寧波市九校聯(lián)考2015-2016年高二下期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 2015年浙江省寧波市九校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分） 1已知 U=R，集合 A=x|x 0， B=x|2 x 4，則 A（ =（ ） A x|x 0 B x|2 x 4 C x|0 x 2 或 x 4 D x|0 x 2 或 x 4 2已知 a=（ ） ， b=（ ） ， c=（ ） ，則下列關(guān)系中正確的是（ ） A a b c B b a c C a c b D c a b 3函數(shù) y= y=同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（ ） A BC D 4若（ 1 2x） 5=a0+x R），則（ a0+a2+2（ a1+a3+2=（ ） A 243 B 243 C 81 D 81 5已知離散型隨機(jī)變量 B（ n， p），且 E（ 2+1） =D（ ） =么 n， p 的值分別為（ ） A n=4， p= n=6， p= n=8， p= n=24， p=設(shè)函數(shù) f（ x） = ，記 x） =f（ f（ x）， x） =f（ x）， ， （ x） =f（ x）， n N*，那么下列說法正確的是（ ） A f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 1）對(duì)稱， 0） =0 B f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 1）對(duì)稱， 0） =0 C f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 1）對(duì)稱， 0） =1 D f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 1）對(duì)稱， 0） =1 7把 7 個(gè)字符 1， 1， 1， A， A， ， 排成一排，要求三個(gè) “1”兩兩不相鄰，且兩個(gè) “A“也不相鄰，則這樣的排法共有（ ） A 12 種 B 30 種 C 96 種 D 144 種 第 2 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 8已知定義在 1， +）上的函數(shù) f（ x） = 給出下列結(jié)論： 函數(shù) f（ x）的值域?yàn)椋?0， 8； 對(duì)任意的 n N，都有 f（ 2n） =23 n； 存在 k （ ， ），使得直線 y=函數(shù) y=f（ x）的圖象有 5 個(gè)公共點(diǎn)； “函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ a， b）上單調(diào) 遞減 ”的充要條件是 “存在 n N，使得（ a， b） （ 2n，2n+1） ” 其中正確命題的序號(hào)是（ ） A B C D 二、填空題 :本大題共 7 小題，多空題每題 6 分，單空題每題 4 分，共 36 分 9計(jì)算： （ 1）（ ） ； （ 2） 10若二項(xiàng)式（ ） n 的展開式共有 7 項(xiàng)，則 n= ；展開式中的第三項(xiàng)的系數(shù)為 （用數(shù)字作答） 11已知定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x） = ，則 f（ 1） = ；不等式 f（ f（ x） 7 的解集為 12我省新高考采用 “7 選 3”的選考模式，即從政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)這 7 門科目中選 3 門作為選考科目，那么所有可能的選考類型共有 種；甲、乙兩人根據(jù)自己的興趣 特長(zhǎng)以及職業(yè)生涯規(guī)劃愿景進(jìn)行選課，甲必選物理和政治，乙不選技術(shù)，則兩人至少有一門科目相同的選法共有 種（用數(shù)學(xué)作答） 13擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，在已知它們的點(diǎn)數(shù)不同的條件下，有一顆是 6 點(diǎn)的概率是 14已知 a 為實(shí)數(shù)，若函數(shù) f（ x） =|x2+| 區(qū)間（ ， 1）和（ 2， +）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 15設(shè)函數(shù) f（ x） =3x+2 c） +x（ x 2），若不等式 f（ x） 0 恒成立，則實(shí)數(shù) 三、解答題（本大 題共 5 小題，共 74 分） 16已知對(duì)任意的 n N*，存在 a， b R，使得 1 （ 12） +2 （ 22） +3 （ 32）+n（ = （ b） （ ）求 a， b 的值； （ ）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述恒等式 17一個(gè)口袋裝有大小相同的小球 9 個(gè)，其中紅球 2 個(gè)、黑球 3 個(gè)、白球 4 個(gè)，現(xiàn)從中抽取2 次，每次抽取一個(gè)球 （ ）若有放回地抽取 2 次，求兩次所取的球的顏色不同的概率； 第 3 頁(yè)（共 19 頁(yè)） （ ）若不放回地抽取 2 次，取得紅球記 2 分，取得黑球記 1 分，取得 白球記 0 分，記兩次取球的得分之和為隨機(jī)變量 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 18已知函數(shù) f（ x） =2x t（ t 為常數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)， g（ x） = （ ）求 g（ x）的值域（用 t 表示）； （ ）當(dāng) t 變化時(shí)，平行于 x 軸的一條直線與 y=|f（ x） |的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，該直線與y=g（ x）的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值集合為 M，求 M 19定義：若兩個(gè)二次曲線的離心率相等，則稱這兩個(gè)二次曲線相似如圖，橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，右頂點(diǎn)為 A，以其短軸的兩個(gè)端 點(diǎn) 其一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為 6 的正三角形， M 是 C 上異于 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 重心為 G，G 點(diǎn)的軌跡記為 （ ）（ i）求 C 的方程； （ 證： C 相似； （ ）過 任作一直線，自下至上依次與 x 軸的正半軸、 C 交于不同的四個(gè)點(diǎn) P， Q，R， S，求 的取值范圍 20已知函數(shù) f（ x） = 1 a） x，其中 a R， f（ x）的導(dǎo)函數(shù)是 f（ x） （ ）求函數(shù) f（ x）的極值； （ ）在曲線 y=f（ x）的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn) A（ B（ 使得直線 斜率 k=f（ ）？若存在，求出 關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由 第 4 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 2015年浙江省寧波市九校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分） 1已知 U=R，集合 A=x|x 0， B=x|2 x 4，則 A（ =（ ） A x|x 0 B x|2 x 4 C x|0 x 2 或 x 4 D x|0 x 2 或 x 4 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 先求出補(bǔ)集 根據(jù)并集的定義求出 A （ 【解答】 解： B=x|2 x 4， x|x 1 或 x 4， A=x|x 0， A （ =x|0 x 1 或 x 4， 故選： D 2已知 a=（ ） ， b=（ ） ， c=（ ） ，則下列關(guān)系中正確的是（ ） A a b c B b a c C a c b D c a b 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)值大小的比較 【分析】 利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性即可得出 【解答】 解： ， b=（ ） c=（ ） ， ， a=（ ） b=（ ） ， a b c 故選： A 3函數(shù) y= y=同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（ ） 第 5 頁(yè)（共 19 頁(yè)） A BC D 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象 【分析】 直接根據(jù)冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷 【解答】 解：函數(shù) y=單調(diào)遞增函數(shù)，且過定點(diǎn)（ 1， 1）， y=單調(diào)遞增函數(shù)，且過定點(diǎn)（ 1， 0）， 故選： A 4若（ 1 2x） 5=a0+x R），則（ a0+a2+2（ a1+a3+2=（ ） A 243 B 243 C 81 D 81 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 可令 x=1，求得 a0+ 1，再令 x= 1 求得 43，而（ a0+a2+（ a1+a3+2=（ a0+a2+a4+a1+a3+ a0+a2+問題得以解決 【解答】 解： （ 1 2x） 5=a0+ 令 x=1，有 a0+ 1 再令 x= 1，有 5=243， （ a0+a2+2（ a1+a3+2=（ a0+a2+a4+a1+a3+ a0+a2+= 243 故選： B 5已知離散型隨機(jī)變量 B（ n， p），且 E（ 2+1） =D（ ） =么 n， p 的值分別為（ ） A n=4， p= n=6， p= n=8， p= n=24， p=考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 【分析】 由已知求出 E（ ） =D（ ） =用二項(xiàng)分布的性質(zhì)列出方程組，能求出n， p 的值 【解答】 解： 離散型隨機(jī)變量 B（ n， p），且 E（ 2+1） =D（ ） = 2E（ ） +1= E（ ） = 第 6 頁(yè)（共 19 頁(yè)） ， 解得 n=6， p= 故選： B 6設(shè)函數(shù) f（ x） = ，記 x） =f（ f（ x）， x） =f（ x）， ， （ x） =f（ x）， n N*，那么下列說法正確的是（ ） A f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 1）對(duì)稱， 0） =0 B f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 1）對(duì)稱， 0） =0 C f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 1）對(duì)稱， 0） =1 D f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 1）對(duì)稱， 0） =1 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值 【分析】 根據(jù)函數(shù) f（ x），求出 x）、 x）， ， （ x）的解析式，即可得出結(jié)論 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） = ， x） =f（ f（ x） =x， x） =f（ x） = ， ， （ x） =f（ x）， n N*； 又 f（ x） = = 1+ ， 所以 f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 1）對(duì)稱，且 0） = =1 故選： D 7把 7 個(gè)字符 1， 1， 1， A， A， ， 排成一排，要求三個(gè) “1”兩兩不相鄰，且兩個(gè) “A“也不相鄰，則這樣的排法共有（ ） A 12 種 B 30 種 C 96 種 D 144 種 【考點(diǎn)】 排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題 【分析】 先求出兩個(gè) “A“沒有限制的排列，再排除若 A， A 相鄰時(shí)的排列，問題得以解決 【解答】 解：先排列 A， A， ， ，若 A， B 不相鄰，有 種，若 A， B 相鄰，有 種，共有 6+6=12 種， 從所形成了 5 個(gè)空中選 3 個(gè)插入 1， 1， 1，共有 1220， 若 A， A 相鄰時(shí)，從所形成了 4 個(gè)空中選 3 個(gè)插入 1， 1， 1，共有 64， 故三個(gè) “1”兩兩不相鄰，且兩個(gè) “A“也不相鄰，則這樣的排法共有 120 24=96 種， 故選： C 8已知定義在 1， +）上的函數(shù) f（ x） = 給出下列結(jié)論： 函數(shù) f（ x）的值域?yàn)椋?0， 8； 對(duì)任意的 n N，都有 f（ 2n） =23 n； 第 7 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 存在 k （ ， ），使得直線 y=函數(shù) y=f（ x）的圖象有 5 個(gè)公共點(diǎn)； “函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ a， b）上單調(diào)遞減 ”的充要條件是 “存在 n N，使得（ a， b） （ 2n，2n+1） ” 其中正確命題的序號(hào)是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式結(jié)合函數(shù)的最值進(jìn)行求解判斷， 利用 f（ 2n） = f（ 1）進(jìn)行求解判斷， 作出函數(shù) f（ x）和 y=圖象，利 用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷， 根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷 【解答】 解： 當(dāng) 1 x 2 時(shí)， f（ x） = 8x（ x 2） = 8（ x 1） 2+8 （ 0， 8， f（ 1） =8， f（ 2n） = f（ 2n 1） = f（ 2n 2） = f（ 2n 3） = f（ 20） = f（ 1） = 8=23n，故 正確， 當(dāng) x 2 時(shí)， f（ x） = f（ ） 0， 4，故函數(shù) f（ x）的值域?yàn)椋?0， 8；故 正確， 當(dāng) 2 x 4 時(shí)， 1 2，則 f（ x） = f（ ） = 8（ 1） 2+8= 4（ 1） 2+4， 當(dāng) 4 x 8 時(shí)， 2 4，則 f（ x） = f（ ） = 4（ 1） 2+4= 2（ 1） 2+2， 作出函數(shù) f（ x）的圖象如圖： 作出 y= x 和 y= x 的圖象如圖， 當(dāng) k （ ， ），使得直線 y=函數(shù) y=f（ x）的圖象有 3 個(gè)公共點(diǎn)；故 錯(cuò)誤， 由分段函數(shù)的表達(dá)式得當(dāng) x （ 2n， 2n+1）時(shí)，函數(shù) f（ x）在（ 2n， 2n+1）上為單調(diào)遞減函數(shù)， 則函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ a， b）上單調(diào)遞減 ”的充要條件是 “存在 n N，使得（ a， b） （ 2n，2n+1） ”為真命題，故 正確， 故選： C 第 8 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 二、填空題 :本大題共 7 小題，多空題每題 6 分，單空題每題 4 分，共 36 分 9計(jì)算： （ 1）（ ） ； （ 2） 3 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值 【分析】 根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可 【解答】 解：（ 1）（ ） 24 1= ； （ 2） +2+1=3 10若二項(xiàng)式（ ） n 的展開式共有 7 項(xiàng)，則 n= 6 ；展開式中的第三項(xiàng)的系數(shù)為 60 （用數(shù)字作答） 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)展開式中的項(xiàng)數(shù)共有 7 項(xiàng)可 求出 n 的值是 6，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令 r 的指數(shù)為 2，將 r 的值代入通項(xiàng)求出展開式中的第三項(xiàng)的系數(shù) 【解答】 解： 二項(xiàng)式（ ） n 的展開式共有 7 項(xiàng)， n=6 展開式的通項(xiàng)為 =（ 2） 第 9 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 展開式中的第三項(xiàng)即 r=2 時(shí)， 所以展開式中的第三項(xiàng)的系數(shù)為 40 故答案為： 6， 60 11已知定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x） = ，則 f（ 1） = 1 ；不等式 f（ f（ x） 7 的解集為 （ ， 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【分析】 由奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即可求得 f（ 1）；不等式 f（ f（ x） 7 的解集等價(jià)于 f（ x） 3 的解集，即可求得答案 【解答】 解： R 上的奇函數(shù) f（ x） = ， f（ 1） = f（ 1） = （ ） 1 1= 1， 不等式 f（ f（ x） 7， f（ 3） =7， f（ x） 3， R 上的奇函數(shù) f（ x） = ， g（ x） =1 2x， f（ x） 3 等價(jià)于 或 ， 可以解得 x 2， 即不等式 f（ f（ x） 7 的解集為（ ， 2 故答案為： 1；（ ， 2 12我省新高考采用 “7 選 3”的選考模式，即從政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)這 7 門科目中選 3 門作 為選考科目，那么所有可能的選考類型共有 35 種；甲、乙兩人根據(jù)自己的興趣特長(zhǎng)以及職業(yè)生涯規(guī)劃愿景進(jìn)行選課，甲必選物理和政治，乙不選技術(shù)，則兩人至少有一門科目相同的選法共有 92 種（用數(shù)學(xué)作答） 【考點(diǎn)】 排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題 【分析】 直接根據(jù)組合定義即可求出， 利用間接法，先求出甲必選物理和政治，乙不選技術(shù)的種數(shù)，再排除兩人沒有科目相同的選法，問題得以解決 【解答】 解： 從政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)這 7 門科目中選 3 門作為選考科目，那么所有可能的選考類型共有 5 種， 甲必選物理和政治，乙不選技術(shù)，則甲乙的選法為 00 種， 其中沒有相同的科目，若甲選技術(shù)，則乙有 種，若甲不選技術(shù)，甲有 4 種，乙只有 1種，故有 4 1=4 種， 則其中沒有相同的科目的為 4+4=8 種， 故兩人至少有一門科目相同的選法共有 100 8=92， 第 10 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 故答案為： 35， 92 13擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，在已知它們的點(diǎn)數(shù)不同的條件下，有一顆是 6 點(diǎn)的概率是 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 擲兩顆質(zhì)地均勻 的骰子，它們的點(diǎn)數(shù)不同，列舉出所有的基本事件和其中有一顆是6 點(diǎn)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出它們的點(diǎn)數(shù)不同的條件下，有一顆是 6 點(diǎn)的概率 【解答】 解：擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，它們的點(diǎn)數(shù)不同， 所有的基本事件為： （ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 1， 5），（ 1， 6），（ 2， 1）， （ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5），（ 2， 6），（ 3， 1），（ 3， 2）， （ 3， 4），（ 3， 5），（ 3， 6），（ 4， 1），（ 4， 2），（ 4， 3）， （ 4， 5），（ 4， 6），（ 5， 1），（ 5， 2），（ 5， 3），（ 5， 4）， （ 5， 6），（ 6， 1），（ 6， 2），（ 6， 3），（ 6， 4），（ 6， 5）， 共有 30 個(gè)， 其中有一顆是 6 點(diǎn)包含的基本事件個(gè)數(shù)有 10 個(gè)， 它們的點(diǎn)數(shù)不同的條件下，有一顆是 6 點(diǎn)的概率 p= = 故答案為： 14已知 a 為實(shí)數(shù)，若函數(shù) f（ x） =|x2+| 區(qū)間（ ， 1）和（ 2， +）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 8， 0） 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間 【分析】 將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可 【解答】 解： f（ x） =|x2+| ， 設(shè) x2+=0 的兩個(gè)根分別為 則 f（ x） = ， 當(dāng) x ，函數(shù) f（ x） =，函數(shù) f（ x）在（ 2， +）上單調(diào)遞減， a 0， 當(dāng) x ，拋物線的對(duì)稱軸為 x= = 若函數(shù) f（ x）在（ 2， +）上單調(diào)遞減，則 2，得 8 a 0 若 f（ x）在區(qū)間（ ， 1）遞減， 則 1， 即 a 2， 第 11 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 則 a 2， 8 a 0， a 2 恒成立， 綜上 8 a 0， 故答案為： 8， 0） 15設(shè)函數(shù) f（ x） =3x+2 c） +x（ x 2），若不等式 f（ x） 0 恒成立，則實(shí)數(shù) 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問題 【分析】 問題轉(zhuǎn)化為 c 3x+2+ ，（ x 2），令 h（ x） =3x+2+ ，（ x 2），求出 h（ x）的最小值，從而求出 c 的最大值即可 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =3x+2 c） +x（ x 2），若不等式 f（ x） 0 恒成立， 則 c 3x+2+ ，（ x 2）， 令 h（ x） =3x+2+ ，（ x 2）， h（ x） =（ x 1） 3（ x+1） e x， 令 h（ x） 0，解得： x 1 或 x 1 0）， 令 h（ x） 0，解得： x 1， h（ x）在 2， 增，在（ 1）遞減，在（ 1， +）遞增， h（ x）的最小值是 h（ 2）或 h（ 1）， 而 h（ 2） = 2h（ 1） = ， c 2c 的最大值是 2 故答案為： 2 三、解答題（本大題共 5 小題，共 74 分） 16已知對(duì)任意的 n N*，存在 a， b R，使得 1 （ 12） +2 （ 22） +3 （ 32）+n（ = （ b） （ ）求 a， b 的值； 第 12 頁(yè)（共 19 頁(yè)） （ ）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述恒等式 【考點(diǎn)】 數(shù)學(xué)歸納法 【分析】 （ ）分別取 n=1， 2，得到關(guān)于 a， b 的方程組解得即可， （ ）先根據(jù)當(dāng) n=1 時(shí)，把 n=1 代入求值等式成立；再假設(shè) n=k 時(shí)關(guān)系成立，利用變形可得 n=k+1 時(shí)關(guān)系也成立，綜合得到對(duì)于任意 n N*時(shí)都成立 【解答】 解：（ ）由題意 1 （ 12） +2 （ 22） +3 （ 32） +n（ =（ b）， 上述等 式分別取 n=1， 2 得 ，解得 ， （ ）由（ ）得 1 （ 12） +2 （ 22） +3 （ 32） +n（ = （ 1）， 證明： 當(dāng) n=1 時(shí)，左邊 =1 （ 12 12） =0，右邊 = 12（ 12 1） =0，等式成立， 假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)，等式成立，即 1 （ 12） +2 （ 22） +3 （ 32） +k（ k2= 1）， 則當(dāng) n=k+1 時(shí)，左邊 =1 （ 12） +（ 2k+1） +2 （ 22） +（ 2k+1） +k（ k2+（ 2k+1） ， =1 （ 12） +2 （ 22） +3 （ 32） +k（ +（ 2k+1）（ 1+2+3+k）， = 1） +（ 2k+1） k（ k+1）， = k（ k+1）（ k+2）， = （ k+1） 2k（ k+2）， = （ k+1） 2（ k+1） 2 1， 所以當(dāng) n=k+1 時(shí)等式成立， 綜上所述，對(duì)任意 n N*，原等式成立 17一個(gè)口袋裝有大小相同的小球 9 個(gè)，其中紅球 2 個(gè)、黑球 3 個(gè)、白球 4 個(gè)，現(xiàn)從中抽取2 次，每次抽取一個(gè)球 （ ）若有放 回地抽取 2 次，求兩次所取的球的顏色不同的概率； （ ）若不放回地抽取 2 次，取得紅球記 2 分，取得黑球記 1 分，取得白球記 0 分，記兩次取球的得分之和為隨機(jī)變量 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ ）設(shè)事件 A 為 “兩次所取的球顏色不同 ”，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出兩次所取的球的顏色不同的概率 （ ）由題意得 X 的可能取值為 0， 1， 2， 3， 4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解答】 解：（ ）設(shè)事件 A 為 “兩次所取的球顏色不同 ”， 第 13 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 則 P（ A） =1 （ ） 2+（ ） 2+（ ） 2= （ ）由題意得 X 的可能取值為 0， 1， 2， 3， 4， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， P（ X=4） = = ， X 的分布列為： X 0 1 2 3 4 P = 18已知函數(shù) f（ x） =2x t（ t 為常數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)， g（ x） = （ ）求 g（ x）的值域（用 t 表示）； （ ）當(dāng) t 變化時(shí)，平行于 x 軸的一條直線與 y=|f（ x） |的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，該直線與y=g（ x）的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值集合為 M，求 M 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)的值域 【分析】 （ ）求出 t 的范圍，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出 g（ x）的值域即可； （ ）求出 t= ，得到 1，解不等式即可 【解 答】 解：（ ） 函數(shù) f（ x） =2x t（ t 為常數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)， =4（ 1+t） 0，解得： t 1， g（ x） = =（ x 1） + +2， |（ x 1） + |=|x 1|+ 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)取 “=”， 第 14 頁(yè)（共 19 頁(yè)） （ x 1） + 2 或（ x 1） + 2 ， g（ x） 2 2 或 g（ x） 2+2 ， 即 g（ x）的值域是（ ， 2 2 2 2 ， +）； （ ）當(dāng) x=1 時(shí)， f（ x）取最小值 t 1， 由 |f（ x） |的圖象得，平行 x 軸的直線 y=x+1 與函數(shù) y=|f（ x） |的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)， 由 =t+1 得，（ x 2） t=x+1，顯然 x 2， t= ， 由于 t 1， 1，即 0， 解得： 1 x 1 或 x 2， M=（ 1， 1） （ 2， +） 19定義：若兩個(gè)二次曲線的離心率相等，則稱這兩個(gè)二次曲線相似如圖，橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，右頂點(diǎn)為 A，以其短軸的兩個(gè)端點(diǎn) 其一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為 6 的正三角形， M 是 C 上異于 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 重心為 G，G 點(diǎn)的軌跡記為 （ ）（ i）求 C 的方程； （ 證： C 相似； （ ）過 任作一直線，自下至上依次與 x 軸的 正半軸、 C 交于不同的四個(gè)點(diǎn) P， Q，R， S，求 的取值范圍 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 第 15 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 【分析】 （ ）（ i）設(shè) C 的方程： + =1（ a b 0），則 ，求出 a， b，即可求 C 的方程； （ 出軌跡 得離心率相等，即可證明 C 相 似； （ ）設(shè)直線方程為 y=3（ k 0），代入橢圓方程，求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，可得= 構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可確定 的取值范圍 【解答】 （ ）（ i）解：設(shè) C 的方程： + =1（ a b 0），則 ， a=6， b=3， C 的方程