天津市2017屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練：立體幾何

天津市 2017 屆高三數(shù)學(xué) 理 一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練 立體幾何 一、選擇、填空題 1、（ 2016 年天津市高考） 已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位： m），則該四棱錐的體積為 _2、（ 2015 年天津市高考） 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為 3m. 第 2 題 第 3 題 3、（ 天津市八校 2016 屆高三 12 月 聯(lián)考 ） 某幾何體三視圖如 右上 圖所示，則該幾何體的體積為 ( ) A 82 B 8 C 82D 844、（ 和平區(qū) 2016 屆高三第四次模擬） 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位 ，則該幾何體的體積為 _ 3 第 4 題 第 5 題 5、（ 河北區(qū) 2016 屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)（三） ） 某空間 幾何體的三視圖如 右上 圖所示， 則該幾何體的體積為 （ A） 24 （ B） 40 （ C） 36 6、（ 河北區(qū) 2016 屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)（ 一 ） ） 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該 幾何體的體積為 _ 7、（ 河?xùn)|區(qū) 2016 屆高三第二次模擬 ）如右圖 所示，一款兒童玩具的 三視圖中俯視圖是以 3 為半徑的圓，則該兒童玩具的 體積 為 _ 8、（ 河西區(qū) 2016 屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一） ） 某空間幾何體的三視圖如 右上 圖所示，則該幾何體的體積為 . 9、（ 紅橋區(qū) 2016 屆高三上學(xué)期期末考試 ） 一個(gè)俯視圖為正方形的幾何體的三視圖如右圖所示， 則該幾何體的體積為 （ A） 2 （ B） 43（ C） 23（ D） 1310、（ 天津市六校 2016 屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考 ） 若某幾何體的的三視圖如圖所示 ,則該幾何體的表面積為 第 10 題 第 11 題 11、（ 天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)高中 2016 屆高三畢業(yè)班第一次聯(lián)考 ） 一個(gè)機(jī)器零件的三視圖如 右上 圖所示，其中俯視圖是一個(gè)半圓內(nèi)切于邊長(zhǎng)為 3 的正方形，則該機(jī)器零件的體積為 12、（ 天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校 2016 屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考（二） ） 某幾何體的三視圖如圖所示，其 俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是 _ 第 12 題 第 13 題 13、（ 武清區(qū) 2016 屆高三 5 月質(zhì)量調(diào)查（三） ） 如右上圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為 二、解答題 1、（ 2016 年天津市高考） 如圖，正方形 中心為 O，四邊形 矩形，平面 面 G 為 中點(diǎn)， E=2. （ I）求證： 面 （ 二面角 正弦值； （ H 為線段 的點(diǎn)，且 3直線 平面 成角的正弦值 . 2 、（ 2015 年 天 津 市 高 考 ） 如 圖 ， 在 四 棱 柱1 1 1 1D A B C 側(cè) 棱1A A 底 面,C, 1=, 1 2 , 5A D= = = =,且點(diǎn) M 和 N 分別為11 (I)求證：平 面； (二面角 ( E 為棱11直線 平面 成角的正弦值為13，求線段13、 （ 和平區(qū) 2016 屆高三第四次模擬） 如圖，在底面為菱形的四棱錐 P 中，6 0 , 1 , 2A B C P A A C P B P D ，點(diǎn) E 在 ，且 2 （）求證： 平面 （）求二面角 E 的正弦值； （）在棱 是否存在點(diǎn) F 使得 面 若存在，試求 值；若不存在，請(qǐng)說明理由 4、（ 河北區(qū) 2016屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)（三） ） 如圖，在 直三 棱 柱1 1 1 B 1A A = A B = A C =，分別 是 1C， 的 中 點(diǎn)，11B， D 是11 點(diǎn) （ ） 求證： E ； （ ） 是否存在一點(diǎn) D ，使得 平面 平面 成的銳 二面角的余弦值為 1414？若存在，說明點(diǎn) D 的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由 5、（ 河北區(qū) 2016 屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)（ 一 ） ） 如圖，在四棱錐 P ， D ， D ，22A B = A D = A P = C D =， M 是棱 一點(diǎn) （ ）若 2 求證： 平面 （ ）若平面 平面 平面 平 面 求證： 平面 （ ）在（ ）的條件下，若二面角 B 的余弦值為 23，求 6、（ 河?xùn)|區(qū) 2016 屆高三第二次模擬 ） 如圖四棱錐 ，三角形 正三角形，邊長(zhǎng)為 2， 1 直于平面 O， O 為 中點(diǎn)， 1 （ 1）證明 ； （ 2）證明 /面 （ 3）平面 平面 成二面角 的余弦值 7、（ 河西區(qū) 2016 屆高三第二次模擬 ） 如圖， 直于梯形 在平面， 90 C ，F(xiàn) 為 點(diǎn)， 2 121 邊形 矩形 . （ ） 求證： 平面 （ ） 求 二面角 的大??； （ ）在線段 是否存在一點(diǎn) Q ，使得 平面 成角的大小為 30 ？ 若存在，求出 長(zhǎng)；若不存在，說明理由 8、（ 河西區(qū) 2016 屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一） ） 如圖，在四棱錐 中， 面 2 四邊形 足 ， 4點(diǎn) M 為 點(diǎn)，點(diǎn) E 為 上的動(dòng)點(diǎn)，且 （ ） 求證： 平面 （ ） 求證：平面 面 （ ）是否存在實(shí)數(shù) ，使得二面角 的余弦值為32？若存在，試求出實(shí) 數(shù) 的值；若不存在，說明理由 9、（ 紅橋區(qū) 2016 屆高三上學(xué)期期末考試 ） 已知長(zhǎng)方體1 1,A B B C棱1 2連結(jié)1 B 點(diǎn)作1 ，交1 （）求證：1平面 （）求點(diǎn) A 到平面11 （）求平面11E 所成角的正弦值 10、（ 天津市六校 2016 屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考 ） 如圖 ,三棱錐 S 中， 平面 2A C A B S A ， D ， E 分別是 中點(diǎn)， F 在 ，且 2E （）求證： 平面 （）在線段上 是否存在點(diǎn) G ，使二面角 G 的大小為 30 ？若存在， 求出 長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由 11、（ 天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)高中 2016 屆高三畢業(yè)班第一次聯(lián)考 ） 如圖，在四棱錐 A 中， 等邊三角形，平面 平面 /C , 4， 2EF a ， 60E B C F C B ，O 為 中點(diǎn) () 求證： E ； () 求二面角 F 的余弦值； () 若 直線 平面 成的角的正弦值 為562,求 實(shí)數(shù) a 的值 天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校 2016 屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考（二） ） 如圖，在四棱錐 P , 平面 ,D ,C 06 0 ,B C A 2A P A C A D ,E 為 中點(diǎn) , M 在 ,且 2B (I)求證： /面 (平面 平面 成銳二面角的余弦值； () 點(diǎn) F 是線段 異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn) ,若滿足異面直線 成角 045 ，求 長(zhǎng) . 13、（ 武清區(qū) 2016 屆高三 5 月質(zhì)量調(diào)查（三） ） 如圖， 四邊形 矩形 ，四邊形 直角梯形， ， 422 120 D C G 是 點(diǎn) （ 1） 求證： 平面 （ 2）求證： ； （ 3）若二面角 的大小為 150 ，求線段 長(zhǎng) 參考答案 一、填空、選擇題 1、 2 2、 【答案】83【解析】 試題分析： 由三視圖可知，該幾何體是中間為一個(gè)底面半徑為 1，高為 2的圓柱，兩端是底面半徑為 1，高為 的圓錐，所以該幾何體的體積22181 2 2 1 133V 3、 B 4、 16 5、 B 6、 16+ 7、 54 8、38 9、 C 10、 215 11、 927812、 31013、 3 二、解答題 1、 【答案】 （ ）詳見解析（ ） 33（ ） 721 1, 1, 0 , ( 1, 1, 0 ) , ( 1, 1, 0 ) , ( 1 1, 0 ) , ( 1, 1, 2 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 1, 0 , 0 )A B C D E F G ，. （ I）證明：依題意， ( 2 , 0 , 0 ) , 1 , 1 , 2A D A F 1 ,n x y z為平面 法向量，則1100n F ，即 2020xx y z z ，可得 1 0, 2,1n ，又 0,1, 2，可得1 0EG n，又因?yàn)橹本€ E G A D F 平 面 ，所以 /E G A D . （ ：由 23F，得 25A H A F 1, 1, 2 ，所以 2 2 2 4,5 5 5 5A H A F ，進(jìn)而有 3 3 4,5 5 5H ，從而 2 8 4,555 ，因此2227c o s ,21B H n 線 平面 成角的正弦值為 7212、 【答案】 (I)見解析； (31010； (72. 【解析】 試題分析：以 I)求出直線個(gè)向量的乘積等于0即可； (出兩個(gè)平面的法向量，可計(jì)算兩個(gè)平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可； (設(shè)1 1 1B，代入線面角公式計(jì)算可解出的值，即可求出1 試題解析：如圖，以 題意可得 ( 0 , 0 , 0) , ( 0 , 1 , 0) , ( 2 , 0 , 0) , ( 1 , 2 , 0)B C D ， 1 1 1 1( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 2 , 0 , 2 ) , ( 1 , 2 , 2 )A B C D ，又因?yàn)?11, ,1 , (1, 2 ,1)2 . (I)證明：依題意，可得(0,0,1)n為平面0, , 02， 由此可得，0MN n，又因?yàn)橹本€面 ，所以/I)1 (1 , 2 , 2 ) , ( 2 , 0 , 0)C ，設(shè)1 ( , , )n x y z為平面1 11100n C ，即2 2 020x y ，不妨設(shè) 1z，可得1 (0,1,1)n ， 設(shè)2 ( , , )n x y 21200n C ，又1 (0,1,2)，得 2020，不妨設(shè) 1z，可得2 (0, 2,1)n 因此有12121210c o s ,10 ，于是123 10si n , 10， 所以二面角11D 的正弦值為31010. (題意，可設(shè)1 1 1B，其中0,1，則(0, ,2)，從而( 1, 2,1) ，又(0,0,1)n為平面已知得 2 2 211c o s ,3( 1 ) ( 2 ) 1N E n ，整 理得2 4 3 0 ， 又因?yàn)?,1，解得72， 所以線段1 3、 證明：（）在菱形 ， 60 ， A C A B A D 1 分 1C， 1P A A B A D 2 分 2P B P D， 2 2 2 2 2 2,P A A B P B P A A D P D ,P A A B P A A D 3 分 A B A D A ， 平面 4 分 （）如圖，以 A 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得 1 3 1 3 1 3 10 , 0 , 0 , , , 0 , , , 0 , 0 , 0 , 1 , , ,2 2 2 2 3 3 3A C D P E ， 則 1 3 1 3 1, , 0 , , ,2 2 3 3 3A C A E 6 分 設(shè)平面 一個(gè)法向量為 ,x y zn ， 則 0013 0,221 3 1 0,3 3 3y z 設(shè) 1y ，可得 3 , 1, 2 3n 7 分 而平面 一個(gè)法向量為 0, 0,1， 0 0 2 3 3c o s ,1 4 2n 8 分 設(shè)所求二面角的平面角為 ， 則 2 1s i n 1 c o s ,2 n， 所以二面角 E 的正弦值為 12 9 分 （）因?yàn)?13, , 122， F 為 一點(diǎn)， 1,0,0B ， 則有 13, , 122P F P C ，故 F 點(diǎn)坐標(biāo)為 13, , 122 所以 131 , , 122 11 分 由（）可知平面 一個(gè)法向量為 3 , 1, 2 3n 若 面 則 133 1 2 3 1 022 n，得 12 則 1 3 1 2, , ,4 4 2 2P F P F ，即 值為 22 13 分 4、 證明： （ ） 11B，11A B B 又1面 1B 又1A A， 平面11 C 以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的 空間直角坐標(biāo)系， 則 1 1 1( 0 0 0 ) ( 0 1 ) ( 0 )2 2 2A E F， ， ， ， ， ， ， ， 設(shè) ( 0 1)D ， ， (0 1) ， 則 11( 1)22D F = - ， ， -， 1(0 1 )2 ， ， 11= = 022D F A E -， E 6 分 （ ）假設(shè) D 點(diǎn) 存在，設(shè)平面 法向量為 ()x y z ， ，n ， 則 ，111()222F E = - ， ， 11( 1)22D F = - ， ， -， 1 1 1 02 2 211( )022x y zx y z ， 3( 1) 02 取 3x ， 則 ( 3 1 2 2 (1 ) ， + ， 又平面 法向量為 (0 0 1) ， ，m ， 平面 平面 成的銳 二 面角的余弦值為 1414， 222 (1 ) 14c o 1 2 )1 ) ， + （4 解得 1=2或 7=4（舍） 當(dāng) D 為11 時(shí)，滿足條件 13 分 5、 證明： （ ）連結(jié) 交 點(diǎn) N ，連結(jié) 2D ， 2B=D 又 2M ， 2N 2 分 又 平面 平面 平面 4 分 （ ） 平面 平面 平面 面 D ， 平面 A 6 分 同理可證 A 7 分 又 D A ， 平面 8 分 （ ） 解： 以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 由 22A B = A D = A P = C D =， 得 ( 0 0 0 ) ( 0 2 0 ) ( 2 1 0 ) ( 2 0 0 ) ( 0 0 2 )A B C D P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（ ）可知平面 法向量為 (0 0 1) ， ，n 9 分 設(shè) 1)0 ，即 又 (0 2 2) ， ， - ， ( 0 2 2 2 )A M = ， ， - 設(shè)平面 法向量為 ()x y z ， ，m ， (2 1 0)， ， ， ( 0 2 2 2 )A M = ， ， - 202 ( 2 2 ) 0 y z，- ( 1 2 2 2 ) - ， - ， 11 分 二面角 B 的余弦值為 23， 22 2c o 0 + 5 ， 解得 1=2，即 12B 13 分 6、（ 1）如圖以 A 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 ,2,1 A （ 0， 0， 0） B （ 3 ， 0） C （ 3 ， 1， 0） D（ 0， 1， 0） O（23，21， 0） P （23，21， 1） 2 分 23，21， 1） 231，23， 0） 0 5 分 （ 2） 23，21， 1）， 3 ， 0）設(shè)平面 向量為 ),(1 0302123 令 1x ，則 1n （ 1， 3 ， 3 ） 7 分 23，21， 0） 01 9 分 （ 3） 23，21， 1） , 3 ， 0， 0） 設(shè)平面 向量為 ),(2 0302123 令 1y ，則 2n （ 0， 1，21） 11 分 35105,c o 平面 平面 成二面角 的余弦值為35105 13 分 7、 （ ） 解：以 D 為原點(diǎn)，以 在直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 1 分 由題意得， 0(D ， 0 ， )0 ， 1(A ， 0 ， )0 ， 1(B ， 1 ， )0 ， 0(C ， 2 ， )0 ， 0(E ， 2 ， )2 ， 0(P ，0 ， )2 ， 21(F ， 0 ， )22 ， 則 1( 2 ， )0 ，平面 一個(gè)法向量 n1 x( ， y ， )z ， 0( 2 ， )2 ， 21( 0 ， )22 ， 由0011 02221022 取 2z ，得 2( ， 2 ， )2 ， 因?yàn)?2(2)22(1 020 ， 所以 AC 平面 4 分 （ ） 解：設(shè) 平面 一個(gè)法向量 n2 x( ， y ， )z ， 1( 1 ， )2 ， 1( 1 ， )0 ， 由0022 002 取 1x ，得 ( ， 1 ， )2 ， 設(shè) 平面 一個(gè)法向量 ( ， 0 ， )1 ， 所以 32 , nn 6 分 由圖可知二面角 為銳二面角， 所以二面角 的大小為4. 8 分 （ ）解：設(shè)存在點(diǎn) Q 滿足條件，由21(F， 0 ， )22， 0(E ， 2 ， )2 ， 設(shè) （ 10 ），整理得21( Q， 2 ， )212 ）（ ， 21( 12 ， )212 ）（ ， 10 分 因?yàn)橹本€ 平面 成角的大小為 30 ， 所以 c o ， 則 12 ，由 10 ，所以 1 ，即 Q 點(diǎn)和 E 點(diǎn)重合， 故在線段 存在一點(diǎn) Q ，且219 13 分 8、 （ ） 以 A 為原點(diǎn)，以 在直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 1 分 由題意得， 0(A ， 0 ， )0 ， 2(B ， 0 ， )0 ， 2(C ， 4 ， )0 ， 0(D ， 2 ， )0 ， 0(P ， 0 ， )2 ， 1(M ， 2 ， )1 ， 則 1( 0 ， )1 ，平面 一個(gè)法向量 ( ， 1 ， )0 ， 因?yàn)?DM ，所以 DM 平面 4 分 （ ） 設(shè) 平面 一個(gè)法向量 n2 x( ， y ， )z ， 0( 2 ， )0 ， 1( 2 ， )1 ， 由0022 0202 取 1x ，得 ( ， 0 ， )1 ， 設(shè) 平面 一個(gè)法向量 n3 x( ， y ， )z ， 2( 0 ， )2 ， 2( 4 ， )2 ， 由0033 0242022 取 1x ，得 ( ， 0 ， )1 ， 因?yàn)?n21)1(0011 ，所以 所以 平面 面 8 分 （ ）解：設(shè)點(diǎn) 2(E ， t ， )0 )40( t ， 設(shè) 平面 一個(gè)法向量 n4 x( ， y ， )z ， 0( 2 ， )2 ， 2( t ， )2 ， 由0044 022022 取 2y ，得 n3 t 2( ， 2 ， )2 ， 10 分 平面 一個(gè)法向量 ( ， 0 ， )1 ， 54 ,(2254542 ，解得 3t 或 1t ， 12 分 所以 3 或31. 13 分 9、 （）證 :以 A 為原點(diǎn) , 1,D ,建立空間直角坐標(biāo)系 ,那么 (0,0,0)A 、 (1,0,0)B 、 (1,1,0)C 、 (0,1,0)D 、 1(0,0, 2)A 、 1(1,0,2)B 、 1(1,1,2)C 、 1(0,1, 2)D，1 (1,1, 2)， ( 1,1, 0 ) ， 2 分 設(shè) (1,1, )： (0,1, )BE z ，1 (0, 1, 2 )，1 C 1 1 2 0B E C B z ， 12z， 1(1,1, )2E， 1(0,1, )2，1 1 1 0 0A C B D ，1 0 1 1 0A C B E ， 11,A C B D A C B E， 分 又 B D B E B 1面 分 （）連結(jié)1 到平面11即三棱錐11A A B C的高 ,設(shè)為 h, 分1152A B ,1113C A B ,由 1 1 1 1A A B C C A B 得 : 1 5 13 2 3h, 255h , 點(diǎn) A 到平面 11距離是 255 9 分 （）連結(jié) 1 1 1 1,A C B E B C B E A C B C C ， 平面11 平面 11的射影， 是 平面 11成的角， （ 9 分） 設(shè) (1, , )F y z ，那么1( 0 , , ) , ( 1, 1, ) , ( 0 , 1, 2 )B F y z C F y z B C ，1 0 C 20 1/C ， 22 由、得 42,55， 1(1, 0, )2，11( 0 , , )5 1 0 11 分 在 ， 55,2 1 0D E E F 1s i F ，因此， 平面115 13 分 10、 （ 1）由 2A C A B S A ， B ， E 是 中點(diǎn)，得 2 因?yàn)?底面 所以 E 在 中， 6，所以 1633E F S E 因此 2A E E F S E，又因?yàn)?A E F A E S ， 所以 E F A E A S ， 則 90A F E S A E ，即 E 因?yàn)?底面 所以 C ，又 E ， 所以 底面 則 F 又 ，所以 平面 (向量法請(qǐng)酌情給分 ) （ 2）假設(shè)滿足 條件的點(diǎn) G 存在，并設(shè) DG t ( )10( t 以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 x ， y ， z 軸建立空間直線坐標(biāo) D ， 則 (0,0,0)A ， (0,0,2)S ， (1,1,0)E ， (1, ,0) 由 2E 得 222( , , )333F F 所以 )0,1,1( )32,32,32()0,1( 設(shè)平面 法向量為 ),( 111 ，則 由00即0032323211111取 1y 得 )1,1,( 設(shè)平 面 法向量為 ),( 222 ，則 由00即0032323222222取 1y ，即 )0,1,1(n 由 二面角 G 的大小為 30 ，得23|30c o s 0 化簡(jiǎn)得 22 5 2 0 ， 又 01t ，求得 12t 于是滿足條件的點(diǎn) G 存在，且 12 11、 解： () 由于 平面 平面 為等邊三角形， O 為 中 點(diǎn)，則 F ， C F 平面平面 ,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以 平面 平面則 E . 3 分 () 取 中點(diǎn) D，連接 以 O 為原點(diǎn)，分別以 、 為 、 、 4 分 )0,0,0(O ， )0,0,( )0,0,( ， )0,3,0( )2(3,0,2( ， )2(3,0,2( ， )2(3,0,2( 設(shè)平面 法向量 ),.( 00即0)2(3)2(03 1,3,1 )1,1,3( m 6 分 平面 法向量為 )1,0,0(n ， 7 分 二面角 F 的余弦值55,c 8 分 由二面角 F 為鈍二面角，所以二面角 F 的余弦值 為 55. 9 分 () )2(3,3,2( 10 分 設(shè)直線 平面 成角為 ， (33453422 12 分 )2,0(1 a 滿足題意 1a 13 分 12、解：以 A 為原點(diǎn)，建立如圖 的