2016年天津市河?xùn)|區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）含答案解析

第 1 頁（共 19 頁） 2016 年天津市河?xùn)|區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 一、選擇題：本題共 8 個小題，每小題 5 分，共 40 分 1設(shè)集合 I=x|x| 3， x Z， A=1， 2， B= 2， 1， 2，則 A （ =（ ） A 1 B 1， 2 C 2 D 0， 1， 2 2設(shè)變量 x， y 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) z=x+2y 的最小值為（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 3一個直棱柱被一個平面截去一部分后 所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A 9 B 10 C 11 D 4在 ， b=5， B= ， ，則 a 的值是（ ） A 10 B 2 C D 5已知 p：函數(shù) f（ x） = m 有零點， q： |m| ，則 p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 6設(shè) 雙曲線 的兩個焦點， P 在雙曲線上，若， （ c 為半焦距），則雙曲線的離心率為（ ） A B C 2 D 7已知 f（ x） =2x 1， g（ x） =1 定：當(dāng) |f（ x） | g（ x）時， h（ x） =|f（ x） |；當(dāng) |f（ x） | g（ x）時， h（ x） = g（ x），則 h（ x）（ ） A有最小值 1，最大值 1 B有最大值 1，無最小值 C有最小值 1，無最大值 D有最大值 1，無最小值 第 2 頁（共 19 頁） 8在平面四邊形 ，點 E、 F 分別是邊 中點，且 ， ， ，若 =15，則 的值為（ ） A 13 B 14 C 15 D 16 二、填空題（本大題共 6 個小題，每小題 5 分，共 30 分 .） 9若（ 1+2i=1 中 a、 b R， i 是虛數(shù)單位，則 |a+ 10 的展開式中 系數(shù)是 11如圖是一個程序框圖，則輸出的 S 的值是 12如圖， O 于點 A，割線 過圓心 O， B=1， 點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)60到 長為 13在極坐標(biāo)系中，直線 + ） =2 被圓 =4 截得的弦長為 14已知 x， y R，滿足 2 y 4 x， x 1，則 的最大值為 三、解答題：（本大題 6 個題，共 80 分） 15設(shè)函數(shù) f（ x） =x ） （ 0， ）已知當(dāng) x= 時 ， f（ x）取得最大值 （ 1）求 的值； （ 2）設(shè) g（ x） =2f（ x），求函數(shù) g（ x）在 0， 上的最大值 16甲、乙兩個乒乓球選手進(jìn)行比賽，他們的水平相當(dāng)，規(guī)定 “七局四勝 ”，即先贏四局者勝，若已知甲先贏了前兩局，求： （ 1）乙取勝的概率； （ 2）比賽打滿七局的概率； 第 3 頁（共 19 頁） （ 3）設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 17如圖所示，在四棱錐 P ，底面四邊形 菱形， D=O， 邊長為 2 的等邊三角形， ， （ ）求證： 底面 （ ）求直線 平面 成角的大小； （ ）在線段 是否存在一點 M，使得 平面 果存在，求 的值，如果不存在，請說明理由 18已知中心在原點，焦點在 x 軸上的橢圓 C 的離心率為 ， 且經(jīng)過點 ，過點 P（ 2， 1）的直線 l 與橢圓 C 相交于不同的兩點 A， B （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）是否存直線 l，滿足 ？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由 19已知函數(shù) f（ x） = ，數(shù)列 足 ， =f（ ）， n N*， （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）令 Tn= ，求 （ 3）令 （ n 2）， ， Sn=b1+ 對一切 n N*成立，求最小正整數(shù) m 20已知函數(shù) （ 1）求 f（ x）的極值； （ 2）求證： 且 n N* 第 4 頁（共 19 頁） 2016 年天津市 河?xùn)|區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本題共 8 個小題，每小題 5 分，共 40 分 1設(shè)集合 I=x|x| 3， x Z， A=1， 2， B= 2， 1， 2，則 A （ =（ ） A 1 B 1， 2 C 2 D 0， 1， 2 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 把集合 A 用列舉法表示，然后求出 后進(jìn)行并集運算 【解答】 解：因為 I=x|x| 3， x Z= 2， 1， 0， 1， 2， B= 2， 1， 2，所以， 0， 1， 又因為 A=1， 2，所以 A （ =1， 2 0， 1=0， 1， 2 故選 D 2設(shè)變量 x， y 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) z=x+2y 的最小值為（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域， 由 z=x+2y，得 y= ， 平移直線 y= ，由圖象可知當(dāng)直線 y= 經(jīng)過點 B（ 1， 1）時，直線 y=的截距最小，此時 z 最小 此時 z 的最小值為 z=1+2 1=3， 故選： B 3一個直棱柱被一個平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） 第 5 頁（共 19 頁） A 9 B 10 C 11 D 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積 【分析】 根據(jù)得出該幾何體是在底面為邊長是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基礎(chǔ)上， 截去一個底面積為 2 1=1、高為 3 的三棱錐形成的，運用直棱柱減去三棱錐即可得出答案 【解答】 解：由三視圖可知該幾何體是在底面為邊長是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基礎(chǔ)上， 截去一個底面積為 2 1=1、高為 3 的三棱錐形成的， V 三棱錐 = =1， 所以 V=4 3 1=11 故選： C 4在 ， b=5， B= ， ，則 a 的值是（ ） A 10 B 2 C D 【考點】 正弦定理 【分析】 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 ，再由正弦定理求得 a 的值 【解答】 解： 在 ， b=5， B= ， =2， ， 再由余弦定理可得 = ，解得 a=2 ， 故選 B 5已知 p：函數(shù) f（ x） = m 有零點， q： |m| ，則 p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 第 6 頁（共 19 頁） 【分析】 令 x=2 0， ， g（ x） = 由于函數(shù) f（ x）= m 有零點，可得 m 即可得出 【解答】 解：令 x=2 0， ， 則 g（ x） = = = 函數(shù) f（ x） = m 有零點， m p 是 q 的充要條件 故選： A 6設(shè) 雙曲線 的兩個焦點， P 在雙曲線上，若， （ c 為半焦 距），則雙曲線的離心率為（ ） A B C 2 D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由 ，可得 直角三角形，由勾股定理得（ 2c）2=|+|=| 2|44可求出雙曲線的離心率 【解答】 解：由題意 得， 直角三角形， 由勾股定理得（ 2c） 2=|+|=| 2|44 ， e 1=0， e 1， e= 故選： D 7已知 f（ x） =2x 1， g（ x） =1 定：當(dāng) |f（ x） | g（ x）時， h（ x） =|f（ x） |；當(dāng) |f（ x） | g（ x）時， h（ x） = g（ x），則 h（ x）（ ） A有最小值 1，最大值 1 B有最大值 1，無 最小值 C有最小值 1，無最大值 D有最大值 1，無最小值 【考點】 分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法 【分析】 可以畫出 f（ x） =2x 1， g（ x） =1 圖象，根據(jù)規(guī)定分兩種情況：在 A、 |f（ x） | g（ x）；在 A、 B 之間，從圖象上可以看出最值； 【解答】 解：畫出 y=|f（ x） |=|2x 1|與 y=g（ x） =1 圖象， 它們交于 A、 B 兩點 第 7 頁（共 19 頁） 由 “規(guī)定 ”，在 A、 B 兩側(cè)， |f（ x） | g（ x）故 h（ x） =|f（ x） |； 在 A、 B 之間， |f（ x） | g（ x），故 h（ x） = g（ x） 綜上可知， y=h（ x）的圖象是圖中的實線部分， 因此 h（ x）有最小值 1，無最大值 故選 C 8在平面四邊形 ，點 E、 F 分別是邊 中點，且 ， ， ，若 =15，則 的值為（ ） A 13 B 14 C 15 D 16 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 可作出圖形，設(shè) C=O，根據(jù)向量加法及數(shù)乘的幾何意義便可得到， ，從而得出 ，根據(jù)條件，兩邊平方即可求出 而 ，從而根據(jù) 便可以得到，從而便可以求得= =14 【解答】 解：如圖所示， 設(shè) C=O， = ， ； ； ，平方得， ； ； 又 ； 第 8 頁（共 19 頁） 即 = ； = ； = = = = = = =15 1 =14 故選 B 二、填空題（本大題共 6 個小題，每小題 5 分，共 30 分 ） 9若（ 1+2i=1 中 a、 b R， i 是虛數(shù)單位，則 |a+ 【考點】 復(fù)數(shù)求模 【分析】 由（ 1+2i=1 簡求出 a、 b 的值，然后由復(fù)數(shù)模的公式即可求出 |a+值 【解答】 解：由（ 1+2i=1 1 2a+（ 1+b） i=0 解得： 設(shè) z=a+a、 b R）， 則 z= i， |a+ 故答案為： 10 的展開式中 系數(shù)是 24 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì) 第 9 頁（共 19 頁） 【分析】 求出 的通項公式為 = ，令 ，求出 可求得 系數(shù) 【解答】 解：由于 的展開式的通項公式為 = ， 令 ，解得 r=2，故 4 展開式中 系數(shù)是 24， 故答案為： 24 11如圖是一個程序框圖，則輸出的 S 的值是 63 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 n， S 的值，當(dāng) S=63 時滿足條件 S 33，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 63 【解 答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 S=1， n=1 S=3，不滿足條件 S 33， n=2， S=7 不滿足條件 S 33， n=3， S=15 不滿足條件 S 33， n=4， S=31 不滿足條件 S 33， n=5， S=63 滿足條件 S 33，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 63 故答案為： 63 12如圖， O 于點 A，割線 過圓心 O， B=1， 點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)60到 長為 第 10 頁（共 19 頁） 【考點】 與圓有關(guān)的比例線段 【分析】 解法一：如圖根據(jù)題設(shè)條件可求得角 大小，由于 ， ，由余弦定理求長度即可 解法二：由圖形知，若能求得點 D 到線段 距離 線段 長度，在直角三角形用勾股定理求 可 【解答】 解：法一： O 于點 A， B 為 點， B= 0， 20， 在 由余弦定理， 得： 2 法二：過點 D 作 足為 E， 20， 0， 可得 ， ， 在 ，有 13在極坐標(biāo)系中，直線 + ） =2 被圓 =4 截得的弦長為 4 【考點】 簡單曲線的極坐標(biāo)方程 【分析】 先利用三角函數(shù)的和角公式展開直線的極坐標(biāo)方程的左式，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用 x， y， 2=x2+行代換即得直角坐標(biāo)方程，最后利用直角坐標(biāo)中直線與圓的關(guān)系求出截得的弦長即可 【解答】 解： + ） =2， ，化成直角坐標(biāo)方程為： x+y 2 =0， 圓 =4 化成直角坐標(biāo)方程為 x2+6， 圓心到直線的距離為： 第 11 頁（共 19 頁） 截得的弦長為： 2 = 故答案為： 14已知 x， y R，滿足 2 y 4 x， x 1，則 的最大值為 【考點】 基本不等式 【分析】 把原式化簡可得 ，利用可行域和斜率計算公式可得 的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)即可得出最大值 【解答】 解：由 x， y 滿足 2 y 4 x， x 1， 畫出可行域如圖所示 則 A（ 2， 2）， B（ 1， 3） = = ， 令 k= ， 則 k 表示可行域內(nèi)的任意點 Q（ x， y）與點 P（ 1， 1）的斜率 而 ， ， ， 令 f（ k） =k+ ， 則 0 函數(shù) f（ k）單調(diào)遞減，因此當(dāng) k= 時， f（ k）取得最大值， 故答案為： 第 12 頁（共 19 頁） 三、解答題：（本大題 6 個題，共 80 分） 15設(shè)函數(shù) f（ x） =x ） （ 0， ）已知當(dāng) x= 時， f（ x）取得最大值 （ 1）求 的值； （ 2）設(shè) g（ x） =2f（ x），求函數(shù) g（ x）在 0， 上的最大值 【考點】 三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【分析】 （ 1）由三角函數(shù)公式化簡可得 f（ x） = 2x ），由三角函數(shù)的最值可得； （ 2）由（ 1）知 f（ x） = 2x ），可得 g（ x） =2f（ x） =3x ），由 0 x 和三角函數(shù)的最值可得 【解答】 解：（ 1）由三角函數(shù)公式化簡可得： f（ x） = 2x ） 由 f（ x） f（ ） = 可得 ） =1 又 （ 0， ）， = ； （ 2）由（ 1）知 f（ x） = 2x ）， g（ x） =2f（ x） =3x ） 0 x ，所以 3x ， 當(dāng) 3x =0，即 x= 時， g（ x） 16甲、乙兩個乒乓球選手進(jìn)行比賽，他們的水平相當(dāng)，規(guī)定 “七局四勝 ”，即先贏四局者勝，若已知甲先贏了前兩局，求： （ 1）乙取勝的概率； （ 2）比賽打滿七局的概率； （ 3）設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列 第 13 頁（共 19 頁） 【分析】 （ 1）當(dāng)甲先贏了前兩局時，乙取勝的情況有兩種：第一種是乙連勝四局；第二種是在第三局到第六局，乙贏了三局，第七局乙 贏由此能求出當(dāng)甲先贏了前兩局時，乙取勝的概率 （ 2）比賽打滿七局有兩種結(jié)果：甲勝或乙勝，記 “比賽打滿七局甲勝 ”為事件 A，記 “比賽打滿七局乙勝 ”為事件 B， A， B 互斥，由此能求出比賽打滿七局的概率 （ 3）隨機變量 X 的所有可能取值為 4， 5， 6， 7，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解答】 解：（ 1）當(dāng)甲先贏了前兩局時，乙取勝的情況有兩種：第一種是乙連勝四局；第二種是在第三局到第六局，乙贏了三局，第七局乙贏 在第一種情況下，乙取勝的概率為（ ） 4= ， 在第二種情況下，乙取勝的概率為 = ， 所以當(dāng)甲先贏了前兩局時，乙取勝的概率為 + = （ 2）比賽打滿七局 有兩種結(jié)果：甲勝或乙勝，記 “比賽打滿七局甲勝 ”為事件 A，記 “比賽打滿七局乙勝 ”為事件 B 則 P（ A） = = ， P（ B） = = ， 又 A， B 互斥，所以比賽打滿七局的概率為 P（ A） +P（ B） = （ 3）隨機變量 X 的所有可能取值為 4， 5， 6， 7 P（ X=4） =（ ） 2= ， P（ X=5） =C （ ） 2（ ） = ， P（ X=6） =C （ ） 3（ ） +（ ） 4= ， P（ X=7） =C （ ） 4（ ） +C （ ） 4（ ） = ， 所以 X 的分布列為 X 4 5 6 7 P 故隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望 +5 +6 +7 = 17如圖所示，在四棱錐 P ，底面四邊形 菱形， D=O， 邊長為 2 的等邊三角形， ， （ ）求證： 底面 （ ）求直線 平面 成角的大??； （ ）在線 段 是否存在一點 M，使得 平面 果存在，求 的值，如果不存在，請說明理由 第 14 頁（共 19 頁） 【考點】 用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角 【分析】 （ ）證明 底面 需證明 （ ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線 方向向量，平面 法向量，利用向量的夾角公式可求直線 平面 成角的大?。?（ ）設(shè) =（ 0 1），若使 平面 且僅需 =0 且 面 可得出結(jié)論 【解答】 （ ）證明：因為底面 菱形， D=O， 所以 O 為 點 又因為 C， D， 所以 所以 底面 （ ）解：由底面 菱形可得 又由（ ）可知 如圖，以 O 為原點建立空間直角坐標(biāo)系 O 由 邊長為 2 的等邊三角形， ， 可得 所以 所以 ， 由已知可得 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z），則 令 x=1，則 ，所以 =（ 1， 0， ） 第 15 頁（共 19 頁） 因為 ， 所以直線 平面 成角的正弦值為 ， 所以直線 平面 成角的大小為 30 （ ）解：設(shè) =（ 0 1），則 若使 平面 且僅需 =0 且 面 解得 ， 所以在線段 存在一點 M，使得 平面 此時 = 18已知中心在原點，焦點在 x 軸上的橢圓 C 的離心 率為 ，且經(jīng)過點 ，過點 P（ 2， 1）的直線 l 與橢圓 C 相交于不同的兩點 A， B （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）是否存直線 l，滿足 ？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由 【考點】 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 （ 1）先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點 M 代入得到一個方程，根據(jù)離心率得到一個關(guān)系式，再由 a2=b2+得到 a， b， c 的值，進(jìn)而得到橢圓的方程 （ 2）假設(shè)存在直線滿足條件，設(shè)直線方程為 y=k（ x 2） +1，然后與橢圓方程聯(lián)立消去 方程一定有兩根，故應(yīng) 大于 0 得到 k 的范圍，進(jìn)而可得到兩根之和、第 16 頁（共 19 頁） 兩根之積的表達(dá)式，再表示出 、 、 ，再代入關(guān)系式 可確定 k 的值，從而得解 【解答】 解：（ ）設(shè) 橢圓 C 的方程為 ，由題意得 解得 ， ，故橢圓 C 的方程為 （ ）若存在直線 l 滿足條件，由題意可設(shè)直線 l 的方程為 y=k（ x 2） +1， 由 得（ 3+48k（ 2k 1） x+1616k 8=0 因為直線 l 與橢圓 C 相交于不同的兩點 A， B，設(shè) A， B 兩點的坐標(biāo)分別為（ （ x2， 所以 = 8k（ 2k 1） 2 4（ 3+4（ 1616k 8） 0 整理得 32（ 6k+3） 0 解得 又 ， ， 且 ，即 ， 所以 即 所以 ，解得 所以 于是存在直線 l 滿足條件，其的方程為 19已知函數(shù) f（ x） = ，數(shù)列 足 ， =f（ ）， n N*， （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）令 Tn= ，求 （ 3）令