廣州市南沙區(qū)2015-2016學(xué)年高一下期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

廣東省廣州市南沙區(qū) 2015年高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知 a R， b R，且 a b，則下列不等式中一定成立的是（ ） A 1 B （ ） a （ ） b D a b） 0 2角 的終邊上有一點（ 1， 2），則 ） A B C D 3 ）的值為（ ） A B C D 4若 ，則 =（ ） A B C D 5如圖，在 ， C=，則 =（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 6設(shè)平面向量 =（ 1， 2）， =（ 2， y），若 ，則 |2 |等于（ ） A 4 B 5 C D 7在等差數(shù)列 ， a3+，則 ） A 20 B 40 C 60 D 80 8為了得到函數(shù) y= x+ ）的圖象，只要把 y= 的圖象上所有的點（ ） A向左平 移個單位長度 B向右平移 個單位長度 C向左平 移 個單位長度 D向右平移 個單位長度 9若關(guān)于 x 的方程 x2+ax+a 2=0 的一根大于 1，另一根小于 1，則 a 的取值范圍為（ ） A 0 a 1 B a 1 C 1 a 1 D a 1 10已知 ， （ ， 2），則 ）的值為（ ） A B C D 11已知函數(shù) y=x+）（ A 0， 0， ）一個周期的圖象（如圖），則這個函數(shù)的一個解析式為（ ） A B C D 12在實數(shù)集 R 中定義一種運算 “*”，對任意 a， b R， a*b 為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)： （ 1）對任意 a R， a*0=a； （ 2）對任意 a， b R， a*b= a*0） +（ b*0） 則函數(shù) f（ x） =（ * 的最小值為（ ） A 2 B 3 C 6 D 8 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分 . 13不等式 2x+3 0 的解集為 ；（用區(qū)間表示） 14已知 ，則 15已知 x， y 為正數(shù)，且 x+y=20，則 m=最大值為 16如圖，設(shè) A， B 兩點在河的兩岸，一測量者在 A 的同側(cè)，在 A 所在的河岸邊選定一點 C，測出 距離為 50m， 5， 05后，則 A， B 兩點的距 離為 m 三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 70 分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟 . 17已知向量 ， 滿足 | |=3， | |= ，（ + ）（ 2 ） =4 （ 1）求 ； （ 2）求 | | 18已知函數(shù) f（ x） = （ 1）求 f（ x）的最小正周期值； （ 2）求 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ 3）求 f（ x）在 0， 上的最值及取最值時 x 的值 19已知數(shù)列 前 n 項和為，且 Sn=n2+n， （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）令 證：數(shù)列 等比數(shù)列 20某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機和智能洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達到最大已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表： 試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少？ 資金 單位產(chǎn)品所需資金（百元） 空調(diào)機 洗衣機 月資金供應(yīng)量（百元） 成本 30 20 300 勞動力（工資） 5 10 110 單位利潤 6 8 21在 ，內(nèi)角 A， B， C 所對的邊分別是 a， b， c，已知 a=2， c= ， （ 1）求 b 的值； （ 2）求 2A+ ）的值 x 上，已知 ， 22已知正數(shù)數(shù)列 前 n 項和為 P（ 函數(shù) f（ x） = 321=0（ n 2， n N*）， （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）若 cn=數(shù)列 前 n 項和 （ 3）是否存在整數(shù) m， M，使得 m M 對任意正整數(shù) n 恒成立，且 M m=9，說明理由 2015年廣東省廣州市南沙區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分在每小題 給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知 a R， b R，且 a b，則下列不等式中一定成立的是（ ） A 1 B （ ） a （ ） b D a b） 0 【分析】 根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別判斷四個答案中的不等式是否恒成立，可得結(jié)論 【解答】 解：當 a 0 b 時， 0，故 A 錯誤； 當 0 a b 時， B 錯誤； 當 a b 時，（ ） a （ ） b 一定成立，故 C 正確； 當 b+1 a b 時， a b） 0，故 D 錯誤； 故選： C 【點評】 本題考查的知識點是不等式的基本性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔 2角 的終邊上有一點（ 1， 2） ，則 ） A B C D 【分析】 由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得 值 【解答】 解：由題意可得 x=1， y= 2， r= ， = = ， 故選： B 【點評】 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題 3 ）的值為（ ） A B C D 【分析】 直接根據(jù)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化求解計算即可 【解答】 解： ） =6 ） = 故選： D 【點評】 本題考查誘導(dǎo)公 式的應(yīng)用：求值此類題一般依照 “負角化正角，大角化小角 ”的順序進行角的轉(zhuǎn)化 4若 ，則 =（ ） A B C D 【分析】 原式分子分母除以 用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，將 值代入計算即可求出值【解答】 解： ， 原式 = = = ， 故選： B 【點評】 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵 5如圖，在 ， C=，則 =（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【分析】 利用向量的數(shù)量積運算即可得出 【解答】 解： = = = 2 故選： D 【點評】 本題考查了向量的數(shù)量積運算，注意向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題 6設(shè)平面向量 =（ 1， 2）， =（ 2， y），若 ，則 |2 |等于（ ） A 4 B 5 C D 【分析】 利用向量共線定理即可得出 y， 從而計算出 的坐標，利用向量模的計算公式即可得出 【解答】 解： ， 2 2 y=0，解得 y= 4 =2（ 1， 2）（ 2， 4） =（ 4， 8）， |2 |= = 故選 D 【點評】 熟練掌握向量共線定理、向量模的計算公式是解題的關(guān)鍵 7在等差數(shù)列 ， a3+，則 ） A 20 B 40 C 60 D 80 【分析】 由已知利用等差數(shù)列的通項公式和前 n 項和公式求解 【解答】 解： 在等差數(shù)列 ， a3+， = =5 8=40 故選： B 【點評】 本題考查等差數(shù)列的前 10 項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用 8為了得到函數(shù) y=x+ ）的圖象，只要把 y=圖象上所有的點（ ） A向左平移 個單位長度 B向右平移 個單位長度 C向左平移 個單位長度 D向右平移 個單位長度 【分析】 利用函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論 【解答】 解：由于 x+ ） = x+ ）， 故把 y=圖象上所有的點向左平移 個單位長度，可得函數(shù) y= x+ ） =x+ ）的圖象， 故選： C 【點評】 本題主要考查函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題 9若關(guān)于 x 的方程 x2+ax+a 2=0 的一根大于 1，另一根小于 1，則 a 的取值范圍為（ ） A 0 a 1 B a 1 C 1 a 1 D a 1 【分析】 利用一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得 a 的取值范圍 【解答】 解： 關(guān)于 x 的方程 x2+ax+a 2=0 的一根大于 1，另一根小于 1， 令 f（ x） =x2+ax+a 2， 則 f（ 1） =1+a+a 2=1 0，求得 1 a 1， 故選： C 【點評】 本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題 10已知 ， （ ， 2），則 ）的值為（ ） A B C D 【分析】 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 值，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算求值得解 【解答】 解： ， （ ， 2）， = ， ） = = 故選： D 【點評】 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題 11已知函數(shù) y=x+）（ A 0， 0， ）一個周期的圖象（如圖），則這個函數(shù)的一個解析式為（ ） A B C D 【分析】 由已知中函數(shù) y=x+）（ A 0， 0， ）的圖象，我們分別求出函數(shù)的最大值，最小值及周期，進而求出 A 值和 值，將最大值點代入結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出 值，即可得到函數(shù)的解析式 【解答】 解：由函數(shù)的圖象可得函數(shù)的最大值為 2，最小值為 2，結(jié)合 A 0，可得 A=2 又 函數(shù)的圖象過（ ， 2）點和（ ， 0）點，則 T= ，結(jié)合 0，可得 =3 則函數(shù)的解析式為 y=23x+） 將（ ， 2）代入得 += ， k Z 當 k=0 時， = 故函數(shù)的解析式為 故選 D 【點評】 本題考查的知識點是由函數(shù) y=x+）的圖象確定函數(shù)的解析式，其中根據(jù)函數(shù)的圖象分析出函數(shù)的最大值，最小值，周期，向左平移量，特殊點等是解答本題的關(guān)鍵 12在實數(shù)集 R 中定義一種運算 “*”，對任意 a， b R， a*b 為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)： （ 1）對任意 a R， a*0=a； （ 2）對任意 a， b R， a*b= a*0） +（ b*0） 則函數(shù) f（ x） =（ * 的最小值為（ ） A 2 B 3 C 6 D 8 【分析】 根據(jù)性質(zhì)， f（ x） =（ * =1+，利用基本不等式，即可得出結(jié)論 【解答】 解：根據(jù)性質(zhì)， f（ x） =（ * =1+ 1+2=3， 當且僅當 時， f（ x） =（ * 的最小值為 3 故選： B 【點評】 本題考查新定義，考查基本不等式的運用，正確理解新定義是關(guān)鍵 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分 . 13不等式 2x+3 0 的解集為 （ 3， 1） ；（用區(qū)間表示） 【分析】 把不等式化為（ x+3）（ x 1） 0，得出不等式對應(yīng)方程的實數(shù)根，寫出解集即可 【解答】 解：不等式 2x+3 0 可化為 x 3 0， 即（ x+3）（ x 1） 0， 解得 3 x 1， 所以該不等式的解集為（ 3， 1） 故答案為：（ 3， 1） 【點評】 本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目 14已知 ，則 【分析】 把所給的等式平方，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦公式求得 值 【解答】 解： ，平方可得 1+，則 ， 故答案為： 【點評】 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 15已知 x， y 為正數(shù)，且 x+y=20，則 m=最大值為 2 【分析】 由基本不等式： a+b 2 （ a， b 0， a=b 取得等號），可得 最大值為 100，再由對數(shù)的運算性質(zhì)，可得 m 的最大值 【解答】 解： x， y 為正數(shù)，且 x+y=20， 可得 x+y 2 ， 即有 2 20， 即 100， 當且僅當 x=y=10，取得等號 則 m= ， 即有 m 的最大值為 2 故答案為： 2 【點評】 本題考查最值的求法，注意運用基本不等式和對數(shù)的運算性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題 16如圖，設(shè) A， B 兩點在河的兩岸，一測量者在 A 的同側(cè)，在 A 所在的河岸邊選定一點 C，測出 距離為 50m， 5， 05后，則 A， B 兩點的距離為 50 m 【分析】 先利用三角形的內(nèi)角和 求出 B=30，再利用正弦定理，即可得出結(jié)論 【解答】 解：在 ， 5， 05 B=30 由正弦定理可得： =50 m 故答案為： 50 【點評】 本題考查解三角形的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用正弦定理，求三角形的邊 ，屬于基礎(chǔ)題 三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 70 分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟 . 17已知向量 ， 滿足 | |=3， | |= ，（ + ）（ 2 ） =4 （ 1）求 ； （ 2）求 | | 【分析】 （ 1）由條件進行數(shù)量積的運算便可得出 ，從而求出 的值；（ 2）根據(jù)上面求得的 及條件可求出 的值，從而得出 的值 【解答】 解：（ 1）根據(jù)條件， =9 =4； ； （ 2） =9 2+2 =9； 【點評】 考查向量數(shù)量積的運算，以及要求 而求 的方法 18已知函數(shù) f（ x） = （ 1）求 f（ x）的最小正周期值； （ 2）求 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ 3）求 f（ x）在 0， 上的最值及取最值時 x 的值 【分析】 （ 1）利用二倍角的正弦和余弦公式，及兩角和的正弦公式，化簡函數(shù) f（ x），再由正弦函數(shù)的周期性得答案； （ 2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性得答案； （ 3）由 x 0， ，得到 ， ，再求 f（ x）在區(qū)間 0， 上的最大值和最小值 【解答】 解：（ 1） f（ x） = = = = = ， ， f（ x）的最小正周期是 ； （ 2）由（ 1）得 ，（ k Z）， 即 ，（ k Z）， f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間為： ， k Z； （ 3） x 0， ， ， 故當 = 時，即 時， f（ x）有最大值，最大值為 1， 故當 = 時，即 時， f（ x）有最小值，最小值為 1 【點評】 本題考查三角函數(shù)的二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于中檔題 19已知數(shù)列 前 n 項和為，且 Sn=n2+n， （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）令 證： 數(shù)列 等比數(shù)列 【分析】 （ 1）利用遞推關(guān)系即可得出 （ 2）利用等比數(shù)列的定義即可證明 【解答】 （ 1）解： Sn=n2+n， 當 n=1 時， 1=2； 當 n 1 時， n 1=n2+n （ n 1） 2+（ n 1） =2n， 綜上所述，數(shù)列 通項公式為 n （ 2）證明：由（ 1）得 2n=9n = =9 為常數(shù) 則數(shù)列 以 9 為首項， 9 為公比的等比數(shù)列 【點評】 本題考查了等比數(shù)列的定義、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 20某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機和智能洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達到最大已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表： 試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使 總利潤達到最大，最大利潤是多少？ 資金 單位產(chǎn)品所需資金（百元） 空調(diào)機 洗衣機 月資金供應(yīng)量（百元） 成本 30 20 300 勞動力（工資） 5 10 110 單位利潤 6 8 【分析】 利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應(yīng)用本題主要考查找出約束條件與目標函數(shù)，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解 【解答】 解：設(shè)空調(diào)機、洗衣機的月供應(yīng)量分別是 x、 y 臺，總利潤是 P，則 P=6x+8y， 由題意有 30x+20y 300， 5x+10y 110， x 0， y 0， x、 y 均為整數(shù) 由圖知直線 y= x+ P 過 M（ 4， 9）時，縱截距最大 這時 P 也取最大值 4+8 9=96（百元） 故當月供應(yīng)量為空調(diào)機 4 臺，洗衣機 9 臺時，可獲得最大利潤 9600 元 【點評】 用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分 類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數(shù)然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數(shù)的最優(yōu)解 21在 ，內(nèi)角 A， B， C 所對的邊分別是 a， b， c，已知 a=2， c= ， （ 1）求 b 的值； （ 2）求 2A+ ）的值 【分析】 （ 1） ，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出 由正弦定理求出 由余弦定理求得 b=1 （ 2）利用二倍角公式求得 值，由此求得 由兩角和的余弦公式求出 2A+ ）= 的值 【解答】 解：（ 1） ，由 可得 再由 = 以及 a=2、 c= ，可得 由 a2=b2+2得 b2+b 2=0，解得 b=1 （ 2）由 、 可得 1= ， 故 2A+ ） = 【點評】 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，二倍角公式以及兩角和的余弦公式，同角三角函數(shù)的基