廣東省汕頭市2015-2016年高二下期末數(shù)學試卷(文)含答案解析

第 1 頁（共 21 頁） 2015年廣東省汕頭市高二（下）期末數(shù)學試卷（文科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 M=x| 1 x 1， N=x|4， x Z，則（ ） A MN=0 B N M C M N D M N=N 2設(shè) i 是虛數(shù)單位， a R，若 i（ ）是一個純虛數(shù)，則實數(shù) a 的值為（ ） A B 1 C 0 D 1 3下列四個函數(shù)中，既是定義域上的奇函數(shù)又在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)單調(diào)遞增的是（ ） A y= y= y=D y=雙曲線 =1 的離心率為（ ） A B C D 5已知變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的最大值是（ ） A B 0 C D 1 6某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中的弧線是半徑為 1 的四分之一個圓弧，則該幾何體的體積為（ ） A 1 B 2 C 1 D 1 7一個算法的程序框圖如圖所示，該程序輸出的結(jié)果為（ ） 第 2 頁（共 21 頁） A B C D 8直線 x y+m=0 與圓 x2+ 相交的一個充分不必要條件是（ ） A 0 m 1 B 4 m 2 C m 1 D 3 m 1 9函數(shù) f（ x） =2x+） | ）的圖象向左平移 個單位后關(guān)于原點對稱，則 等于（ ） A B C D 10經(jīng)過函數(shù) y= 圖象上一點 M 引切線 l 與 x 軸、 y 軸分別交于點 A 和點 B， O 為坐標原點，記 面積為 S，則 S=（ ） A 8 B 4 C 2 D 1 11已知向量 | |=1， | |=2 且 =0，又 = +2 ， =m n ， ，則 等于（ ） A B 1 C 1 D 2 12已知 a 0，若函數(shù) 且 g（ x） =f（ x） +2a 至少有三個零點，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 1 B（ 1， 2 C（ 1， +） D 1， +） 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，將正確答案填在答卷相應(yīng)的位置上 ） 13如果 x+ ） = ，則 x） = 14當 x 0 時， f（ x） = x 的最小值是 第 3 頁（共 21 頁） 15數(shù)學與文學有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩： “兒憶父兮妻憶夫 ”，既可以順讀也可以逆讀，數(shù)學中有回文數(shù)，如 343， 12521 等，兩位數(shù)的回文數(shù)有 11、 22、 33、 99 共 9 個，則三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率是 16已知正方體 棱長為 4，點 E 是線 的中點，則三棱錐 A 三、解答題（ 6 小題，滿分 60 分 明過程或結(jié)算步驟） 17已知數(shù)列 各項均是正數(shù)，其前 n 項和為 足 （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）設(shè) （ n N*），求數(shù)列 前 2n 項和 18某校對高三部分學生的數(shù)學質(zhì)檢成績作相對分析 （ 1）按一定比例進行分層抽樣抽取了 20 名學生的數(shù)學成績，并用莖葉圖（圖 1）記錄，但部分數(shù)據(jù)不小心丟失了，已知數(shù)學成績 70， 90）的頻率是 補全表格并繪制相應(yīng)頻率分布直方圖（圖 2） 分數(shù)段（分） 50， 70） 70， 90） 90， 110） 110， 130） 130， 150） （ 2）為考察學生的 物理成績與數(shù)學成績是否有關(guān)系，抽取了部分同學的數(shù)學成績與物理成績進行比較，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表： 物理成績優(yōu)秀 物理成績一般 合計 數(shù)學成績優(yōu)秀 15 3 18 數(shù)學成績一般 5 17 22 合計 20 20 40 能夠有多大的把握，認為物理成績優(yōu)秀與數(shù)學成績優(yōu)秀有關(guān)系？ P（ 0 4 頁（共 21 頁） 19如圖，在四棱錐 P ，側(cè)棱 C=，底面 直角梯形，其中 （ 1）求證：側(cè)面 底面 （ 2）求三棱錐 P 表面積 20在直角坐標系 ，曲線 C： + 的右頂點是 A、上頂點是 B （ 1）求以 直徑的圓 E 的標準方程； （ 2）過點 D（ 0， 2）且斜率為 k（ k 0）的直線 l 交曲線 C 于兩點 M， N 且 =0，其中 O 為坐標原點，求直線 l 的方程 21已知函數(shù) f（ x） =x （ 1）求函數(shù) f（ x）的極值； （ 2）設(shè)函數(shù) g（ x） =（ m 1） x+n，若對 x R， f（ x）恒不小于 g（ x），求 m+n 的最大值 請考生在第 (22)(23)(24)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個題目計分 .選修4何證明選講 22如 圖， O 的直徑， O 的切線 延長線交于點 C （ 1）求證： A、 O、 E、 D 四點共圓； （ 2）若 B=30，求 選修 4標系與參數(shù)方程 23在平面直角坐標系 ，以原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系已知曲線C 的極坐標方程是 ，曲線 D 的參數(shù)方程是： （ 為參數(shù)） （ 1）求曲線 C 與曲線 D 的直角坐標方程； （ 2）若曲線 C 與曲線 D 相交于 A、 B 兩點，求 | 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f（ x） =|x | |x+ |最大值為 M， 第 5 頁（共 21 頁） （ 1）求實數(shù) M 的值； （ 2）若 x R， f（ x） 2+ ） t 恒成立，求實數(shù) t 的取值范圍 第 6 頁（共 21 頁） 2015年廣東省汕頭市高二（ 下）期末數(shù)學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 M=x| 1 x 1， N=x|4， x Z，則（ ） A MN=0 B N M C M N D M N=N 【考點】 集合的表示法 【分析】 化簡集合 N，利用集合的交集的定義，即得出結(jié)論 【解答】 解： 集合 M=x| 1 x 1， N=x|4， x Z= 1， 0， 1， MN=0， 故選： A 2設(shè) i 是虛數(shù)單位， a R，若 i（ ）是一個純虛數(shù)，則實 數(shù) a 的值為（ ） A B 1 C 0 D 1 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 根據(jù)所給的復(fù)數(shù)是一個純虛數(shù)，得到這個復(fù)數(shù)的實部等于 0 且虛部不等于 0，得到結(jié)果 【解答】 解： i（ ）是純虛數(shù)， 即 a+2i 是純虛數(shù)， a=0， a=0 故選： C 3下列四個函數(shù)中，既是定義域上的奇函數(shù)又在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)單調(diào)遞增的是（ ） A y= y= y=D y=考點】 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明 【分析】 根據(jù)奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)圖象的對稱性，以及 y=余弦函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)、反比例函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷每個選項的正誤，從而找出正確選項 【解答】 解： y=定義域上沒有單調(diào)性， 在定義域上單調(diào)遞減， y=圖象不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)， y=奇函數(shù)，且在 R 上單調(diào)遞增 故選： A 4雙曲線 =1 的離心率為（ ） A B C D 第 7 頁（共 21 頁） 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)雙曲線的方程求出 a， b， c 即可 【解答】 解：由 =1 得 4， 6， 則 c2=a2+4+36=100， 則 a=8， c=10， 則雙曲線的離心率 e= = = ， 故選： B 5已知變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的最大值是（ ） A B 0 C D 1 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求最大值 【解答】 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分） 由 z=2x+y 得 y= 2x+z+ ， 平移直線 y= 2x+z+ ， 由圖象可知當直線 y= 2x+z+ 經(jīng)過點 B 時， 直線 y= 2x+z+ 的截距最大， 此時 z 最大 由 ，解得 ，即 B（ ， ）， 代入目標函數(shù) z=2x+y 得 z=2 + =1 即目標函數(shù) z=2x+y 的最大值為 1 故選： D 第 8 頁（共 21 頁） 6某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中的弧線是半徑為 1 的四分之一個圓弧，則該幾何體的體積為（ ） A 1 B 2 C 1 D 1 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖得到幾何體是棱長為 1 的正方體挖去底面半徑為 1 的 圓柱，間接法求體積即可 【解答】 解：由已知三視圖得到幾何體是棱長為 1 的正方體挖去底面半徑為 1 的 圓柱，正方體的條件為 1， 圓柱的體積為 ，所以其體積為 1 ； 故選 C 7一個算法的程序框圖如圖所示，該程序輸出的結(jié)果為（ ） 第 9 頁（共 21 頁） A B C D 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， i 的值，當 i=6 時不滿足條件 i 5，輸出 S 的值，利用裂項法即可計算得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 i=1， S=0 滿足條件 i 5，執(zhí)行循環(huán)體， S= ， i=2 滿足條件 i 5，執(zhí)行循環(huán)體， S= + ， i=3 滿足條件 i 5，執(zhí)行循環(huán)體， S= + + ， i=4 滿足條件 i 5，執(zhí)行循環(huán)體， S= + + + ， i=5 滿足條件 i 5，執(zhí) 行循環(huán)體， S= + + + + ， i=6 不滿足條件 i 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值 由于 S= + + + + =（ 1 ） +（ ） +（ ） =1 = 故選： B 8直線 x y+m=0 與圓 x2+ 相交的一個充分不必要條件是（ ） A 0 m 1 B 4 m 2 C m 1 D 3 m 1 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 把直線與圓的方程聯(lián)立，消去 y 得到一個關(guān)于 x 的一元二次方程，根據(jù)直線與圓有兩個不同的交點得到此方程有兩個不等的實根，即 0，列出關(guān)于 m 的不等式，求出不等式的解集得到 m 的范圍，在四個選項中找出解集的一個真子集即為滿足題意的充分不必要條件 【解答】 解：聯(lián)立直線與圓的方程，消去 y 得： 2mx+1=0， 由題 意得： =（ 2m） 2 8（ 1） = 4 0， 第 10 頁（共 21 頁） 解得： m ， 0 m 1 是 m 的一個真子集， 直線 x y+m=0 與圓 x2+ 相交的一個充分不必要條件是 0 m 1 故選 A 9函數(shù) f（ x） =2x+） | ）的圖象向左平移 個單位后關(guān)于原點對稱，則 等于（ ） A B C D 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 由條件根據(jù)函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱 性可得+=k z，由此根據(jù) | 求得 的值 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =2x+） | ）的圖象向左平移 個單位后，得到函數(shù)y=（ x+ ） +=2x+ +）的圖象， 再根據(jù)所得圖象關(guān)于原點對稱，可得 +=k z， = ， 故選： D 10經(jīng)過函數(shù) y= 圖象上一點 M 引切線 l 與 x 軸、 y 軸分別交于點 A 和點 B， O 為坐標原點，記 面積為 S，則 S=（ ） A 8 B 4 C 2 D 1 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 利用導(dǎo)數(shù)可求得切線 l 的斜率及方程， 從而可求得 l 與兩坐標軸交于 A， B 兩點的坐標，繼而可求 面積 【解答】 解：設(shè) M（ 曲線 y= 上任一點，則 y= ， y= ，設(shè)過曲線 y= 上一點 M 的切線 l 的斜率為 k， 則 k= ， 切線 l 的方程為： y+ = （ x 當 x=0 時， y= ，即 B（ 0， ）； 當 y=0 時， x=2 A（ 20）； 第 11 頁（共 21 頁） S | |2| |=4 故選： B 11已知向量 | |=1， | |=2 且 =0，又 = +2 ， =m n ， ，則 等于（ ） A B 1 C 1 D 2 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 根據(jù)向量共線的等價條件建立方程關(guān)系進行求解即可 【解答】 解： 向量 | |=1， | |=2 且 =0 與 不共線， = +2 ， =m n ， ， 設(shè) =x ， 則 x（ +2 ） =m n ， 即 ，則 = ， 故選： A 12 已知 a 0，若函數(shù) 且 g（ x） =f（ x） +2a 至少有三個零點，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 1 B（ 1， 2 C（ 1， +） D 1， +） 【考點】 函數(shù)零點的判定定理 【分析】 把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，然后畫出 a=1 及 a=2 時的分段函數(shù)的簡圖，由圖判斷 a=1 及 a=2 時滿足題意，結(jié)合選項得答案 【解答】 解：函數(shù) g（ x） =f（ x） +2a 的零點的個數(shù)等價于方程 f（ x） = 2a 根的 個數(shù)， 即函數(shù) y=f（ x）的圖象與直線 y= 2a 交點的個數(shù)，利用特殊值驗證法： 當 a=1 時， y=f（ x）的圖象如圖： 滿足題意； 當 a=2 時， y=f（ x）的圖象如圖： 第 12 頁（共 21 頁） 滿足題意 結(jié)合選項可知， a 的范圍是 D 故選： D 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，將正確答案填在答卷相應(yīng)的位置上） 13如果 x+ ） = ，則 x） = 【考點】 三角函數(shù)的化簡求值 【分析】 利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式首先化簡再求值 【解答】 解：由已知得到 ，而 x） =； 故答案為： 14當 x 0 時， f（ x） = x 的最小值是 2 【考點】 基本不等式；函數(shù)的最值及其幾何意義 【分析】 由 x 0，可得 x 0，函數(shù) f（ x）化為 f（ x） =（ x） + ，運用基本不等式，計算即可得到所求最小值和 x 的值 【解答】 解：當 x 0 時， x 0， 即有 f（ x） = x =（ x） + 2 =2 當且僅當 x= 時， f（ x）取得最小值 2 故答案為： 2 15數(shù)學與文學有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩： “兒憶父兮妻憶夫 ”，既可以順讀也可以逆讀，數(shù)學中有回文數(shù)，如 343， 12521 等，兩位數(shù)的回文數(shù) 有 11、 22、 33、 99 共 9 個，則三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率是 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 第 13 頁（共 21 頁） 【分析】 利用列舉法列舉出所有的三位回文數(shù)的個數(shù)，再列舉出其中所有的偶數(shù)的個數(shù)，由此能求出結(jié)果 【解答】 解：三位數(shù)的回文數(shù)為 A 共有 1 到 9 共 9 種可能，即 123B 共有 0 到 9 共 10 種可能，即 共有 9 10=90 個， 其中偶數(shù)為 A 是偶數(shù)，共 4 種可能，即 2468 B 共有 0 到 9 共 10 種可能，即 其有 4 10=40 個， 三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率 p= 故答案為： 16已知正方體 棱長為 4，點 E 是線 的中點，則三棱錐 A 36 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 三棱錐 A 接球為四棱錐 E 接球，利用勾股定理建立方程，求出球的 半徑，即可求出三棱錐 A 接球體 【解答】 解：三棱錐 A 接球為四棱錐 E 接球， 設(shè)球的半徑為 R，則 2 ） 2+（ 4 R） 2， R=3， 三棱錐 A 接球體積為 =36 故答案為： 36 三、解答題（ 6 小題，滿分 60 分 明過程或結(jié)算步驟） 17已知數(shù)列 各項均是正數(shù)，其前 n 項和為 足 （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）設(shè) （ n N*），求數(shù)列 前 2n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ 1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出； 第 14 頁（共 21 頁） （ 2） n 為奇數(shù)時， =n 2 n 為偶數(shù)時， 分組分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公 式即可得出 【解答】 解：（ 1）由 =4 ，兩式相減得 =， 得 = ， 又 1=4 得 故數(shù)列 以 2 為首項， 為公比的等比數(shù)列 故 = （ 2） n 為奇數(shù)時， =n 2 n 為偶數(shù)時， b1+1） +（ b2+ = 1+1+（ 2n 3） + + = + =2n+ 18某校對高三部分學生的數(shù)學質(zhì)檢成績作相對分析 （ 1）按一定比例進行分層抽樣抽取了 20 名學生的數(shù)學成績，并用莖葉圖（圖 1）記錄，但部分數(shù)據(jù)不小心丟失了，已知數(shù)學成績 70， 90）的頻率是 補全表格并繪制相應(yīng)頻率分布直方圖（圖 2） 第 15 頁（共 21 頁） 分數(shù)段（分） 50， 70） 70， 90） 90， 110） 110， 130） 130， 150） （ 2）為考察學生的物理成績與數(shù)學成績是否有關(guān)系，抽取了部分同學的數(shù)學成績與物理成績進行比較，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表： 物理成績優(yōu)秀 物理成績一般 合計 數(shù)學成績優(yōu)秀 15 3 18 數(shù)學成績一般 5 17 22 合計 20 20 40 能夠有多大的把握，認為物理成績優(yōu)秀與數(shù)學成績優(yōu)秀有關(guān)系？ P（ 0 考點】 獨立性檢驗的應(yīng)用；頻率分布直方圖 【分析】 （ 1）利用莖葉圖，可得表格及頻率分布直方圖； （ 2）求出 臨界值比較，即可得出結(jié)論 【解答】 解：（ 1） 分數(shù)段 （分） 50， 70） 70， 90） 90， 110） 110， 130） 130， 150 率分布直方圖 （ 2）假設(shè)學生的物理成績與數(shù)學成績沒有關(guān)系， 則 有 把握認為物理成績優(yōu)秀與數(shù)學成績優(yōu)秀有關(guān)系 19如圖，在四棱錐 P ，側(cè)棱 C=，底面 直角梯 形，其中 （ 1）求證：側(cè)面 底面 （ 2）求三棱錐 P 表面積 第 16 頁（共 21 頁） 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）取 點 O，連接 用等腰三角形的性質(zhì)可得 又底面 直角梯形，可得四邊形 正方形， ，由 得 此 平面 可證明側(cè)面 底面 （ 2） S ， S 利用已知可得： 是邊長為的等邊三角形，故 S 即可得出 【解答】 證明：（ 1）取 點 O，連接 D= ， 得 又底面 直角梯形，其中 O 為 點，故四邊形 正方形， 故 ， 故 ， O=O， 故 平面 平面 故側(cè)面 底面 解：（ 2） S = =1， S = =1 ， A=， ， = ， 故 是邊長為 的等邊三角形， 故 S = 三棱錐 P 表面積 S=2+ 第 17 頁（共 21 頁） 20在直角坐標系 ，曲線 C： + 的右頂點是 A、上頂點是 B （ 1）求以 直徑的圓 E 的標準方程； （ 2）過點 D（ 0， 2）且斜率為 k（ k 0）的直線 l 交曲線 C 于兩點 M， N 且 =0，其中 O 為坐標原點，求直線 l 的方程 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）求出圓心與半徑，即可求以 直徑的圓 E 的標準方程； （ 2）直線 l： y= 聯(lián)立 C 整理得（ 1+462=0，利用向量知識及韋達定理，求出 k，即可求直線 l 的方程 【解答】 解：（ 1）依題意點 A（ 2， 0）、 B（ 0， 1） 故線段 中點 E（ 1， ）， 所求圓 E 的半徑 r= ， 故圓 E 的標準方程 為（ x 1） 2+（ y ） 2= （ 2）依題意，直線 l： y= 聯(lián)立 C 整理得（ 1+462=0， 此時 =16（ 43） 0，又 k 0，故 k 設(shè) M（ N（ 則 x1+ ， =k（ x1+（ 1+= =0， 由 k 0 得 k=2 故所求直線 l 的方程是 y=2x+2 21已知函數(shù) f（ x） =x （ 1）求函數(shù) f（ x）的極值； （ 2）設(shè)函數(shù) g（ x） =（ m 1） x+n，若對 x R， f（ x）恒 不小于 g（ x），求 m+n 的最大值 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）求導(dǎo)數(shù) f（ x） =1，解 f（ x） 0 和 f（ x） 0 便可得出函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù) f（ x）的極小值，并判斷沒有極大值； （ 2）根據(jù)條件可得出，對任意的 x R，都有 n 0 成立，然后令 u（ x） =n，求導(dǎo) u（ x） =m，討論 m 的取值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號求函數(shù)的最小值，從而得出 m+n 2m 樣根據(jù)導(dǎo)數(shù)便可求出 2m 最大值，這樣即可求出 m+n 的最大值 【解答】 解：（ 1）依題意 f（ x） =1； 令 f（ x） 0 得 x 0 令 f（ x） 0 得 x 0 故函數(shù) f（ x）在（ ， 0）單調(diào)遞減，在（ 0， +）單調(diào)遞增 故函數(shù) f（ x）的極小值為 f（ 0） =1，沒有極大值 （ 2）依題意對 x R， f（ x） g（ x），即 x （ m 1） x+n，即 n 0 恒成立 第 18 頁（共 21 頁） 令 u（ x） =n，則 u（ x） =m 若 m 0，則 u（ x） 0， u（ x）在 R 上單調(diào)遞增，沒有最小值，不符題意，舍去 若 m 0，令 u（ x） =0 得 x= u（ x） 0，即 x （ ， ， u（ x）單調(diào)遞減； 當 u（ x） 0，即 x （ +）時， u（ x）單調(diào)遞增 故 =m n 0； 故 m+n 2m q（ m） =2m q（ x） =1 m （ 0， e）時， q（ x） 0， q（ x）單調(diào)遞增； 當 m （ e， +）時， q（ x） 0， q（ x）單調(diào)遞減 故 q（ x） q（ e） =2e e，即 m+n e，即 m+n 的最大值是 e 請考生在第 (22)(23)(24)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個題目計分 .選修4何證明選講 22如圖， O 的直徑， O 的切線 延長線交于點 C （ 1）求證： A、 O、 E、 D 四點共圓； （ 2）若 B=30，求 【考點】 與圓有關(guān)的比例線段 【分析】 （ 1）連接