高等代數(shù)(北大版)第6章習題參考答案

1、第六章 線性空間1. 設 MN,證明：MIN M,M UNN。證 任 取M, 由 MN,得N,所以M N, 即 證 M NIM 。 又因MNM ,故MINM 。再證第二式，任取M或N,但MN, 因此無論哪一種情形，都有N,此即。但N M N,所以MUN N。2.證明 M (N L) (M N) (M L)， M (N L) (M N) (M L)。證 xM(NL), 則 xM 且 xN L. 在后一情形， 于是 x MN 或 xM L.所以 x(MN)(ML)，由此得M (NL) (M N) (ML) 。反之，若x (MN)(ML)，則xMN或x ML. 在前一情形， xM,x N,因此xNL

2、. 故 得 xM(NL), 在 后 一 情 形， 因而 x M,x L,x N UL ， 得xM(NL), 故 (MN)(ML) M(N L),于是 M(NL)(MN)(ML)。若 x MU(NI L)，則xM，xN I L。在前一情形 Xx MUN，且XMUL ，因而 x(M UN)I(MUL)。在后一情形，x N,x L,因而x MUN,且X M U L,即X (MUN) I (MU L)所以 ( M UN)I(MUL) M U(NUL)故M U(N I L) =(M UN) I(MUL)即證。3 、檢驗以下集合對于所指的線性運算是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間：1) 次數(shù)等于 n( n 1)的

3、實系數(shù)多項式的全體，對于多項式的加法和數(shù)量乘法；2) 設A是一個n x n實數(shù)矩陣，A的實系數(shù)多項式f (A)的全體，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；3) 全體實對稱(反對稱，上三角)矩陣，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；4) 平面上不平行于某一向量所成的集合，對于向量的加法和數(shù)量乘法；5) 全體實數(shù)的二元數(shù)列，對于下面定義的運算：(ai, ( a b (c a2, bi b2 aia2)k o (a” b) = (ka1? kb + k(k a：26) 平面上全體向量，對于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法：koa 0 ；7) 集合與加法同6)，數(shù)量乘法定義為：koa a ；8) 全體正實數(shù)r，加法與數(shù)量乘

4、法定義為：a b ab， koa ak ；解1 )否。因兩個n次多項式相加不一定是 n次多項式，例如(xn 5)( xn 2)3 o2)令V=f ( A) |f ( x)為實數(shù)多項式，A是nxn實矩陣因為f (x) +g (x) =h (x), kf (x) =d (x)所以f(A)+g(A)=h(A),kf(A)=d(A)由于矩陣對加法和數(shù)量乘法滿足線性空間定義的18條，故v構(gòu)成線性空間。3 )矩陣的加法和和數(shù)量乘法滿足線性空間定義的18條性質(zhì)，只需證明對稱矩陣(上三角矩陣，反對稱矩陣)對加法與數(shù)量乘法是否封閉即可。下面僅對反對稱矩陣證明：當A, B為反對稱矩陣，k為任意一實數(shù)時，有(A+B

5、 =A+B=-A-B=- (A+B , A+B仍是反對稱矩陣。(KA) KA K( A)(KA),所以kA是反對稱矩陣。故反對稱矩陣的全體構(gòu)成線性空間。4) 否。例如以已知向量為對角線的任意兩個向量的和不屬于這個集合。5) 不難驗證，對于加法，交換律，結(jié)合律滿足，(0, 0)是零元，任意(a, b)的負元是2(-a , a -b )。對于數(shù)乘：i( a, b)(i a, b _ a2) (a,b),2k.(l.(a,b) k.(la,lb 出 a2)(kla,klb 衛(wèi)a22 2(kla,klb Ja2 4(la)2)(kla,ka22 2(kla, kl-kl 衛(wèi)a2 klb) (kl).(

6、a,b),嚀(la)2)嚀W)(k l).(a, b) (k l)a,(k l)(k l i)a2(kk.(a,b)l.(a,b) (ka,kb(ka la, kb ka22(k l)a,(k i)(k l i)2k(k i) 2.a ) (la,lb2k(k i) 2a2a2 (k l)b.l)bJa22kla2)即(k l) (a,b) k(a,b)l (a,b)。k (ai,bi )(a?)k (aia?,bi b?aia2 )=k(ai a2),k(bi b?k(k 1)(aia?)2),k (ai,bi) k (a?)=(kai, kbia2)(ka2,kb2k(k i)=(kaik

7、a2, kbia： kb2=(k(ai a2),k(bi b?ai a?)k(k2k(k i) 2.2、a? k a a?) 2i) 2 k(k i) aia?kk(k=(k(ai a2),k(bi b?ai a2)2 2k(k 怙 a；)2),ai a2k ai a2)即 k (ai ,bi )(a?,b?)k(ai,bi)k（a2，b2），所以，所給集合構(gòu)成線性空間。6）否，因為i7）否,因為（kl),k2 ,所以(k l)(k ) (l2所給集合不滿足線性空間的定義。8）顯然所給集合對定義的加法和數(shù)量乘法都是封閉的，滿足i)a b ab ba b a;ii)(a b) c(ab)cabc

8、a(bc)a (b c);iii ）1是零元：,a 1a 1a;iv） a的負兀是1:a11 a -1,且1a 1;aaaa1v)1 a aa;vi)(ko(l oa)ko(a)i k(a )lk akl a(kl)oa;vii )(k l) oak l aaka1(ka)(la)；viii )k o(a b)k o(;ab)(ab)kk abk(koa) (kob)所以，所給集合 R構(gòu)成線性空間。4在線性空間中，證明：1) k00 2 ) k()kk 。證 1 ) k0 k()kk()kk( 1)(k ( k)00。2)因為k() kk()k,所以k（)k k 。5證明：在實函數(shù)空間中,1,

9、 cos21,cos2t式線性相關的。證因為cos 2t2cos211，所以1，cos2 t,cos2t式線性相關的。6如果f,x）, f2（x）, f3（x）是線性空間Px中三個互素的多項式，但其中任意兩個都不互 素，那么他們線性無關。證 若有不全為零的數(shù) k1, k2, k3使 k1 f1(x) k2 f2 (x) k3f3(x)0，不妨設k1 0,則b（x）f2（x） 喧f3（x），這說明f2（x）, f3（x）的公因式也是f,x）k1k1的因式，即f1（X）, f2（X）, f3（X）有非常數(shù)的公因式，這與三者互素矛盾，所以f1（X）, f2（X）, f3（X）線性無關。7在P4中，求

10、向量在基1, 2, 3, 4下的坐標。設1) 1(1,1,1,1), 2(1,1, 1, 1),3(1,1,11),4(1,1, 1,1),(1,2,1,1)2) 1(1,1,0,1), 2(2,1,3,1), 3(1,1,0,0),4(0,1,1,1),(0,0,0,1)。abcd1abcd2解1)設有線性關系a 1 b 2c3 d4，貝Uabcd1abcd1可得在基1, 2,3, 4下的坐標為a,b1,c1,d1o4444a 2bc0a bcd02)設有線性關系a 1 b 2 c3d 4，則3bd0a bd1可得在基1, 2,3, 4下的坐標為a1,b0,c1,d0。8求下列線性空間的維數(shù)

11、于一組基：1)數(shù)域P上的空間Pn n ； 2) Pn n中全體對稱(反對稱，上三角)矩陣作成的數(shù)域 P上的空間；3)第3題8)中的空間；4)實數(shù)域上由矩陣 A的全體實1 3i。1系數(shù)多項式組成的空間，其中A= 00解 1) Pnn 的基是 Ej(i,j 1,2,., n),且 dim(Pnn)n2。1 .2) i)令Fj ，即aj aji1,其余元素均為零，則.1 Fn,.,Fm,F22,.,F2n,.,Fnn是對稱矩陣所成線性空間 M.的一組基，所以M.是維的。2ii）令 Gj即aj aji 1,(ij),其余元素均為零，則G12,.,G1n,G23,G2n,Gn ”是反對稱矩陣所成線性空間

12、Sn的一組基，所以它是亞衛(wèi)維的。2iii)E11,.,E1n,E22,.,E2n,.,Enn是上三角陣所成線性空間的一組基，所以它是亜衛(wèi)維的。23)任一不等于1的正實數(shù)都是線性無關的向量，例如取2,且對于任一正實數(shù) a,可經(jīng)2線性表出，即.a (log 2 a) 2,所以此線性空間是一維的，且2是它的一組基。1,n 3q4)因為13i31,所以n,n 3q1 ,22,n 3q211E,n 3q于是A22,A31E,而AnA, n 3q 1。1A2,n 3q 29.在P4中,求由基1,，2 ,3, 4 ,至U基1,2,3, 4的過渡矩陣，并求向量在所指基下的坐標。設11,0,0,01 2,1,

13、1,1 20,1,0,02 0,3,1,0130,0,1,035,3,2,140,0,0,146,6,1,3X1,X2,X3,X4 在1,2,3,4下的坐標；11,2, 101 2,1, 0,121, 1,1,12 0,1,2,2231,2,1,132,1,1,241, 1,0,141,3,1,21,0,0,0 在 1, 2, 3, 4,下的坐標;1 121,1, 1, 122,1,3,131, 1,1, 131,1,0,041, 1, 1,140,1,1,11,0,0,1 在 1,2 ,3 ,4下的坐標；解1(1,2,3,4)=(1 ,2,3,4 ,)20561336=(1 ,2,3 ,4)

14、 A112110133, 4的過渡矩陣，將上式兩邊右乘得這里A即為所求由基1,2, 3, 4,到1, 22,3 ,4)= (1 ,2,3,4)于是(1 ,2 ,3 ,4)所以在基下的坐標為X11 X2X3X4x1x1X21 X2=(1,2 ,3 ,4)，X3X3X4X4(0,0,1,0),e4(0,0,0,1)則1 12 1=(e1,e2,e3, e4 )A,1 01 14111193914123這里1=279327120033711262793272 令e1 (1,0,0,0),e2(0,1,0,0)(3o1 12 1(1 ,2 ,3,4)=( e1 , e2,e3 , e4 )1 10 1

15、20211113(1 ,2 ,3,4)=( ei，e2,e3，e4)021=(e1,e2,e3 ,e4)B,11222將(ei , e2,e3, e4 )= (1 ,2 , 3 ,4 ) A代入上式,得2 ,3,4）：=(1,2,3,4 ) A1B，33651313131310 015341 _-13131313,A 11B=1 01234101 111313131300 10327813131313且A1B即為所求由基1, 2,3 ,4,到基1 , 2 ,3 ,4的過渡矩陣,110101,0,0,0=(e1, e2,e3 , e4 )0；（1,2 ,3,4) A1000313_5=(13(1

16、， 2 ,3,4丿2 ，13313所以在1,2 ,3 ,4下的坐標為3_523。131313133 $(4 同 2 ,同理可得111 1121 0111 1111 1A=,B=111 1030 1111 1110 1(1 ,這里進而有2051 ,2 ,3,4)133112101(1,2 ,3 ,4)=(66 =一 =(1 ,2 ,3 ,4)A,1標。111111 11=411111111則所求由2,3 ,4 到1, 2, 3, 4的過渡矩陣為1B=再令1414a 1 +b 2 +c 3 +d 4，即121,0,0,0 a, b, c, d311012131a,b, c, d11000111由上

17、式可解得在下的坐標為1,2,3,4下的坐標為1 3a, b, c, d 2,4,a 1 o2 210.繼第9題1）求一非零向量,它在基2,3 ,4 與1,2,3,4下有相同的坐解 設 在兩基下的坐標為 x1 ,x2, x3,x4，則X2=(1,2 ,33 ,4 )X3=(1 , 2 ,X1X4X1X2 4 )X3X4又因為31所以X1X1X1X2X2X2=A(A - E )X3X3X3X4X4X4=0。于是只要令X4c,就有x-i 2x23x3 6cX1 X2 X3 c ，2cX1X310561 2312360,且1 1111111 0110120,解此方程組得Xi, X2,X3,X4=c,

18、c,c,(c為任意非零常數(shù)),取c為某個非零常數(shù)Co，則所求c0 1 c0 2c03 c04。11.證明：實數(shù)域作為它自身的線性空間與第3題8)中的空間同構(gòu)。證 因為它們都是實數(shù)域上的一維線性空間，故同構(gòu)。12.設MV都是線性空間V的子空間，且V V，證明：如果Vi的維數(shù)與 V的維數(shù)相等，那么V1 V2。證 設dim( V1 )=r，則由基的擴充定理，可找到 V的一組基a1,a2,a，因V V?，且它們的唯數(shù)相等，故, a?,ar，也是V的一組基，所以Vi =V2。13. A Pn n。1)證明：全體與可交換的矩陣組成的一個子空間，記做C (A);2 )當 A=E 時，求 C (A);3)當

19、A=時，求C ( A)的維數(shù)和一組基。n證1 )設與A可交換的矩陣的集合記為C(A)。若B,D屬于C(A)，可得A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A ，故 B+D C(A) 。若 k 是一數(shù)， B C(A) ，可得A ( kB) =k(AB)=k(BA)=(kB)A ，所以kB C(A)。故C(A)構(gòu)成Pnn子空間。2 )當 A=E 時，C (A)=pn n。3 )設與A可交換的矩陣為B=(bj )，則B只能是對角矩陣，故維數(shù)為n, Eii,E22,Enn 即為它的一組基。14. 設求中全體與可交換的矩陣所成的子空間的維數(shù)和一組基。解 若記100000A=010000E S ，0

20、01311abc并設B=a1b1c1 與 A 可交換，即AB=BA 貝U SB=BS且由a2b2c2000abc000SB=000a1b1c1000311a2b2c23aa1a2 3bb1b2 3cc1 c2abc0003cccBS=a1b1c100 0 =3c1c1c1，a2b2c23113c2c2c2可是c1c0，又3a a13b b1a2 b23c2c23c2 3ac2 3b b1 b2該方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，所以解空間的維數(shù)為5。取自由未知量a, c2，并令b=1，其余為0，得c2=3,a=3;1令ai =1，其余為0，得C2 =3,a=;3令 bi =1，其余為 0，得 C2 =

21、1,a=1;1令 a? =1，其余為 0，得 C2 =0,a= ;3令 b2 =1，其余為 0，得 C2 =1,a=1;則與A可交換的矩陣為B=a2bib2C2其中,a,C2可經(jīng)b,a1, a2, b1, b2表示,所求子空間的一組基為且維數(shù)為5。同理,15.如果c1 a證 由c1 c3C2，知C1C30,且 C1C30,所以a可線性表出。故 L a,證明:a,經(jīng)線性表出，即=L=L可經(jīng)線性表出,求由下面向量組生成的子空間的基與維數(shù)。設a12,1,3,1a12,1,3, 1a21)a3(120,1)a2(1,1, 3,1)(1,1, 3,0)，a3(4,5,3, 1)a4(1,1,1,1)a4

22、(1,5, 3,1)16 在P4中,解 1) a1,a2,a3,a4的一個極 大線性 無關組a1 ,a2,a4，因此a1 ,a2, a4為L a1 ,a2, a3 ,a4的一組基，且的維數(shù)是 3。)aa2,a3,a4的一個極大線性無關組為ai, a2，故 ai, a2 是L ai, a2, a3, a400一組基，且維數(shù)為 2。17在P4中，由齊次方程組3x12x25x34x403x1X23x33x403x-i5x213x311x40-,8,1,0，a22,7,0,19 39 3確定的解空間的基與維數(shù)。32543254325431330387038735131103870000所以解空間的維數(shù)

23、是2,它的一組基為解對系數(shù)矩陣作行初等變換，有ai18.求由向量1, 2生成的子空間與由向量1, 2生成的子空間的交的基與維數(shù)，設a2a31,2,1,01 2, 1,0,11,1,1,121, 1,3,71,1,0,01 0,0,1,11,0,1,12 0,1,1,01,2, 1, 2a1a111,2,2a2a2(3,1,1,1)(1,0,1, 1),5。7,3)設所求交向量k1k2l1 1 l2 2，則有k1k211k12k1k1k2k2k2211I1312I2I2k2l17I20知其解空間是 1 維的，令 xn 1, 則其基為(1,1,.,1).且 1,2，nl,即為 Pn 的一組112可

24、算得D2111100111，故交的維數(shù)也為1。任取一非零解(k1,k2, l1, l2)=因此方程組的解空間維數(shù)為(1,4, .3,1)，得一組基14 2( 5,2,3,4)，所以它們的交L()是一維的，就是其一組基。)設所求交向量k1 1k22 l1 1 l 2 2，則有k1k1k2k2k2l2l1 l2l1因方程組的系數(shù)行列式不等于0,故方程組只有零解，即k1k2l1l20,從而(1,0,0,.,1)而由1(1,1,0,.,0),2(1,0,1,.,0),，n 1交的維數(shù)為0。3 )設所求交向量為k11 k2 2l1 1 l2 2，k1 3k2k32l1I20即2k1k251 2l20k1

25、k2k36h刁202k1k2k35l13l201 311由2 1020知解空間是一-維的，因此交的維數(shù)是1。令l1 1,，可1 1172 113得l20，因此交向量l1112 21就是一組基。19.設V與 V分別是齊次方程組X1X2.Xn0,X1X2Xn 1Xn的解空間，證明:PnV1V2.證由于 X1 X2. xn0的解空間是你n 1 維的,其基為X1X2Xn 1 Xn基，從而 Pn Vi V2.又 dim(Pn) dim(Vi) dim(V2)，故 Pn V V。20.證明：如果 VVV2,V1 V11 V12,那么V V V12V2。證 由題設知 VV11V12 V2, 因為 V V1

26、V2, 所以dim(V)dim(V1) dim(V2)， 又因為 V1 V11V12, 所以dim(V1) dim(V11 ) dim(V12),故 dim(V) dim(V11) dim(V12) dim( V2),即證 V V V12 V2。21. 證明：每一個 n 維線性空間都可以表示成 n 個一維子空間的直和。n) 都是 V 的又因為證 設1, 2,，n是n維線性空間V的一組基。顯然L( 1),L( 2)，L(一維子空間，且L( 1) L( 2) . L( n) L( 1，2，n) = V ,dim(V)，dim(L( 1) dim(L( 2). dim(L( n)故 V L( 1)

27、L( 2)L( n)。s22. 證明：和Vi 是直和的充分必要條件是 Vii1i1Vj 0( i 2,.,s)。j1i1證 必要性是顯然的。這是因為 ViVj Vij1Vj 0 ，所以j1i1ViVj 0 。j1s充分性 設Vi 不是直和，那么 0 向量還有一個分解 012i1其中j Vj(j1,2,., s)。在零分解式中，設最后一個不為0的向量是sk(k s),則 012. k 1 k ，即 12. k 1 k ，k 1k 1因此kVj, k Vk,，這與Vk Vj 0矛盾，充分性得證。j 1j 123. 再給定了空間直角坐標系的三維空間中，所有自原點引出的向量天添上零向量構(gòu)成一個三維線性

28、空間 R3 。1) 問所有終點都在一個平面上的向量是否為子空間2) 設有過原點的三條直線，這三條直線上的全部向量分別成為三個子空間L1, L2, L3,問 L1 L2,L1 L2 L3 能構(gòu)成哪些類型的子空間，試全部列舉出來;3)就用該三維空間的例子來說明，若U,V,X,Y是子空間，滿足 U+V= X, X Y,是否一定有 Y YI U YI V 。解 1)終點所在的平面是過原點的平面，那么所有這些向量構(gòu)成二維子空間；但終點在 不過原點的平面上的向量不構(gòu)成子空間，因為對加法不封閉。2) L1 L2 ；(1) 直線丨,與12重合時，是L, L2 一維子空間；(2) 1,與J不重合時，時Li L2

29、二維子空間。L1 L2 L3 ：(1) 丨1，丨2,丨3重合時，Li L2 L3構(gòu)成一維子空間；(2) 丨1，丨2,丨3在同一平面上時，Li L2 L3構(gòu)成二維子空間；(3) 丨丨2,丨3不在同一平面上時，L1 L2 L3構(gòu)成三維子空間。3) 令過原點的兩條不同直線 丨1 ,丨2分別構(gòu)成一維子空間 U和V, X= U+ V是二維子空 間，在丨1， 丨2決定的平面上，過原點的另一條不與丨1， 丨2相同的直線 丨 3構(gòu)成一維子空間 Y,顯然 Y X,Y U 0, Y V 0,因此(Y U) (Y V) 0, 故Y (Y U ) (Y V)并不成立。二補充題參考解答1 1 )證明：在 PX n 中，

30、多項式 fi(XJ(Xi 1)(X i 1).(X n)(i = 1, 2,，n)是一組基，其中1, 2,，n是互不相同的數(shù)；2)在1)中，取1,2,，n是全體n次單位根，求由基1 , X ,.,Xn 1到基f1,f2,., fn的過渡矩陣。證 1 ）設 k1 f1 k2 f2kn fn0，將 X!代入上式，得f2（ 1）f3（ 1）. fn（ 1）0, fi（ 1）0 ,于是k1 = 0。同理，將x2 ,，Xn分別代入,可得k? k3.kn0，所以f1, f2,., fn線性無關。而PX n是n維的，故f1, f2,fn是PX n的一組基。2）取1, 2,., n為全體單位根1,.，n ,則

31、f1nX11 XX1f2nX1n 1Xnf 二 11X1n 11n 2故所求過渡矩陣為.1111, 2 ,n是2X.n 1X ,n 2Xn 32X.n 2Xn 1 X,2X .n 1 n 2Xn 1X,n 2n 42。n 2n 11 .1V的一組基，n維線性空間A是一個n x s矩陣，證明:（1, 2,，s）（ 1 , 2,，n）A ,L（ 1，2，.，s）的維數(shù)等于A的秩。只需證1, 2,., s的極大線性無關組所含向量的個數(shù)等于A的秩。設a11a1r.a1san1 . anr ans且rank(A) r, r min(n,s)。不失一般性，可設 A的前r列是極大線性無關組，由條1ai1 1

32、 a21 2an1 n件得ra1r 1 a2r 2anr ns a1s 1 a2s 2ans n可證1, 2,，r構(gòu)成1, 2,，r， r1，s的一個極大線性方程組。事實上，設k1 1k2 2kr r 0，于是得(kran . kra1r) 1(k1a21kr a 2r )2(k1 an1kr a1r ) n 0，玄11因為1, 2,，n線性無關，所以an1 k1an2k2 ?a nr kr 0該方程組的系數(shù)矩陣秩為r,故方程組只有零解k1 k2線性無關。kr曰是 1 ,2 7其次可證：任意添一個向量a1 kak 2.a ra j k j0設 k1 1 k2 2.k rrkj j 0，于是an1k1an2k2anr kranj k j0其系數(shù)矩陣的秩為r葉1 ,所以方程組有非零解k1,k2,.,kr,k,即 1 , 2,., r，j線性相關。因此，1, 2 ,r是1, 2,.,s的極大線性無關組。從而L( 1, 2,s)的j后，向量組 1, 2,，r， j 一定線性相關。事實上,維數(shù)等于A的秩，即等于rank(A)。13設f(X1,X2，,Xn)是一秩為n的二次型，證明