2016年安徽省淮南市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理)含答案解析

第 1 頁（共 20 頁） 2016 年安徽省淮南市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 一、選擇題 1復(fù)數(shù) 的虛部是（ ） A i B i C 1 D 1 2已知集合 U=1， 2， 3， 4， B=1， 2， 3，且 AB=1， 2，則滿足條件的 A 的個數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3下面的程序框圖能判斷任意輸入的數(shù) x 的奇偶性其中判斷框內(nèi)的條件是（ ） A m=0 B m=1 C x=0 D x=1 4 函數(shù) f（ x） =2x+）的部分圖象如圖所示，則 ， 的值分別是（ ） A 2， B 2， C 4， D 4， 5經(jīng)過拋物線 y= 焦點和雙曲線 =1 的右焦點的直線方程為（ ） A x+48y 3=0 B x+80y 5=0 C x+3y 3=0 D x+5y 5=0 6設(shè) a=b=c=（ ） A a c b B b c a C c b a D c a b 第 2 頁（共 20 頁） 7 O 是平面上一定點， A、 B、 C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足， 0， +），則 P 的軌跡 一定通過 （ ） A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 8如圖，有一圓柱形無蓋水杯，其軸截面 邊長為 2 的正方形， P 是 中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁 A 處，內(nèi)壁 P 處有一粒米，則這只螞蟻取得米粒所經(jīng)過的最短路程是（ ） A B +1 C D 9已知 ， ，且 遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A（ 2， +） B 2， +） C（ 3， +） D 3， +） 10橢圓 C： + =1 的左，右頂點分別為 P 在 C 上，且直線 率的取值范圍是 2， 1，那么直線 率的取值范圍是（ ） A ， B ， C ， 1 D ， 1 11如圖，是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（ ） A B C D 12設(shè)正實數(shù) x， y， z 滿足 3z=0，則當(dāng) 取得最小值時， x+2y z 的最大值為（ ） A 0 B C 2 D 二、填空題 第 3 頁（共 20 頁） 13過平 面區(qū)域 內(nèi)一點 P 作圓 O： x2+ 的兩條切線，切點分別為 A， B，記 ，當(dāng) 最小時，此時點 P 坐標(biāo)為 14已知過點 M（ 3， 3）的直線 l 被圓 x2+y 21=0 所截得的弦長為 8，則直線 l 的方程為 15定義在 2， 2上的偶函數(shù) f（ x）在 2， 0上為增，若滿足 f（ 1 m） f（ m），則m 的取值范圍是 16設(shè)函數(shù) y=f（ x）的圖象與 y=2x+a 的圖象關(guān)于 y= x+1 對稱，且 f（ 3） +f（ 7） =1，則 a 的值為 三 17在 ， B= ， ，求 C 的最大值并判斷取得最大值時 形狀 18在公差為 d 的等差數(shù)列 ，已知 0，且 2， 5等比數(shù)列 （ ）求 d， （ ）若 d 0，求 |+| 19如圖，在斜三棱柱 ， C=5， C=13，且 2 （ 1）求證：平面 平面 （ 2）求二面角 A C 的正切值的大小 20已知點 A（ 2， 0），橢圓 E： （ a b 0）的離心率為 ， F 是橢圓 E 的上焦點，直線 斜率為 ， O 為坐標(biāo)原點 （ 1）求 E 的方程； （ 2）設(shè)過點 A 的 動直線 l 與 E 相交于點 P， Q 兩點，當(dāng) 面積最大時，求 l 的方程 21已知函數(shù) f（ x） = 2a 1） x a+1， （ 1）若 ，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若 x 1， +）時恒有 f（ x） 0，求 a 的取值范圍 四 下三題任選一題 22已知函數(shù) f（ x） = x ） x ） x ） + （ 0 ）為偶函數(shù) 第 4 頁（共 20 頁） （ I）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間； （ 函數(shù)的圖象向右平移 個單位（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) g（ x）的圖象，求函數(shù) g（ x）的對稱中心 23已知 p： |1 | 2； q： 2x+1 0； 若 p 是 q 的充分非必要條件，求實數(shù) m 的取值范圍 24在直角坐標(biāo)系 ，已知點 A（ 1， 1）， B（ 2， 3）， C（ 3， 2），點 P（ x， y）在 邊圍成的區(qū)域（含邊界）上 （ ）若 + + = ，求 | |； （ ）設(shè) =m +n （ m， n R），用 x， y 表示 m n，并求 m n 的最大值 第 5 頁（共 20 頁） 2016 年安徽省淮南市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題 1復(fù)數(shù) 的虛部是（ ） A i B i C 1 D 1 【考點】 復(fù)數(shù)的基本概念 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運算化簡復(fù)數(shù)即可 【解答】 解： = ， 則復(fù)數(shù) 的虛部是 1， 故選： C 2已知集合 U=1， 2， 3， 4， B=1， 2， 3，且 AB=1， 2，則滿足條件的 A 的個數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點】 交集及其運算 【分析】 根據(jù)全集 U， B，以及 A 與 B 的交集，確定出滿足條件的 A，即可做出判斷 【解答】 解： U=1， 2， 3， 4， B=1， 2， 3，且 AB=1， 2， 滿足條件的 A 可能為 1， 2， 1， 2， 4共 2 個， 故選： B 3下面的程序框圖能判斷 任意輸入的數(shù) x 的奇偶性其中判斷框內(nèi)的條件是（ ） A m=0 B m=1 C x=0 D x=1 【考點】 選擇結(jié)構(gòu) 第 6 頁（共 20 頁） 【分析】 本題考查了選擇結(jié)構(gòu)，由程序框圖所體現(xiàn)的算法可知判斷一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，看這個數(shù)除以 2 的余數(shù)是 1 還是 0，從而得到判斷框條件 【解答】 解：由程序框圖所體現(xiàn)的算法可知判斷一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，看這個數(shù)除以 2的余數(shù)是 1 還是 0 由圖可知應(yīng)該填 m=1 故選 B 4函數(shù) f（ x） =2x+）的部分圖象如圖所示，則 ， 的值分別是（ ） A 2， B 2， C 4， D 4， 【考點】 y=x+）中參數(shù)的物理意義 【分析】 利用函數(shù)的周期求解 ，然后利用五點法作圖求解 即可 【解答】 解：由函數(shù)的圖象可知 T= =， = =2 x= 時， y=2， 可得： 22 +） =2， 由五點法作圖可知 = 故選： A 5經(jīng)過拋物線 y= 焦點和雙曲線 =1 的右焦點的直線方程為（ ） A x+48y 3=0 B x+80y 5=0 C x+3y 3=0 D x+5y 5=0 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 求出拋物線 y= 焦點坐標(biāo)、雙曲線 =1 的右焦點，即可求出直線方程 【解答】 解：拋物線 y= 焦點坐標(biāo)為（ 0， 1）， 雙曲線 =1 的右焦點的坐標(biāo)為（ 5， 0）， 第 7 頁（共 20 頁） 所求直線方程為 即 x+5y 5=0 故選： D 6設(shè) a=b=c=（ ） A a c b B b c a C c b a D c a b 【考點】 對數(shù)值大小的比較 【 分析】 判斷對數(shù)值的范圍，然后利用換底公式比較對數(shù)式的大小即可 【解答】 解：由題意可知： a=（ 0， 1）， b=（ 0， 1）， c=1， 所以 a=b=， 所以 c a b， 故選： D 7 O 是平面上一定點， A、 B、 C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足， 0， +），則 P 的軌跡一定通過 （ ） A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂 心 【考點】 向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義 【分析】 先根據(jù) 、 分別表示向量 、 方向上的單位向量，確定 +的方向與 角平分線一致，再由 可得到 =（ + ），可得答案 【解答】 解： 、 分別表示向量 、 方向上的單位向量 + 的方向與 角平分線一致 又 ， =（ + ） 向量 的方向與 角平分線一致 一定通過 內(nèi)心 故選 B 8如圖，有 一圓柱形無蓋水杯，其軸截面 邊長為 2 的正方形， P 是 中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁 A 處，內(nèi)壁 P 處有一粒米，則這只螞蟻取得米粒所經(jīng)過的最短路程是（ ） 第 8 頁（共 20 頁） A B +1 C D 【考點】 多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題 【分析】 畫出圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)對稱性，求出 Q 的最小值就是 長，求解即可 【解答】 解：側(cè)面展開后得矩形 中 ， 問題轉(zhuǎn)化為在 找一點 Q 使 Q 最短作 P 關(guān)于 對稱點 E，連接 令 于點 Q，則得 Q 的最小值就是 故選： D 9已知 ， ，且 遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A（ 2， +） B 2， +） C（ 3， +） D 3， +） 【考點】 數(shù)列與函數(shù)的綜合 【分析】 由于 遞增數(shù)列，可得 n N*， （ n+1） 2+（ n+1） n，解出利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出 【解答】 解： 遞增數(shù)列， n N*， （ n+1） 2+（ n+1） n， （ 2n+1）， 3 故選： C 10橢圓 C： + =1 的左，右頂點分別為 P 在 C 上，且直線 率的取值范圍是 2， 1，那么直線 率的取值范圍是（ ） 第 9 頁（共 20 頁） A ， B ， C ， 1 D ， 1 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 由橢圓 C： + =1 可知其左頂點 2， 0），右頂點 2， 0）設(shè) P（ x0， 2），代入橢圓方程可得 = ，利用斜率計算公式可得 ，再利用已知給出的直線 率的取值范圍是 2， 1，即可解出 【解答】 解：由橢圓 C： + =1 可知其左頂點 2， 0），右頂點 2， 0） 設(shè) P（ 2），則得 = = ， =， = = = 直線 率的取值范圍是 2， 1， 直線 率的取值范圍是 ， 故選： A 11如圖，是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（ ） A B C D 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體為棱長是 2 的正方體，截去兩個相同的三棱錐，再截去一個三棱柱（底面直角三角形的直角邊為 2 和 2，高為 2）而得到，畫出它的直觀圖，即可求其體積 【解答】 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得； 第 10 頁（共 20 頁） 該幾何體為棱長是 2 的正方體，截去兩個相同的三棱錐（底面直角三角形的直角邊為 2 和 2，高為 1）； ，再截去一個三棱柱（底面直角三角形的直角邊為 2 和 2，高為 2）而得到，其直觀圖如圖所 示， 該多面體的體積為： 2 2 2 2 2 （ 2 ） = 故選： B 12設(shè)正實數(shù) x， y， z 滿足 3z=0，則當(dāng) 取得最小值時， x+2y z 的最大值為（ ） A 0 B C 2 D 【考點】 基本不等式 【分析】 將 z=3入 ，利用基本不等式化簡即可求得 x+2y z 的最大值 【解答】 解： 3z=0， z=3 x， y， z 為正實數(shù)， = + 3 2 3=1（當(dāng)且僅當(dāng) x=2y 時取 “=”）， 即 x=2y（ y 0）， x+2y z=2y+2y（ 3 =4y 2 2（ y 1） 2+2 2 x+2y z 的最大值為 2 故選： C 二、填空題 13過平面區(qū)域 內(nèi)一點 P 作圓 O： x2+ 的兩條切線，切點分別為 A， B，記 ，當(dāng) 最小時，此時點 P 坐標(biāo)為 （ 4， 2） 【考點】 簡單線性規(guī)劃；直線與圓的位置關(guān)系 第 11 頁（共 20 頁） 【分析】 先依據(jù)不等式組 ，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用圓的方程畫出圖形，確定 最小時點 P 的位置即可 【解答】 解：如圖陰影部分表示 ，確定的平面區(qū)域， 當(dāng) P 離圓 O 最遠(yuǎn)時， 最小， 此時點 P 坐標(biāo)為：（ 4， 2）， 故答案為：（ 4， 2） 14已知過點 M（ 3， 3）的直線 l 被圓 x2+y 21=0 所截得的弦長為 8，則直線 l 的方程為 4x+3y+21=0 或 x= 3 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 求出圓 x2+y 21=0 的圓心、半徑，當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，直線方程為 x= 3，成立；當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè)直線 l： y=k（ x+3） 3，求出圓心（ 0， 2）到直線 y=k（ x+3） 3 的距離，由過點 M（ 3， 3）的直線 l 被圓 x2+y 21=0 所截得的弦長為 8，利用勾股定理能 求出直線 l 的方程 【解答】 解：圓 x2+y 21=0 的圓心為（ 0， 2），半徑 r= =5， 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，直線方程為 x= 3， 聯(lián)立 ，得 或 ， 直線 l： x= 3 被圓 x2+y 21=0 所截得的弦長為 8，成立； 當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè)直線 l： y=k（ x+3） 3， 圓心（ 0， 2）到直線 y=k（ x+3） 3 的距離 d= = ， 過點 M（ 3， 3）的直線 l 被圓 x2+y 21=0 所截得的弦長為 8， 第 12 頁（共 20 頁） 由勾股定理得： ， 即 25= +16，解得 k= ， 直線 l： ，整理，得： 4x+3y+21=0 綜上直線 l 的方程為： 4x+3y+21=0 或 x= 3 故答案為： 4x+3y+21=0 或 x= 3 15定義在 2， 2上的偶函數(shù) f（ x）在 2， 0上為增，若滿足 f（ 1 m） f（ m），則m 的取值范圍是 【考點】 奇偶性與單調(diào)性的綜合 【分析】 根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)等價轉(zhuǎn)化所求的不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性和定義域，列出關(guān)于m 的不等式組，再求出 m 的取值范圍 【解答】 解：因為 f（ x）是定義 在 2， 2上的偶函數(shù)， 所以不等式 f（ 1 m） f（ m）等價于： f（ |1 m|） f（ |m|）， 因為 f（ x）在 2， 0上為增函數(shù)， 所以 ，解得 1 m ， 即 m 的取值范圍是 ， 故答案為： 16設(shè)函數(shù) y=f（ x）的圖象與 y=2x+a 的圖象關(guān)于 y= x+1 對稱，且 f（ 3） +f（ 7） =1，則 a 的值為 2 【考點】 函數(shù)與方程的綜合運用 【分析】 先求出函數(shù) y=f（ x）的解析式，再由 f（ 3） +f（ 7） =1，問題得以解決 【解答】 解：設(shè)函數(shù) y=f（ x）的任意點的坐標(biāo)為（ x， y），關(guān)于 y= x+1 對稱點的坐標(biāo)（ m，n），則（ m， n）在 y=2x+a 的圖象上， ， 解得 m=1 y， n=1 x， 代入 y=2x+a 可得： 1 x=21 y+a， 即： y=1 x） a 1，函數(shù) y=f（ x） =1 x） a 1， f（ 3） +f（ 7） =1， a 1+a 1=1， 解得， a=2， 第 13 頁（共 20 頁） 故答案為： 2 三 17在 ， B= ， ，求 C 的最大值并判斷取得最大值時 形狀 【考點】 正弦定理 【分析】 根據(jù)正弦定理可得 而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求C= ，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解： B= ， ， 在 ，根據(jù) = = ，得 同理 C=2 =2 C） = ， 當(dāng) C= ，可得 C 的最大值為 ， 取最大值時，因而 等邊三角形 18在公差為 d 的等差數(shù)列 ，已知 0，且 2， 5等比數(shù)列 （ ）求 d， （ ）若 d 0，求 |+| 【考點】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 （ ）直接由已知條件 0，且 2， 5等比數(shù)列列式求出公差，則通項公式 求； （ ）利用（ ）中的結(jié)論，得到等差數(shù)列 前 11 項大于等于 0，后面的項小于 0，所以分類討論求 d 0 時 |+|和 【解答】 解：（ ）由題意得 ，即 ，整理得 3d 4=0解得 d= 1 或 d=4 當(dāng) d= 1 時， an= n 1） d=10（ n 1） = n+11 當(dāng) d=4 時， an= n 1） d=10+4（ n 1） =4n+6 所以 n+11 或 n+6； （ ）設(shè)數(shù)列 前 n 項和為 為 d 0，由（ ）得 d= 1， n+11 則當(dāng) n 11 時， 第 14 頁（共 20 頁） 當(dāng) n 12 時， |+| 綜上所述， |+| 19如圖，在斜三棱柱 ， C=5， C=13，且 2 （ 1）求證：平面 平面 （ 2）求二面角 A C 的正切值的大小 【考點】 二面角的 平面角及求法；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 而 平面 此能證明平面 平面 （ 2）以 B 為原點， x 軸，在平面 過 B 作 垂線為 y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 A C 的正切值 【解答】 證明：（ 1）在 ， 又 面 的兩條相交直線， 平面 . 又 平面 平面 平面 解：（ 2）在 ， ， 又 面 的兩條相交直線， 面 以 B 為原點， x 軸，在平面 過 B 作 垂線為 y 軸， z 軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則 B（ 0， 0， 0）， A（ 12， 0， 0）， C（ 12， 5， 0）， 0， 0， 5）， 由 ，得 12， 0， 5）， 取平面 一個法向量 =（ 0， 1， 0）， 設(shè)平面 一個法向量 ， 由 ，得 取 x=5，則 第 15 頁（共 20 頁） = = ， 設(shè) A C 的大小為 ， 則 ， 二面角 A C 的正切值的大小為 20已知點 A（ 2， 0），橢圓 E： （ a b 0）的離心率為 ， F 是橢圓 E 的上焦點，直線 斜率為 ， O 為坐標(biāo)原點 （ 1）求 E 的方程； （ 2）設(shè)過點 A 的動直線 l 與 E 相交于點 P， Q 兩點，當(dāng) 面積最大時，求 l 的方程 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）運用橢圓的離心率公式和直線的斜率公式，以及 a， b， c 的關(guān)系，解方程可得橢圓方程； （ 2）設(shè) l 的方程為 x=，設(shè) P（ Q（ 聯(lián)立橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，判別式大于 0，運用三角形的面積 公式，由基本不等式可得最大值，即可得到 m，進而得到直線方程 【解答】 解：（ 1）由 e= ，可得： ，即 ， 設(shè) F（ 0， c），則 ， ， 又 b2=， ， ， E 的方程是 ； （ 2）設(shè) l 的方程為 x=， 設(shè) P（ Q（ 第 16 頁（共 20 頁） 由 得（ 4） 62=0， y1+ ， ， =（ 16m） 2 4 12 （ 4） =16（ 43） 0， = ， 令 ，則 ， 而 當(dāng)且僅當(dāng) t=2， 即 時等號成立，此時 S 1 當(dāng) 面積最大時，求 l 的方程為 ， 即 21已知函數(shù) f（ x） = 2a 1） x a+1， （ 1）若 ，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若 x 1， +）時恒有 f（ x） 0，求 a 的取值范圍 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，令 g（ x） = x 1），求出 g（ x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和最值，進而得到 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）求出導(dǎo)數(shù)，對 a 討論，當(dāng) 時，當(dāng) a 時，當(dāng) 0 a 時，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求 a 的范圍 【解答】 解：（ 1）函數(shù) f（ x） = 2a 1） x a+1 的導(dǎo)數(shù)為 f（ x） =2a（ x 1）， 當(dāng) 時， f（ x） = x 1）， 令 g（ x） = x 1），則 x （ 0， 1）時 g（ x） 0； x （ 1， +）時 g（ x） 0 g（ x） g（ 1） =0，即 f（ x） 0（只在 x=1 處取等號） f（ x）的單減區(qū)間是（ 0， +）； （ 2） f（ x） =2a（ x 1）， 令 f（ x） =0，則 a（ x 1）且函數(shù) x=1 處的切線為 y=x 1， 由（ 1）知， 時， f（ x）在 1， +）上單減且 f（ 1） =0， f（ x） 0，合題意； 第 17 頁（共 20 頁） 當(dāng) a 時，數(shù)形結(jié)合知， f（ x）在 1， +）上仍單減且 f（ 1） =0， f（ x） 0， 合題意； 當(dāng) 0 a 時，數(shù)形結(jié)合知， 1，使得 f（ =0 即 x （ 1， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， 單增， f（ x） f（ 1） =0，不合題意； 當(dāng) a 0 時，數(shù)形結(jié)合知， x （ 1， +）時， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， +）上單增， f（ x） f（ 1） =0，不合題意 綜上，若 x 1， +）時恒有 f（ x） 0， 則 a 的取值范圍是 四 下三題任選一題 22已知函數(shù) f（ x） = x ） x ） x ） + （ 0 ）為偶函數(shù) （ I）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間； （ 函數(shù)的圖象向右平移 個單位（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) g（ x）的圖象，求函數(shù) g（ x）的對稱中心 【考點】 兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的余弦 ；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的對稱性 【分析】 （ I）把函數(shù)解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，即為函數(shù)解析式的最簡形式，即可求出最小正周期以及單調(diào)區(qū)間； （ 題意根據(jù)平移變換求出函數(shù)的解析式，然后求出函數(shù)的對稱中心即可 【解答】 解：（ I）函數(shù) f（ x） = x ） x ） x ） + = 2x 2） （ 21） = 2x 2） 2x 2） =2x 2 ） 函數(shù) f（ x） 為偶函數(shù)，則 2 =k z 0 = f（ x） =2x ） = 函數(shù)的最小正周期 T= = 令 2x +2 +2kk Z 解得： +x + 函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 + +kk Z （ （