靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)

1、第二章 靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng),2. 電介質(zhì) 所謂電介質(zhì)就是不導(dǎo)電的介質(zhì)，如空氣、純凈水、玻璃、橡膠等，它們的特點(diǎn)是絕大部分電荷處于束縛狀態(tài)，不像導(dǎo)體內(nèi)有自由移動(dòng)的電子。,圖2.1電介質(zhì)的極化,式中電位移矢量為,介質(zhì)中的高斯定理表示為,在線性的各向同性的電介質(zhì)中,例2.1在空氣中放入一個(gè)帶電量為Q、半徑為a的球體，該球體的相對(duì)介電常數(shù)為r。求該球體內(nèi)、外任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解（1） 球內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)到球心距離為r,做高斯面為以r為半徑的球面，如圖2.2所示。 由電場(chǎng)的對(duì)稱性可知，E和D的方向?yàn)閑r,所以,圖2.2,（2） 在球外，高斯面為半徑為r的球面，則高斯面包圍的自由電荷即是Q，即q

2、=Q 所以,例2.2電介質(zhì)中有一無限長(zhǎng)帶電直線，其線電荷密度為l,求空間任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為r。 解:做高斯面S如圖2.3所示，由對(duì)稱性可知電場(chǎng)強(qiáng)度E只有er分量Er,而 分量 、ez分量Ez被抵消了，均為零。,圖2.3,在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中任取一條曲線上的連續(xù)A、B兩點(diǎn)，如圖2.4所示，則靜電場(chǎng)E（r）沿此曲線的線積分為,圖2.4 靜電場(chǎng)的線積分,例2.3在靜電場(chǎng) 中,把帶電量為-2C的電荷從A(2,1,-1)點(diǎn)移到B(8,2,-1)點(diǎn)。求沿下列路徑移動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力所做的功，如圖2.5所示。,圖2.5,3. 靜電場(chǎng)環(huán)量定理,（1） 沿l1路徑： （2） 沿l2路徑：ACB。,

3、4. 靜電場(chǎng)的基本方程,人們把靜電場(chǎng)的高斯定理和環(huán)量定理稱為靜電場(chǎng)的基本方程的積分形式,靜電場(chǎng)基本方程的微分形式,解:根據(jù)靜電場(chǎng)的基本方程微分形式可知,例2.4已知在自由空間球坐標(biāo)系中電場(chǎng)分布為,求空間各點(diǎn)的體電荷密度分布。,2.2電位和電位方程,1. 電位,靜電場(chǎng)是無旋的矢量場(chǎng)，因此可以引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，這個(gè)標(biāo)量函數(shù)稱為電位函數(shù) 有如下關(guān)系：,設(shè)在空間兩點(diǎn)A、B，則它們的電位差為,兩點(diǎn)之間的電位差通常稱為電壓。 如果選取B點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，即 =0，則A點(diǎn)的電位為,例2.5對(duì)于例2.1求出球體內(nèi)、外任意一點(diǎn)的電位。 解:選取無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn) 則球體外半徑為r的A點(diǎn)的電位為,在球面坐標(biāo)系中,

4、對(duì)于球體內(nèi)半徑為r的點(diǎn)A，其電位為,2. 電位方程,泊松方程:,拉普拉斯方程,泊松方程在無界空間內(nèi)，已知場(chǎng)源電荷分布，可根據(jù)場(chǎng)源積分法算出電位。,那么對(duì)于連續(xù)帶電體，則可以取一電荷元dq，求出dq產(chǎn)生的電位，然后進(jìn)行積分,式中，R為場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的距離；為源點(diǎn)的區(qū)域。,對(duì)于體分布、面分布、線分布情況的電位分別表示為,體分布：,面分布：,線分布：,(2.25),(2.26),(2.27),例2.6在空氣中，半徑為a的圓平面上均布面電荷密度為s的電荷（s為常數(shù)）。求在圓平面中心垂直軸線上任意點(diǎn)處的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。,解:由式(2.26)可知,如圖2.6所示，,對(duì)上式求負(fù)梯度即得到電場(chǎng)強(qiáng)度E(z)，由對(duì)稱

5、性可知E(z)只有ez分量，所以,圖2.6,2.3靜電場(chǎng)的邊界條件,式(2.32)和式(2.33)是分界面上E的切向分量的邊界條件。,下面討論兩種典型的邊界條件 （1） 兩種電介質(zhì)的邊界 在兩種不同介質(zhì)的分界面上，沒有自由電荷，即 =0，所以式（2.30）和式(2.32)變?yōu)?D1n=D2n (2.34) E1t=E2t (2.35) 式(2.34)還可寫成電場(chǎng)強(qiáng)度法向分量的形式，即1E1n=2E2n (2.36) 由于兩種電介質(zhì)12，電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量在介質(zhì)分界面上是不連續(xù)的。這是因?yàn)殡妶?chǎng)對(duì)電介質(zhì)產(chǎn)生極化作用，而使在兩種不同的分界面上產(chǎn)生極化面電荷。,（2） 電介質(zhì)和導(dǎo)體的邊界 導(dǎo)體是一種自

6、身帶有大量自由電荷的物質(zhì)，在導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零。 設(shè)第一種媒質(zhì)為電介質(zhì)，第二種媒質(zhì)為導(dǎo)體，則D2n=0，E2t=0，所以電介質(zhì)與導(dǎo)體的邊界條件為,以上兩式說明，在導(dǎo)體表面的電介質(zhì)中，電場(chǎng)強(qiáng)度沒有切向分量，只有法向分量，即電場(chǎng)垂直于導(dǎo)體表面，且導(dǎo)體表面上由于靜電感應(yīng)的自由面電荷密度等于導(dǎo)體表面上電介質(zhì)中電位移矢量的大小。,例2.8兩塊導(dǎo)電平板平行放置，其間填充厚度分別為d1、d2的兩層電介質(zhì)，相對(duì)介電常數(shù)分別為 和 ，如圖2.10所示。兩導(dǎo)電板間的電壓為U，忽略邊緣效應(yīng)，求它們之間電場(chǎng)強(qiáng)度及電荷分布。 解 : 忽略邊緣效應(yīng)，近似認(rèn)為導(dǎo)體板數(shù)靠近電介質(zhì)1或電介質(zhì)2一側(cè)的表面的電荷是均勻分布的

7、。這樣在兩種介質(zhì)中的電場(chǎng)都是均勻的。,圖2.10,圖2.11,在電介質(zhì)1和電介質(zhì)2的分界面上無自由電荷，即s=0，但存在著極化電荷，極化面電荷密度為,2.9在兩種各向同性的電介質(zhì)分界面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度在電介質(zhì)1中與法線的夾角為 ，在電介質(zhì)2中與法線的夾角為 ，如圖2.11所示，試推導(dǎo) 、 與 、 之間的關(guān)系。,解:由邊界條件可知，界面上沒有自由電荷，所以有,2.4導(dǎo)體系統(tǒng)的電容和靜電場(chǎng)的能量,1. 電容的概念,電容可定義為,(2.39),電容的單位是法拉(F)，實(shí)際使用時(shí)經(jīng)常用到微法（F）或皮法(pF),兩個(gè)導(dǎo)體在線性介質(zhì)中，帶有等量的異性電荷q和-q，兩個(gè)導(dǎo)體間的電位差（也就是電壓）為U，則這

8、兩個(gè)導(dǎo)體組成的導(dǎo)體系統(tǒng)的電容為 C=q/U (2.40) 也與兩個(gè)導(dǎo)體的幾何形狀、大小、它們之間的距離和周圍的電介質(zhì)有關(guān)。 兩個(gè)導(dǎo)體組成的導(dǎo)體系統(tǒng)常稱為電容器，通過設(shè)計(jì)兩個(gè)導(dǎo)體的幾何形狀、大小、它們之間的距離和周圍的電介質(zhì)，即可以不用電容器。,例2.10同心金屬球與球殼系統(tǒng)如圖2.12所示，內(nèi)導(dǎo)體球半徑為a，外導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑分別為b和c，導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼帶有等量異號(hào)電荷，它們之間充滿相對(duì)介電常數(shù)為 的電介質(zhì)，球外為空氣。求該導(dǎo)體系統(tǒng)的電容。 解:根據(jù)高斯定理不難求出空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，設(shè)導(dǎo)體球和導(dǎo)體球殼的帶電量分別是q和-q，則導(dǎo)體和導(dǎo)體球殼之間的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為,(2.41),例2.11

9、在例2.10中，導(dǎo)體球帶電荷q1，導(dǎo)體球殼帶電荷q2，設(shè)無限遠(yuǎn)為電位參考點(diǎn)，求導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容。,對(duì)于兩個(gè)以上導(dǎo)體組成的多導(dǎo)體系統(tǒng)，由于其中每一個(gè)導(dǎo)體上的電位要受到其余多個(gè)導(dǎo)體電荷的影響，情況非常復(fù)雜。,2. 多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容,3. 靜電場(chǎng)的能量,帶電體系具有能量 （1） 有一個(gè)體電荷密度為的連續(xù)帶電體，電位函數(shù)為。帶電系統(tǒng)的靜電場(chǎng)能為,（2） 對(duì)于多導(dǎo)體系統(tǒng),例2.12半徑分別為a和b的同軸線，外加電壓為U，內(nèi)圓柱體電荷量為正，外圓柱面單位長(zhǎng)度上的電荷量與內(nèi)圓柱體等值異號(hào)。如圖2.16(a)所示，兩電極間在1的角度內(nèi)填充介電常數(shù)為的電介質(zhì)，其余部分為空氣，求同軸線單位長(zhǎng)度上儲(chǔ)存的電場(chǎng)能

10、量。,圖2.16,2.5恒 定 電 場(chǎng) 在導(dǎo)體中電荷在電場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)而形成電流，如果電流密度不隨時(shí)間發(fā)生變化，那么就形成了恒定電場(chǎng). 對(duì)于恒定電場(chǎng)有,根據(jù)高斯散度定理，它的微分形式為,歐姆定律的微分形式為,(2.54),(2.55),(2.56),在均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中， ，于是有,(2.57),式(2.54)和式(2.63)稱為恒定電場(chǎng)的基本方程，式（2.57）和式(2.64)稱為恒定電場(chǎng)基本方程的微分形式。,（2.65）,焦耳定律,由恒定電場(chǎng)的基本方程的積分形式可以得出恒定電場(chǎng)的邊界條件（證明方法與靜電場(chǎng)的邊界條件相同）：,其矢量形式分別為,例2.15平行板電容器中填充兩層介質(zhì)，介電常數(shù)和電導(dǎo)率

11、分別為 、 和 、 ，如圖2.18所示。在外加電壓U時(shí)，求： （1） 導(dǎo)線中通過的電流； （2） 在交界面上積聚的自由面電荷密度。,解（1） 近似認(rèn)為平行板電容器由理想導(dǎo)體構(gòu)成，極板面積S很大，可忽略邊緣效應(yīng)，故電容器極板的電荷均勻分布，在充電結(jié)束后不隨時(shí)間發(fā)生變化，極板間形成恒定電場(chǎng)。設(shè)導(dǎo)線中的電流為I，也就是在介質(zhì)中S面上流過的電流為I，有,可見，在介質(zhì)1和介質(zhì)2的交界面上存在著自由電荷。這一點(diǎn)與理想介質(zhì)不同，對(duì)于介質(zhì)1和介質(zhì)2都是理想介質(zhì)，無漏電流，所以交界面的自由面電荷密度為零。,2.6恒定磁場(chǎng)的基本方程,磁通連續(xù)性方程 恒定電流產(chǎn)生磁場(chǎng)稱為恒定磁場(chǎng)，它是不隨時(shí)間發(fā)生變化的。在恒定磁場(chǎng)

12、中任意取一個(gè)曲面S，由矢量通量的定義可知，在S面上的磁通量 為,2. 安培環(huán)路定理,3. 磁介質(zhì) 把磁介質(zhì)放入磁場(chǎng)中，這個(gè)磁介質(zhì)被磁場(chǎng)所磁化，,引入磁場(chǎng)強(qiáng)度H：,磁介質(zhì)的情況較為復(fù)雜，對(duì)于弱磁介質(zhì)是各向同性的磁介質(zhì)有,例2.16有一無限長(zhǎng)同軸導(dǎo)體圓柱和圓筒，如圖2.20所示，其中通過的恒定電流自內(nèi)導(dǎo)體流入，外導(dǎo)體流出。已知內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)外半徑分別為b和c，電流密度在內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體均勻分布，導(dǎo)體間介質(zhì)為空氣r=1，導(dǎo)體內(nèi)的r也近似為1。求空間任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。,圖2.20,2.7矢 量 磁 位,式中，A稱為矢量磁位，它的引入是為了分析求解某些問題更為方便，計(jì)算更為簡(jiǎn)單。 式（2

13、.88）是電流為線分布的情況。如果電流是面分布的，面電流密度為JS，電流是體分布的，體電流密度為J，則矢量磁體相應(yīng)的關(guān)系式為,例2.17一段長(zhǎng)為2L的直導(dǎo)線，流過的電流為I，把它放置在空氣中，求空氣中P點(diǎn)的矢量磁位A和磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 解:建立坐標(biāo)系，如圖2.21所示，直導(dǎo)線與z軸重合，坐標(biāo)原點(diǎn)在直導(dǎo)線中點(diǎn)。 那么電流元Idl在P點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位為,圖 2.21,式中，C為常矢量，它的出現(xiàn)不會(huì)影響磁感應(yīng)強(qiáng)度B的計(jì)算 對(duì)式(2.93)還可以直接對(duì)偏微分方程求解，但首先需要對(duì)式(2.93)在坐標(biāo)系中展開得到三個(gè)分量的泊松方程。例如，在直角坐標(biāo)系中,2.8恒定磁場(chǎng)的邊界條件 恒定磁場(chǎng)的邊界條件是不同的

14、磁介質(zhì)分界面處，磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場(chǎng)強(qiáng)度H的變化規(guī)律。 首先考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度B，根據(jù)磁通連續(xù)性方程可以得出 B1n=B2n (2.105) 用矢量形式表示為 en(B1-B2)=0 (2.106) 式中，en是分界面法向的單位矢量。在分界面上磁感應(yīng)強(qiáng)度B的法向分量是連續(xù)的。,式中，en為界面法向方向的單位矢量。 Js是Js在en(H1-H2)方向的分矢量。 還可以得出在介質(zhì)分界面上，矢量磁位A是連續(xù)的。,下面考慮磁場(chǎng)強(qiáng)度H，根據(jù)安培環(huán)路定理得,2.9載流回路的電感和恒定磁場(chǎng)能量,1. 自感,回路磁鏈與回路電流的比值稱為自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱自感。其表達(dá)式為 L=/I (2.125) 在國際單位制中，自感系

15、數(shù)L的單位是亨利（H）。 自感的大小由回路的大小、幾何形狀、線圈的匝數(shù)以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)，而與線圈中流過的電流無關(guān)。,例2.20 兩個(gè)無限長(zhǎng)平行的導(dǎo)線，半徑為a，流過的電流為I，如圖2.25所示，求在l長(zhǎng)度上的外電感。,圖2.25例2.20用圖,例2.21一個(gè)半徑為a的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線，在導(dǎo)線均勻流過的電流為I，求這個(gè)導(dǎo)線在單位長(zhǎng)度上的內(nèi)電感，如圖2.26所示（設(shè)導(dǎo)體內(nèi)部的磁導(dǎo)率近似為0）。 解:截面上的磁通并沒有與全部電流I交鏈，而只是與一部分電流交鏈，交鏈的總磁鏈為,圖2.26,2. 互感,有兩個(gè)回路l1和l2，如圖2.27所示。,如果第一個(gè)回路電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)與第二個(gè)回路相交鏈的磁鏈為12，則把12與I1的比值定義為互感系數(shù)M12，即 M12=12/I1 (2.128) 同樣，第二個(gè)回路電流I2產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)第一個(gè)回路相交鏈的磁鏈21與I1的比值定義為互感系數(shù)M21，即 M21=21/I2 (2.129) 互感系數(shù)簡(jiǎn)稱為互感，單位也是亨利（H），互感決定于回路的形狀、大小、匝數(shù)和介質(zhì)的磁導(dǎo)率，還與兩個(gè)回路的相互位置有關(guān)。但是回路固定時(shí)，是與電流無關(guān)的常數(shù)。 互感具有互易性質(zhì)，即 M12=M21=M (2.130),圖2.27,3. 恒定磁場(chǎng)的能量,電流回路系統(tǒng)的能量是建立電流的過