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第 1 頁(共 19 頁) 2016 年天津市河?xùn)|區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科) 一、選擇題:本題共 8 個小題,每小題 5 分,共 40 分 1設(shè)集合 I=x|x| 3, x Z, A=1, 2, B= 2, 1, 2,則 A ( =( ) A 1 B 1, 2 C 2 D 0, 1, 2 2設(shè)變量 x, y 滿足約束條件 ,則目標(biāo)函數(shù) z=x+2y 的最小值為( ) A 2 B 3 C 4 D 5 3一個直棱柱被一個平面截去一部分后 所剩幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A 9 B 10 C 11 D 4在 , b=5, B= , ,則 a 的值是( ) A 10 B 2 C D 5已知 p:函數(shù) f( x) = m 有零點, q: |m| ,則 p 是 q 的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 6設(shè) 雙曲線 的兩個焦點, P 在雙曲線上,若, ( c 為半焦距),則雙曲線的離心率為( ) A B C 2 D 7已知 f( x) =2x 1, g( x) =1 定:當(dāng) |f( x) | g( x)時, h( x) =|f( x) |;當(dāng) |f( x) | g( x)時, h( x) = g( x),則 h( x)( ) A有最小值 1,最大值 1 B有最大值 1,無最小值 C有最小值 1,無最大值 D有最大值 1,無最小值 第 2 頁(共 19 頁) 8在平面四邊形 ,點 E、 F 分別是邊 中點,且 , , ,若 =15,則 的值為( ) A 13 B 14 C 15 D 16 二、填空題(本大題共 6 個小題,每小題 5 分,共 30 分 .) 9若( 1+2i=1 中 a、 b R, i 是虛數(shù)單位,則 |a+ 10 的展開式中 系數(shù)是 11如圖是一個程序框圖,則輸出的 S 的值是 12如圖, O 于點 A,割線 過圓心 O, B=1, 點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)60到 長為 13在極坐標(biāo)系中,直線 + ) =2 被圓 =4 截得的弦長為 14已知 x, y R,滿足 2 y 4 x, x 1,則 的最大值為 三、解答題:(本大題 6 個題,共 80 分) 15設(shè)函數(shù) f( x) =x ) ( 0, )已知當(dāng) x= 時 , f( x)取得最大值 ( 1)求 的值; ( 2)設(shè) g( x) =2f( x),求函數(shù) g( x)在 0, 上的最大值 16甲、乙兩個乒乓球選手進(jìn)行比賽,他們的水平相當(dāng),規(guī)定 “七局四勝 ”,即先贏四局者勝,若已知甲先贏了前兩局,求: ( 1)乙取勝的概率; ( 2)比賽打滿七局的概率; 第 3 頁(共 19 頁) ( 3)設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為 X,求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 17如圖所示,在四棱錐 P ,底面四邊形 菱形, D=O, 邊長為 2 的等邊三角形, , ( )求證: 底面 ( )求直線 平面 成角的大小; ( )在線段 是否存在一點 M,使得 平面 果存在,求 的值,如果不存在,請說明理由 18已知中心在原點,焦點在 x 軸上的橢圓 C 的離心率為 , 且經(jīng)過點 ,過點 P( 2, 1)的直線 l 與橢圓 C 相交于不同的兩點 A, B ( )求橢圓 C 的方程; ( )是否存直線 l,滿足 ?若存在,求出直線 l 的方程;若不存在,請說明理由 19已知函數(shù) f( x) = ,數(shù)列 足 , =f( ), n N*, ( 1)求數(shù)列 通項公式; ( 2)令 Tn= ,求 ( 3)令 ( n 2), , Sn=b1+ 對一切 n N*成立,求最小正整數(shù) m 20已知函數(shù) ( 1)求 f( x)的極值; ( 2)求證: 且 n N* 第 4 頁(共 19 頁) 2016 年天津市 河?xùn)|區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本題共 8 個小題,每小題 5 分,共 40 分 1設(shè)集合 I=x|x| 3, x Z, A=1, 2, B= 2, 1, 2,則 A ( =( ) A 1 B 1, 2 C 2 D 0, 1, 2 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 把集合 A 用列舉法表示,然后求出 后進(jìn)行并集運算 【解答】 解:因為 I=x|x| 3, x Z= 2, 1, 0, 1, 2, B= 2, 1, 2,所以, 0, 1, 又因為 A=1, 2,所以 A ( =1, 2 0, 1=0, 1, 2 故選 D 2設(shè)變量 x, y 滿足約束條件 ,則目標(biāo)函數(shù) z=x+2y 的最小值為( ) A 2 B 3 C 4 D 5 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,通過平移即可求 z 的最大值 【解答】 解:作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域, 由 z=x+2y,得 y= , 平移直線 y= ,由圖象可知當(dāng)直線 y= 經(jīng)過點 B( 1, 1)時,直線 y=的截距最小,此時 z 最小 此時 z 的最小值為 z=1+2 1=3, 故選: B 3一個直棱柱被一個平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) 第 5 頁(共 19 頁) A 9 B 10 C 11 D 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積 【分析】 根據(jù)得出該幾何體是在底面為邊長是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基礎(chǔ)上, 截去一個底面積為 2 1=1、高為 3 的三棱錐形成的,運用直棱柱減去三棱錐即可得出答案 【解答】 解:由三視圖可知該幾何體是在底面為邊長是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基礎(chǔ)上, 截去一個底面積為 2 1=1、高為 3 的三棱錐形成的, V 三棱錐 = =1, 所以 V=4 3 1=11 故選: C 4在 , b=5, B= , ,則 a 的值是( ) A 10 B 2 C D 【考點】 正弦定理 【分析】 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 ,再由正弦定理求得 a 的值 【解答】 解: 在 , b=5, B= , =2, , 再由余弦定理可得 = ,解得 a=2 , 故選 B 5已知 p:函數(shù) f( x) = m 有零點, q: |m| ,則 p 是 q 的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 第 6 頁(共 19 頁) 【分析】 令 x=2 0, , g( x) = 由于函數(shù) f( x)= m 有零點,可得 m 即可得出 【解答】 解:令 x=2 0, , 則 g( x) = = = 函數(shù) f( x) = m 有零點, m p 是 q 的充要條件 故選: A 6設(shè) 雙曲線 的兩個焦點, P 在雙曲線上,若, ( c 為半焦 距),則雙曲線的離心率為( ) A B C 2 D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由 ,可得 直角三角形,由勾股定理得( 2c)2=|+|=| 2|44可求出雙曲線的離心率 【解答】 解:由題意 得, 直角三角形, 由勾股定理得( 2c) 2=|+|=| 2|44 , e 1=0, e 1, e= 故選: D 7已知 f( x) =2x 1, g( x) =1 定:當(dāng) |f( x) | g( x)時, h( x) =|f( x) |;當(dāng) |f( x) | g( x)時, h( x) = g( x),則 h( x)( ) A有最小值 1,最大值 1 B有最大值 1,無 最小值 C有最小值 1,無最大值 D有最大值 1,無最小值 【考點】 分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法 【分析】 可以畫出 f( x) =2x 1, g( x) =1 圖象,根據(jù)規(guī)定分兩種情況:在 A、 |f( x) | g( x);在 A、 B 之間,從圖象上可以看出最值; 【解答】 解:畫出 y=|f( x) |=|2x 1|與 y=g( x) =1 圖象, 它們交于 A、 B 兩點 第 7 頁(共 19 頁) 由 “規(guī)定 ”,在 A、 B 兩側(cè), |f( x) | g( x)故 h( x) =|f( x) |; 在 A、 B 之間, |f( x) | g( x),故 h( x) = g( x) 綜上可知, y=h( x)的圖象是圖中的實線部分, 因此 h( x)有最小值 1,無最大值 故選 C 8在平面四邊形 ,點 E、 F 分別是邊 中點,且 , , ,若 =15,則 的值為( ) A 13 B 14 C 15 D 16 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 可作出圖形,設(shè) C=O,根據(jù)向量加法及數(shù)乘的幾何意義便可得到, ,從而得出 ,根據(jù)條件,兩邊平方即可求出 而 ,從而根據(jù) 便可以得到,從而便可以求得= =14 【解答】 解:如圖所示, 設(shè) C=O, = , ; ; ,平方得, ; ; 又 ; 第 8 頁(共 19 頁) 即 = ; = ; = = = = = = =15 1 =14 故選 B 二、填空題(本大題共 6 個小題,每小題 5 分,共 30 分 ) 9若( 1+2i=1 中 a、 b R, i 是虛數(shù)單位,則 |a+ 【考點】 復(fù)數(shù)求模 【分析】 由( 1+2i=1 簡求出 a、 b 的值,然后由復(fù)數(shù)模的公式即可求出 |a+值 【解答】 解:由( 1+2i=1 1 2a+( 1+b) i=0 解得: 設(shè) z=a+a、 b R), 則 z= i, |a+ 故答案為: 10 的展開式中 系數(shù)是 24 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì) 第 9 頁(共 19 頁) 【分析】 求出 的通項公式為 = ,令 ,求出 可求得 系數(shù) 【解答】 解:由于 的展開式的通項公式為 = , 令 ,解得 r=2,故 4 展開式中 系數(shù)是 24, 故答案為: 24 11如圖是一個程序框圖,則輸出的 S 的值是 63 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的 n, S 的值,當(dāng) S=63 時滿足條件 S 33,退出循環(huán),輸出 S 的值為 63 【解 答】 解:模擬執(zhí)行程序框圖,可得 S=1, n=1 S=3,不滿足條件 S 33, n=2, S=7 不滿足條件 S 33, n=3, S=15 不滿足條件 S 33, n=4, S=31 不滿足條件 S 33, n=5, S=63 滿足條件 S 33,退出循環(huán),輸出 S 的值為 63 故答案為: 63 12如圖, O 于點 A,割線 過圓心 O, B=1, 點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)60到 長為 第 10 頁(共 19 頁) 【考點】 與圓有關(guān)的比例線段 【分析】 解法一:如圖根據(jù)題設(shè)條件可求得角 大小,由于 , ,由余弦定理求長度即可 解法二:由圖形知,若能求得點 D 到線段 距離 線段 長度,在直角三角形用勾股定理求 可 【解答】 解:法一: O 于點 A, B 為 點, B= 0, 20, 在 由余弦定理, 得: 2 法二:過點 D 作 足為 E, 20, 0, 可得 , , 在 ,有 13在極坐標(biāo)系中,直線 + ) =2 被圓 =4 截得的弦長為 4 【考點】 簡單曲線的極坐標(biāo)方程 【分析】 先利用三角函數(shù)的和角公式展開直線的極坐標(biāo)方程的左式,再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系,即利用 x, y, 2=x2+行代換即得直角坐標(biāo)方程,最后利用直角坐標(biāo)中直線與圓的關(guān)系求出截得的弦長即可 【解答】 解: + ) =2, ,化成直角坐標(biāo)方程為: x+y 2 =0, 圓 =4 化成直角坐標(biāo)方程為 x2+6, 圓心到直線的距離為: 第 11 頁(共 19 頁) 截得的弦長為: 2 = 故答案為: 14已知 x, y R,滿足 2 y 4 x, x 1,則 的最大值為 【考點】 基本不等式 【分析】 把原式化簡可得 ,利用可行域和斜率計算公式可得 的取值范圍,再利用導(dǎo)數(shù)即可得出最大值 【解答】 解:由 x, y 滿足 2 y 4 x, x 1, 畫出可行域如圖所示 則 A( 2, 2), B( 1, 3) = = , 令 k= , 則 k 表示可行域內(nèi)的任意點 Q( x, y)與點 P( 1, 1)的斜率 而 , , , 令 f( k) =k+ , 則 0 函數(shù) f( k)單調(diào)遞減,因此當(dāng) k= 時, f( k)取得最大值, 故答案為: 第 12 頁(共 19 頁) 三、解答題:(本大題 6 個題,共 80 分) 15設(shè)函數(shù) f( x) =x ) ( 0, )已知當(dāng) x= 時, f( x)取得最大值 ( 1)求 的值; ( 2)設(shè) g( x) =2f( x),求函數(shù) g( x)在 0, 上的最大值 【考點】 三角函數(shù)的最值;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【分析】 ( 1)由三角函數(shù)公式化簡可得 f( x) = 2x ),由三角函數(shù)的最值可得; ( 2)由( 1)知 f( x) = 2x ),可得 g( x) =2f( x) =3x ),由 0 x 和三角函數(shù)的最值可得 【解答】 解:( 1)由三角函數(shù)公式化簡可得: f( x) = 2x ) 由 f( x) f( ) = 可得 ) =1 又 ( 0, ), = ; ( 2)由( 1)知 f( x) = 2x ), g( x) =2f( x) =3x ) 0 x ,所以 3x , 當(dāng) 3x =0,即 x= 時, g( x) 16甲、乙兩個乒乓球選手進(jìn)行比賽,他們的水平相當(dāng),規(guī)定 “七局四勝 ”,即先贏四局者勝,若已知甲先贏了前兩局,求: ( 1)乙取勝的概率; ( 2)比賽打滿七局的概率; ( 3)設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為 X,求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列 第 13 頁(共 19 頁) 【分析】 ( 1)當(dāng)甲先贏了前兩局時,乙取勝的情況有兩種:第一種是乙連勝四局;第二種是在第三局到第六局,乙贏了三局,第七局乙 贏由此能求出當(dāng)甲先贏了前兩局時,乙取勝的概率 ( 2)比賽打滿七局有兩種結(jié)果:甲勝或乙勝,記 “比賽打滿七局甲勝 ”為事件 A,記 “比賽打滿七局乙勝 ”為事件 B, A, B 互斥,由此能求出比賽打滿七局的概率 ( 3)隨機變量 X 的所有可能取值為 4, 5, 6, 7,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解答】 解:( 1)當(dāng)甲先贏了前兩局時,乙取勝的情況有兩種:第一種是乙連勝四局;第二種是在第三局到第六局,乙贏了三局,第七局乙贏 在第一種情況下,乙取勝的概率為( ) 4= , 在第二種情況下,乙取勝的概率為 = , 所以當(dāng)甲先贏了前兩局時,乙取勝的概率為 + = ( 2)比賽打滿七局 有兩種結(jié)果:甲勝或乙勝,記 “比賽打滿七局甲勝 ”為事件 A,記 “比賽打滿七局乙勝 ”為事件 B 則 P( A) = = , P( B) = = , 又 A, B 互斥,所以比賽打滿七局的概率為 P( A) +P( B) = ( 3)隨機變量 X 的所有可能取值為 4, 5, 6, 7 P( X=4) =( ) 2= , P( X=5) =C ( ) 2( ) = , P( X=6) =C ( ) 3( ) +( ) 4= , P( X=7) =C ( ) 4( ) +C ( ) 4( ) = , 所以 X 的分布列為 X 4 5 6 7 P 故隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望 +5 +6 +7 = 17如圖所示,在四棱錐 P ,底面四邊形 菱形, D=O, 邊長為 2 的等邊三角形, , ( )求證: 底面 ( )求直線 平面 成角的大??; ( )在線 段 是否存在一點 M,使得 平面 果存在,求 的值,如果不存在,請說明理由 第 14 頁(共 19 頁) 【考點】 用空間向量求直線與平面的夾角;直線與平面平行的判定;直線與平面垂直的判定;直線與平面所成的角 【分析】 ( )證明 底面 需證明 ( )建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線 方向向量,平面 法向量,利用向量的夾角公式可求直線 平面 成角的大?。?( )設(shè) =( 0 1),若使 平面 且僅需 =0 且 面 可得出結(jié)論 【解答】 ( )證明:因為底面 菱形, D=O, 所以 O 為 點 又因為 C, D, 所以 所以 底面 ( )解:由底面 菱形可得 又由( )可知 如圖,以 O 為原點建立空間直角坐標(biāo)系 O 由 邊長為 2 的等邊三角形, , 可得 所以 所以 , 由已知可得 設(shè)平面 法向量為 =( x, y, z),則 令 x=1,則 ,所以 =( 1, 0, ) 第 15 頁(共 19 頁) 因為 , 所以直線 平面 成角的正弦值為 , 所以直線 平面 成角的大小為 30 ( )解:設(shè) =( 0 1),則 若使 平面 且僅需 =0 且 面 解得 , 所以在線段 存在一點 M,使得 平面 此時 = 18已知中心在原點,焦點在 x 軸上的橢圓 C 的離心 率為 ,且經(jīng)過點 ,過點 P( 2, 1)的直線 l 與橢圓 C 相交于不同的兩點 A, B ( )求橢圓 C 的方程; ( )是否存直線 l,滿足 ?若存在,求出直線 l 的方程;若不存在,請說明理由 【考點】 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 ( 1)先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,將點 M 代入得到一個方程,根據(jù)離心率得到一個關(guān)系式,再由 a2=b2+得到 a, b, c 的值,進(jìn)而得到橢圓的方程 ( 2)假設(shè)存在直線滿足條件,設(shè)直線方程為 y=k( x 2) +1,然后與橢圓方程聯(lián)立消去 方程一定有兩根,故應(yīng) 大于 0 得到 k 的范圍,進(jìn)而可得到兩根之和、第 16 頁(共 19 頁) 兩根之積的表達(dá)式,再表示出 、 、 ,再代入關(guān)系式 可確定 k 的值,從而得解 【解答】 解:( )設(shè) 橢圓 C 的方程為 ,由題意得 解得 , ,故橢圓 C 的方程為 ( )若存在直線 l 滿足條件,由題意可設(shè)直線 l 的方程為 y=k( x 2) +1, 由 得( 3+48k( 2k 1) x+1616k 8=0 因為直線 l 與橢圓 C 相交于不同的兩點 A, B,設(shè) A, B 兩點的坐標(biāo)分別為( ( x2, 所以 = 8k( 2k 1) 2 4( 3+4( 1616k 8) 0 整理得 32( 6k+3) 0 解得 又 , , 且 ,即 , 所以 即 所以 ,解得 所以 于是存在直線 l 滿足條件,其的方程為 19已知函數(shù) f( x) = ,數(shù)列 足 , =f( ), n N*, ( 1)求數(shù)列 通項公式; ( 2)令 Tn= ,求 ( 3)令

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