 的解集； （ 2）若不等式 f（ x） 對任意實數(shù) a0 恒成立，求實數(shù) x 的取值范圍 第 6 頁（共 25 頁） 2016 年江西省新余市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案 與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 . 1設(shè) U=R，已知集合 A=x|x1， B=x|x a，且（ B=R，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1C（ 1， +） D 1， +） 【考點】 交、并、補(bǔ)集的混合運算 【分析】 根據(jù)集合的定義與運算性質(zhì)，進(jìn)行化簡、運算即可 【解答】 解： U=R，集合 A=x|x1=1， +）， B=x|x a=（ a， +）， ， 1）， 又（ B=R， 實數(shù) a 的取值范圍是（ ， 1） 故選： A 2設(shè)復(fù)數(shù) 復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，若 2i，則 的虛部為（ ） A B C D 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復(fù)數(shù)的基本概 念 【分析】 利用復(fù)數(shù)的對稱性求出 后利用復(fù)數(shù)的乘除運算法則化簡復(fù)數(shù)求出虛部即可 【解答】 解：復(fù)數(shù) 2i， 1 2i， 則 = = = = 復(fù)數(shù)的虛部為： 故選： D 3命題 p：若 a b，則 題 q： 0，使得 1 ，則下列命題為真命題的是（ ） A pp （ q） C（ p） p） （ q） 【考點】 復(fù)合命題的真假 【分析】 命題 p：取 c=0 時是不成立，因此是假命題；命題 q：取 ，滿足 1 ，即可判斷出真假再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出 【解答】 解：命題 p：若 a b，則 c=0 時是不成立，因此是假命題； 命題 q：取 ，滿足 1 ，因此是真命題 則下列命題為真命題的是（ p） q， 故選： C 第 7 頁（共 25 頁） 4已知點 F 是拋物線 x 的焦點， M、 N 是該拋物線上兩點， |6，則 點的橫坐標(biāo)為（ ） A B 2C D 3 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出 x1+，即可求出 點的橫坐標(biāo) 【解答】 解： F 是拋物線 x 的焦點 F（ 1， 0），準(zhǔn)線方程 x= 1， 設(shè) M（ N（ |+=6， 解得 x1+， 線段 中點橫坐標(biāo)為 2， 故選： B 5運行如圖所示的程序框圖，若輸出的點恰有 5 次落在直線 y=x 上，則判斷框中可填寫的條件是（ ） A i 6B i 7C i 8D i 9 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程 序，依次寫出每次循環(huán)輸出的點的坐標(biāo)，當(dāng)滿足條件，退出循環(huán)體，從而得到判定框中應(yīng)填 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 i=1， y=0 x=1， y=1， i=2，輸出點（ 1， 1），此輸出的點恰落在直線 y=x 上， 不滿足條件， x=0， y=1， i=3，輸出點（ 0， 1） 不滿足條件， x= 1， y=0， i=4，輸出點（ 1， 0） 不滿足條件， x=0， y=0， i=5，輸出點（ 0， 0），此輸出的點恰落在直線 y=x 上 不滿足條件， x=1， y=1， i=6，輸出點（ 1， 1），此輸出的點恰落在直線 y=x 上 第 8 頁（共 25 頁） 不滿足條件， x=0， y=1， i=7，輸出點（ 0， 1） 不滿足條件， x= 1， y=0， i=8，輸出點（ 1， 0） 不滿足條件， x=0， y=0， i=9，輸出點（ 0， 0），此輸出的點恰落在直線 y=x 上 不滿足條件， x=1， y=1， i=10，輸出點（ 1， 1），此輸出的點恰落在直線 y=x 上 由題意，此時，應(yīng)該滿足條件，退出循環(huán)， 故判斷框中可填寫的條件是 i 9？ 故選： D 6在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲 10000 個點，則落入陰影部分（曲線 C 為正態(tài)分布 N（2， 1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（ ） 附：若 X N（ ， 2）， 則 P（ X +） = P（ 2 X +2） = P（ 3 X +3） = A 430B 215C 2718D 1359 【考點】 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義 【分析】 由正態(tài)分布曲線的特點，數(shù)形結(jié)合可得落入陰影部分的概率，乘以 10000 可得答案 【解答】 解： X N（ 2， 1）， 陰影部分的面積 S=P（ 0X1） = P（ 5x1） P（ 4x0） = （ = 落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為 1000015 故選： B 7設(shè)不等式組 所表示的區(qū)域為 M，函數(shù) y= 的圖象與 x 軸所圍成的區(qū)域為 N，向 M 內(nèi)隨機(jī)投一個點，則該點落在 N 內(nèi)的概率為（ ） A B C D 【考點】 幾何概型；簡單線性規(guī)劃 【分析】 畫出圖形，求出區(qū)域 M， N 的面積，利用幾何概型的公式解答 【解答】 解：如圖， 區(qū)域 M 的面積為 2，區(qū)域 N 的面積為 ，由幾何概型知所求概率為 P= 故選 B 第 9 頁（共 25 頁） 8 7 人站成兩排隊列，前排 3 人，后排 4 人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為（ ） A 120B 240C 360D 480 【考點】 計數(shù)原理的應(yīng)用 【分析】 分三步，第一步，從甲、乙、丙三人選一個加到前排，第二步，前排 3 人形成了 4個空，任選一個空加一人，有 4 種，第三步，后排 4 分人，形成了 5 個空，任選一個空加一人，有 5 種，此時形成了 6 個空，任選一個空加一人，根據(jù)分步計數(shù)原理可得 【解答 】 解：第一步，從甲、乙、丙三人選一個加到前排，有 3 種， 第二步，前排 3 人形成了 4 個空，任選一個空加一人，有 4 種， 第三步，后排 4 分人，形成了 5 個空，任選一個空加一人，有 5 種，此時形成了 6 個空，任選一個空加一人，有 6 種， 根據(jù)分步計數(shù)原理可得 3456=360， 故選： C 9函數(shù) g（ x） =2x ） x+ ）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍（縱坐標(biāo)不變）后得到 h（ x）的圖象 ，設(shè) f（ x） = x2+h（ x），則 f（ x）的圖象大致為（ ） A B C D 第 10 頁（共 25 頁） 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換；三角函數(shù)的化簡求值 【分析】 先研究函數(shù)的奇偶性知它是奇函數(shù)，從而排除兩個選項，再由 x= 時， f（ 0） 0，排除 C，即可得解 【解答】 解： g（ x） =2x ） x+ ） = 將函數(shù) g（ x）的圖象上各點的坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍（縱坐標(biāo)不變）后得到 h（ x） = f（ x） = x2+h（ x） = x2+得： f（ x） = x 可得： f（ x） = （ x） x） =（ x = f（ x）， 故此函數(shù)奇函數(shù)，排除 B， D 又當(dāng) x= 時， f（ 0） = +1=1 0，結(jié)合選項函數(shù)的圖象，排除 C 故選： A 10已知 A， B， C 是球 O 的球面上三點， ， ， 0，且棱錐 O 則球 O 的表面積為（ ） A 10B 24C 36D 48 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 利用解三角形判斷 直角三角形，得出截面圓的圓心，利用 d2+2，求解 R，判斷球的表面積 【解答】 解： ， ， 0 = = ， = ， C 60， ， C=30， A=90， =4 A， B， C 是球 O 的球面上三點 截面圓的圓心為 點， 半徑為 2 棱錐 O 體積為 ， = ， d=2 ， 2 ） 2+22=12， 第 11 頁（共 25 頁） 球 O 的表面積為： 48， 故選： D 11某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A 1B 2C 4D 5 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知該幾何體是一個正方體切去兩個三棱錐、一個三棱柱所得的組合體，并畫出直觀圖，由三視圖求出幾何元素的長度，由柱體、錐體 體積公式求出幾何體的體積， 【解答】 解：由三視圖得該幾何體是： 一個正方體切去兩個三棱錐、一個三棱柱所得的組合體， 其直觀圖如圖所示： 所以幾何體的體積： V=222 112 122 122=5， 故選： D 第 12 頁（共 25 頁） 12已知數(shù)列 前項和為 任意 nN*， 1） +2n 6，且（ p）（ p） 0 恒成立，則實數(shù) p 的取值范圍是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， 6） D（ 2， ） 【考點】 數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的通項公式 【分析】 通過 1） +2n 6 與 1=（ 1） n 11+ +2n 8（ n2）作差，進(jìn)而整理可得數(shù)列 通項公式，分 n 為奇偶兩種情況解不等式即得結(jié)論 【解答】 解： 1） +2n 6， 當(dāng) n2 時， 1=（ 1） n 11+ +2n 8， 兩式相減得： 1） +2n 6 （ 1） n 11+ +2n 8， 整理得： 1（ 1） n 1） 1+2 （ n2），（ *） 又 1） +2n 6， 1） +2 6，即 ， 下面對 n 的奇偶性進(jìn)行討論： （ 1）當(dāng) n 為偶數(shù)時，化簡（ *）可知： 1= 2， 2（ n 為奇數(shù)）； （ 2）當(dāng) n 為奇數(shù)時，化簡（ *）可知： 2 1+2 ， 即 4= 1+2 ，即 1=6 ， （ n 為偶數(shù)）； 于是 第 13 頁（共 25 頁） 對任意 nN*（ p）（ p） 0 恒成立， 對任意 nN*（ p ）（ p 0 恒成立 又 數(shù)列 1單調(diào)遞 減，數(shù)列 調(diào)遞增， 當(dāng) n 為奇數(shù)時，有： p ， 則 p ，即 p ； 當(dāng) n 為偶數(shù)時，有： p 則 p p ； 綜上所述， p ， 故選： A 二、填空題：本大題共 4 小題，每題 5 分 0 分 13在明朝程大位算法統(tǒng)宗中有這樣的一首歌謠： “遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈 ”這首古詩描述的這個寶塔其古稱浮屠，本題一共有 7層每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的 2 倍，共有 381 盞燈，問塔頂有幾盞燈？你算出頂層有 3 盞燈 【考點】 等比數(shù)列的前 n 項和 【分析】 設(shè)第一層有 a 盞燈，則由題意知第一層至第七層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個以 a 為首項，以 為公比的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果 【解答】 解：設(shè)第一層有 a 盞燈， 則由題意知第一層至第七層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個以 a 為首項，以 為公比的等比數(shù)列， =381， 解得 a=192， 頂層有 =3 盞燈 故答案為： 3 14（ x） 9展開式中除常數(shù)項外的其余項的系數(shù)之和為 5377 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 利用二項展開式中的通項公式，求出展開式的常數(shù)項，再令 x=1 可得展開式中各項系數(shù)和，由此求出展開式中除常數(shù)項外的其余項的系數(shù)和 【解答】 解：（ x） 9展開式中的通項公式為 = （ ） 9 r（ 1） r 1） r 29 r ， 第 14 頁（共 25 頁） 令 =0，求得 r=3， 所以展開式中常數(shù)項為（ 1） 3 26= 5376， 令 x=1 可得展開式中各項系數(shù)之和為（ 2 1） 9=1， 所以展開式中除常數(shù)項外的其余項的系數(shù)之和為 1+5376=5377 故答案為： 5377 15如圖，在 ， N 為線段 靠近 A 點的四等分點，若 =（ m+ ） + ，則 m= 【考點】 平面向量的基本定理及其意義 【分析】 根據(jù)條件及向量數(shù)乘的幾何意義便可得到 ，而由向量減法的幾何意義及向量的數(shù)乘運算便可得出 ，而由圖形看出 B， P， N 三點共線，從而有 ，這樣便可得出 m 的值 【解答】 解：根據(jù)條件， ； = = = ； B， P， N 三點共線； ； 故答案為： 16設(shè)函數(shù) f（ x） = ，對任意 0， +），不等式恒成立，則正數(shù) k 的取值范圍是 k1 【考點】 函數(shù)恒成立問題 第 15 頁（共 25 頁） 【分析】 當(dāng) x 0 時， = ，利用基本不等式可求 f（ x）的最小值，對函數(shù) g（ x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求 g（ x）的最大值，由恒成立且 k 0，則 ，可求 【解答】 解： 當(dāng) x 0 時， = =2e 0， +）時，函數(shù) f（ 最小值 2e = 當(dāng) x 1 時， g（ x） 0，則函數(shù) g（ x）在（ 0， 1）上單調(diào)遞增 當(dāng) x 1 時， g（ x） 0，則函數(shù)在（ 1， +）上單調(diào)遞減 x=1 時，函數(shù) g（ x）有最大值 g（ 1） =e 則有 0， +）， f（ e g（ e 恒成立且 k 0， k1 故答案為 k1 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17如圖，在 ， B=30， ， D 是邊 一點 （ 1）求 積的最大值； （ 2）若 ， 面積為 2， 銳角，求 長 【考點】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由已知及余弦定理，基本不等式可得 ，利用三角形面積公式即可得解 面積的最大值 （ 2）設(shè) ，利用三角形面積公式可解得 ，可求 ，由余弦定理得即可解得 值，利用正弦定理可求 而利用正弦定理可求 值 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ 1） ， 第 16 頁（共 25 頁） 由余弦定理可得： ， ， 所以 面積的最大值為 （ 2）設(shè) ，在 ， ， ，解得： ， 由余弦定理得： ， ， ， ， ，此時 ， 18為弘揚民族古典文化，市電視臺舉行古詩詞知識競賽，某輪比賽由節(jié)目主持人隨機(jī)從題庫中抽取題目讓選手搶答，回答正確將給該選手記正 10 分，否則記負(fù) 10 分根據(jù)以往統(tǒng)計，某參賽選手能答對每一個問題的概率均為 ；現(xiàn)記 “該選手在回答完 n 個問題后的總得分為 （ 1）求 0 且 （ i=1， 2， 3）的概率； （ 2）記 X=|求 X 的分布列，并計算數(shù)學(xué)期望 E（ X） 【 考點】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ 1）當(dāng) 0 時，即回答 6 個問題后，正確 4 個，錯誤 2 個若回答正確第 1 個和第 2 個問題，則其余 4 個問題可任意回答正確 2 個問題；若第一個問題回答正確，第 2 個問題回答錯誤，第三個問題回答正確，則其余三個問題可任意回答正確 2 個記回答每個問題正確的概率為 p，則 ，同時回答每個問題錯誤的概率為 ，由此能求出 0 且 （ i=1， 2， 3）的概率 （ 2）由 X=|知 X 的取值為 10， 30， 50，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ 1）當(dāng) 0 時，即回答 6 個問題后，正確 4 個，錯誤 2 個 若回答正確第 1 個和第 2 個問題，則其余 4 個問題可任意回答正確 2 個問題； 若第一個問題回答正確，第 2 個問題回答錯誤，第三個問題回答正確，則其余三個問題可任意回答正確 2 個 第 17 頁（共 25 頁） 記回答每個問題正確的概率為 p，則 ，同時回答每個問題錯誤的概率為 故所求概率為： （ 2）由 X=|知 X 的取值為 10， 30， 50 可有 ， ， 故 X 的分布列為： X 10 30 50 P E（ X） = = 19如圖幾何體 E 四棱錐， 正三角形， 20， D=，D=，且 （ 1）求證：平面 平面 （ 2） M 是棱 中點，求證： 平面 （ 3）求二面角 D C 的平面角的余弦值 【考點】 用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 【分析】 （ 1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面 平面 （ 2）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明 平面 （ 3）建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角 D C 的平面角的余弦值 【解答】 解：（ 1） ， 正三角形， 20， D=， 取 中點 O，則 則 C=C， 面 第 18 頁（共 25 頁） 平面 平面 2）若 M 是棱 中點，取 中點 N，則 中位線， 則 20， D=1， 0， 0， 0+30=90， 即 N=M， 面 面 平面 （ 3）由（ 1）知 面 20， D=， D=， ， ， + =2， 則 +1=4= 則 ， ， 建立以 O 為原點， x， y， z 軸的坐標(biāo)系如圖： 則 D（ 0， ， 0）， A（ ， 0， 0）， E（ 0， 0， ）， M（ ， 0， ）， B（ 0， ， 0）， C（ ， 0， 0）， 則 =（ ， ， ）， =（ 0， ， 0）， =（ ， ， 0） 設(shè)平面 一個法向量為 =（ x， y， z）， 則 ，則 y=0，令 z= ，則 x= 1， 即 =（ 1， 0， ）， 設(shè)平面 一個法向量為 =（ x， y， z）， ， 則 y= ，令 x= 3，則 z=5 ， =（ 3， ， 5 ）， 第 19 頁（共 25 頁） 則 ， = = = ， 即二面角 D C 的平面角的余弦值是 20已知 O 為坐標(biāo)原點， 的左右焦點分別為 頂點為A，上頂點為 B，若 | | |等比數(shù)列，橢圓 2的最短距離為 （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）設(shè) T 為直線 x= 3 上任意一點，過 直線交橢圓 C 于點 P， Q，且 ，求 的最小值 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）由 | | |等比數(shù)列，可得 =|即 ，可得 = ； 設(shè) M（ 橢圓 C 上一點，則 =第 20 頁（共 25 頁） = ， ax0a，當(dāng) x0=a 時， a c= 2；及其 a2=b2+出即可得出橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 （ （ I）可知： 2， 0），由 ，可得 ，設(shè) T（ 3， m），可得| ，直線 斜率 = = m，當(dāng) m0 時，直線 斜率，直線 方程是 x=2設(shè) P（ Q（ 將直線 方程與橢圓 C 的方程聯(lián)立化為：（ ） 42=0， | ，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出 【解答】 解：（ 1） | | |等比數(shù)列， =| ， = ， 設(shè) M（ 橢圓 C 上一 點，則 = = += ， ax0a， 當(dāng) x0=a 時， a c= 2， 及其 a2=b2+得 ， 橢 圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1 （ （ I）可知： 2， 0）， ， ， 設(shè) T（ 3， m）， | ，直線 斜率 = = m， 當(dāng) m0 時，直線 斜率 ，直線 方程是 x=2，當(dāng) m=0 時也適合 設(shè) P（ Q（ 將直線 方程與橢圓 C 的方程聯(lián)立，得 ，化為：（ ） 42=0， 0， y1+， ， | = ， 第 21 頁（共 25 頁） = = = = = ， 當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 m=1 時，等號成立 的最小值為 21已知函數(shù) f（ x） =ax+a 0 且 a1） （ 1）求函數(shù) f（ x）單調(diào)遞增區(qū)間； （ 2）若存在 1， 1，使得 |f（ f（ |e 1（ e 是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù) a 的取值范圍 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；絕對值不等式的解法 【分析】 （ 1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可求函數(shù) f（ x）單調(diào)區(qū)間； （ 2） f（ x）的最大值減去 f（ x）的最小值大于或等于 e 1，由單調(diào)性知， f（ x）的最大值是 f（ 1）或 f（ 1），最小值 f（ 0） =1，由 f（ 1） f（ 1）的單調(diào)性，判斷 f（ 1）與 f（1）的大小關(guān)系，再由 f（ x）的最大值減去最小值 f（ 0）大于或等于 e 1 求出 a 的取值范圍 【解答】 解：（ 1）函數(shù) f（ x）的定義域為 R， f（ x） =x x+（ 1） 令 h（ x） =f（ x） =2x+（ 1） h（ x） =2+ 當(dāng) a 0， a1 時， h（ x） 0，所以 h（ x）在 R 上是增函數(shù)， 又 h（ 0） =f（ 0） =0，所以， f（ x） 0 的解集為（ 0， +）， f（ x） 0 的解集為（ ，0）， 故函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間為（ 0， +）， 單調(diào)減區(qū)間為（ ， 0） （ 2）因為存在 1， 1，使得 |f（ f（ |e 1 成立， 而當(dāng) x 1， 1時 |f（ f（ |f（ x） f（ x） 所以只要 f（ x） f（ x） e 1 又因為 x， f（ x）， f（ x）的變化情況如下表所示： x （ ， 0） 0 （ 0， +） f（ x） 0 + f（ x） 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 所以 f（ x）在 1， 0上是減函數(shù)，在 0， 1上是增函數(shù)， 所以當(dāng) x 1， 1時， f（ x）的最小值 f（ x） f（ 0） =1， f（ x）的最大值 f（ x） f（ 1）和 f（ 1）中的最大值 因為 f（ 1） f（ 1） =a 2 令 g（ a） =a 2a 0）， 因為 g（ a） = 0， 第 22 頁（共 25 頁） 所以 g（ a） =a 2 a（ 0， +）上是增函數(shù) 而 g（ 1） =0，故當(dāng) a 1 時， g（ a） 0，即 f（ 1） f（ 1）； 當(dāng) 0 a 1 時， g（ a） 0，即 f（ 1） f（ 1） 所以，當(dāng) a 1 時， f（ 1） f（ 0） e 1，即 a e 1， 而函數(shù) y=a a（ 1， +）上是增函數(shù)，解得 ae； 當(dāng) 0 a 1 時， f（ 1） f（ 0） e 1，即 +e 1，函數(shù) y= + a（ 0， 1）上是減函數(shù)， 解得 0 a 綜上可知，所求 a 的取值范圍為（ 0， e， +） 選修 4何證明選講 22如圖，已知圓 O 外有一點 P，作圓 O 的切線 M 為切點，過 中點 N，作割線圓于 A、 B 兩點，連接 延長，交圓 O 于點 C，連續(xù) 圓 O 于點 D，若C （ 1）求證： （ 2）求證：四邊形 平行四邊形 【考點】 與圓有關(guān)的比例線段；相似三角 形的判定