河南科技大學(xué)數(shù)值分析(計(jì)算方法)期末復(fù)習(xí)畫題資料

1、1.數(shù)值積分公式形如(15)1 f(x)dx 二 Aof(O) Af(1) Bf (0)(1)試確定求積公式中的參數(shù)Ao,A,B，使其代數(shù)精度盡可能高并求出其代數(shù)精度。 已知該求積公式余項(xiàng)Rf 二kf)，1三(0,1),試求出余項(xiàng)中的參數(shù) k o(1)解：1f(x 1 時(shí)，左=(f (x)dx =1，右=代+A，左=右得：A)+ A=1B0 Al - _2f (x) =x 時(shí)，左2f(x) =x 時(shí)，左聯(lián)立上述三個(gè)方程,1 1=I f (x)dx =3，右=Bo +A，左=右得：1 1=(0 f (x)dx =，右=A，左=右得： A3解得：A 211AO, Bo, A1 -3633f(x)二

2、 X 時(shí)，左111f (x)dx ，右二A ，左尸右 043所以，該求積公式的代數(shù)精度是2(2)解：過點(diǎn)0, 1構(gòu)造f(x)的Hermite插值H2(x)，因?yàn)樵撉蠓e公式代數(shù)精度為2,所 以有：1 H2(x)dx 二人出(0) 的2(0) BH2(0)(0) Af (1)&f (0)其求積余項(xiàng)為：1 R(ff0f (x)dx 人 f (0)十 A f 十 B。f (0)111 f ( ) 2=0 f(x)dx - H2(x)dx = 3! x (x-1)dxf ( )1 2)Jx2(x-1)dxf ()1所以，k7272y = 3x + 2y2設(shè)初值問題y()=1葉涂1寫出用改進(jìn)的Euler法

3、解上述初值問題數(shù)值解的公式，若h = 0.2 ,求解 浙，丫2 ,保留兩位小數(shù)。(10分).解：改進(jìn)的 Euler公式是：Yn 1 二 yn hf (Xn, %)jh% 1 = yn 2【f (Xnyn) f(Xn1，Vn 1)具體到本題中，求解的公式是:% 1 二 yn 0.2(3Xn 2yn) =1.4yn 0.6Xn yn 1 二 yn 0.13Xn 2yn 3Xn 1 2% 1 y(0) =1代入求解得：y1 =1.4, w =1.54y2 =2.276,y2 =2.48323.分別用梯形公式，復(fù)化梯形公式計(jì)算積分：1 1dx01 x其中在用復(fù)化梯形公式求積分時(shí)，步長(zhǎng)h = 0.2 o

4、（ 10分）梯形公式為：b1b aqT(f(a) f (b)2 =0.752 2復(fù)化梯形公式為：nT”S(f(a) 2：f(xi) f(b)具體到本題中，可知h =：0.2,a =0,b =1h4T6r (f(0) 2、f (xi)f (1)=0.1 (1.5 5.456) =0.69562y4用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問題:f 2y =x +x y (0Ex0.4)y(0) =0取步長(zhǎng)h =0.2，計(jì)算過程中保留到小數(shù)點(diǎn)后四位。（10 分）.改進(jìn)的Euler公式為:yn 1 二 yn hf(Xn,yn)jhyn 1 =yn ；(f(Xn, yn) f(Xn 1, ?n 1)L2具體到本題中，則

5、為2yn 1 =yn h(XnX. - y.)ih 222yn1=yn?Xn人-y.(x. h)(x.h) - y.- h(xXn-yn)經(jīng)化簡(jiǎn)為：yn1 =0.82yn 0.18xn2 0.22xn 0.024所以：y(0.2)0.024 0y(0.4)0.09495證明：設(shè)f(X)=1,左二b -a,右f (x) = x 左=2 b2b - a(11) = b -a,左=右2右,=b?* b (a = j b a 2左=)右.332 t. b af (x)二 X ,左二一3右二空迴(a2 b2)b3b,所以，該公式具有一次代數(shù)精度6.用兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式求積分1/dx

6、解：兩點(diǎn) Gauss-legrende求積公式為:1f (x)dx 二 f (-.3f(5)所以7.用歐拉法求解常微分方程組初值問題：M =3% +2y?W y2%(0) =0必(0)=1在0,0.4上的數(shù)值解，取步長(zhǎng)h =0.2，計(jì)算過程中保留兩位小數(shù)。Euler公式為:(10 分)(10 分)具體到本題中，則為又因?yàn)椋篽 = 0.2所以上述求解公式可化簡(jiǎn)為% 1 = yn hf (Xn,yn)y1,n 1 =y1,n h(3y” 2y2,n) y2,n4r =y2,n +h(4y!,n +y2,n) y(0)=0, y2(0)=1所以:y” .1 =1.6yi,n 0.4y2,n* 丫2出

7、“創(chuàng)加+1.2丫2yi (0) = 0, y2(0) =1yi,1 = 0.4, y2,i = 1-2 ； yi,2 = 1-12, y2,2 =1768分別寫出用雅可比Jacobi)迭代，高斯一賽德爾迭代求解方程組:廣122、rr-11-1X2=31一22b的迭代公式并判斷用高斯一賽德爾迭代法求解該方程組的收斂性。(15 分).解:Jacibo迭代公式為Gauss-Seidel迭代公式為xi(f =1-2x2(k)-2x3(k)閔心)=3+X1(k)+X3(k) X3i=2 2)T-2x2(k)X1(f=1-2x2(k)-2x3(k) 必(宀=3 +燈宀+X3(k) 嚴(yán)(心)=2+2%(宀)

8、-2x2(e,即 A = D -L -U，其中，z0z0_2-2、D =1,L =10,U =01、b2-2(2)解:設(shè)矩陣A可分解為三個(gè)矩陣的和* 1004100 x(D-L)亠_110=110C22b02b所以，Gauss-Seidel迭代的迭代矩陣100*0_2-2、0-2-2、Bg =(D -L)U =11001=-2-1I _ Bg| =2 2九 +21= k(k +2)2 =0九+ 2可求得，=0,，- _2所以(BG) = 21所以，用Gauss-Seidel迭代法求解該方程組是發(fā)散的9.證明(10分)1設(shè) f(x)EC：,b,已知插值節(jié)點(diǎn) a =x0 vx, ex? = b,且

9、 Xy = h ,i =1,2 ,證明:(1) f (x)在a, b上的線性插值函數(shù)Li(x)的誤差界為max f(x)-L1(x) (b-a)28max f (x)a：:xb(2)二次插值多項(xiàng)式L2(x)的誤差界為V3h3max f(x)L2(x)蘭max27 a_b1證明：因?yàn)長(zhǎng)Jx)是f (x)在a,b上的線性插值函數(shù)f (x)所以有插值余項(xiàng)公式可知其插值余項(xiàng)為：Rdx)(x-a)(x-b)，其中a乞x乞b2!即：|f(x) LMx)a)(xb)令 g(x) = (xa)(xb)， a x zb2 2易知：g(x)gd，所以：g(x)蘭心L44ma hkx)二 max a :x _b(x

10、)蘭 maxg(x)maxf 7x)2!” (b-a)2_ 8max 口x)10.證明：因?yàn)長(zhǎng)2(x)是f (x)在a,b上的二次插值多項(xiàng)式f (x)可知其插值余項(xiàng)為：R2(x)(X- X0)(X-xj(x -x2)，其中xo_ X _x22!即：|f (x) L2(x)Xo)(xxj(x X2)令 g(x) =(xXo)(xxJ(x X2)，Xo xx?令x1 th,由Xoxx?可知-1乞t乞1g(x) =g(x th) =h3t(t2 -1)J3 令：(t) =t3 t，則：(t) =3t2 -1 =0= t3，叫一弓）代（一1）H2、39r所以，max (t) =max 護(hù)(一1), (

11、-f（x）j（x）二 maxf (x)3! (x-Sx-Sx-X2)I f 7x)| 蘭 maxg(x)max|ir|魯 h3mar（x）蘭出3h3漢丄max f “(x)=93!a蘭蟲f I y =x y11 .用Euler方法求解初值問題 彳ly（0） =o取h =0.1在區(qū)間0,0.3計(jì)算,結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后 4位。（10分）.解：Euler公式是：:丫曲=yn +hf （Xnn）W。）= y。具體到本題中，求解的Euler公式是：yn 1 二 0.1（Xn - ） =0.9yn 0.%7（00代入求解得： =0y2 =0.01解，設(shè)A可以三解分解，即U11U12U13A=LU =l21

12、1U22U23J 31l32U33 j由矩陣的乘法及矩陣相等可得:Z1n 23、L =2 1，U =1-43 -5 b令Ux =y,則Ax=b可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等價(jià)的三角方程組：Ly=b,Ux=y求解三角方程組： Ly =b，得：y =(14,-10,-72)-求解三角方程組：Ux = y，得：x = (1,2,3) T所以，原方程組的解為：x =(1,2,3) T13試證明線性二步法：ynl =yn hf(xn 1小 1) f(X.，)3 的局部截?cái)嗾`差與h同階，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。證明：分別將 yn 1， yn，yn .1在x.處用Taylor公式展開得：niifyn I 2 yn iyn=yn - ynh-h o(h )IIFyn=yn -ynh 血 h2 o(h2) 2!IFFyn