2016年廣東省數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題(八)三角形

一 . 教學(xué)目標(biāo)： （ 1）掌握 三角形 、 三角形 的全等、相似及解直角三角形的 有關(guān)概念 。 （ 2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進(jìn)行計(jì)算、解答有關(guān)綜合題。 （ 3）培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力 二 . 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識、基本技能是本節(jié)的重點(diǎn)。難點(diǎn)是綜合應(yīng)用這些知識解決問題的能力。 三 . 知識要點(diǎn)： 知識點(diǎn) 1 三角形的邊、角關(guān)系 三角形任何兩邊之和大于第三 邊； 三角形任何兩邊之差小于第三邊； 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180； 三角形三個(gè)外角的和等于 360； 三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； 三角形一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 知識點(diǎn) 2 三角形的主要線段和外心、內(nèi)心 三角形的角平分線、中線、高； 三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等； 三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等； 連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角 形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。 知識點(diǎn) 3 等腰三角形 等腰三角形的識別： 有兩邊相等的三角形是等腰三角形； 有兩角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）； 三邊相等的三角形是等邊三角形； 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形； 有一個(gè)角是 60的等腰三角形是等邊三角形。 等腰三角形的性質(zhì)： 等邊對等角； 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合； 等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸； 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于 60。 知識點(diǎn) 4 直角三角形 直角三 角形的識別： 有一個(gè)角等于 90的三角形是直角三角形； 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 直角三角形的性質(zhì)： 直角三角形的兩個(gè)銳角互余； 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 教學(xué)準(zhǔn)備 中考復(fù)習(xí)之專題八 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形 知識點(diǎn) 5 全等三角形 定義、判定、性質(zhì) 知識點(diǎn) 6 相似三角形 三條對應(yīng)邊的比相等兩個(gè)對應(yīng)角相等夾角相等兩對應(yīng)邊的比相等判定方法定義相似三角形,相似比平方面積比等于相似比周長比對應(yīng)高的比對應(yīng)邊的比相似三角形的性質(zhì) 知識點(diǎn) 7 銳角三角函數(shù)與解直角三角形 方位角坡度視角常用術(shù)語直角三角形轉(zhuǎn)化問題例 1. （ 1）已知：等腰三角形的一邊長為 12，另一邊長為 5，求第三邊長。 （ 2）已知：等腰三角形中一內(nèi)角為 80，求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。 分析： 利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。 解： （ 1）分兩種情況： 若腰長為 12，底邊長為 5，則第三邊長為 12。 若腰長為 5，底邊長為 12，則第三邊長為 5。但此時(shí)兩邊之和小于第三邊，故不合題意。 因此第三邊長為 12。 （ 2）分兩種情況： 若頂角為 80，則另兩個(gè)內(nèi)角均為底角分別是 50、 50。 若底角為 80，則另兩個(gè)內(nèi)角分別是 80、 20。 因此這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角分別是 50、 50或 80、 20。 說明： 此題運(yùn)用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。 例 2. 已知：如圖， 是等腰三角形， 90，例題精講 _ E D C B A D 為 上的一點(diǎn)，求證 ：（ 1） （ 2） 分析： 要證 具備 個(gè)條件，還需 然能證 ;要證 需條件 90，因?yàn)?45，所以只需證 B 45，由 得證。 證明： （ 1） 90， 即 （ 2） B 45， B 45， 90， 例 3. 已知：點(diǎn) P 是等邊 內(nèi)的一點(diǎn)， 150， 2， 3，求 長。 分析： 將 點(diǎn) B 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60至 可證得 直角三角形。 解： 將 點(diǎn) B 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60，使 合，得 結(jié) 2， 等邊三角形。 60。 150 60 90。 2 2 2 22 3 1 3P D P C 13 。 【變式】若已知點(diǎn) P 是等邊 的一點(diǎn)， 13 ， 2， 3。能求出 度數(shù)嗎？請?jiān)囈辉嚒?例 4. 如圖， P 是等邊三角形 的一點(diǎn)，連結(jié) 以 邊作 60，且 結(jié) （ 1）觀察并猜想 間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論 （ 2）若 3： 4： 5，連結(jié) 判斷 形狀，并說明理由 解： （ 1）把 點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60即可得到 用等邊三角形的性質(zhì)證 到 （ 2）連接 等邊三角形 3： 4： 5，直角三角形 點(diǎn)評： 利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點(diǎn)完成此題的證明 例 5. 如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯（即 左邊滑梯的高度 右邊滑梯水平方向的長度 等，則 _ _ A P B D C 分析： 布在兩個(gè)直角三角形中， 若說明這兩個(gè)直角三角形全等則問題便會迎刃而解 解答： 在 ， 90，因此填 90 點(diǎn)評： 此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個(gè)直角三角形全等，并運(yùn)用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題 例 6. 中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過 70 千米 /時(shí)” 一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊 25 米處有“車速檢測儀 O”， 測得該車從北偏西 60的 A 點(diǎn)行駛到北偏西 30的 B 點(diǎn)，所用時(shí)間為 （ 1）試求該車從 A 點(diǎn)到 2）試說明該車是否超過限速 解析： （ 1）要求該車從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)的速度只需求出 距離， 在 ， 25 米 90 60 30， 250米 由勾股定理得 2 2 2 25 0 2 5O A O C 25 3 （米） 在 ， 30 12 （ 22 252 253 3（米） 25 3 253 3 503 3（米）從 A 到 B 的速度為 503 3 1009 3（米 /秒） （ 2） 1009 3米 /秒 米 /時(shí) 米 /時(shí) 0）。 90， D， 62 2k3k， k 6 。 65 。又 B， 152 。 例 11. 已知 ， 90， 求證：（ 1） 2） 分析： 從已知條件中可以獲得四邊形 矩形，要證明三角形全等要收集到三個(gè)條件，有公共邊 據(jù)矩形的性質(zhì)可知 要證明三角形相似，從條件中得 90，由全等三角形可知， 樣就可以證 明兩個(gè)三角形相似。 證明： 90。又 90，四邊形 矩形。 90。 又 90， 說明： 在這一題的分析過程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋找解決問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。 例 12. 兩個(gè)全等的含 30， 60角的三角板 圖所示放置， E， A， 接 中點(diǎn) M，連結(jié) 試判斷 說明理由 。 分析： 判斷一個(gè)三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn) 化為另一個(gè)問題：嘗試去證明 證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形 。 這時(shí)思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)新問題：如何構(gòu)造一對全等三角形？根據(jù)已知點(diǎn) M 是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點(diǎn)是斜邊的一半，得： 連結(jié) M A 后，可以證明 答： 等腰直角三角形 。 證明： 連接 題意得， 90。 90。 等腰直角三角形 。 又 M 45。 105， 90。 又 90， 90。 C E A D M B 等腰直角三角形 。 說明： 構(gòu)造全等三角形是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢？對條件的充分認(rèn)識和對知識點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑 。 構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度 。 會轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性 。在問題中創(chuàng)設(shè)以三 角板為情境也是考題的一個(gè)熱點(diǎn) 。 1. 如圖， ， D、 E 分別是 的點(diǎn)， 于點(diǎn) O， 給出下列三個(gè)條件： （ 1）上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定 等腰三角形（用序號寫出所有情形）； （ 2）選擇第（ 1）小題中的一種情況，證明 等腰三角形 2. （ 1）已知如圖，在 ， 60。 求證 ： 60。 （ 2）如圖，在 ， ，則 的等量關(guān)系式為 _； 大小為 _。 （ 3）如圖，在 ， k1）， ，則 _； 大小為 _。 B A C D O P A C B O P D A C B P O D 3. 一塊直角三 角形木板的一條直角邊 為 積為 人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形，請兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖（ 1），乙設(shè)計(jì)的方案如圖（ 2）。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說明理由。（加工損耗忽略，計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)） 課后練習(xí) C A (1) B D E F (2) C B A D E G F H P 4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為： 映的熒屏的規(guī)格為 2m 2m，若放映機(jī)的光源距膠片 20，問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方，放映的圖象剛好布滿整個(gè)熒屏？ 5. 如圖，已知 90，等邊三角形 一個(gè)頂點(diǎn) A 是射線 的一定點(diǎn)，頂點(diǎn) B 與點(diǎn) O 重合，頂點(diǎn) C 在 部。 （ 1）當(dāng) 頂點(diǎn) B 在射線 移動(dòng)到 ，連結(jié) 一邊的等邊三角形 留作圖痕跡，不寫作法和證明）； （ 2）設(shè) 于點(diǎn) Q， 延長線與 于點(diǎn) D。求證： 1； （ 3）連結(jié) 猜想 多少度？并證明你的猜想。 6. 如圖所示 ，設(shè) A 城氣象臺測得臺風(fēng)中心在 A 城正西方向 600 B 處，正以每小時(shí) 200速度沿北偏東 60的 向移動(dòng)，距臺風(fēng)中心 500范圍是受臺風(fēng)影響的區(qū)域 （ 1） A 城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？ （ 2）若 A 城受到這次臺風(fēng)的影響，那么 A 城遭受這次臺風(fēng)的影響有多長時(shí)間？ 7. （ 1）如圖，在 ， C 90， 角平分線， 60， 3 ， 3 ，求 長 （ 2）“實(shí)驗(yàn)中學(xué)”有一塊三角形狀的花園 有人已經(jīng)測出 A 30， 40 米， 25 米，你能求出這塊花園的面積嗎？ （ 3）某片綠地形狀如圖所示，其中 A D， A 60， 200m， 100m， 求 C 的長 8. 高為 12 米的教學(xué)樓 有一棵大樹 圖所示 （ 1）某一時(shí)刻測得大樹 學(xué)樓 陽光下的投影長分別是 ， ，求大樹 （ 2）現(xiàn)有皮尺和高為 h 米的測角儀 ，請你設(shè)計(jì)另一種測量大樹 度的方案，要求： 在圖中，畫出你設(shè)計(jì)的圖形（長度用字母 m， n表示，角度用希臘字母，表示）； 根據(jù)你所畫出的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求出大樹的高度并用字母表示 9. 如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱牵?該居民樓的一樓是高 6 米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面 15 米處要蓋一棟高 20 米的新樓當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為 32時(shí) （ 1）問超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？ （ 2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？（ 結(jié)果保留整數(shù)， 參考數(shù)據(jù)： 53100， ） 1. 解 ：（ 1）或 練習(xí) 答案 （ 2）已知求證 等腰三角形 證：先證 等腰三角形 2. 證明： 正三角形， 60， 60。 60。 （ 2） 的等量關(guān)系式為 大小為。 （ 3） 的等量關(guān)系式為 大小為 180。 3. 解：方案（ 1）：有題意可知， 得 方案（ 2）：作 H。 3730, ,373076 圖（ 1）加工出的正方形面積大。 綜上所得，甲同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好。 4. 解：膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位似的，鏡頭就相當(dāng)于位似中心，因此本題可以轉(zhuǎn)化為位似問題解答：807 m 5. 解：（ 1）如圖所示； 證明：（ 2） 等邊三角形， 60。 又 .,11即（ 3） 猜想 90。 證明： 正三角形， 1 1。 90。 6. （ 1）作 計(jì)算 30000 A 城受影響 （ 2）受影響時(shí)間為 4200 2400 小時(shí)