2016年甘肅省張掖市高考數(shù)學三診試卷（理科）含答案解析

第 1 頁（共 22 頁） 2016 年甘肅省張掖市高考數(shù)學三診試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1復數(shù) 的共軛復數(shù)在復平面上對應的點位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2若 R，則 “=0”是 “（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 3設 等差數(shù)列 前 n 項和，若 ， 7，則該數(shù)列的首項 于（ ） A B C D 4某程序的框圖如圖所示，執(zhí)行該程序，若輸入的 N=5，則輸出 i=（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 5雙曲線 2 的漸近線與圓 y+a） 2=1 相切，則正實數(shù) a 的值為（ ） A B C D 6在如圖所示的正方形中隨機投擲 10000 個點，則落入陰影部分（曲線 C 為正態(tài)分布 N（1， 1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值（ ） 附 “若 X N（ ， 則 P（ X +） = p（ 2 X +2） = 第 2 頁（共 22 頁） A 1193 B 1359 C 2718 D 3413 7已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為（ ） A 16 B 4 C 8 D 2 8已知 0，函數(shù) f（ x） =x+ ）在（ ， ）上單調(diào)遞增，則 的取值范圍是（ ） A ， B ， C ， D ， 9在 ， + =2 ， | |=1，點 P 在 且滿足 =2 ，則 （ + ）等于（ ） A B C D 10已知二次函數(shù) f（ x） =bx+c 的導數(shù) f（ x）， f（ 0） 0，且 f（ x）的值域為 0， +），則 的最小值為（ ） A 3 B C 2 D 11已知橢圓 + =1（ a b 0）的左、右焦點分別為 c， 0）， c， 0），若橢圓上存在點 P 使 = ，則該橢圓的離心率的取值范圍為（ ） A（ 0， ） B（ ） C（ 0， ） D（ ， 1） 12若函數(shù) f（ x） =x2+（ x 0）與 g（ x） =x2+x+a）圖象上存在關(guān)于 y 軸對稱的點，則 a 的取值范圍是（ ） 第 3 頁（共 22 頁） A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 13二項式 的展開式中常數(shù)項為 14若變量 x， y 滿足約束條件 且 z=5y x 的最大值為 a，最小值為 b，則 a 15我們知道，在邊長為 a 的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值 ，類比上述結(jié)論，在棱長為 a 的正四面體內(nèi)任一點到其四個面的距離之和為定值 16設數(shù)列 （ n 1， n N）滿足 ， ，且（ ）（ =2，若x表示不超過 x 的最大整數(shù)，則 + + = 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 . 17設函數(shù) f（ x） = x+ ） （ 1）若 x （ 0， ），求 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ 2）在銳角 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，若 f（ ） =0， b=1，求 18某超市從 2014 年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取 100個，并按 0， 10，（ 10， 20，（ 20， 30，（ 30， 40，（ 40， 50分組，得到頻率分布直方圖如圖： 假設甲、乙兩種酸奶獨立銷售且日銷售量相互獨立 （ ）寫出頻率分布直方圖（甲）中的 a 的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為 ， ，試比較 與 的大??；（只需寫出結(jié)論） 第 4 頁（共 22 頁） （ ）估計在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于 20 箱且另一個不高于 20 箱的概率； （ ）設 X 表示在未來 3 天內(nèi)甲種酸奶的日銷售量不高于 20 箱的天數(shù)，以日銷售量落入各組的頻率作為概率，求 X 的數(shù)學期望 19在直三棱柱 ， C=2， ， 0， M 是 中點，N 是 中點 （ 1）求證： 平面 （ 2）求點 平面 距離； （ 3）求二面角 B 平面角的余弦值大小 20設拋物線 C 的方程為 y， M 為直線 l： y= m（ m 0）上任意一點，過點 M 作拋物線 C 的兩條切線 點分別為 A， B （ ）當 M 的坐標為（ 0， 1）時，求過 M， A， B 三點的圓的標準方程，并判斷直線 位置關(guān)系； （ ）當 m 變化時，試探究直線 l 上是否存在點 M，使 存在，有幾個這樣的點，若不存在，請說明理由 21設函數(shù) f（ x） =（ x 1） （ 1）當 a=1 時，討論 f（ x）的單調(diào)性； （ 2）當 a 0 時，設 f（ x）在 x=取得最小值，求證： f（ 1 選做題 選修 4何證明選講 22如圖， O 的直徑， 弦， 平分線 O 于點 D， 延長線于點 E， 點 F （ ）求證： O 的切線； （ ）若 = ，求 的值 選修 4標系與參數(shù)方程 第 5 頁（共 22 頁） 23在直角坐標系 ，曲線 參數(shù)方程為 （ t 是參數(shù)），以原點 x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 極坐標方程為 =8 ） （ 1）求曲線 直角坐標方程，并指出其表示何種曲線； （ 2）若曲線 曲線 于 A， B 兩點，求 |最大值和最小值 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =m |x 2|， m R，且 f（ x+2） 0 的解集為 1， 1 （ ）求 m 的值； （ ）設 a， b， c 為正數(shù)，且 a+b+4c=m，求 + + 的最大值 第 6 頁（共 22 頁） 2016 年甘肅省張掖市高考數(shù)學三診試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1復數(shù) 的共軛復數(shù)在復平面上對應的點位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 化簡復數(shù)，得出其共軛復數(shù) 【解答】 解： = = ， 復數(shù) 的共軛復數(shù)是 + 故選： A 2若 R，則 “=0”是 “（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考 點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 當 “=0”可以得到 “當 “，不一定得到 “=0”，得到 “=0”是 “充分不必要條件 【解答】 解： “=0”可以得到 “ 當 “，不一定得到 “=0”，如 = 等， “=0”是 “充分不必要條件， 故選 A 3設 等差數(shù)列 前 n 項和，若 ， 7，則該數(shù)列的首項 于（ ） A B C D 【考點】 等差數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 利用等差數(shù)列的通項公式及其前 n 項和公式即可得出 【解答】 解：設等差數(shù)列 公差為 d，由 ， 7，可得 ，解得 故選： D 4某程序的框圖如圖所示，執(zhí)行該程序，若輸入的 N=5，則輸出 i=（ ） 第 7 頁（共 22 頁） A 6 B 7 C 8 D 9 【考點】 程序框圖 【分析】 計算循環(huán)中 n 與 i 的值，當 n=1 時滿足判斷框的條件，退出循環(huán)，輸出結(jié)果即可 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 n=5， i=1 執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件 n 是奇數(shù)， n=16， i=2， 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=8， i=3， 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=4， i=4， 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=2， i=5， 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=1， i=6， 滿足條件 n=1，退出循環(huán)，輸出 i 的值為 6 故選： A 5雙曲線 2 的漸近線與圓 y+a） 2=1 相切，則正實數(shù) a 的值為（ ） A B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)圓方程，得到圓心坐標 C（ 0， a），圓與雙曲線的漸近線相切，說明 C 到漸近線的距離等于半徑 1，列出方程求出 a 的值即可 【解答】 解：圓 y+a） 2=1 圓心坐標 C（ 0， a），圓的半徑為： 1 雙曲線 的漸近線為 x 2y=0， 雙曲線 的漸近線與圓 y+a） 2=1 相切， C 到漸近線的距離為 ，解得 a= 第 8 頁（共 22 頁） 故選： C 6在如圖所示的正方形中隨機投擲 10000 個點，則落入陰影部分（曲線 C 為正態(tài)分布 N（1， 1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值（ ） 附 “若 X N（ ， 則 P（ X +） = p（ 2 X +2） = A 1193 B 1359 C 2718 D 3413 【考點】 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義 【分析】 根據(jù)正態(tài)分布的定義，可以求出陰影部分的面積，也就是 x 在（ 0， 1）的概率 【解答】 解：正態(tài)分布的圖象如下圖： 正態(tài)分布 N（ 1， 1）則在（ 0， 1）的概率如上圖陰影部分， 其概率為 P（ 2 X +2） P（ X +） = （ = 即陰影部分的面積為 所以點落入圖中陰影部分的概率為 p= = 投入 10000 個點，落入陰影部分的個數(shù)期望為 10000 359 故選 B 7已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為（ ） 第 9 頁（共 22 頁） A 16 B 4 C 8 D 2 【考點】 由三視圖求面積、體 積 【分析】 由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度，并判斷出位置關(guān)系，判斷出幾何體的外接球的球心位置，從而求出外接球的半徑，代入求的表面積公式求解即可 【解答】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個三棱錐，如圖：底面是一個直角三角形， C， D 是 中點， 平面 且 、 ， ， =2， D=， 幾何體的外接球的球心是 D，則球 的半徑 r=1， 即幾何體的外接球表面積 S=4， 故選： B 8已知 0，函數(shù) f（ x） =x+ ）在（ ， ）上單調(diào)遞增，則 的取值范圍是（ ） A ， B ， C ， D ， 【考點】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【分析】 根據(jù)函數(shù) y=單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合函數(shù)在（ ， ）上單調(diào)遞增 ，得出關(guān)于 的不等式（組），從而求出 的取值范圍 【解答】 解： 函數(shù) y=單調(diào)遞增區(qū)間是 +22 k Z； +2x+ + 2k Z； 解得： + x （ k Z）， 函數(shù) f（ x） =x+ ）在（ ， ）上單調(diào)遞增， （ ， ） + ， （ k Z）， 解得 4k 2k ； 又 4k （ 2k ） 0，且 4k 0， 第 10 頁（共 22 頁） k=1， ， 故選： D 9在 ， + =2 ， | |=1，點 P 在 且滿足 =2 ，則 （ + ）等于（ ） A B C D 【考點】 向量加減混合運算及其幾何意義 【分析】 易得 M 是 中點， P 是三角形 重心，進而得 （ + ） = ，由數(shù)量積的定義可得答案 【解答】 解：由題意易知： M 是 中點， P 是三角形 重心， 因為 ，所以 ， ， 所以 （ + ） = 故選 D 10已知二次函數(shù) f（ x） =bx+c 的導數(shù) f（ x）， f（ 0） 0，且 f（ x）的值域為 0， +），則 的最小值為（ ） A 3 B C 2 D 【考 點】 二次函數(shù)的性質(zhì) 【分析】 由 f（ x）的值域為 0， +），可得對于任意實數(shù) x， f（ x） 0 成立求出 a 的范圍及 a， b c 的關(guān)系，求出 f（ 1）及 f（ 0），作比后放縮去掉 c，通分后利用基本不等式求最值 【解答】 解： f（ x）的值域為 0， +）， 即 f（ x） 0 恒成立， ， c= 又 f（ x） =2ax+b， f（ 0） =b 0， f（ 1） =a+b+c =1+ =1+ =1+ 1+ =2 當且僅當 4a2=， “=”成立 即 的最小值為 2 故選： C 第 11 頁（共 22 頁） 11已知橢圓 + =1（ a b 0）的左、右焦點分別為 c， 0）， c， 0），若橢圓上存在點 P 使 = ，則該橢圓的離心率的取值范圍為（ ） A（ 0， ） B（ ） C（ 0， ） D（ ， 1） 【考點】 正弦定理；橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 由 “ ”的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到在 運用由正弦定理得： 兩者結(jié)合起來，可得到 ，再由焦點半徑公式，代入可得到： a（ a+=c（ a 出 橢圓的范圍，建立關(guān)于離心率的不等式求解要注意橢圓離心率的范圍 【解答】 解：在 ，由正弦定理得： 則由已知得： ， 即： 點 P（ 焦點半徑公式， 得： a+a a（ a+=c（ a 解得： = 由橢圓的幾何性質(zhì)知： a 則 a， 整理得 e 1 0，解得： e 1 或 e 1，又 e （ 0， 1）， 故橢圓的離心率： e （ 1， 1）， 故選 D 12若函數(shù) f（ x） =x2+（ x 0）與 g（ x） =x2+x+a）圖象上存在關(guān)于 y 軸對稱的點，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 由題意可得 x0+a） =0 有負根，函數(shù) h（ x） = x+a）為增函數(shù)，由此能求出 a 的取值范圍 【解答】 解：由題意可得： 存在 （ ， 0），滿足 =（ 2+ x0+a）， 第 12 頁（共 22 頁） 即 x0+a） =0 有負根， 當 x 趨近于負無窮大時， x0+a）也趨近于負無窮大， 且函數(shù) h（ x） = x+a）為增函數(shù)， h（ 0） = 0， a ， a 的取值范圍是（ ， ）， 故選： A 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 13二項式 的展開式中常數(shù)項為 7 【考點】 二項式定理 【分析】 利用二項展開式的通項公式求出第 r+1 項，令 x 的指數(shù) 為 0 得常數(shù)項 【解答】 解： 展開式的通項是= 令 解得 r=6 故展開式的常數(shù)項為 =7 故答案為 7 14若變量 x， y 滿足約束條件 且 z=5y x 的最大值為 a，最小值為 b，則 a 24 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出可行域，變形目標函數(shù)可得 y= x+ z，平移直線 y= x 易得最大值和最小值，作差可得答案 第 13 頁（共 22 頁） 【解答】 解：作出約束條件 所對應的可行域（如圖陰影）， 變形目標函數(shù)可得 y= x+ z， 平移直線 y= x 可知當直線經(jīng)過點 A（ 8， 0）時，目標函數(shù)取最小值 b= 8， 當直線經(jīng)過點 B（ 4， 4）時，目標函數(shù)取最大值 a=16， a b=16（ 8） =24 故答案為： 24 15我們知道，在邊長為 a 的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值 ，類比上述結(jié)論，在棱長為 a 的正四面體內(nèi)任一點 到其四個面的距離之和為定值 【考點】 類比推理 【分析】 由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)固我們可以根據(jù)已知中平面幾何中，關(guān)于線的性質(zhì) “正三角形內(nèi)任意一點到三邊距離之和是一個定值 ”，推斷出一個空間幾何中一個關(guān)于面的性質(zhì) 【解答】 解：類比在邊長為 a 的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定 值 ， 在一個正四面體中，計算一下棱長為 a 的三棱錐內(nèi)任一點到各個面的距離之和， 如圖： 由棱長為 a 可以得到 a， O= ， 在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可以得到 把數(shù)據(jù)代入得到 a， 第 14 頁（共 22 頁） 棱長為 a 的三棱錐內(nèi)任一點到各個面的距離之和 4 a= a， 故答案為： a 16設數(shù)列 （ n 1， n N）滿足 ， ，且（ ）（ =2，若x表示不超過 x 的最大整數(shù)，則 + + = 2015 【考點】 等差數(shù)列的通項公式 【分析】 構(gòu)造 bn= 判數(shù)列 4 為首項 2 為公差的等差數(shù)列，累加法可得 an=n（ n+1），裂項相消法可得答案 【解答】 解：構(gòu)造 bn= b1=， 由題意可得（ ）（ = ， 故數(shù)列 4 為首項 2 為公差的等差數(shù)列， 故 bn= +2（ n 1） =2n+2， 故 ， ， ， ， 1=2n， 以上 n 1 個式子相加可得 ，解得 an=n（ n+1）， 故 + + =2016（ + + ） =2016（ 1 + + ） =2016 ， + + =2015， 故答案為： 2015 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 . 17設函數(shù) f（ x） = x+ ） （ 1）若 x （ 0， ），求 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ 2）在銳角 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，若 f（ ） =0， b=1，求 第 15 頁（共 22 頁） 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象；余弦定理 【分析】 （ 1）由三角恒等變換化簡 f（ x），由此得到遞增區(qū)間 （ 2）由等式得到 ，利用余弦定理及三角形面積公式即可 【解答】 解：（ ）由題意可知， = ， 由 ， 可解得： 又因為 x （ 0， ）， 所以 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 （ ）由 ，可得 ， 由題意知 B 為銳角，所以 ， 由 余弦定理 b2=a2+2 可得： ，即 ，且當 a=c 時等號成立， 因此 ， 所以 積的最大值為 18某超市從 2014 年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取 100個，并按 0， 10，（ 10， 20，（ 20， 30，（ 30， 40，（ 40， 50分組，得到頻率分布直方圖如圖： 假設甲、乙兩種酸奶獨立銷售且日銷售量相互獨立 （ ）寫出頻率分布直方圖（甲）中的 a 的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為 ， ，試比較 與 的大??；（只需寫出結(jié)論） 第 16 頁（共 22 頁） （ ）估計在未 來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于 20 箱且另一個不高于 20 箱的概率； （ ）設 X 表示在未來 3 天內(nèi)甲種酸奶的日銷售量不高于 20 箱的天數(shù)，以日銷售量落入各組的頻率作為概率，求 X 的數(shù)學期望 【考點】 離散型隨機變量及其分布列；頻率分布直方圖；離散型隨機變量的期望與方差 【分析】 （ ）按照題目要求想結(jié)果即可 （ ）設事件 A：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于 20 箱；事件 B：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于 20 箱；事件 C：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于 20 箱且另一 個不高于 20 箱求出 P（ A）， P（ B）， P（ C） （ ） X 的可能取值為 0， 1， 2， 3，求出概率，得到分布列，然后求解期望 【解答】 （共 13 分） 解：（ ） a= （ ）設事件 A：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于 20 箱； 事件 B：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于 20 箱； 事件 C：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于 20 箱且另一個不高于20 箱則 P（ A） =P（ B） = 所以 （ ）由題意可知， X 的可能取值為 0， 1， 2， 3 P（ X=0） = P（ X=1） = P（ X=2） = P（ X=3） = 所以 X 的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以 X 的數(shù)學期望 19在直三棱柱 ， C=2， ， 0， M 是 中點，N 是 中點 （ 1）求證： 平面 （ 2）求點 平面 距離； （ 3）求二面角 B 平面角的余弦值大小 【考點】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；點、線、面間的距離計算 第 17 頁（共 22 頁） 【分析】 （ 1）由直三棱柱的幾何特征，取 點 D，連 接 得四邊形 后由線面平行的判定定理得到 平面 （ 2）可證 平面 平面 ，過 以點 平面 距離，在等腰三角形 ，可求 長 （ 3）在平面 E ， ，則 平面 得 二面角 B A 的平面角，在等腰三角形 ，可求 可求得 而可求二面角 B 平面角的余弦值 【解答】 （ 1）證明：如圖所示，取 點 D，連接 1M， 四邊形 平行四邊形 面 面 平面 （ 2）解：直三棱柱 ， 0， 平面 在平面 ，過 以 點 平面 距離 在等腰三角形 ， ， 1M= （ 3）解：在平面 作 點 E， 點 F，則 平面 的射影， 二面角 B A 的平面角， 在等腰三角形 ， 1H= ， 即二面角 B 平面角的余弦值為 20設拋物線 C 的方程為 y， M 為直線 l： y= m（ m 0）上任意一點，過點 M 作拋物線 C 的兩條切線 點分別為 A， B 第 18 頁（共 22 頁） （ ）當 M 的坐標為（ 0， 1）時，求過 M， A， B 三點的圓的標準方程，并判斷直線 （ ）當 m 變化時，試探究直線 l 上是否存在點 M，使 存在，有幾個這樣的點，若不存在，請說明理由 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 （ ）設過 M 點的切線方程，代入 y，整理得 4=0，令 =0，可得 A，B 的坐標，利用 M 到 中點（ 0， 1）的距離為 2，可得過 M， A， B 三點的圓的方程，從而可判斷圓與直線 l： y= 1 相切； （ ）設切點分別為 A（ B（ 直線 l 上的點為 M（ 可得 2 的兩實根，從而 =此可得結(jié)論 【解答】 解：（ ）當 M 的坐標為（ 0， 1）時，設過 M 點的切線方程為 y=1，代入y，整理得 4=0， 令 =（ 4k） 2 4 4=0，解得 k= 1， 代入方程 得 x= 2，故得 A（ 2， 1）， B（ 2， 1） 因為 M 到 中點（ 0， 1）的距離為 2，從而過 M， A， B 三點的圓的標準方程為 y 1） 2=4 圓心坐標為（ 0， 1），半徑為 2， 圓與直線 l： y= 1 相切 （ ）設切點分別為 A（ B（ 直線 l 上的點為 M（ 過拋物線上點 A（ 切線方程為 y y1=k（ x 因為 ， k= ， 從而過拋物線上點 A（ 切線方程為 y （ x 又切線過點 M（ 所以得 ，即 同理可得過點 B（ 切線方程為 ， 因為 ， ，且 方程 2 的兩實根， 所以 所以 = 當 1，即 m=1 時，直線 l 上任意一點 M 均有 當 1，即 m 1 時， 垂直 綜上所述，當 m=1 時，直線 l 上存在無窮多個點 M，使 m 1 時，直線 l 上不存在滿足 條件的點 M 21設函數(shù) f（ x） =（ x 1） （ 1）當 a=1 時，討論 f（ x）的單調(diào)性； 第 19 頁（共 22 頁） （ 2）當 a 0 時，設 f（ x）在 x=取得最小值，求證： f（ 1 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）當 a=1 時，求出函數(shù) f（ x）的解析式和導函數(shù)，利用 f（ x） 0，函數(shù)單調(diào)遞增， f（ x） 0，函數(shù)單調(diào)遞減； （ 2）當 a 0 時，求導，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，利用f（ =0，求得 a 的值，構(gòu)造輔助函數(shù) g（ x） = x+1），（ x 1），求導，求出函數(shù)的 g（ x）的極大值，由 g（ x） g（ 0） =0，即可證明 f（ 1 【解答】 解：（ 1）當 a=1 時， f（ x） =， 調(diào)遞增， （ x 1）單調(diào)遞增， f（ x）在（ 1， +）單調(diào)遞增，且 f（ 0） =0， 當 1 x 0 時， f（ x） 0；當 x 0 時， f（ x） 0， 故 f（ x）在（ 1， 0）單調(diào)遞減，在（ 0， +）單調(diào)遞增； （ 2）證明：當 a 0 時， f（ x） =， 調(diào)遞增， （ x 1）單調(diào)遞增， f（ x）在（ 1， +）單調(diào)遞增 又 f（ 2 1） =e ， 當 b 滿足 1 b 且 b 0 時， f（ b） 0，故 f（ x）存在唯一零點，設零點為 當 x （ 1， ， f（ x） 0；當 x （ +）時， f（ x） 0 f（ x）在（ 1， 調(diào)遞減，在（ +）單調(diào)遞增， 當 x=， f（ x）取得最小值，由條件可得 x1=f（ x）的最小值為 f（ 由于 f（ =e =0， a= ） 2， f（ = ） = ）， 設 g（ x） = x+1），（ x 1）， 則 g（ x） = 3x） = x（ x+3） 令 g（ x） 0，得 1 x 0；令 g（ x） 0，得 x 0， 故