【畢業(yè)學(xué)位論文】（Word原稿）直線二級倒立擺的控制問題的研究和matlab仿真-控制理論控制系統(tǒng)

河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 1 摘 要 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的多變量、非線性、強(qiáng) 耦合 和快速運(yùn)動(dòng)的高階不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗(yàn)各種新 型 控制理論和方法有效性的典型 裝置 。近年來，許多學(xué)者對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行廣泛地研究 。 本文 研究了直線 二級倒立擺 的控制問題。首先 闡述了倒立擺系統(tǒng)控制的研究發(fā)展過程和現(xiàn)狀， 接著 介紹了倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)并詳細(xì)推導(dǎo)了二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型。 本文分別 用極點(diǎn)配置、 設(shè)計(jì)了 不同的 控制器，通過 比較和 驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制器的有效性、穩(wěn)定性和抗干擾性 。 關(guān)鍵詞 : 倒立擺； 極點(diǎn)配置； 最優(yōu)控制； 仿真 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 2 is a of It is of of In of In a on of of is a In a By of 南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 3 目 錄 摘 要 . 1 . 2 第一章 緒論 . 5 制理論的發(fā)展 . 5 立擺系統(tǒng)簡介及其研究意義 . 5 立擺研究的發(fā)展現(xiàn)狀及其主要控制方法 . 6 人所做工作 . 8 第二章 直線二級倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立 . 10 立擺系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)及特性分析 . 10 統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模 . 11 種數(shù)學(xué)建模方法的比較 . 11 統(tǒng)數(shù)學(xué)建模參數(shù)的設(shè)定 . 12 線二級倒立擺的拉格朗日方程建模 . 13 級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的線性化 . 17 統(tǒng)參數(shù)的設(shè)定 . 19 立擺系統(tǒng)的初步運(yùn)動(dòng)分析 . 20 第三 章 直線二級倒立擺控制方案的設(shè)計(jì) . 22 點(diǎn)配置控制方案的設(shè)計(jì) . 22 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 4 點(diǎn)配置理論 . 22 點(diǎn)配置 算法 . 23 性二次型最優(yōu)控制 (案的設(shè)計(jì) . 24 性二次型最優(yōu)控制原理 . 24 , . 26 第四章 控制系統(tǒng)的 真 . 27 真軟件的介紹 . 27 介 . 27 介 . 28 真工具箱簡介 . 29 干擾 控制系統(tǒng)的 仿真 . 30 點(diǎn)配置控制方案的仿真 . 32 性二次型最優(yōu)控制 (案的仿真 . 36 擾 條件下控制系 統(tǒng) 的仿真 . 40 點(diǎn)配置控制方案的仿真 . 42 性二次型最優(yōu)控制 (案的仿真 . 45 結(jié) 論 . 50 致 謝 . 52 參考文獻(xiàn) . 53 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 5 第一章 緒論 制理論的發(fā)展 控制理論發(fā)展至今已有 100多年的歷史，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，它的應(yīng)用也越來越廣泛。特別是近幾十年，航天航空航海和其它工業(yè)過程等領(lǐng)域的研究發(fā)展，不斷地向控制理論提出一系列挑戰(zhàn)性問 題，對這些問題的研究和探索，有力地推動(dòng)控制理論和控制方法取得長足發(fā)展，其發(fā)展通?？梢苑譃槿齻€(gè)階段 。 第一階段是經(jīng)典控制理論階段 ， 上世紀(jì) 50年代前后的控制理論主要是研究單輸入 理論基礎(chǔ)是描述系統(tǒng)輸入 本分析和結(jié)合的方法是基于頻率法、根軌跡法和相平面法等，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程或傳遞函數(shù)。經(jīng)典控制理論對于非線性時(shí)變系統(tǒng)很難奏效。 第二階段是現(xiàn)代控制理論階段。 50年代末以來，應(yīng)宇航技術(shù)發(fā)展的需要，現(xiàn)代控制理論應(yīng)運(yùn)而生。它以描述系統(tǒng)狀態(tài)這一 內(nèi)部特征向 量的狀態(tài)方程為基礎(chǔ)，主要研究有高性能、高精度的多輸入 參數(shù)系統(tǒng)的 分 析和設(shè)計(jì)問題，最優(yōu)控制、最優(yōu)濾波、系統(tǒng)辨識和自適應(yīng)控制等理論都是這一領(lǐng)域研究的主要課題。它能夠解決經(jīng)典控制理論難以解決的一些問題。 第三階段是大系統(tǒng)理論和智能控制理論階段。隨著 被控系統(tǒng)的高度復(fù)雜性、高度不確定性以及人們對控制性能要求的提高 ， 經(jīng)典和現(xiàn)代控制理論面臨空前的挑戰(zhàn) 。 70年代末開始的智能控制理論和大系統(tǒng)理論的研究和應(yīng)用，是現(xiàn)代控制理論在深度上和廣度上的開拓。它用來解決多層次分散結(jié)構(gòu)的復(fù)雜系統(tǒng)的分析和綜合問題，因此受到各國著名學(xué) 者的極大關(guān)注。目前，在專家系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊系統(tǒng)、遺傳算法等方面己經(jīng)取得了可喜的進(jìn)展 。 立擺系統(tǒng)簡介及其研究意義 倒立擺控制系統(tǒng)是應(yīng)用于自動(dòng)控制理論實(shí)驗(yàn)室的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)裝置。倒立河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 6 擺，顧 名思義， 是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)，人為控制使其處于動(dòng)態(tài)平衡的一種擺。它一般由沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車和通過轉(zhuǎn)軸固定在小車上的擺體組成，小車可以在限定的軌道上移動(dòng)，小車上的倒立擺一端被絞鏈在小車頂部，另一端可以在小車軌道所在的垂直平面上轉(zhuǎn)動(dòng)。 倒立擺系統(tǒng)大概可以歸納為如下幾類 ： 懸掛式倒立擺、平行式倒立擺和球平衡式倒立擺系統(tǒng) ；倒立擺的 級數(shù)可以是一級、二級、三級乃至多 級 ；其運(yùn)動(dòng)軌道可以是水平的，還可以是傾斜的 ； 控制電機(jī)可以是單電機(jī)，也可以是多級電機(jī)控制 。 倒立擺系統(tǒng)的最初研究開始于二十世紀(jì) 50年代，麻省理工學(xué)院設(shè)計(jì)出一級倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備，而后世界各國都將一級倒立擺控制作為驗(yàn)證某種控制理論或方法的典型方案。后來人們研究的倒立擺 的種類也由簡單的單級倒立擺迅速發(fā)展為多種形式的倒立擺系統(tǒng)。 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的多變量、高度非線性、強(qiáng) 耦合 和快速運(yùn)動(dòng)的絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，對于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，不僅具有重要的理論意義，而且還具有很重要的工程實(shí)踐意義。一 方面 ， 由于倒立擺系統(tǒng)具有成本低廉，結(jié)構(gòu)簡單，物理參數(shù)和結(jié)構(gòu)易于調(diào)整的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)驗(yàn)室條件下易于實(shí)現(xiàn) ； 此外對于倒立擺的穩(wěn)定控制，會涉及到控制中的許多關(guān)鍵問題，比如鎮(zhèn)定問題、跟蹤問題、隨動(dòng)問題、非線性問題以及魯棒性問題等，人們試圖通過倒立擺這樣一個(gè)復(fù)雜多變的控制對象，檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理多變量、非線性和絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力，充分驗(yàn)證新的控制方法的有效性及可靠性。另一方面， 任何重心在上， 支點(diǎn)在下的控制問題，都可近似地化為一種倒立擺模型。例如 ： 機(jī)器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中 的姿態(tài)控制等等，因此倒立擺的穩(wěn)定控制方法在軍工、航天、機(jī)器人領(lǐng)域和一般工業(yè)工程中有著很廣泛的用途，相關(guān)的科研成果己經(jīng)應(yīng)用到航天科技和機(jī)器人學(xué)等諸多領(lǐng)域。正是由于對倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制研究有著重要的理論和實(shí)際意義，因而倒立擺的穩(wěn)定控制成為了控制理論中歷久不衰的研究課題。 立擺研究的發(fā)展現(xiàn)狀及其主要控制方法 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 7 鑒于倒立擺的穩(wěn)定控制研究的重要意義，國內(nèi)外學(xué)者對此給予了廣泛關(guān)注。國外在 60年代就開始了對一級倒立擺系統(tǒng)的研究，在 60年代后期，作為一個(gè)典型的不穩(wěn)定、嚴(yán)重非線性例證提出了倒立擺的概念，并用其檢驗(yàn)控制 方法對不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的控制能力。 1966年 一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置 ； 975年采用最優(yōu)控制和狀態(tài)重構(gòu)的方法完成對一級倒立擺的穩(wěn)定控制。 國外對二級以上倒立擺的研究從 70年代開始， 1972年 線性狀態(tài)反饋采用極點(diǎn)配置的方法獲得，并采用全維狀態(tài)觀測器來重構(gòu)了狀態(tài) ； 1978年， 1980年他們又完成了二級擺在傾斜軌道上的穩(wěn)定控制 ； 1983年， 國內(nèi)從 80年代開始對倒立擺進(jìn)行了研究 ， 1982年，西安交通大學(xué)完成了二級倒立擺系統(tǒng)的研制和控制，采用了最優(yōu)控制和降維觀測器，以模擬電路實(shí)現(xiàn) ； 1983年，國防科技大學(xué)完成了一級倒立擺系統(tǒng)的研制和控制 ；1987年，上海機(jī)械學(xué)院完成了一、二級倒立擺系統(tǒng)的研制，并且完成了二級倒立擺在傾斜軌道上的控制。 近年來 ， 隨著智能控制方法的研究逐漸受到人們的重視，模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、擬人智能控制、遺傳算法和專家系統(tǒng)等越來越多的智能控制 算法應(yīng)用到倒立擺動(dòng)系統(tǒng)的控制上。 988年應(yīng)用自學(xué)習(xí)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成功控制一級擺 ； 周建波等用基于 徐紅兵等提出了基于變結(jié)構(gòu)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法，實(shí)現(xiàn)了二級倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制 ； 1995年，張明廉等人應(yīng)用擬人智能控制理論成功的解決了三級倒立擺這一控制界的世界性難題 ；2001年 9月 19日，北京師范大學(xué)李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的復(fù)雜系統(tǒng)實(shí)時(shí)智能控制實(shí)驗(yàn)室采用變論域自適應(yīng)模糊控制 成功地實(shí)現(xiàn)了三 級倒立擺實(shí)物系統(tǒng)控制，又于 2002年 8月 11日在 國際上首次成功實(shí)現(xiàn)了四級倒立擺實(shí)物控制系河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 8 統(tǒng) 。 倒立擺作 為一個(gè)典型的被控對象，適合用多種理論和方法進(jìn)行控制。當(dāng)前， 常見的倒立擺的控制規(guī)律有以下幾種 ： (1) (2)狀態(tài)反饋控制 ； (3)模糊控制 ； (4)自適應(yīng)控制 ； (5)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 ； (6)遺傳算法 控制 ； (7)利用云模型實(shí)現(xiàn)對倒立擺的控制 ； (8)擬人智能控制 ； (9)幾種控制算 法 相結(jié)合的控制方式，充分利用各控制算法的優(yōu)越性，來實(shí)現(xiàn)一種組合式的控制方法，如遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的方法 ， 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊理論結(jié)合的方法， 模糊 控制與 人所做工作 本文主要是以倒立擺 的仿真控制 裝置為平臺，分析研究了極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制方案，用 實(shí)現(xiàn)了 直線 二級倒立擺 仿真 系統(tǒng)的控制。 本文總共分 四 個(gè)部分 ， 下面介紹一下本文各部分的主要內(nèi)容。 第一章 緒論。簡要回顧控制理論的發(fā)展，對倒立擺系統(tǒng) 做 了簡要介紹 ， 并詳細(xì)分析了倒立擺控制的研究發(fā)展?fàn)顩r和主要控制方法。 第二章 直線二級 倒立擺系統(tǒng)模型的建立和初步分析。介紹了 直線 二級倒立擺的物理結(jié)構(gòu)，在一定假設(shè)條件下，用拉格朗日方程，建立起二級倒立擺系統(tǒng)的標(biāo)稱數(shù)學(xué)模型，并對其進(jìn) 行了線性化，初步分析了其運(yùn)動(dòng)特性。 第三章 直線二級倒立擺控制方案的設(shè)計(jì)。 根據(jù)第二章模型的建立與初步分析考慮控制器的設(shè)計(jì)。本章介紹了極點(diǎn)配置控制方案和線性二次型最優(yōu)控制（ 方案，并介紹了極點(diǎn)配置理論 、極點(diǎn)配置算法、線性二次型最優(yōu)控制原理和 Q, 第四章 控制系統(tǒng)的 本章為控制系統(tǒng)的仿真章節(jié) ，在本章首先介紹了仿真軟件 后介紹了本次設(shè)計(jì)所用的 仿真軟件 其次介紹了仿真軟件 最后 根據(jù)已經(jīng)建立的 系統(tǒng)數(shù)學(xué) 模型和控制器 ， 設(shè)定選取了一些參數(shù)，求得 后用仿真軟件對 極點(diǎn)配置控制方案和線性二次型最河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 9 優(yōu)控制（ 方案，一一進(jìn)行了控制系統(tǒng)的仿真，得出了仿真結(jié)果即各個(gè)輸出量的波形。 最后是結(jié) 論 。對全文進(jìn)行 的一次總結(jié)，指出了此次設(shè)計(jì)的總體理論概述。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 10 第二章 直線二級倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立 現(xiàn)代控制理論是基于狀態(tài)空間法進(jìn)行分析的，因此首先要建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。本章從二級倒立擺的物理結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過對其進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)描述， 對比 兩種 建立數(shù)學(xué)模型的方 法： 牛頓力學(xué)分析方法、歐拉拉格朗日方程 )的優(yōu)缺點(diǎn)，并選定 歐拉 拉格朗日方程 )對系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)學(xué)建模， 并進(jìn)行必要的線性化處理和初步的系統(tǒng) 原理 分析。 立擺系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)及特性分析 本 次仿真設(shè)計(jì) 的二級倒立擺 模型 系統(tǒng)由機(jī)械部分和電路部分組成。機(jī)械部分包括底座，框架，滑軌，直流永磁式力矩電機(jī)，測速電機(jī)，電位器，齒型傳動(dòng)皮帶，小車，擺桿，觸發(fā)開關(guān)以及一些連接軸等。主要機(jī)械結(jié)構(gòu)部分如圖 2 2線二級倒立擺的 物理結(jié)構(gòu)圖 對 直線二級 倒立擺控制系統(tǒng)而言，將功率放大器、力矩電機(jī)、小車、擺、皮帶及皮帶輪等的組合體視為控制對象，其輸入是功率放大器的輸入信號，輸出是小車的位移和擺桿的角度。 對直線二級倒立擺這個(gè)典型的機(jī)上擺桿下擺桿測角電位器測角電位器小 車 滑 軌 框 架 電 機(jī) 水平調(diào)節(jié)栓 偽形傳送帶 底 座 測位電位器河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 11 電控制系統(tǒng)來說，它具有以下特性： (1) 仿射非線性系統(tǒng) ： 倒立擺控制系統(tǒng)是一種典型的仿射非線性系統(tǒng)，可以應(yīng)用微分幾何方法進(jìn)行分析。 (2) 不確定性： 主要是指建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)的參數(shù)誤差、量測噪聲以及機(jī)械傳動(dòng)過程中的非線性因素所導(dǎo)致的難以量化的部分。 (3) 耦合 特性： 倒立擺的擺桿和小車之間，以及多級倒立擺系 統(tǒng)的上下擺桿之間都是強(qiáng) 耦合 的。這既是可 采用單電機(jī)驅(qū)動(dòng)倒立擺控制系統(tǒng)的原因，也是使得控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、控制器參數(shù)調(diào)節(jié)變得復(fù)雜的原因。 (4) 開環(huán)不 穩(wěn)定系統(tǒng)： 倒立擺系統(tǒng)有兩個(gè)平衡狀態(tài) ： 豎直向下和豎直向上。豎直向下的狀態(tài)是系統(tǒng)穩(wěn)定的平衡點(diǎn) (考慮摩擦力的影響 )，而豎直向上的狀態(tài)是系統(tǒng)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，開環(huán)時(shí)微小的擾動(dòng)都會使系統(tǒng)離開豎直向上的狀態(tài)而進(jìn)入到豎直向下的狀態(tài)中。 針對以上倒立擺系統(tǒng)的特性，在數(shù)學(xué)上完全準(zhǔn)確地描述它幾乎是不可能，為了解決實(shí)際系統(tǒng)中的控制問題， 在實(shí)際設(shè)計(jì)控制系統(tǒng) 建模時(shí)，通常忽略掉系統(tǒng)中一些次要的因 素，例如空氣阻力、伺服電機(jī)由于安裝而產(chǎn)生的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度、擺桿連接處質(zhì)量分布不均勻、傳動(dòng)皮帶的彈性、傳動(dòng)齒輪的間隙等等，并將小車抽象為質(zhì)點(diǎn)，擺桿抽象為勻質(zhì)剛體，從而建立一個(gè)比較精確的倒立擺系統(tǒng)的線性模 型。 統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模 種數(shù)學(xué)建模方法的比較 倒立擺系統(tǒng)適合用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理論推導(dǎo) ， 目前 ， 人們對倒立擺系統(tǒng)建模一般采用兩種方法 ： 牛頓力學(xué)分析方法、歐拉 拉格朗日方程 )。 牛頓力學(xué)分析方法的注意力集中在與系統(tǒng)的各部分相聯(lián)系的力和運(yùn)動(dòng)以及各部分之間的相互作用 。 歐拉 拉格朗日方程 )則更多的把系統(tǒng)看作一個(gè)整體并利用如動(dòng)能、勢能之類的純量來描述函數(shù)，它具有以下特點(diǎn) : 拉格朗日方程是廣義坐標(biāo)表達(dá)的任意完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，方程的數(shù)河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 12 目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)，因而可以獲得數(shù)目更少的運(yùn)動(dòng)方程。 建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)只需分析已知的主動(dòng)力而不必分析未知的約束力，因而，對于倒立擺這樣的復(fù)雜系統(tǒng)更能體現(xiàn)其優(yōu)越性。 拉格朗日方程具有很好的對稱性，即對于同一位形空間中的每個(gè)坐標(biāo)而言各方程都具有相同的形式。 拉格朗日方程是以能量觀點(diǎn)建立起來的運(yùn)動(dòng)方程，在建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 方程時(shí)，只需分析 系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力 。 用拉格朗日方程可大大簡化建模過程。 直線 二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型采用經(jīng)典力學(xué)進(jìn)行建模分析， 需要考慮各部分受力情況 ， 雖然 簡單易懂，但需要羅列和解算大量微分方程，同時(shí)還需考慮質(zhì)點(diǎn)組受到的約束條件，計(jì)算量大且復(fù)雜 ，對于此次設(shè)計(jì)，所涉及到的是基于直線二級倒立擺控制系統(tǒng)的 果用牛頓經(jīng)典力學(xué)建立數(shù)學(xué)模型必須考慮系統(tǒng)各部分干擾因素，對整個(gè)設(shè)計(jì)及其仿真過程影響工作較大； 而采用分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模只需考慮系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力兩個(gè)方面，計(jì)算簡單、工作量小，大大簡化建模過程 ，因此此次設(shè) 計(jì)建立數(shù)學(xué)模型選擇拉格朗日方程建模。 統(tǒng) 數(shù)學(xué)建模參數(shù)的設(shè)定 在推導(dǎo) 直線 二級擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型前，為了明確物理意義和推導(dǎo)的方便，忽略了一些次要的因素，做出以下假設(shè) : 型帶無拉長現(xiàn)象，且傳遞作用的延遲忽略不計(jì)。 大器和電位器是線性的。 下擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)作用于擺桿的阻力矩正比于擺桿的角速度。 擺桿沒有在與滑軌成垂直方向上的運(yùn)動(dòng) 。 另外，為了推導(dǎo)方程時(shí)的方便，定義一些常用的符號如下 : x :小車的位移，單位米，當(dāng)小車在滑軌中心時(shí)為零，向右為正 ； 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 13 1:下 擺的角位移，單位弧度，當(dāng)擺桿豎直向上時(shí)為零，順時(shí)針偏轉(zhuǎn)為正 ； 2:上 擺的角位移，單位弧度， 當(dāng)擺桿豎直向上時(shí)為零，順時(shí)針偏轉(zhuǎn)為正 ； 0M:小車等效系統(tǒng)的等效質(zhì)量，單位千克 ； 1M:下 擺的質(zhì)量，單位千克 ； 2M:上 擺的質(zhì)量，單位千克 ； L:下擺轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到上擺轉(zhuǎn)動(dòng)軸心的距離，單位米 ； 1l:下 擺轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到其重心的距離，單位米 ； 2l:上 擺轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到其重心的距離，單位米 ； 0F:小車系統(tǒng)的等效摩擦阻力系數(shù)，這時(shí)把小車與導(dǎo)軌間的摩擦力、電機(jī)機(jī)械摩擦 轉(zhuǎn)矩以及皮帶輪摩擦轉(zhuǎn)矩都?xì)w算到小車運(yùn)動(dòng)上的等效摩擦系數(shù)，由下式定義 :0f F x，單位牛秒 /米 ； 1F:下擺桿與小車之間的的等效轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦阻力系數(shù)，其定義如下 :等效摩擦力矩1 1 1，單位牛秒 /弧度 ； 2F:上擺桿與下擺桿之間的的等效轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦阻力系數(shù)，其定義如下 :等效磨擦力矩2 2 2，單位牛秒 /弧度 ； 1J:下擺對其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位千克米 ； 2J:上擺對其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位千克米 ； u :控制器向功放電路的輸出的控制電壓，單位伏 ； 0G:功放電路和電機(jī)的等效放大系數(shù)，即轉(zhuǎn)動(dòng)力矩折合到小車上的控制力 u 之比， 單位 牛 /伏； U:電機(jī)所提供的作用于小車的控制力，其定義如下0U G u，單位牛，其方向向右為正； 1k:擺桿轉(zhuǎn)角測量電位器的放大倍數(shù)，單位伏 /弧度 ； 2k:小車位移測量電位器的放大倍數(shù)，單位伏 /米 ； 線二級倒立擺的拉格朗日方程 建模 通過上述設(shè)定與分析用拉格朗日方程建立直線二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型。拉格朗日方程為： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 14 11 1 1t q L D ， q , , ,L q T q q V q q （ 2 對于 直線 二級倒立擺系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)為位移 x 和擺桿角度1,2；1110Q 當(dāng)11q ,2時(shí)，1 0Q。 規(guī)定下擺桿重心坐標(biāo)為 11,上擺桿重心坐標(biāo)為 22, 則 有： 1 1 1 1 1 1s i n , c o x l y l 2 1 2 2 2 1 2 2s i n s i n , c o s c o sx x L l y L l (1)系統(tǒng)總動(dòng)能0 1 2T T T T ，其中： 小車動(dòng)能 ： 200 2 下擺桿動(dòng) 能： 2 2 21 1 1 1 1 11122 M x y 2221 1 1 1 1 1 1 111 c o s s i x l l 上擺桿動(dòng)能： 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 21 1 12 2 2 M x y J 222 1 1 2 2 2 1 1 2 2 21 c o s c o s s i n s i x L l L l 則： 22220 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 c o s s i 2T T T T M x J M x l l 2222 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 211 c o s c o s s i n s i x L l L l 2 2 2 2 2 20 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 21 1 12 2 2M M M x J M l M L J M l 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 15 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2c o s c o s c o l M l M L x M l x （ 2 (2)系統(tǒng)總勢能 0 1 2V V V V ，其中 : 小車的勢能 0 0V下擺桿的勢能 1 1 1 1c o 上擺桿的勢能 2 2 1 2 2c o s c o g L l則 : 0 1 2 1 1 1 2 1 2 2c o s c o s c o V V M g l M g L l （ 2 (3)系統(tǒng)總耗散能0 1 2D D D D ，其中 : 小車的耗散能 20012D F x下擺桿的耗散能 21112上擺桿的耗散能 22 2 2 112則： 2220 1 2 0 1 2 2 11 1 12 2 2D D D D F x F F （ 2 (4)當(dāng)1，10Q 由式 (2得： 0d T T V D t x x x x （ 2 當(dāng)11q 時(shí)，1 0Q， 由式 (2得 ： 1 1 1 10d T T V （ 2 當(dāng)12q 時(shí)，1 0Q， 由式 (2得 ： 2 2 2 20d T T V （ 2 其中： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 16 0 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2c o s c o M M x M l M L M 0 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2c o s c o M M x M l M L M ld t x 221 1 2 1 1 2 2 2 2s i n s i nM l M L M l 0 ； 0 ； 0D 221 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 21221 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 21c o s c o sc o s c o l M L x J M l M L M L M l M L M l M L x M L 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1s i n s i nM l M L x M L l 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 111 1 1 2 111 1 2 2 1122 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2222 2 2 2 2 2 2 1 2 2 22s i n s i ns i n s i nc o s c o sc o s c o l M l M L g l M g l M L l M l l M L l M x 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1s i n s i nM l x M L l 2 2 2 1 1 22s i L l x 2 2 22 s i g l 2 2 12D F 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 17 將上述各式代 入 (2 (2 (2整理化簡得 ： 0 1 2 1 1 2 1 1 2 2 220 1 1 2 1 1 2 2 2 2 0c o s c o ss i n s i M x M l M L M lF x M l M L M l G u （ 2 221 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 21 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1c o s c o ss i n s i nM l M L x J M l M L M L M L l F M l M L g （ 2 22 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 22 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2c o s c o ss i n s i nM l x M L l J M l F F M g l （ 2 級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的線性化 將式 ( 2( 2(2成矩陣形式： 1 2 1 1 2 1 2 1 1 222, , , , , G u （ 2 其中： 0 1 2 1 1 2 1 2 2 2221 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 122 2 2 2 2 2 1 2 2 2c o s c o s, c o s c o sc o s c o M M l M L M l M L J M l M L M L lM l M L l J M l 0 1 1 2 1 1 2 2 1 21 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 22 2 2 1 1 2s i n s i n, , , 0 s i n0 s i l M L M F M L l l F F 01 2 1 1 2 12 2 2, , s i ns i u M l M L gM g l 對于 直線 二級 倒立擺系統(tǒng)，選取平衡點(diǎn)位置為 ：120x ，120x ， 對系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近線性化并忽略高次項(xiàng)后，式 (2改寫為： 1 1 12220 , 0 0 , 0 , 0 , 0 0 , 0 0 , 0xx F G u （ 2 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 18 其中： 00 1 2 1 1 2 2 2221 1 2 1 1 1 2 2 222 2 2 2 2 2 20 , 0 , 0 , 0 00 M M l M L M l M L J M l M L M L l GM l M L l J M l 01 2 2 1 1 22 2 2 20 0 0 0 00 , 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 0 00 0 0 F F F M l M L M g l 式 (2端同乘以 1 0,0M ，可得 : 01 1 11 1 12220 , 0 0 , 0 , 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 00 M F M u （ 2 令 12；則式 (2： Z M Z N Z G u ，其中： 01 1 10 , 0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 , 0 00 N N M F G M 在實(shí)際系統(tǒng)中 ,測量上擺角度信號的電位器是裝在下擺頂端的軸承上，所以實(shí)際上擺電位器測得的上擺角的信號是21。 此次設(shè)計(jì)作為仿真 ， 為了與實(shí)際采集系統(tǒng)相符合，也為了使計(jì)算方便，做如下變換 : Z 1 2 1, 1 0 00 1 00 1 1T于是有： 11Z T M T Z T N T Z T G u 取狀態(tài)變量： 1 1 2 1 1 2 1, , , , , TX x x 1 2 1, 于是線性化后的六階狀態(tài) 方程如下： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 19 X A X B X D u（ 2 其中： 3 3 3 32 1 2 2 660 332 660 2110 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00D 1 1 1211 1 1220120 , 0 0 , 00 , 0 0 , 0 , 0 , 00 , 0 00A T N T T M F M T T M N G T M 即 X u,Y u是對二級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)空間分析的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)。 統(tǒng)參數(shù)的設(shè)定 倒立擺系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)定常系統(tǒng)，其系統(tǒng)參數(shù)是可以得到的。有些參數(shù)可以直接測得，如上下擺的質(zhì)量、長度、擺桿的重心到轉(zhuǎn)軸的距離、小車的質(zhì)量等。而有些參數(shù)需要采用間接的方法得到，如擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、小車的等效摩擦系數(shù)、轉(zhuǎn)軸的等效摩擦系數(shù)等。 本次設(shè)計(jì)由于是對直線二級倒立擺的控制系統(tǒng)的系統(tǒng)仿真，因此對其設(shè)計(jì) 模型的參數(shù)的測定不做具體累述，通過直接或間接的方法設(shè)定系統(tǒng)的具體參數(shù)為： 0M: 1M: 2M: : 1l : 2l :F:11 1F: 2F:J: 2J: 0G:南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 20 1K: 2K: g :上述設(shè)定的具體系統(tǒng)參數(shù)帶入 式 （ 2可得系統(tǒng)狀態(tài)方程中 的各矩陣 ： 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 3 . 0 1 5 8 0 . 5 7 1 7 1 6 . 0 1 6 7 0 . 0 1 9 5 0 . 0 0 3 30 5 3 . 0 0 5 5 2 3 . 4 0 4 9 6 6 . 2 1 3 4 0 . 6 0 9 7 0 . 2 0 3 00 3 7 . 0 7 7 3 6 9 . 3 9 7 8 4 6 . 3 1 6 2 0 . 8 4 9 6 0 . 3 7 2 9A 0003 9 61 5 2 11 0 1 7B 2 4 . 1 7 0 0 0 0 00 9 . 3 4 0 0 0 00 0 9 . 3 4 0 0 0C立擺系統(tǒng)的初步運(yùn)動(dòng)分析 在研究控制方案之前，首先應(yīng)該對被控對象的特性及本質(zhì)有充分的了解。因此，在建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，利用一些仿真手段對被控對象的特性加以分析，是很有必要的。 一般擺桿豎直向上是系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，需要設(shè)計(jì)控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。既然需要設(shè)計(jì)控制器鎮(zhèn)定系統(tǒng)，那么首先就要考慮系統(tǒng)是否能控。由于我們所關(guān)心的是系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的性質(zhì)，因而可以根據(jù)前面得到的系統(tǒng)線性模型分析。在進(jìn)行倒立擺的定性分析之前，先介紹線性控制理論中關(guān)于能控性、能觀性的判定定理 。 定理 1(能控性判據(jù) ) n 階線性定常連續(xù)系 統(tǒng) X u狀態(tài)完全能控，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的能控性矩陣 ： 21 A B A B A B 滿秩，即 n。特別的，當(dāng)輸入控制量 控性矩陣 n等價(jià)于行列式值 。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 21 定理 2(能觀性判據(jù) ) n 階線性定常連