3.1.1.兩角和與差的余弦公式

1、 第三章第三章 三角恒等變換三角恒等變換 3.1.1.3.1.1.兩角和與差的余弦公式兩角和與差的余弦公式 大家可以猜想，是不是等于大家可以猜想，是不是等于 呢呢? 2 cos45 2 3 cos30 2 cos15cos 4530? cos45cos30 cos? （一）導(dǎo)入：（一）導(dǎo)入：我們在初中時就知道我們在初中時就知道 ， 由此我們能否得到由此我們能否得到 根據(jù)我們在第一章所學的知識可知根據(jù)我們在第一章所學的知識可知 我們的猜想是錯誤的！我們的猜想是錯誤的！ 下面我們就一起探討兩角差的余弦公式下面我們就一起探討兩角差的余弦公式 ， 在第一章三角函數(shù)的學習當中我們知道，在設(shè)在第一章三角函

2、數(shù)的學習當中我們知道，在設(shè) 角角 的終邊與單位圓的交點為的終邊與單位圓的交點為 ， 等于等于 角角 與單位圓交點的橫坐標，也可以用角與單位圓交點的橫坐標，也可以用角 的的 余弦線來表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角余弦線來表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角 和和 角？角？ （注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來.） （二）探討過程：（二）探討過程： 1 Pcos 在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy內(nèi)內(nèi),作單位圓作單位圓,并作并作 、 和和角角,使使角的始邊為角的始邊為Ox，交圓，交圓O于于P1, 終邊交圓終邊交圓O于于P2;角的始邊為角的始邊為OP2,終邊交圓終邊

3、交圓O于于 P3; 角的始邊為角的始邊為OP1,終邊終邊交圓交圓O于于P4; 此時此時,P1.P2.P3.P4的坐標分別為的坐標分別為P1(1,0) , P2(cos,sin), P3(cos(+),sin(+) ), P4(cos(), sin(). 由由P1P3 = P2P4及兩點間距離公式及兩點間距離公式, 得：得： cos(+)1+sin(+)=cos()cos+sin()sin . 整理得整理得: cos(+)=coscossinsin. 證明證明:如圖所示如圖所示 PP P P 1 2 3 4 X y O cos(+)=coscossinsin cos(+)=coscossinsi

4、n 公式的結(jié)構(gòu)特征公式的結(jié)構(gòu)特征: 左邊是復(fù)角左邊是復(fù)角+ 的余弦的余弦,右邊是單角右邊是單角、 的余弦積與正弦積的差的余弦積與正弦積的差. )cos( )sin(sin)cos(cos )(cos( sinsincoscos 將將 替換為替換為 cos()=coscos+sinsin 簡記：簡記：)( C cos()=coscos+sinsin 公式的結(jié)構(gòu)特征公式的結(jié)構(gòu)特征: 左邊是復(fù)角左邊是復(fù)角+的余弦的余弦,右邊是單角右邊是單角、 的余弦積的余弦積 與正弦積的和與正弦積的和. 簡記：簡記： )( C )cos(sinsincoscos 兩角和與差的余弦公式：兩角和與差的余弦公式： 思考：

5、我們在第二章學習用向量的知識解思考：我們在第二章學習用向量的知識解 決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們 能否用向量的知識來證明？能否用向量的知識來證明？ 提示：提示：1、結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個、結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個 向量，它們是怎樣表示的？向量，它們是怎樣表示的？ 2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計算公、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計算公 式得到探索結(jié)果？式得到探索結(jié)果？ 展示多媒體課件展示多媒體課件 比較用幾何知識和向量知識解決問題的不比較用幾何知識和向量知識解決問題的不 同之處，體會向量方法的作用與便利之處同之處，體會向量方法的作用與便利

6、之處. 例例1 1. .不查表不查表, ,求求coscos(435(435) )的的 值值. . 解解:cos( 435 )=cos75 =cos(45 +30 ) =cos45 cos30 sin45 sin30 2 1 2 2 2 3 2 2 4 26 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 不查表不查表, ,求求cos105 cos105 和和cos15 cos15 的值的值. . 4 62 cos15 = 4 62 答案：答案：cos105= 練習 23 sin,(, ),cos, 324 3 ( ,),cos(),cos() 2 例2、已知 求 ), 2 (, 3 2 sin 解： 3 5 sin1cos

7、 2 ) 2 3 ,(, 4 3 cos 2 7 sin1 cos 4 )cos(sinsincoscos )cos(sinsincoscos 12 7253 12 7253 例例3.已知已知cos(30 )=15/17, 為大于為大于 30 的銳角的銳角,求求cos 的值的值. 分析：分析： =( 30 )+ 30 解：解： 30 90 , 0 30 60 , 由由cos( 30 )=1517,得得sin ( 30 )=817, cos =cos( 30 )+ 30 = cos( 30 )cos 30 sin ( 30 )sin 30 = 1517 32 817 12 =（15 3 8）34

8、. 例例4.在在ABCABC中中,cosA=3,cosA=35,cosB=55,cosB=513,13, 則則cosCcosC的值為的值為( ).( ). 分析分析: C=180 (A+B) cosC=cos(A+B)= cosAcosB+sinAsinB 已知已知cosA=35 ,cosB=513,尚需求尚需求 sinA,sinB的值的值. sinA= 45 , sinB=1213, cosC=35 513 + 45 12 13=3365. 3365 例例5.cos25 cos35 cos65 cos55 的值等于的值等于( ). (A) 0 (B) 12 (C) 32 (D)12 解解:

9、原式原式=cos25 cos35 sin25 sin35 =cos(25 +35 ) =cos60 =12. 故選故選: ( ) B 2cos20 cos70sin20 sin70 . 、求求的的 值值 . 6 5 sin 12 11 sin 6 11 cos 12 25 cos3 的的值值 、求求 .) 4 cos(), 4 sin( , 5 3 sin1 的的值值 求求是是第第四四象象限限角角、已已知知 練習練習 1. 1.已知已知cos=cos=5 513, (,313, (,32)2)求求 cos(+cos(+6)6)的值的值. . 2.cos 2.cos 15 15 sinsin15

10、 15 = -= -。 3.3.在在ABCABC中中, ,若若sinAsinB=cosAcosBsinAsinB=cosAcosB, ,則則 ABCABC是是 ( ).( ). (A) (A)直角三角形直角三角形 (B)(B)鈍角三角形鈍角三角形 (C)(C)銳角三角形銳角三角形 (D)(D)不確定不確定. . (1253) 26 3 2 A 答案答案: 1.( ) ; 2. ( ) ; 3. ( ). 課堂練習 （四）小結(jié)：（四）小結(jié)：本節(jié)我們學習了兩角差的余弦公式，本節(jié)我們學習了兩角差的余弦公式， 首先要認識公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過首先要認識公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過 程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過在解題過 程中注意角程中注意角 、 的象限，也就是符號問題，學的象限，也就是符號問題，學 會靈活運用會靈活運用. v1.cos(+)=coscoss