(第14次課)第7章一階電路和二階電路的時(shí)域分析

1、2021-6-2 1 第七章第七章 一階電路和二階電路的時(shí)域分析一階電路和二階電路的時(shí)域分析 1.換路定則和電路初始值的求法；換路定則和電路初始值的求法； 2.掌握一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響掌握一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響 應(yīng)的概念和物理意義；應(yīng)的概念和物理意義； 3.會(huì)計(jì)算和分析一階動(dòng)態(tài)電路會(huì)計(jì)算和分析一階動(dòng)態(tài)電路(重點(diǎn)是三要素法重點(diǎn)是三要素法)； 4.了解二階電路零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、全響應(yīng)了解二階電路零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、全響應(yīng) 的概念和物理意義；的概念和物理意義； 5.會(huì)分析簡單的二階電路；會(huì)分析簡單的二階電路； 6.會(huì)計(jì)算一階電路的階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)；會(huì)計(jì)算

2、一階電路的階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)； 7.會(huì)用系統(tǒng)法列寫簡單的狀態(tài)方程。會(huì)用系統(tǒng)法列寫簡單的狀態(tài)方程。 內(nèi)容提要與基本要求內(nèi)容提要與基本要求 2021-6-2 2 重點(diǎn)重點(diǎn) 1. 動(dòng)態(tài)電路方程的建立和動(dòng)態(tài)電路初始值的確定；動(dòng)態(tài)電路方程的建立和動(dòng)態(tài)電路初始值的確定； 2. 一階電路時(shí)間常數(shù)的概念與計(jì)算一階電路時(shí)間常數(shù)的概念與計(jì)算 ； 3. 一階電路的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)；一階電路的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)； 4. 求解一階電路的三要素法；求解一階電路的三要素法； 5. 暫態(tài)分量暫態(tài)分量(自由分量自由分量)和和(穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量)強(qiáng)制分量概念；強(qiáng)制分量概念； 6. 一階電路的階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)；一階電路

3、的階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)； 7. 二階電路的方程和特征根、過渡過程的過阻尼、二階電路的方程和特征根、過渡過程的過阻尼、 欠欠 阻尼及臨界阻尼的概念及分析；阻尼及臨界阻尼的概念及分析； 2021-6-2 3 難點(diǎn)難點(diǎn) 1. 電路初始條件的概念，除電路初始條件的概念，除 uC 和和 iL 之外各電壓、之外各電壓、 電流初始值的確定；電流初始值的確定； 2. 激勵(lì)源為交流電源；激勵(lì)源為交流電源； 3. 一階電路和二階電路的區(qū)分，二階電路的過阻一階電路和二階電路的區(qū)分，二階電路的過阻 尼、欠阻尼及臨界阻尼放電過程分析方法和基尼、欠阻尼及臨界阻尼放電過程分析方法和基 本物理概念。本物理概念。 與其它章節(jié)的聯(lián)

4、系與其它章節(jié)的聯(lián)系 本章討論的仍是線性電路，因此前面討論的本章討論的仍是線性電路，因此前面討論的 線性電路的分析方法和定理全部可以用于本章的線性電路的分析方法和定理全部可以用于本章的 分析中。第分析中。第 9 章討論的線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)章討論的線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 就是動(dòng)態(tài)電路在正弦激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)分量的求解。就是動(dòng)態(tài)電路在正弦激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)分量的求解。 2021-6-2 4 7-1 7-1 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件 自然界事物的運(yùn)動(dòng)，在一定的條件下有一定的自然界事物的運(yùn)動(dòng)，在一定的條件下有一定的 穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)條件發(fā)生變化時(shí)，就要過渡到新的穩(wěn)穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)條件發(fā)生變化

5、時(shí)，就要過渡到新的穩(wěn) 定狀態(tài)。從定狀態(tài)。從一種穩(wěn)定狀態(tài)一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到另一種新穩(wěn)定狀態(tài)另一種新穩(wěn)定狀態(tài) 時(shí)，往往不能躍變，而是需要一定的時(shí)間，或者說時(shí)，往往不能躍變，而是需要一定的時(shí)間，或者說 需要一個(gè)過程，在工程上稱為需要一個(gè)過程，在工程上稱為過渡過程過渡過程。 引引 言言 電路中也有過渡過程，電路的電路中也有過渡過程，電路的過渡過程有時(shí)雖過渡過程有時(shí)雖 然短暫，但在實(shí)踐中卻很重要。然短暫，但在實(shí)踐中卻很重要。 如：冰融化成水、汽車的加速與減速等。如：冰融化成水、汽車的加速與減速等。 2021-6-2 5 例：純電阻電路例：純電阻電路 S US + + - - (t= =0) i R

6、1 R2 R2 US 過渡期為零過渡期為零 0 t i R1+ +R2 US 含有動(dòng)態(tài)元件含有動(dòng)態(tài)元件電容和電感電容和電感的電路稱動(dòng)態(tài)電路的電路稱動(dòng)態(tài)電路。 1. 動(dòng)態(tài)電路動(dòng)態(tài)電路 當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（稱之為換路）當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（稱之為換路） 需要經(jīng)歷一個(gè)變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。需要經(jīng)歷一個(gè)變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。 這個(gè)變化過程稱為電路的過渡過程。這個(gè)變化過程稱為電路的過渡過程。 2021-6-2 6 例：含電容的電路例：含電容的電路 uC i US + + - - + + - - R S (t= =0) C uC i US + + - - + + - - R S

7、C (t) S 接通電源后很長接通電源后很長 時(shí)間，電容充電完畢，時(shí)間，電容充電完畢， 電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)：電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)： S未動(dòng)作前，電路未動(dòng)作前，電路 處于穩(wěn)定狀態(tài)：處于穩(wěn)定狀態(tài)： i = = 0 , uC = = US。 i = = 0 , uC = = 0。 ? 有一個(gè)有一個(gè) 過渡期過渡期 0 t uC R US 前一個(gè)穩(wěn)前一個(gè)穩(wěn) 定狀態(tài)定狀態(tài) US 新的穩(wěn)新的穩(wěn) 定狀態(tài)定狀態(tài) t1 i 新穩(wěn)定新穩(wěn)定 狀態(tài)等狀態(tài)等 效電路效電路 2021-6-2 7 例：含電感的電路例：含電感的電路 uL i US + + - - + + - - R S L (t) S 接通電源后很長時(shí)接通

8、電源后很長時(shí) 間，電路達(dá)到新的穩(wěn)定間，電路達(dá)到新的穩(wěn)定 狀態(tài)，狀態(tài)，電感視為短路：電感視為短路： S未動(dòng)作前，電路處于未動(dòng)作前，電路處于 穩(wěn)定狀態(tài)：穩(wěn)定狀態(tài)： uL = = 0 , i = = 0 , uL = = 0。 有一個(gè)有一個(gè) 過渡期過渡期 0 t i R US 前一個(gè)穩(wěn)前一個(gè)穩(wěn) 定狀態(tài)定狀態(tài) US 新的穩(wěn)新的穩(wěn) 定狀態(tài)定狀態(tài) t1 uL uL i US + + - - + + - - R S (t= =0) L US R 新穩(wěn)定新穩(wěn)定 狀態(tài)等狀態(tài)等 效電路效電路 i = = 2021-6-2 8 換路換路的概念的概念 電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化 電路內(nèi)部含有儲(chǔ)能元件

9、電路內(nèi)部含有儲(chǔ)能元件 ( L、C )，電路在，電路在 換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲(chǔ)存和釋放都換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲(chǔ)存和釋放都 需要一定的時(shí)間來完成。需要一定的時(shí)間來完成。 支路接入或斷開支路接入或斷開 電路參數(shù)改變電路參數(shù)改變 產(chǎn)生過渡過程的原因產(chǎn)生過渡過程的原因 + + - - 1W W1W W1W W 10V C + + - - uC 1A + + - - u S + + - - 10V S1(t= =0) S2(t= =0.2s) 3W W 2W W i L 2021-6-2 9 2. 動(dòng)態(tài)電路的方程動(dòng)態(tài)電路的方程 若以電流為變量：若以電流為變量： + + - - uS (t0

10、)R i C + + - - uC 以電壓為變量，應(yīng)用以電壓為變量，應(yīng)用KVL 和電容元件的和電容元件的VCR得：得： Ri + + uC = = uS i = = C duC dt RC duC dt + + uC = = uS Ri + + uC = = uS uC = = 1 C idt R di dt + + i C = = duS dt 例如例如 RC串聯(lián)電路。串聯(lián)電路。 2021-6-2 10 再如再如 RL串聯(lián)電路。串聯(lián)電路。 若以電壓為變量：若以電壓為變量： 以電流為變量，應(yīng)用以電流為變量，應(yīng)用KVL 和電感元件的和電感元件的VCR得：得： Ri + + uL = = uS u

11、L = = Ldi dt L di dt + + Ri = = uS Ri + + uL = = uS i = = 1 L uLdt R + + - - uS (t0)R i L + + - - uL L uL + + duL dt = = duS dt 含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件( L或或C )的線性電路，其電路的線性電路，其電路 方程為一階線性常系數(shù)微分方程，稱方程為一階線性常系數(shù)微分方程，稱一階電路一階電路。 有源有源 電阻電阻 電路電路 含一個(gè)含一個(gè) 動(dòng)態(tài)元件動(dòng)態(tài)元件 小小結(jié)結(jié) 2021-6-2 11 再看再看 RLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路 含二個(gè)動(dòng)態(tài)元件的含二個(gè)動(dòng)態(tài)元件的 線性電路，其電

12、路方程線性電路，其電路方程 為二階線性常系數(shù)微分為二階線性常系數(shù)微分 方程，稱方程，稱二階電路二階電路。 + + - - uS (t0)R i L + + - - uL C - -+ + uC 描述動(dòng)態(tài)電路的電路描述動(dòng)態(tài)電路的電路 方程是微分方程；方程是微分方程； 動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù) 通常等于電路中動(dòng)態(tài)通常等于電路中動(dòng)態(tài) 元件的個(gè)數(shù)。元件的個(gè)數(shù)。 電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元 件，描述電路的方程是高件，描述電路的方程是高 階微分方程。階微分方程。 LC d2uC dt2 duC dt + + RC+ + uC = = uS 應(yīng)用應(yīng)用 KVL和元件的和元件的 VCR得得

13、 (詳見詳見7- -5 ) ： 結(jié)論結(jié)論 2021-6-2 12 動(dòng)態(tài)電路的分析方法動(dòng)態(tài)電路的分析方法 (1) 首先首先是根據(jù)是根據(jù)KVL、KCL和和VCR建立建立 微分方程，然后是微分方程，然后是求解求解微分方程微分方程。 (2) 分析的方法有：分析的方法有： 時(shí)域分析法，時(shí)域分析法，包括包括經(jīng)典法經(jīng)典法、狀態(tài)、狀態(tài) 變量法、變量法、卷積積分、卷積積分、數(shù)值法。數(shù)值法。 復(fù)頻域分析法，包括拉普拉斯變復(fù)頻域分析法，包括拉普拉斯變 換法、狀態(tài)變量法、付氏變換。換法、狀態(tài)變量法、付氏變換。 工程中的高階微分方程應(yīng)用工程中的高階微分方程應(yīng)用 計(jì)算機(jī)輔助分析求解。計(jì)算機(jī)輔助分析求解。 2021-6-2

14、 13 3. 電路的初始條件電路的初始條件 (1) t = = 0+ +與與t = = 0- - 的概念的概念 0+ + ：換路后一瞬間。 ：換路后一瞬間。 認(rèn)為換路在認(rèn)為換路在t= =0時(shí)刻進(jìn)行。時(shí)刻進(jìn)行。 0- - ：換路前一瞬間。：換路前一瞬間。 f(0- -) = = lim f(t) t0 t0 f(0+ +) = = lim f(t) t0 t0 0- -0 t f(t) 0+ + f(0- -) = = f(0+ +) f(0- -) f(0+ +) 明確：明確： i(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的值。及其各階導(dǎo)數(shù)的值。 在動(dòng)態(tài)電路分析中，在動(dòng)態(tài)電路分析中， 初始條件為初始條件為 t= =0

15、+時(shí)時(shí), u(t)、 初始條件是得到確定初始條件是得到確定 解答的必需條件。解答的必需條件。 2021-6-2 14 (2)電容的初始條件電容的初始條件 當(dāng)當(dāng) i( )為有限值，為有限值， 此項(xiàng)為此項(xiàng)為0。 結(jié)論：結(jié)論：換路瞬間，若電容電流保持為有限值，換路瞬間，若電容電流保持為有限值， 則則電容電壓電容電壓(電荷電荷)換路前后保持不變。換路前后保持不變。 q(t) = = t - - i( ) d = = 0- - - - i( ) d + + t 0- - i( ) d = = q(0- -) + + t 0- - i( ) d 當(dāng)當(dāng) t = = 0+ + 時(shí) 時(shí)q(0+ + ) = =

16、q(0- -) + + 0+ 0- - i( ) d 所以，在換路瞬間有：所以，在換路瞬間有：q(0+ + ) = = q(0- -) q = = C u ，C不變時(shí)有：不變時(shí)有： uC(0+ + ) = = uC(0- -) 電荷守恒電荷守恒 C i + + - - uC 體現(xiàn)體現(xiàn) 2021-6-2 15 (3)電感的初始條件電感的初始條件 用同樣的方法可得：用同樣的方法可得： L i + + - - uL 結(jié)論：結(jié)論：換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，換路瞬間，若電感電壓保持為有限值， 則則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。 在換路瞬間有：在換路瞬間有：Y

17、 Y (0+ + ) = = Y Y (0- -) Y Y = =Li ，L不變時(shí)有：不變時(shí)有： iL(0+ + ) = = iL(0- -) 磁鏈?zhǔn)睾愦沛準(zhǔn)睾?(4)換路定律！換路定律！ q(0+ + ) = = q(0- -) uC(0+ + ) = = uC(0- -) Y Y (0+ + ) = = Y Y (0- -) iL(0+ + ) = = iL(0- -) 注意：注意： 體現(xiàn)體現(xiàn) 換路定律反映了能量換路定律反映了能量 不能躍變。不能躍變。 電容電流和電感電壓為有限電容電流和電感電壓為有限 值是換路定律成立的條件。值是換路定律成立的條件。 2021-6-2 16 (5) 初始值

18、的計(jì)算初始值的計(jì)算 解解 t= =0- -時(shí)刻等效時(shí)刻等效的電路的電路 求電路在開關(guān)閉合瞬間各求電路在開關(guān)閉合瞬間各 支路電流和電感電壓。支路電流和電感電壓。 由由t= =0- -時(shí)刻時(shí)刻的電路計(jì)的電路計(jì) 算算uC(0- -)和和iL(0- -) 。 iC(0- -)= =0，C視為開路。視為開路。 iL(0- -)= =12A，uC(0- -) = = 24V iL(0+ +)= = iL(0- -)= =12A uC(0+ +) = = uC(0- -) = = 24V 由等效電路算出由等效電路算出 R1 + + - - U0 S R2 iL iC C L + + - - uL + + -

19、 - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i R1 + + - - U0 S R2 iL iC C L + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i uL(0- -)= =0，L視為短路。視為短路。 由換路定律由換路定律 2021-6-2 17 iC(0+ +) = = 48- -24 3 = = 8A uL(0+ +) = =48- -212 = = 24V i(0+ +) = = iL(0+ +) + + iC(0+ +) = = 12 + + 8 = = 20A t= =0+ +時(shí)刻的時(shí)刻的等效電路等效電路 R1 + + - -

20、 U0 S R2 iL iC C L + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i R1 + + - - U0 S R2 iL iC 24V 12A + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i iL(0+ +)= = iL(0- -)= =12A uC(0+ +) = = uC(0- -) = = 24V 由由 t= =0+時(shí)刻的等效電路時(shí)刻的等效電路 求各電壓電流。求各電壓電流。電感用電感用 電流源替代，電容用電電流源替代，電容用電 壓源替代，畫出壓源替代，畫出t= =0+ +的的 等效電路。等效電

21、路。 2021-6-2 18 注意注意 t= =0- -時(shí)刻時(shí)刻的的等效等效電路電路 t= =0+ +時(shí)刻的時(shí)刻的等效電路等效電路 R1 + + - - U0 S R2 iL iC 24V 12A + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i iL(0+ +) = = iL(0- -) = = 12A uC(0+ +) = = uC(0- -) = = 24V iC(0+ +) = = 8A iC(0- -) uL(0+ +) = = 24V uL(0- -) i(0+ +) = = 20A i(0- -) R1 + + - - U0 S R2 i

22、L iC C L + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i R1 + + - - U0 S R2 iL iC C L + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i 2021-6-2 19 小結(jié)：求初始值的步驟小結(jié)：求初始值的步驟 由換路前電路由換路前電路(穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài))求求uC(0- -)和和iL(0- -)； 由換路定律得由換路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+) ； 畫畫0+等效電路；等效電路； 由由0+電路求所需各變量的電路求所需各變量的 0+ 值。值。 b. 電容用電壓源替代，電感用

23、電流源替代。電容用電壓源替代，電感用電流源替代。 a. 指換路后的電路。指換路后的電路。 c. 取取0+時(shí)刻值，方向與原假定的電容電壓、時(shí)刻值，方向與原假定的電容電壓、 電感電流方向相同。電感電流方向相同。 2021-6-2 20 解題指導(dǎo)解題指導(dǎo)1：求：求 iC(0+) , uL(0+) iS iL S(t= =0) L + +- - uL RC + + - - uC iC iS iL S(t= =0) L + +- - uL RC + + - - uC iC 解：解：畫畫0- -等效等效電路。電路。 iL(0+) = = iL(0- -) = = iS uC(0+) = = uC(0- -

24、) = = RiS uL(0+) = = - - RiS iC(0+) = = iS - - RiS R iS iL(0+ +)= =iS S(t= =0) + +- - uL RC + + - - iC L RiS = = 0 由由0+電路得：電路得： 畫畫0+ +等效電路。等效電路。 由由換路定律換路定律得：得： 2021-6-2 21 L + + - - 10W W 10W W iL C + +- - uC 10W W 20V t =0=0- -時(shí)刻時(shí)刻 解題指導(dǎo)解題指導(dǎo)2：求：求S閉合瞬間流過它的電流值。閉合瞬間流過它的電流值。 解：解： 畫畫0- -等效電路等效電路 給出給出0+ +

25、等效電路等效電路 (t= =0) + + - - 10W W 10W W iL L C + +- - uC 10W W 20V S iL(0- -) = = 20 10+ +10 = =1A uC(0- - ) = = 10iL(0- -) = = iL(0+ +) = = uC(0+ +) = = 101 無無 電電 流流 = = 10V + + - - 10W W 10W W iL+ +- - 10W W 20V 1A + +- - uL 10V iS iC t = =0+ +時(shí)刻時(shí)刻 i 2021-6-2 22 解題指導(dǎo)解題指導(dǎo)2：求：求S閉合瞬間流過它的電流值。閉合瞬間流過它的電流值。

26、解：解： (t= =0) + + - - 10W W 10W W iL L C + +- - uC 10W W 20V S iS(0+ +) + + iL(0+ +) + + - - 10W W 10W W iL+ +- - 10W W 20V 1A + +- - uL 10V iS iC t = =0+ +時(shí)刻時(shí)刻 i iS(0+ +) = = i(0+ +) + + iC(0+ +) - - iL(0+ +) = = 20 10 + + 10 10 - -1 = =2A uL(0+ +) = = iL(0+ +)10 = = 10V - - iC(0+ +) - - i(0+ +) = =

27、 0 iC(0+ +) = = 10 uC(0+ +) = = 1A 2021-6-2 23 一階電路的分析方法一階電路的分析方法 經(jīng)典法經(jīng)典法 列寫電路的微分方程，列寫電路的微分方程， 求解電流和電壓。是一求解電流和電壓。是一 種在種在時(shí)時(shí)間間域域中進(jìn)行的分中進(jìn)行的分 析方析方法法。 套用典型電路分析法套用典型電路分析法 記住一些典型電路記住一些典型電路(RC 串聯(lián)、串聯(lián)、RL串聯(lián)、串聯(lián)、 RC并并 聯(lián)、聯(lián)、 RL并聯(lián)等并聯(lián)等) 的分析的分析 結(jié)果，在分析非典型電結(jié)果，在分析非典型電 路時(shí)可以設(shè)法套用。路時(shí)可以設(shè)法套用。 7- -2 一階電路的一階電路的零輸入零輸入響應(yīng)響應(yīng) 三要素法三要素法

28、 只要知道一階電路的三個(gè)要只要知道一階電路的三個(gè)要 素，代入一個(gè)公式就可以直素，代入一個(gè)公式就可以直 接得到結(jié)果，這是分析一階接得到結(jié)果，這是分析一階 電路的最有效方法。電路的最有效方法。 含源含源 電阻電阻 NS uC C + + - - iS (t= =0) S US + + - - (t= =0) + + - - uC R C i 典型電路典型電路 2021-6-2 24 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 換路后外加激勵(lì)為零，僅換路后外加激勵(lì)為零，僅 由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的電由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的電 壓和電流。壓和電流。 1. RC 電路的零輸入響應(yīng)電路的零輸入響應(yīng) S R + + - - uC

29、 (t= =0) i + + - - uR U0 i = = - -C duC dt 所以所以 duC dt RC+ + uC = = 0 由由VCR得：得：uR = = Ri， S R + + - - uC (t0+) i + + - - uR U0 由由KVL得：得：- -uR + + uC = = 0 uC(0+ +) = = U0p = = - - RC 1 特征根特征根 特征方程：特征方程： RCp + + 1 = = 0 通解為通解為 2021-6-2 25 uC = = A e pt = = Ae 1 RC - -t 得：得：uC = = U0 et0 代入初始值：代入初始值：u

30、C(0+ +) = = uC(0- -) = =U0 S R + + - - uC (t= =0) i + + - - uR U0 1 RC - -t i = = R uC = = R U0 e 1 RC - -t = = I0e 1 RC - -t 或者由：或者由： i = = - - C duC dt 求出。求出。 (1)電壓、電流是隨時(shí)間電壓、電流是隨時(shí)間 按同一指數(shù)規(guī)律衰減按同一指數(shù)規(guī)律衰減 的函數(shù)；的函數(shù)； 表明：表明： t 0 uC , i t t2t t3t t4t t I0 U0 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 躍變躍變 2021-6-2 26 令令t t = = RC，稱，稱 t t 為一

31、階為一階 電路的時(shí)間常數(shù)。電路的時(shí)間常數(shù)。 (2)響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系， 其衰減快慢與其衰減快慢與RC有關(guān)；有關(guān)； t t =RC= = 歐歐 法法 = = 歐歐 庫庫 伏伏 =歐歐 安秒安秒 伏伏 =秒秒 反映電路過渡過程時(shí)間的長短。反映電路過渡過程時(shí)間的長短。 即：即：t t 大大過渡過程時(shí)間長，過渡過程時(shí)間長， t t 的的物理含義物理含義 t t 大大 t t 小小 電壓初值一定：電壓初值一定： R大大(C一定一定) i= =u/R 放電電流小放電電流小 放電時(shí)間長。放電時(shí)間長。 C大大(R一定一定) W= =Cu2/2 儲(chǔ)能大儲(chǔ)能大 U0 t0 uC t

32、 t 小小過渡過程時(shí)間短。過渡過程時(shí)間短。 2021-6-2 27 注意：注意： t0t t2t t3t t5t t U0U0e- -1U0e- -2U0e- -3U0e- -5 U00.368U00.135U00.05U00.007U0 uC = =U0e t t - - t t t ： 是電容電壓衰減到是電容電壓衰減到 原來電壓原來電壓 36.8%所需的所需的 時(shí)間。工程上認(rèn)為，時(shí)間。工程上認(rèn)為，經(jīng)經(jīng) 過過 3t t 5t t 時(shí)間，過渡時(shí)間，過渡 過程結(jié)束。過程結(jié)束。 t t 的幾何意義的幾何意義 U0 t0 uC 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t t2t t3t t4t t5

33、t t 次切距的長度次切距的長度 等于時(shí)間常數(shù)等于時(shí)間常數(shù) 以該點(diǎn)的斜率為固定變化率以該點(diǎn)的斜率為固定變化率 衰減，衰減， 經(jīng)過經(jīng)過t t 時(shí)間為零值。時(shí)間為零值。 2021-6-2 28 次切距的長度次切距的長度 等于時(shí)間常數(shù)等于時(shí)間常數(shù) M a a t1 Q t2 uC(t1) MQ = = PM tan a a = = uC(t1) - - duC dtt= =t1 = = U0 t0 uC(t)=U0 e t t - - t U0 e t t - - t1 U0 e t t - - t1 t t 1 1 = = t t 即：即：t t = = t2- -t1 任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)P， 通過

34、通過P點(diǎn)點(diǎn)作切線作切線PQ。 P 次切距：切點(diǎn)在次切距：切點(diǎn)在 定直線定直線(橫軸橫軸 )上上 的垂足的垂足 M到切線到切線 與定直線交點(diǎn)與定直線交點(diǎn) Q 間的距離。間的距離。 t t 2021-6-2 29 (3)能量關(guān)系能量關(guān)系 設(shè)設(shè) uC(0+) = = U0 則電容放出能量：則電容放出能量： 電阻吸收（消耗）能量：電阻吸收（消耗）能量： S R + + - - uC (t0+) i + + - - uR U0 2 1 CU0 2 WR = = 0 Ri2 dt= = 0 R (U0 R e 1 RC - -t )2dt = = U0 R 2 (- - RC 2 e 2t RC - -

35、) 0 = = 2 1 CU0 2 電容不斷地釋放能量，并被電阻電容不斷地釋放能量，并被電阻 吸收，直到全部消耗完畢。吸收，直到全部消耗完畢。 2021-6-2 30 例例1：電路如圖，電容原充有：電路如圖，電容原充有24V電壓，求電壓，求S閉合后，閉合后， 電容電壓和各支路電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。電容電壓和各支路電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。 + + - - 2W Wi1 S 5F uC i2i3 3W W6W W + + - - i1 5F uC 4W W 解解: 這是求一階這是求一階RC電路電路 的零輸入響應(yīng)問題。的零輸入響應(yīng)問題。 t0 有：有：uC = = U0 et0 1 RC - -t U

36、0 = = 24V， 所以：所以：uC = = 24 e 20 - - t V t0 i1 = = 4 uC = = 6 e 20 - - t A 分流：分流：i2 = = 3 2i1 = = 4 e Ai3 = = 3 i1 = = 2 eA 20 - - t 20 - - t RC = = 45 = = 20s 回到原電路回到原電路 2021-6-2 31 例例2 電路如圖，電路如圖，已知已知 u1(0- -) = = 4V，u2(0- -) = = 24V， i - - + + + + - - 250kW W + + - - u C1= =5m mF C2= =20m mF S u1 u

37、2 解解：仍是仍是一階一階 RC電路的電路的 C1+ +C2 C1C2 C = = 5+ +20 = = 520 = = 4m mF t0 + + - - uC + + - - i 4m mF uC 250kW W 20V + + - - u uC(0+ +) = = uC( (0- -) ) = -= -u1(0- -) + + u2(0- -) = = 20V t t = = RC = = 250103410- -6 = = 1s 所以：所以： u= = uC = = 20 e- -t V t0 0 i = = 250103 u = = 80 e- -t m mA 求電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。

38、求電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。 零輸入響應(yīng)問題。零輸入響應(yīng)問題。 2021-6-2 32 2. RL電路的零輸入響應(yīng)電路的零輸入響應(yīng) 解之得：解之得：i = = I0 e L - - R S R+ + - - (t= =0) R0 L 12 uL + + - - i U0 i(0+ +) = = i(0- -) = = U0 R0 di dt L+ + Ri = = 0 (t0) = = I0 t (t0) uL = - = - I0 R e L - - R t 電壓、電流是電壓、電流是 隨時(shí)間按同一隨時(shí)間按同一 指數(shù)規(guī)律衰減指數(shù)規(guī)律衰減 的函數(shù)；的函數(shù)； S R+ + - - (t= =0) R0

39、 L 12 uL + + - - i U0 表明：表明： t 0 i， uL I0 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 躍變躍變 - -I0R 2021-6-2 33 令令t t = = L/R，稱為一階，稱為一階RL電路時(shí)間常數(shù)。電路時(shí)間常數(shù)。 響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系， 其衰減快慢與其衰減快慢與L/R有關(guān)；有關(guān)； t t 的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長短：的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長短： L大大 所以所以t t = = L/R大，大， 放電慢。放電慢。 t t 大大過渡過程時(shí)間長，過渡過程時(shí)間長，t t 小小過渡過程時(shí)間短。過渡過程時(shí)間短。 物理含義物理含義電流初值電流初值i

40、L(0)一定：一定： t t= = 亨亨 歐歐 = = 韋韋 安安 歐歐 = = 伏伏 秒秒 安安 歐歐 = = 秒秒 R小小 P= = Ri2小小 W= = 2 1 LiL 2 起始能量大起始能量大 放電過程消耗能量小放電過程消耗能量小 2021-6-2 34 (3)能量關(guān)系能量關(guān)系 設(shè)設(shè) i(0+) = = I0 則電感放出能量：則電感放出能量： 電阻吸收（消耗）能量：電阻吸收（消耗）能量： 2 1 LI0 2 WR = = 0 Ri2 dt= = 0 R (I0 e R L - -t )2dt = = I0 L 2R e 2Rt L - - ) 0 = = 2 1 LI0 2 R LuL

41、 + + - - i 2 R (- - 電感不斷釋放能量被電阻吸收電感不斷釋放能量被電阻吸收, , 直到全部消耗完畢。直到全部消耗完畢。 2021-6-2 35 例題分析例題分析 P144 例例7- -2 試求：試求：t t ；i(0+ +)和和i(0- -) ； i(t)和和uV (t) ；uV (0+ +)。 造成電壓造成電壓 表損壞。表損壞。 t t = = R+ +RV L = = 0.189+ +5103 0.398 = =79.6 (m (ms) i(0- -) R U = = 0.189 35 = =185.2 A i(t) = = 185.2 e- -12560t A uV(t

42、) = ) = - -RV i(t) ) uV(0+ +) = = 926 kV ! 實(shí)踐中，實(shí)踐中， 要切斷要切斷 L 的電的電 流，必須考慮流，必須考慮 磁場(chǎng)能量的釋磁場(chǎng)能量的釋 放問題。放問題。 解：解： i(0+ +) = = i(0- -) = =185.2 A S+ + - - R L + + - - U RV uV i 0.189W W 0.398H 5kW W 35V 某某300kW汽輪發(fā)電機(jī)汽輪發(fā)電機(jī) 勵(lì)磁回路的電路模型勵(lì)磁回路的電路模型 V t0+ = = - -926 e- -12560t kV 2021-6-2 36 小結(jié)小結(jié) 一階電路的零輸入響應(yīng)由儲(chǔ)能元件的初值引起一

43、階電路的零輸入響應(yīng)由儲(chǔ)能元件的初值引起, , 都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)；都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)； f(t) = = f(0+ +)et t - - t RC電路：電路： uC(0+ +) = = uC( (0- -) ) RL電路：電路： iL(0+ +) = = iL( (0- -) ) 衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)t t ； RC電路：電路： t t = = RC， RL電路：電路：t t = = R L 一階電路的零輸入響應(yīng)與初始值成正比，一階電路的零輸入響應(yīng)與初始值成正比， 稱為零輸入線性。稱為零輸入線性。 同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)；同

44、一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)； R為與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。為與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。 2021-6-2 37 回顧數(shù)學(xué)知識(shí)：回顧數(shù)學(xué)知識(shí)： 非齊次微分方程特解的計(jì)算非齊次微分方程特解的計(jì)算 以以 dy dt + + Ay = = f(t) 為例為例 輸入輸入f(t)的形式的形式 常數(shù)常數(shù)P P0 + + P1t (P0可以為可以為0) P0 + + P1t + + P2t2 Q0 + + Q1t + + Q2t2 Pe- -mt (mA A) Qe- -mt Pe- -mt (m= =A A) Q t e- -mt Psinw wt (或或Pcosw wt

45、) 特解特解y*的形式的形式 常數(shù)常數(shù)Q Q0 + + Q1t Q1sinw wt + + Q2 cosw wt 或或 Q cos(w wt + +q q ) 2021-6-2 38 7- -3 一階電路的一階電路的零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：在動(dòng)態(tài)元件初值在動(dòng)態(tài)元件初值 為為 0 的狀態(tài)下，的狀態(tài)下，t0 時(shí)由電路時(shí)由電路 中外施激勵(lì)引起的響應(yīng)。中外施激勵(lì)引起的響應(yīng)。 1. RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)電路的零狀態(tài)響應(yīng) S US + + - - (t= =0) + + - - uC R C + +- -uR i 常系數(shù)非齊次線性方程常系數(shù)非齊次線性方程 解答形式：解答形式：uC =

46、 = uC + + uC uC( (0- -) = ) = 0 方程：方程： duC dt RC+ + uC = = US uC 為為非齊次方程特解：非齊次方程特解： uC = = Q 故又稱故又稱強(qiáng)制分量。強(qiáng)制分量。 這是電路的穩(wěn)態(tài)解，這是電路的穩(wěn)態(tài)解， 稱稱穩(wěn)態(tài)分量。穩(wěn)態(tài)分量。 由于該分量與輸入激由于該分量與輸入激 勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)，勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)， US 2021-6-2 39 uC 為為齊次方程通解：齊次方程通解： US + + - - (t0+) + + - - uC R C + +- -uR i 解答形式：解答形式：uC = = uC + + uC 方程：方程： 特解：特解：uC

47、 = =US uC = =A e 1 RC - -t 隨著時(shí)間的推移，將消隨著時(shí)間的推移，將消 失，故稱失，故稱暫態(tài)分量暫態(tài)分量。 由于其變化規(guī)律只與電由于其變化規(guī)律只與電 路結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，故路結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，故 又稱又稱自由分量自由分量。 零輸入也是這一規(guī)律。零輸入也是這一規(guī)律。 全解：全解：uC = = US + + A A e 1 RC - -t 由初始條件由初始條件 uC (0+) = = 0 得：得： A A = - = - US uC = = US - - US e 1 RC - -t = = US (1- - e ) 1 RC - -t (t0) duC dt RC+ + uC

48、 = = US i = = C duC dt = = US R e 1 RC - -t 0 2021-6-2 40 US + + - - (t0+) + + - - uC R C + +- -uR i 表明表明 uC = = US (1- - e ) 1 RC - -t (t0) i = = US R e 1 RC - -t 電壓、電流是隨時(shí)間按同電壓、電流是隨時(shí)間按同 一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)； 穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量( (強(qiáng)制分量強(qiáng)制分量) ) + + 暫態(tài)分量暫態(tài)分量( (自由分量自由分量) ) 電容電壓由兩部分構(gòu)成：電容電壓由兩部分構(gòu)成： uC 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)uC t u

49、C 0 US u C 躍變躍變 t 0 i R - - US R US 2021-6-2 41 電源電源提供的提供的能量：能量： 電阻電阻吸收的吸收的能量：能量： W = = 0 US i(t) dt= =USq = = CUS 2 WR = = 0i 2(t)R dt= = 2 1 CUS 2 t t = =RC 結(jié)果表明：電源提供的能結(jié)果表明：電源提供的能 量一半轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)能量存量一半轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)能量存 儲(chǔ)于儲(chǔ)于C 中，另一半在充電中，另一半在充電 過程中消耗在過程中消耗在 R上。不論上。不論 RC的值是多少，充電效的值是多少，充電效 率總是率總是50%。 US + + - - (t0+ +

50、) + + - - uC R C + +- -uR i 響應(yīng)變化的快慢，由時(shí)間響應(yīng)變化的快慢，由時(shí)間 常數(shù)常數(shù) t t = = RC 決定；決定；t t 大充大充 電慢，電慢，t t 小充電就快。小充電就快。 響應(yīng)與外加激勵(lì)成線性關(guān)系；響應(yīng)與外加激勵(lì)成線性關(guān)系； 能量關(guān)系能量關(guān)系 電容電容存儲(chǔ)的存儲(chǔ)的能量：能量： WC = = 2 1 CUS 2 2021-6-2 42 = = 0.2 e- -200t A 例：例：t= =0時(shí)，開關(guān)時(shí)，開關(guān)S閉合，已知閉合，已知 uC(0- -)= =0，求，求 (1)電容電壓和電流；電容電壓和電流；(2) uC= =80V時(shí)的充電時(shí)間時(shí)的充電時(shí)間t。 解：

51、解：(1)這是一個(gè)這是一個(gè)RC電路零狀電路零狀S 100V + + - - (t= =0) + + - - uC 500W W 10m mF i 態(tài)響應(yīng)問題，有：態(tài)響應(yīng)問題，有： t t = = RC= =50010- -5 = = 510- -3 s uC = =US(1- -e ) 1 RC - -t = =100 (1- -e- -200t )V(t0) i = = C duC dt = =10- -5 100200e- -200t (2)設(shè)經(jīng)過設(shè)經(jīng)過t1秒，秒，uC= =80V 80 = = 100 (1- -e- -200t1 )Vt1 = = 8.045ms 2021-6-2 43

52、 2. RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)電路的零狀態(tài)響應(yīng) (1) 激勵(lì)是恒定直流激勵(lì)是恒定直流 換路前：換路前：iL(0+ +) = = iL(0- -) = = 0 換路后：換路后：iR + + iL = = IS S RL + + - - IS uL (t= =0) iRiL (t0+ +) iR = = uL R = = L R diL dt L R diL dt + + iL = = IS L R t t = = 解得：解得：iL = = IS (1- - e ) t t - - t 式中：式中： uL = = L diL dt = = RIS e t t - - t (t0) t uL , 0

53、iL IS RIS 2021-6-2 44 (2)激勵(lì)是正弦電壓激勵(lì)是正弦電壓 設(shè)設(shè) us= =Umcos(w wt+ + u) 則則 L di dt + + Ri= = Umcos(w wt+ + u) 通解：通解： i = = A e t t - - t 特解的形式：特解的形式：i= = Imcos(w wt + +q q ) 把把 i 代入微分方程：代入微分方程： Im、q q 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。 RImcos(w wt+ +q q )- - w wLImsin(w wt+ +q q )= =Umcos(w wt+ + u) Im|Z|cos(w wt+ +q q + + )= =

54、Umcos(w wt+ + u) 式中式中 R2 |Z| = =+ + (w wL)2 tg = = R w wL L R t t = = t0+ + us + + - - + + - - uL R L i + +- - uR 比較得：比較得：Im= = Um |Z| q q = = u- - ， 2021-6-2 45 |Z| Um 特解：特解：i = = Imcos(w wt + +q q ) cos(w wt + + u- - ) |Z| Um i = =cos(w wt+ + u- - )+ + Ae - - t t t 由由i(0+ +) = =i(0- -) = = 0定出：定出：

55、A = = - - |Z| Um cos( ( u- - ) ) |Z| Um i = =cos(w wt+ + u- - ) - - cos( u- - ) e |Z| Um - - t t t 全解：全解： 穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量 i 是與外施是與外施 激勵(lì)同頻率的正弦量激勵(lì)同頻率的正弦量 暫態(tài)分量暫態(tài)分量 i 隨時(shí)間隨時(shí)間 的增長衰減為零。的增長衰減為零。 R上的電壓上的電壓 uR = = RiL上的電壓上的電壓 uL= = Ldi dt = = t0+ + us + + - - + + - - uL R L i + +- - uR 2021-6-2 46 討論討論 (1)若若 S閉合時(shí)閉合時(shí)

56、 u- - = = 90o， 則則 i = =0。 說明電路不發(fā)生說明電路不發(fā)生 過渡過程而立即進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。過渡過程而立即進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。 t0+ + us + + - - + + - - uL R L i + +- - uR |Z| Um i = =cos(w wt+ + u- - ) - - cos( u- - ) e |Z| Um - - t t t w wt0 i i = = i uR = = Ri |Z| R Umcos(w wt+ + u- - ) - - Umcos( u- - ) e |Z| R - - t t t uL= = L di dt Um cos(w wt+ + u- - +

57、 + 90o) |Z| w wL = = Umcos( u- - ) e |Z| R - - - - t t t = = 2021-6-2 47 i 0 i |Z| Um |Z| Um - - 當(dāng)當(dāng)t t很大時(shí)，很大時(shí)，i衰減緩慢。衰減緩慢。 在在 u = = 時(shí)閉合時(shí)閉合 S，約過，約過 半個(gè)周期，半個(gè)周期， iL的最大瞬時(shí)的最大瞬時(shí) 值值(絕對(duì)值絕對(duì)值) 將接近穩(wěn)態(tài)振將接近穩(wěn)態(tài)振 幅的兩倍。幅的兩倍。 穩(wěn)態(tài)振幅穩(wěn)態(tài)振幅 過渡中的最大瞬時(shí)值過渡中的最大瞬時(shí)值 可見，電路的過渡過程可見，電路的過渡過程 與與 S動(dòng)作的時(shí)刻有關(guān)。動(dòng)作的時(shí)刻有關(guān)。 t0+ + us + + - - + + - -

58、uL R L i + +- - uR |Z| Um i = =cos(w wt+ + u- - ) - - cos( u- - ) e |Z| Um - - t t t t i (2)若若S閉合時(shí)閉合時(shí) u= = |Z| Um i = =cosw wt - - e |Z| Um - - t t t 2021-6-2 48 例：例：t= =0開關(guān)打開，求開關(guān)打開，求t 0后后iL、 、uL及 及u。 這是這是RL電路零狀態(tài)電路零狀態(tài) 響應(yīng)問題，先化簡電路。響應(yīng)問題，先化簡電路。 + + - - uL20W W2H iL 1A 5W W + + - - u 10W W + + - - uL10W

59、W2H iL S 2A (t0) L Req t t = = = 2 20 = = 0.1s iL = = Isc(1- - e ) t t - - t = (= (1- - e- -10t ) A uL = = L diL dt = = Req Isc e t t - - t = = 20e- -10t V u = = 5 2= (= (20+ +10e- -10t ) V iL( (0+ +)=)=iL( (0- -)=)=0 t t diL dt + + iL = = Isc Req = = 20W W， Isc = = 1A。 解：解： 由原電路得：由原電路得： 解得：解得： + +1

60、0iL+ + uL 2021-6-2 49 全響應(yīng)全響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解 暫態(tài)解暫態(tài)解 7- -4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng) 1. 全響應(yīng)：全響應(yīng)：電路的初始狀態(tài)不電路的初始狀態(tài)不 為零，同時(shí)又有外加激勵(lì)源為零，同時(shí)又有外加激勵(lì)源 作用時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。作用時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。 S US + + - - (t= =0) + + - - uC R C + +- - uR i + + - - U0 uC(0+ +) = = uC(0- -) = = U0 uC = = US + ( + (U0 - - US) ) e duC dt RC+ + uC = = US (1)著眼于電路的兩種工著