成都市五校2015-2016學(xué)年高二下期中數(shù)學(xué)試題(理)含答案

1 成都市五校聯(lián)考高 2014 級(jí)第四學(xué)期期中試題 數(shù)學(xué) （理科） (全卷滿分 :150 分 完成時(shí)間 :120 分鐘 ) 命題人：胡澤余 審題人：陳曉剛、張堯、謝祥高 注意事項(xiàng) : 選擇題答案用鉛筆涂寫在機(jī)讀卡上 ,每小題選出答案后 ,用鉛筆把對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑 第卷 (選擇題 共 50分 ) 一、選擇題 (本大題共有 12 小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的 ) 命題“ 1 的否定是 ( ) 1s 00 00 i n,. 1s 00 雙曲線 144169 22 漸近線方程是 ( ) 在同一坐標(biāo)系中，將曲線 變?yōu)榍€ 的伸縮變換是 ( ) 312, 32, 已知命題 :p 命題“對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形”的否命題是真命題； 命題 :q ”“ 95 k 是方程 15922 k 則下列命題為真命題的是 ( ) . . . . 在極坐標(biāo)系中，圓心為 )4,2( ，半徑為 1 的圓的極坐標(biāo)方程是 ( ) )4s i n (8. A )4co s (8. B 03)4(c o 2 C 03)4s i n (4. 2 D 已知 21 是橢圓 )0(12222 P 是橢圓上一點(diǎn)，且 621212 橢圓 的離心率是 ( ) 25)2(: 221 切且與 1)2(: 222 切的動(dòng)圓圓心 M 的軌 跡方程 是 ( ) 2 )0( ) )3( )3( 函數(shù)ax ，已知曲線 )( 在點(diǎn) )1(1 f，（ 處的切線與直線 032 行，則 a 的值為 ( ) 1.A 或2323.21 已知極坐標(biāo)的極點(diǎn) 在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) O 處，極軸與 x 軸的正半軸重合。曲線 C 的參 數(shù)方程為 (參數(shù)），直線 l 的極坐標(biāo)方程是 15)s c 。若 點(diǎn) 分別是曲線 C 和直線 l 上的動(dòng)點(diǎn)，則 兩點(diǎn)之間距離的最小值是 ( ) 2 乙兩位同學(xué)同住一小區(qū)，甲乙倆同學(xué)都在 20:700:7 經(jīng)過小區(qū)門口。由于天氣下雨，他們希望在小區(qū)門口碰面結(jié)伴去學(xué)校，并且前一天約定先到者必須等候另一人 5 分鐘，過時(shí)即可離開。則他倆在小區(qū)門口碰面結(jié)伴去學(xué)校的概率是 ( ) 知命題 :p 函數(shù) )0(|4|)( 在最小值；命題 :q 關(guān)于 x 的方程 22(2 2 73a 0 有實(shí)數(shù)根。則使“命題 為真， 為假”的 一個(gè)必要不充分的條件是 ( ) 53. 40. 54. 30 a 53. 30 a 已知，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓的上下頂點(diǎn)分別為 12 ， 經(jīng)過 點(diǎn) 2B 的直線 l 與以橢圓 的中心為頂點(diǎn)、以 2B 為焦點(diǎn)的拋物線交于 兩點(diǎn)，直線 l 與橢圓交于 兩點(diǎn)， 且 |2| 22 。 直線 1l 過點(diǎn) 1B 且垂直于 y 軸，線段 中點(diǎn) M 到直線 1l 的距 離為49。設(shè) 2 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ( ) )3,0( )2,21(. B )4,32(. C )3,95(. D 第 卷 (非選擇題 共 90 分 ) 二、填空題 (本大題共有 4 小題 ,每小題 5 分 ,共 20 分把答案直接填在答題卷指定的橫線上 ) 有 3 本不同的語(yǔ)文書， 1 本數(shù)學(xué)書，從中任意取出 2 本，取出的書恰好是一本 語(yǔ)文書和一本數(shù)學(xué)書的概率是 . 已知函數(shù) )12s )( x ，則 )21(f . 已知函數(shù) ,1)()21()( 342 ，若 1 ， 3 3,12x ，使得 )()( 21 ，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是 . 已知直線 l 交拋物線 2 于 兩點(diǎn)，且 4 是坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè) l 與 x 軸的非正半軸交于點(diǎn) F ， 、 分別是雙曲線 )0,0(12222 焦點(diǎn)。若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn) P ，使得 |3|2 ，則 a 的取值范圍是 . 三、 解答題 (本大題共 6 小題 ,共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明 ,證明過程或演算步 驟 ) 17.(本題滿分 12 分）已知命題 1|2|: 足實(shí)數(shù) ；命題 0231; x 足實(shí)數(shù). （ ） 若 1m 時(shí)， 為真，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍； （ ） 若 p 是 q 的的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。 18.（本小 題滿分 12 分） 已知函數(shù) 1 （ e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。 （）當(dāng) 2,1 時(shí)，求函數(shù) 象上點(diǎn) M 處切線斜率的最大值； （） 若 在點(diǎn) 處的切線 l 與直線 02 直，求切線 l 方程； 19 (本題滿分 12分） 已知袋子中 裝 有 紅色球 1 個(gè)，黃色球 1 個(gè)，黑色球 n 個(gè)（小球大小形狀相同），從中隨機(jī)抽取 1 個(gè)小球，取到黑色小球的概率是31. （ ） 求 n 的值； （ ） 若紅色球標(biāo)號(hào)為 0，黃色球標(biāo)號(hào)為 1，黑色球標(biāo)號(hào)為 2，現(xiàn) 從袋子中 有 放回地隨機(jī)抽取 2 個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為 a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為 b. ( )記 “ a b 2” 為事件 A，求事件 A 的概率； ( )在區(qū)間 0,2內(nèi)任取 2 個(gè)實(shí)數(shù) x， y，求事件 “ (a b)2恒成立 ” 的概率 4 20.(本小題滿分 12 分） 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn) )1,0(F ,且與定直線 1y 相切。 （ ） 求動(dòng)圓圓心 M 所在曲線 C 的方程； （ ） 直線 l 經(jīng)過曲線 C 上的點(diǎn) ),(00 與曲線 C 在點(diǎn) P 的切線垂直， l 與曲線 C 的另一個(gè)交點(diǎn)為 Q 。 當(dāng) 20 的面積； 當(dāng)點(diǎn) P 在曲線 C 上移動(dòng)時(shí)，求線段 點(diǎn) N 的軌跡方程以及點(diǎn) N 到 x 軸的最短距離。 21， （本小題滿分 12 分） 橢圓 01;2222 焦點(diǎn)分別是 21,右頂點(diǎn)為 A ,上頂點(diǎn)為 B ,坐標(biāo)系原點(diǎn) O 到直線 距離為7212，橢圓的離心率是21。 （ ） 求橢圓 C 的方程； （ ） 若經(jīng)過點(diǎn) 0 的直線 l 與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn) ,且 ,求（點(diǎn) o 為坐標(biāo)系原點(diǎn)）周長(zhǎng)的取值范圍； 22.（本小題滿分 10 分） 在直角坐標(biāo)系 ，直線 l 的方程為 04 以原點(diǎn) o 為極點(diǎn)，以 x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 64co 。 5 （ ） 求直線 l 的極坐標(biāo)方程，曲線 （ ） 若點(diǎn) 上任意一點(diǎn)， ，求 的最大值和最小值 6 高二下期半期考試數(shù)學(xué)（理）參考答案 一、選擇題 二填空題 e ； ,； )4,54 17.(本題滿分 12 分）已知命題 1|2|: 足實(shí)數(shù) ；命題 0231; x 足實(shí)數(shù). （ ） 若 1m 時(shí)， 為真，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍； （ ） 若 p 是 q 的的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。 解； （ ） 為真， 都為真。 . 又 1m ， 12 即真； . ,0)2)(31(,023 ；即312 x. 由 02 0,2- ，的取值范圍為實(shí)數(shù) x 。 . （ ） 1|2|: 足實(shí)數(shù) , 12; 即2 12 1 令 2 1,2 1 . 312; 令 31,2B . 的充分非必要條件是 ， A 是 B 的真子集。 . 不能同時(shí)取等）(3121221 313 m 實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 31,3 。 . 19.（本小題滿分 12分） 已知函數(shù) 1 （ e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。 （）當(dāng) 2,1 時(shí)，求函數(shù) 象上點(diǎn) M 處切線斜率的最大值； （） 若 在點(diǎn) 處的切線 l 與直線 02 直，求切線 l 方程； 解； （）設(shè)切點(diǎn) ，則 2,1 。 函數(shù) 象上點(diǎn) M 處切線斜率為 2 . 7 ,21,1 2 . 4121 41,21 m a x2 ，即當(dāng).（） 1 2, . 又 點(diǎn) 處的切線 l 與直線 02 直 . 1, 1 .切線 l 的方程為 01 . 19 (本題滿分 12分） 已知袋子中 裝 有 紅色球 1 個(gè)，黃色球 1 個(gè)，黑色球 n 個(gè)（小球大小形狀相同）， 從中隨機(jī)抽取 1 個(gè)小球，取到黑色小球的概率是31. （ ） 求 n 的值； （ ） 若紅色球標(biāo)號(hào)為 0，黃色球標(biāo)號(hào)為 1，黑色球標(biāo)號(hào)為 2，現(xiàn) 從袋子中 有 放回地隨機(jī)抽取 2 個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為 a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為 b. ( )記 “ a b 2” 為事件 A，求事件 A 的概率； ( )在區(qū)間 0,2內(nèi)任取 2 個(gè)實(shí)數(shù) x， y，求事件 “ (a b)2恒成立 ” 的概率 解： （） 依題意 ,312 n . （） (1)記標(biāo)號(hào)為 0的小球?yàn)?s，標(biāo)號(hào)為 1的小球?yàn)?t，標(biāo)號(hào)為 2的小球?yàn)?k， 則取出 2個(gè)小球的可能情況有： (s， t)， (s， k)， (t， s)， (t， k)， (k， s)， (k，t)，（ s,s），（ t,t） ,(k,k),共 9種， .。 . 其中滿足“ 2的有 3種： (s， k)， (k， s)(t,t)。 所以所求概率為 31.2)記“ (a b)2 恒成立”為事件 B。 則事件 4恒成立”， (x， y)可以看成平面中的點(diǎn)的 坐 標(biāo) ， 則 全 部 結(jié) 果 所 構(gòu) 成 的 區(qū) 域 為 ,20,20, ， . 而事件 ,4, 22 。 所以所求的概率為 P(B)14.21.(本題滿分 12 分） 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn) )1,0(F ,且與定直線 1y 相切。 （ ） 求動(dòng)圓圓心 M 所在曲線 C 的方程； （ ） 直線 l 經(jīng)過曲線 C 上的點(diǎn) ),(00 與曲線 C 在點(diǎn) P 的切線垂直， l 與曲線 C 的另一個(gè)交點(diǎn)為 Q 。 8 當(dāng) 20 的面積； 當(dāng)點(diǎn) P 在曲線 C 上移動(dòng)時(shí)，求線段 點(diǎn) N 的軌跡方程以及點(diǎn) N 到 x 軸的最短距離。 解 .（ ） 由題知，點(diǎn) ),( 定點(diǎn) )1,0(F 的距離等于它到定直線 1y 的距離，所以點(diǎn) M 所在的曲線 C 是以 )1,0(F 為焦點(diǎn)，以 1y 為準(zhǔn)線的拋物線。 . 曲線 C 的方程是： 2 。 . （ ） 由（ 1）有曲線 C ： 241 .當(dāng) 20 )212( ，P,曲線 C 在點(diǎn) P 的切線的斜率是 22,所以直線 l 的斜率2k 252- 方程為：直線 . 設(shè) 11, 聯(lián)立24125210242 . 10,24 1010 6643 10210 又點(diǎn) O 到直線 l 的距離 635d 從而可得 2215. 由題有曲線 C 在點(diǎn) P 的切線的斜率是021x，當(dāng) 0000 x，所以直線 l 的斜率02 ，點(diǎn) )41,( 200 )(241 0020 的方程為：直線 . 設(shè)點(diǎn) ),(),( 11 ，有)(21)(414141 101010212010 9 12 10 100 0 將 代入 消0242 22 ( 的軌跡方程為 242 22 . ),( 到 軸x 的距離為 |y ，由軌跡方程知 222242 22 4 x 時(shí)取等號(hào) 點(diǎn) N 到 x 軸的最短距離為 222 。 . 21， （本小題滿分 12 分） 橢圓 01;2222 焦點(diǎn)分別是 21,右頂點(diǎn)為 A ,上頂點(diǎn)為 B ,坐標(biāo)系原點(diǎn) O 到直線 距離為7212，橢圓的離心率是21。 （ ） 求橢圓 C 的方程； （ ） 若經(jīng)過點(diǎn) 0 的直線 l 與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn) ,且 ,求 （點(diǎn) o 為坐標(biāo)系原點(diǎn)）周長(zhǎng)的取值范圍； 解； （ ）23211,21 2 . 又 坐標(biāo)系原點(diǎn) O 到直線 距離為7212。 2272122121 . 22243721223 ， 2a ， 3b 橢圓 C 的方程為 13422 . （ ） 當(dāng)直線 l 斜率不存在時(shí)， 經(jīng)過點(diǎn) 的直線 l 與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn) , 且 , 。 23為橢圓短軸的四等分點(diǎn)點(diǎn). 當(dāng)直線 l 斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l 的方程為 又設(shè)直線 l 與橢圓 C 的交點(diǎn) 2211 , 01248)34134 22222 tk 10 034,0 22 （ *） 34 8221 k 4 124 2221 . 又 ， 21 3 帶入上式可得34 1221 k 4 422 k 2434 434 12 2222 化簡(jiǎn)得 0912316 2222 1216 39 222 t *）得 034 3222 t 即又 0t 0343 22 解得； 32 32 33 . 綜上所述實(shí)數(shù) t 的取值范圍為 3,2323,3 . 又 的周長(zhǎng) ,42 2 3,2323,3 t 是偶函數(shù)。 當(dāng) 3,23t 時(shí)， 42 2 3,23 上單調(diào)遞增， 732,219232 l周長(zhǎng)的 取值范圍為732,2192 32 . 23.（本小題滿分 10 分） 在直角坐標(biāo)系 ，直線 l 的方程為 04 以原點(diǎn) o 為極 點(diǎn) ， 以