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第一章 一元二次方程一元二次方程 1、一元二次方程含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊十一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。二、一元二次方程的解法1、直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時，當(dāng)b0時，方程沒有實數(shù)根。2、配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。三、一元二次方程根的判別式 根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 如果方程的兩個實數(shù)根是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。第二章 圓一、圓的相關(guān)概念1、圓的定義在一個個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。2、圓的幾何表示以點O為圓心的圓記作“O”，讀作“圓O”二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義 （1）弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）（2）直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）直徑等于半徑的2倍。（3）半圓圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。弧用符號“”表示，以A，B為端點的弧記作“”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€字母表示）三、垂徑定理及其推論 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為： 過圓心 垂直于弦直徑 平分弦 知二推三 平分弦所對的優(yōu)弧 平分弦所對的劣弧四、圓的對稱性 1、圓的軸對稱性圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。2、圓的中心對稱性圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理 1、圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。六、圓周角定理及其推論 1、圓周角頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。七、點和圓的位置關(guān)系 設(shè)O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：dr點P在O外。八、過三點的圓 1、過三點的圓不在同一直線上的三個點確定一個圓。2、三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點共圓的判定條件）圓內(nèi)接四邊形對角互補。九、反證法 先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理，引出矛盾，判定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。十、直線與圓的位置關(guān)系 直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。如果O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與O相交dr；十一、切線的判定和性質(zhì) 1、切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。2、切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。十二、切線長定理 1、切線長在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。2、切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。十三、三角形的內(nèi)切圓 1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心。十四、圓和圓的位置關(guān)系 1、圓和圓的位置關(guān)系如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。2、圓心距兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么兩圓外離dR+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-rdr）兩圓內(nèi)含dr）4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。十五、正多邊形和圓 1、正多邊形的定義各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形和圓的關(guān)系只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。十六、與正多邊形有關(guān)的概念 1、正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。4、中心角正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。十七、正多邊形的對稱性 1、正多邊形的軸對稱性正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。2、正多邊形的中心對稱性邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。十八、弧長和扇形面積 1、弧長公式n的圓心角所對的弧長l的計算公式為2、扇形面積公式其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。3、圓錐的側(cè)面積其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。2、弦切角定理弦切角：圓的切線與經(jīng)過切點的弦所夾的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦與切線夾的弧所對的圓周角。即：BAC=ADC3、切割線定理PA為O切線，PBC為O割線，則補充知識點：5定義：圓是定點的距離等于定長的點的集合。其中，定點叫做圓心，定長叫做半徑。與圓有關(guān)的概念：1、連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。2、圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。3、定點在圓上的角叫做圓心角。4、圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。能夠互相重合的兩個圓叫做等圓。在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。 與圓的位置關(guān)系：在平面內(nèi)，點與圓有3中位置關(guān)系：點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外。如果設(shè)O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，那么“點P在圓內(nèi) dr;點P在圓上d=r；點P在圓外dr”5.2 圓的對稱性圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心。圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。圓心角、弧、弦之間的關(guān)系（等對等定理）：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。5.3 圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。定理：同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半。（圓心與圓周角的位置關(guān)系分為三種情況：圓心在角的一邊上；圓心在角的內(nèi)部；圓心在角的外部）推論：1、直徑（或半圓）所對的圓周角是直角。 2、90的圓周角對的弦是直徑。5.4 確定圓的條件條件：不在同一條直線上的三個點確定一個圓。三角形的外接圓：三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形的三邊的垂直平分線的交點，這個點叫做三角形的外心。這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形5.5 直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交。（dr）2、直線與圓有唯一的公共點，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。（d=r）3、直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。（dr）直線與圓的位置關(guān)系可以用它們的交點的個數(shù)來區(qū)分，也可以用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系來區(qū)分，它們的結(jié)果是一致的。切線的性質(zhì)與判定：判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線式圓的切線。性質(zhì)：（圓的切線垂直于過切點的半徑）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直接必經(jīng)過切點。 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心切線與圓只有一個公共點；切線與圓心的距離等于半徑；切線垂直于過切點的半徑。內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形的三條角平分線的交點。這個三角形叫做圓的外切三角形。5.6 圓與圓的位置關(guān)系性質(zhì)與判定：如果兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么兩圓外離dR+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-rdR+r（Rr）兩圓內(nèi)切d=R-r(Rr)兩圓內(nèi)含0dR-r（Rr）連心線的性質(zhì)：圓是軸對稱圖形，從上表中可以看出它們都是軸對稱圖形。沿O1、O2所在直線（連心線）對折，發(fā)現(xiàn)：兩圓相切，直線O1O2必過切點；兩圓相交，連心線垂直平分它們的公共弦。5.7 正多邊形與圓正多邊形概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形。性質(zhì)：正多邊形都是對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，沒條對稱軸都通過正n邊形的中心。一個正多邊形如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。如果一個正多邊形是中心對稱圖形，那么它的中心就是對稱中心。邊數(shù)相同的正多邊形相似。 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓。友情提醒：（1）邊數(shù)相同的正多邊形相似，這是解與正多邊形有關(guān)問題常用到的知識。 （2）任何三角形都有外接圓和內(nèi)切圓，但只有正三角形的外接圓和內(nèi)切圓才是同心圓。過正多邊形任意三個頂點的圓就是這個正多邊形的外接圓。作正多邊形：作半徑為R的正n邊形的關(guān)鍵是n等分圓。這就要學(xué)習(xí)兩種方法：用量角器等分圓，可以作任意正多邊形，這是近似作法。具體地說先計算出頂點在圓心的角的度數(shù)，即正n邊形的圓心角為，然后依次用量角器將圓等分，順次連接各分點，就作出正n邊形。用尺規(guī)等分圓，作正方形和正六邊形。具體地說：先作出兩條互相垂直的直徑，將圓四等分，順次連接各分點，就做出正方形；用圓規(guī)從圓上一點順次截取等與半徑的弦，將圓六等分，順次連接各等分點，就作出正六邊形。友情提醒：在作正多邊形時，要從圓周上某一點開始連續(xù)截取等弧，否則，易產(chǎn)生誤差。5.8 弧長及扇形的面積1. 圓周長公式: 圓周長C=2R (R表示圓的半徑)2. 弧長公式: 弧長 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數(shù))3. 扇形定義:一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4. 弓形定義:由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形. 弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.5. 圓的面積公式.圓的面積 (R表示圓的半徑)6. 扇形的面積公式:扇形的面積 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數(shù))弓形的面積公式:(如圖5)(1)當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時, (2)當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時, (3)當(dāng)弓形所含的弧是半圓時, 5.9圓錐的側(cè)面積和全面積1. 圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.2. 圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算:圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形,這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點.如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長(扇形半徑)是l, 底面圓周長(扇形弧長)為c,那么它的側(cè)面積是:與圓有關(guān)的輔助線1.如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過弦的一端作半徑為輔助線.2.如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.3.如一個圓有切線的條件,常作過切點的半徑(或直徑)為輔助線. 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個頂點都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的特征: 圓內(nèi)接四邊形的對角互補; 圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)錯角.第3章 數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度知識點1：表示數(shù)據(jù)集中趨勢的代表平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛。知識點2：表示數(shù)據(jù)離散程度的代表極差的定義：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，能反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，我們就把這樣的差叫做極差。極差=最大值最小值，一般來說，極差小，則說明數(shù)據(jù)的波動幅度小。知識點3：生活中與極差有關(guān)的例子在生活中，我們經(jīng)常用極差來描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，比如一支籃球隊隊員中最高身高與最矮身高的差。一家公司成員中最高收入與最低收入的差。知識點4：平均差的定義在一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的絕對值的平均數(shù)即T=叫做這組數(shù)據(jù)的“平均差”?！捌骄睢蹦芸坍嬕唤M數(shù)據(jù)的離散程度，“平均差”越大，說明數(shù)據(jù)的離散程度越大。知識點5：方差的定義在一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)差的平方，它們的平均數(shù)，即S2=來描述這組數(shù)據(jù)的離散程度，并把S2叫做這組數(shù)據(jù)的方差。知識點6：標(biāo)準(zhǔn)差方差的算術(shù)平方根，即用S=來描述這一組數(shù)據(jù)的離散程度，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。知識點7：方差與平均數(shù)的性質(zhì)若x1，x2，xn的方差是S2，平均數(shù)是，則有x1+b， x2+bxn+b的方差為S2，平均數(shù)是+bax1， ax2，axn的方差為a2s2，平均數(shù)是aax1+b， ax2+b，axn+b的方差為a2s2，平均數(shù)是a+b第4章 等條件下的概率第5章 二次函數(shù)1、定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實數(shù)。2、二次函數(shù)的性質(zhì)：（1）拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸；（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系： 當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點。（3）頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為。3、二次函數(shù) 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線。4、二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中。5、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；。6、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點。 的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同。 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線。7、頂點決定拋物線的位置。幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同。8、求拋物線的頂點、對稱軸的方法 （1）公式法：，頂點是，對稱軸是直線。（P26-9） （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線。 （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點。 注意：用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證，才能做到萬無一失。題11：拋物線yx26x4的頂點坐標(biāo)是()A(3，-5)B(-3，-5) C(3，5)D(-3，5)9、拋物線中，的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣。 （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置。由于拋物線的對稱軸是直線。，故：時，對稱軸為軸；（即、同號時，對稱軸在軸左側(cè)；（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè)。 （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置。 當(dāng)時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：，拋物線經(jīng)過原點； ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸。 以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 。10、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()11、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：。已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式。 （2）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式。 （3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標(biāo)、，通常選用交點式：。題12：已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2(m-1)x(m2-1)0，有兩個實數(shù)根x1、x2，且x12x224求m的值。題13：先化簡，再求值： ，其中題14：在平面直角坐標(biāo)系中，B(1，0)，點A在第一象限內(nèi)，且AOB60，ABO45。(1)求點A的坐標(biāo)；(2)求過A、O、B三點的拋物線解析式；(3)動點P從O點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿OA運動到點A止，若POB的面積為S，寫出S與時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系；是否存在t，使POB的外心在x軸上，若不存在，請你說明理由；若存在，請求出t的值。 12、直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0, )。 （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,)。 （3）拋物線與軸的交點。二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根。拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點拋物線與軸相交； 有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點拋物線與軸相離。 （4）平行于軸的直線與拋物線的交點：同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點。當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根。 （5）一次