第九章 拉普拉斯變換

第9章拉普拉斯變換,THELAPLACETRANSFORM,4.雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；,本章基本內(nèi)容：,1.雙邊拉普拉斯變換；,2.雙邊拉普拉斯變換的收斂域；,5.系統(tǒng)函數(shù)；,6.單邊拉普拉斯變換；,3.零極點(diǎn)圖；,9.0引言Introduction,傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例和為基底分解信號(hào)的。對(duì)更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)和，也理應(yīng)能以此為基底對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。,傅里葉分析方法之所以在信號(hào)與LTI系統(tǒng)分析中如此有用，很大程度上是因?yàn)橄喈?dāng)廣泛的信號(hào)都可以表示成復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，而復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。,通過本章及下一章，會(huì)看到拉普拉斯變換和變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)，不僅能解決用傅里葉分析方法可以解決的信號(hào)與系統(tǒng)分析問題，而且還能用于傅里葉分析方法不適用的許多方面。拉普拉斯變換與變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。,將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。,9.1拉普拉斯變換,復(fù)指數(shù)信號(hào)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，則系統(tǒng)對(duì)產(chǎn)生的響應(yīng)是:,，其中,顯然當(dāng)時(shí)，就是連續(xù)時(shí)間傅里葉變換。,TheLaplaceTransform,一.雙邊拉氏變換的定義：,稱為的雙邊拉氏變換，其中。,若，則有:,這就是的傅里葉變換。,表明：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在或是在軸上的特例。,由于,所以拉氏變換是對(duì)傅里葉變換的推廣，的拉氏變換就是的傅里葉變換。只要有合適的存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號(hào)在引入后滿足該條件。即有些信號(hào)的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。,例1.,在時(shí)，積分收斂。,當(dāng)時(shí)，的傅里葉變換存在,顯然，在時(shí)，拉氏變換收斂的區(qū)域?yàn)?，包括了（即軸）。,比較和，顯然有,例2.,與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。,由以上例子，可以看出:,1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號(hào)的拉氏變換都存在，也不是S平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。,2.使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)S的集合，稱為拉氏變換的收斂域。拉氏變換的收斂域ROC（RegionofConvergence）對(duì)拉氏變換是非常重要的概念。,3.不同的信號(hào)可能會(huì)有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的收斂域不同。,5.如果拉氏變換的ROC包含軸，則有,4.只有拉氏變換的表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號(hào)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。,二.拉氏變換的ROC及零極點(diǎn)圖：,例3.,可見：拉氏變換的收斂域是各個(gè)收斂域的公共部分。ROC總是以平行于軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與的分母的根相對(duì)應(yīng)的。,若是有理函數(shù),分子多項(xiàng)式的根稱為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱為極點(diǎn)。,將的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在S平面上，就構(gòu)成了零極點(diǎn)圖。零極點(diǎn)圖及其收斂域可以表示一個(gè)，最多與真實(shí)的相差一個(gè)常數(shù)因子。,因此，零極點(diǎn)圖是拉氏變換的圖示方法。,9.2拉氏變換的收斂域,可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：,TheRegionofConvergenceforLaplaceTransforms,4.右邊信號(hào)的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直線的右邊。,3.時(shí)限信號(hào)的ROC是整個(gè)S平面。,2.在ROC內(nèi)無任何極點(diǎn)。,1.ROC是S平面上平行于軸的帶形區(qū)域。,若，則,表明也在收斂域內(nèi)。,若是右邊信號(hào),在ROC內(nèi)，則有絕對(duì)可積，即：,5.左邊信號(hào)的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直線的左邊。,若是左邊信號(hào)，定義于,在ROC內(nèi)，則,表明也在收斂域內(nèi)。,6.雙邊信號(hào)的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于軸的帶形區(qū)域。,考查零點(diǎn)，令,例2.,有極點(diǎn),顯然在也有一階零點(diǎn)，由于零極點(diǎn)相抵消，致使在整個(gè)S平面上無極點(diǎn)。,當(dāng)時(shí)，上述ROC有公共部分，,當(dāng)時(shí)，上述ROC無公共部分，表明不存在。,當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，其ROC總是由的極點(diǎn)分割的。ROC必然滿足下列規(guī)律：,3.雙邊信號(hào)的ROC可以是任意兩相鄰極點(diǎn)之間的帶形區(qū)域。,2.左邊信號(hào)的ROC一定位于最左邊極點(diǎn)的左邊。,1.右邊信號(hào)的ROC一定位于最右邊極點(diǎn)的右邊。,例3.,可以形成三種ROC：ROC：ROC：ROC：,此時(shí)是右邊信號(hào)。,此時(shí)是左邊信號(hào)。,此時(shí)是雙邊信號(hào)。,TheInverseLaplaceTransform,一.定義：,由,若在ROC內(nèi)，則有:,9.3拉普拉斯反變換,當(dāng)從時(shí),從,拉氏反變換表明:可以被分解成復(fù)振幅為的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。,二.拉氏反變換的求法:,對(duì)有理函數(shù)形式的求反變換一般有兩種方法,即部分分式展開法和留數(shù)法。,1.將展開為部分分式。,部分分式展開法：,3.利用常用信號(hào)的變換對(duì)與拉氏變換的性質(zhì),對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行反變換。,2.根據(jù)的ROC，確定每一項(xiàng)的ROC。,極點(diǎn)：,例2.,1.求出的全部極點(diǎn)。,留數(shù)法（當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)）：,3.求出在ROC右邊的所有極點(diǎn)處的留數(shù)之和，并加負(fù)號(hào)，它們構(gòu)成了的反因果部分。,2.求出在ROC左邊的所有極點(diǎn)處的留數(shù)之和，它們構(gòu)成了的因果部分。,例3.,的極點(diǎn)位于ROC的右邊，位于ROC的左邊。,可以用零極點(diǎn)圖表示的特征。當(dāng)ROC包括軸時(shí)，以代入，就可以得到。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法從零極點(diǎn)圖求得的特性。這在定性分析系統(tǒng)頻率特性時(shí)有很大用處。,GeometricEvaluationoftheFourierTransformfromthePole-ZeroPlot,9.4由零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換幾何求值,1.單零點(diǎn)情況：,矢量稱為零點(diǎn)矢量，它的長度表示,其幅角即為。,零點(diǎn),要求出時(shí)的，可以作兩個(gè)矢量和，則。,極點(diǎn),直接由極點(diǎn)向點(diǎn)作矢量（稱為極點(diǎn)矢量），其長度的倒量為,幅角的負(fù)值為。,2.單極點(diǎn)情況：,因此有:,對(duì)有理函數(shù)形式的,3.一般情況：,即：從所有零點(diǎn)向點(diǎn)作零點(diǎn)矢量，從所有極點(diǎn)向點(diǎn)作極點(diǎn)矢量。所有零點(diǎn)矢量的長度之積除以所有極點(diǎn)矢量的長度之積即為。所有零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之和即為。,當(dāng)取為軸上的點(diǎn)時(shí)，即為傅里葉變換的幾何求值?？疾樵谳S上移動(dòng)時(shí)所有零、極點(diǎn)矢量的長度和幅角的變化，即可得出的幅頻特性和相頻特性。,例1.一階系統(tǒng)：,例2.二階系統(tǒng)：,1.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。起主要作用。隨著,兩極點(diǎn)相向移動(dòng)，向處靠攏。,2.當(dāng)時(shí)，兩極點(diǎn)重合于處，成為二階極點(diǎn)。系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。,3.進(jìn)一步減小，則二階極點(diǎn)分裂為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且隨的減小而逐步靠近軸。極點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡根軌跡是一個(gè)半徑為的圓周。,此時(shí)系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，隨著，位于第2象限的極點(diǎn)矢量比第3象限的極點(diǎn)矢量更短，因此它對(duì)系統(tǒng)特性的影響較大（被稱為主極點(diǎn)）。,當(dāng)時(shí)，由于該極點(diǎn)矢量變得很短，因而會(huì)使出現(xiàn)峰值。其峰點(diǎn)位于處，,峰值為,在時(shí)，若認(rèn)為主極點(diǎn)矢量增長倍時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻率，則可以近似確定此時(shí)的系統(tǒng)帶寬約為。,4.當(dāng)時(shí)，兩極點(diǎn)分別位于軸上的處，此時(shí)系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)。,系統(tǒng)的相位特性也可以從零極點(diǎn)圖得到。此時(shí)，只需考察當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸移動(dòng)時(shí)所有極點(diǎn)矢量和所有零點(diǎn)矢量的幅角變化，用所有零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之和，即可得到系統(tǒng)的相位特性。,例3.全通系統(tǒng)：,考查零極點(diǎn)對(duì)稱分布的系統(tǒng),（一階全通系統(tǒng)）,該系統(tǒng)的在任何時(shí)候都等于1，所以稱為全通系統(tǒng)。,其相位特性,全通系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布呈四角對(duì)稱特征。,全通系統(tǒng)被廣泛用于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行相位均衡。,例4.最小相位系統(tǒng)：,顯然這兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性是相同的。但零點(diǎn)在左半平面的系統(tǒng)其相位總小于零點(diǎn)在右半平面的系統(tǒng)。因此將零極點(diǎn)均位于左半平面的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。,工程應(yīng)用中設(shè)計(jì)的各種頻率選擇性濾波器，如：Butterworth、Chebyshev、Cauer濾波器都是最小相位系統(tǒng)。,當(dāng)工程應(yīng)用中要求實(shí)現(xiàn)一個(gè)非最小相位系統(tǒng)時(shí)，通常采用將一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。,從本質(zhì)上講系統(tǒng)的特性是由系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布決定的。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)質(zhì)上就是優(yōu)化其零、極點(diǎn)的位置。,PropertiesoftheLaplaceTransform,9.5拉氏變換的性質(zhì),拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于ROC的討論。,1.線性（Linearity）：,若,而,ROC擴(kuò)大為整個(gè)S平面。,當(dāng)與無交集時(shí)，表明不存在。,例.,（原因是出現(xiàn)了零極點(diǎn)相抵消的現(xiàn)象）,2.時(shí)移性質(zhì)（TimeShifting）:,若,3.S域平移（Shiftinginthes-Domain）:,表明的ROC是將的ROC平移了一個(gè)。這里是指ROC的邊界平移。,例.,顯然,4.時(shí)域尺度變換（TimeScaling）:,若,則,當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)收斂,可見：若信號(hào)在時(shí)域尺度變換，其拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。,特例,5.共軛對(duì)稱性（Conjugation）：,如果是實(shí)信號(hào)，且在有極點(diǎn)（或零點(diǎn)），則一定在也有極點(diǎn)（或零點(diǎn)）。這表明：實(shí)信號(hào)的拉氏變換其復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)必共軛成對(duì)出現(xiàn)。,當(dāng)為實(shí)信號(hào)時(shí)，有：,由此可得以下重要結(jié)論：,或,包括,6.卷積性質(zhì):（ConvolutionProperty）,顯然有:,例.,ROC擴(kuò)大,原因是與相乘時(shí)，發(fā)生了零極點(diǎn)相抵消的現(xiàn)象。當(dāng)被抵消的極點(diǎn)恰好在ROC的邊界上時(shí)，就會(huì)使收斂域擴(kuò)大。,7.時(shí)域微分:（DifferentiationintheTimeDomain）,8.S域微分:（Differentiationinthes-Domain）,9.時(shí)域積分:（IntegrationintheTimeDomain）,若,包括,如果是因果信號(hào)，且在不包含奇異函數(shù)，則,初值定理,時(shí)，且在不包含奇異函數(shù)。,Proof:,將在展開為Taylor級(jí)數(shù)有：,10.初值與終值定理:（TheInitial-andFinal-ValueTheorems),對(duì)上式兩邊做拉氏變換：,如果是因果信號(hào)，且在不包含奇異函數(shù)，除了在可以有單階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)均在S平面的左半邊，則,終值定理,的實(shí)部可以大于零，因此,除了在可以有一階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在S平面的左半平面（即保證有終值），故的ROC中必包含軸。表明：,當(dāng)時(shí)，,極點(diǎn)在S平面的分布與信號(hào)終值的關(guān)系,AnalysisandCharacterizedofLTISystemsUsingtheLaplaceTransform,一.系統(tǒng)函數(shù)的概念：,以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立LTI系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即,其中是的拉氏變換，稱為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)。,9.7用拉氏變換分析與表征LTI系統(tǒng),這就是LTI系統(tǒng)的傅里葉分析。即是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。,這些方法之所以成立的本質(zhì)原因在于復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。當(dāng)以為基底分解信號(hào)時(shí)，LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)就是,如果的ROC包括軸，則和的ROC必定包括軸，以代入，即有,連同相應(yīng)的ROC也能完全描述一個(gè)LTI系統(tǒng)。系統(tǒng)的許多重要特性在及其ROC中一定有具體的體現(xiàn)。,；而以為基底分解信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)就是。,二.用系統(tǒng)函數(shù)表征LTI系統(tǒng)：,1.因果性：,如果時(shí)，則系統(tǒng)是因果的。,如果時(shí)，則系統(tǒng)是反因果的。,因此，因果系統(tǒng)的是右邊信號(hào)，其的ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊。由于反因果系統(tǒng)的是左邊信號(hào)，的ROC必是最左邊極點(diǎn)的左邊。,應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，由ROC的特征，反過來并不能判定系統(tǒng)是否因果。ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊并不一定系統(tǒng)因果。,2.穩(wěn)定性：,如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則有。因此必存在。意味著的ROC必然包括軸。,只有當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，逆命題才成立。,綜合以上兩點(diǎn)，可以得到：因果穩(wěn)定系統(tǒng)的，其全部極點(diǎn)必須位于S平面的左半邊。,顯然，ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊。,的全部極點(diǎn)都在S平面的左半邊。,的ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊，但是非有理函數(shù)，系統(tǒng)是非因果的。,由于ROC包括軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。,而對(duì)系統(tǒng),仍是非有理函數(shù)，ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊，但由于，系統(tǒng)是因果的。,結(jié)論：,如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且全部極點(diǎn)位于S平面的左半平面，則系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。,2.如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且系統(tǒng)因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最左邊極點(diǎn)的左邊。,三.由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：,是一個(gè)有理函數(shù),的ROC需要由系統(tǒng)的相關(guān)特性來確定。,1）如果LCCDE具有一組全部為零的初始條件，則的ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊。,2）如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是因果的，則的ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊。,3）如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則的ROC必包括軸。,四.系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系:,自學(xué)。請(qǐng)關(guān)注例9.25、9.26、9.27,五.Butterworth濾波器:,通常Butterworth濾波器的特性由頻率響應(yīng)的模平方函數(shù)給出。對(duì)N階Butterworth低通濾波器有：,（N為濾波器的階數(shù)）,由于,Butterworth濾波器的沖激響應(yīng)應(yīng)該是實(shí)信號(hào)，,將函數(shù)拓展到整個(gè)S平面有：,共有2N個(gè)極點(diǎn),表明N階Butterworth低通濾波器模平方函數(shù)的全部2N個(gè)極點(diǎn)均勻分布在半徑為的圓周上。,極點(diǎn)分布的特征：,極點(diǎn)分布總是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。,相鄰兩極點(diǎn)之間的角度差為。,軸上不會(huì)有極點(diǎn)。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)在實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)時(shí)實(shí)軸上無極點(diǎn)。,2N個(gè)極點(diǎn)等間隔均勻分布在半徑為的圓周上。,要實(shí)現(xiàn)的濾波器應(yīng)該是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，因此位于左半平面的N個(gè)極點(diǎn)一定是屬于的。,據(jù)此，確定出后，也就可以綜合出一個(gè)Butterworth濾波器。,9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示,SystemFunctionAlgebraandBlockDiagramRepresentations,一.系統(tǒng)互聯(lián)時(shí)的系統(tǒng)函數(shù)：,1.級(jí)聯(lián)：,包括,3.反饋聯(lián)結(jié)：,2.并聯(lián)：,包括,包括,二.LTI系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)：,LTI系統(tǒng)可以由一個(gè)LCCDE來描述。,對(duì)其進(jìn)行拉氏變換有：,是一個(gè)有理函數(shù),1.級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)：,將的分子和分母多項(xiàng)式因式分解,這表明：一個(gè)N階的LTI系統(tǒng)可以分解為若干個(gè)二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。在N為偶數(shù)時(shí)，可以全部組合成二階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式。,其中,如果N為奇數(shù)，則有一個(gè)一階系統(tǒng)出現(xiàn)。,2.并聯(lián)結(jié)構(gòu)：,將展開為部分分式(假定的分子階數(shù)不高于分母階數(shù)，所有極點(diǎn)都是單階的），則有：,將共軛成對(duì)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)合并:,（N為偶數(shù)時(shí)）,N為偶數(shù)時(shí)又可將任意兩個(gè)一階項(xiàng)合并為二階項(xiàng)，由此可得出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)：,TheUnilateralLaplaceTransform,單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號(hào)的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對(duì)分析LCCDE描述的增量線性系統(tǒng)具有重要的意義。,一.定義:,如果是因果信號(hào)，對(duì)其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。,9.9單邊拉普拉斯變換,單邊拉氏變換也同樣存在ROC。其ROC必然遵從因果信號(hào)雙邊拉氏變換時(shí)的要求，即：一定位于最右邊極點(diǎn)