線性代數(shù)公式大全 線性代數(shù)公式定理總結(jié)

1、線性代數(shù)公式大全一一最新修訂1、行列式1.2.n行列式共有n2個(gè)元素，展開后有n!項(xiàng)，可分解為2n行列式; 代數(shù)余子式的性質(zhì)： 、Aj和aij的大小無關(guān)； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為 、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為0;3.4.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M ij = （-1嚴(yán)人設(shè)n行列式D :IA ；Aij = (flMij將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為n(n _1)D1，則 D1 =(1)F D ;5.將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，所得行列式為將D主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D2，則 D2 =(1)D3，則 D D ；n (n) F

2、 D ;將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為行列式的重要公式：、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積;D4，則 D4 = D ；、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積、上、下三角行列式（I、I =卜I）n （n JL）C（_1）F ；:主對(duì)角元素的乘積;、|r I和IJ I:畐嘆寸角元素的乘積n (n)X(-1)F精品文檔10 、拉普拉斯展開式: 、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積;6. 、特征值；7.對(duì)于n階行列式IA，恒有：IE -A|+2 （-1）kSkA，其中Sk為k階主子式;證明IA =0的方法： 、|A|=-|A| ； 、反證法； 、構(gòu)造齊次方程組 Ax = 0，證明其有非零解; 、利用秩，證

3、明r（A） n ; 、證明0是其特征值；2、矩陣1.A是n階可逆矩陣:|a| ho （是非奇異矩陣）；r（A） =n （是滿秩矩陣）A的行（列）向量組線性無關(guān)； 齊次方程組Ax =0有非零解；VRn，Ax=b總有唯一解；A與E等價(jià)；A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積;2.3.A的特征值全不為0;ata是正定矩陣；A的行(列)向量組是 Rn的一組基；A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；AA* = A* A斗A E 無條件恒成立；(A 丄)T =( AT )丄(A*)T =( AT )*(AB) = B A(AB)- = B-對(duì)于n階矩陣A :(A 節(jié)=(A *)-(AB)T =BtAt4.5.矩陣是表格，

4、推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和; 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：(AAn、|A| =|A1| Al |As| ；仏丄A2-、卜0B么0(aI0 TB丿A T。丿、丄C B ,0 TBZJA丄20A丄)A 1，則:As1.一個(gè)m xn矩陣(主對(duì)角分塊)(副對(duì)角分塊)；(拉普拉斯)仗丄巳】；(拉普拉斯)l-B叱A丄B A丿3、矩陣的初等變換與線性方程組FEr 0；20人沁A，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的:等價(jià)類：所有與 對(duì)于同型矩陣A、2.3.行最簡形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個(gè)非0元素必須為1; 、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元

5、素必須為0;初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)r、若(A, E)(E , X)，貝y A可逆，且 X=A丄；A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；B，若 r(A) =r(B)二 AL B ；c 、對(duì)矩陣(A B)做初等行變化，當(dāng) A變?yōu)镋時(shí)，B就變成aP，即：(A,B)(E, B); 、求解線形方程組：對(duì)于 n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程Ax=b，如果(A b)巾E,x)，則A可逆，且4.初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;5.6.7.、A =A)2打丿、對(duì)調(diào)兩行或兩列,、倍

6、乘某行或某列,、倍加某行或某列,符號(hào)符號(hào)符號(hào)，左乘矩陣A , h乘A的各行元素；右乘,托乘A的各列元素;f 11f 1、1=1、 1、 bE (i ,j)，且 E (i, j -= E (i, j)，例如:E (i (k)，且 E (i(k) - = E (i(-)，例如:E (ij(k),且 E(ij(k)- = E(ij (k)，如:矩陣秩的基本性質(zhì)： 、0 r(An述)Wmin(m, n); 、r(AT) = r(A); 、若 ALB，貝y r (A) = r (B); 、f1k11X1k、丄/1=111k1丿-k若P、Q可逆，則r(A)= r(PA) = r (AQ)= r (PAQ)

7、;(可逆矩陣不影響矩陣的秩)max(r(A),r(B) r(A,B)r(A) + r(B);(探) r(A+B) r(A)+r(B);(探)r(AB) min(r(A), r(B) ；W如果A是mxn矩陣，B是nxs矩陣，且 AB = 0,則：(探)I、B的列向量全部是齊次方程組AX = 0解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)；n、r(A)+r(B) r(A)+r(B) n ;三種特殊矩陣的方幕：、n、川、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量)X行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律;|1 a型如10 110 0二項(xiàng)展開式:注:Cmncb的矩陣：利用二項(xiàng)展開式;bn(a+b)n =cnan P:a%竹I丄a

8、T+ C：bn =送 Cmabm蘭(a+b)n展開后有n +1項(xiàng);_n(n -1)1111)1(n -m +1) n!12_3*Lm組合的性質(zhì)：C：、禾U用特征值和相似對(duì)角化:伴隨矩陣：m!(nm)!C0Cnm+ =cm +Cn2nS Cnr =2nr rCnr =ncn；;、伴隨矩陣的秩:r(A) 4l0r (A) = nr (A) = n -1 ;r (A) C n -1、伴隨矩陣的特征值:、*4A = |A|A-、lA (AX =/X , A* =|AA丄=A*X)； zz,n 1HA8.關(guān)于、A矩陣秩的描述：r（A） = n， A中有n階子式不為0, n +1階子式全部為0；（兩句話）

9、 r（AUn，A中有n階子式全部為0;r（A） n， A中有n階子式不為0；9.10.11.線性方程組：Ax=b，其中A為mxn矩陣，則： 、m與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個(gè)方程； 、n與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Ax =b為n元方程；線性方程組Ax=b的求解： 、對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）； 、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得；由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成 n元線性方程：a,1 x + a2 X2 +川 +a1 nXn =ba 21 X1 +a22 X2+II） +a2 nXn =匕、I山川山川II川Ml川川川山；am 1X1

10、 + am 2 X 2 創(chuàng) +a nm XnG11a 21、a12玄22X 2fb baI1八Xm丿1rn丿ama2nAx =b （向量方程，A為mxn矩陣，m個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)）J1 、但1 a2山an ）X 2=P （全部按列分塊，其中b）、am 20m1amn、aX1 +a2X2 川I +anXn=P （線性表出）有解的充要條件：r（A） = r（A, p） n（ n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1.m個(gè)n維列向量所組成的向量組A : 8,（12,111 ,am構(gòu)成n咒m矩陣A= （01,企,|,口 m）；m個(gè)n維行向量所組成的向量組B : P1T, P2T，川，Pm構(gòu)成m

11、Xn矩陣B =2.3.4.5.含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)； 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)二Ax= 0有、無非零解；（齊次線性方程組） 、向量的線性表出=Ax=b是否有解；（線性方程組） 、向量組的相互線性表示二AX =B是否有解；（矩陣方程）矩陣An鴻與B/行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組Ax = 0和Bx = 0同解；（P|01例14）r（ At a） =r（A） ； （ P101 例 15）n維向量線性相關(guān)的幾何意義： 、a線性相關(guān) 、a,P線性相關(guān)u a =0 ；=a P坐標(biāo)成比例或共線（平行）；6.、a,P,Y線性相關(guān)二a, P,Y共面；線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若a

12、1,ot2,|)|,ots線性相關(guān)，則6。2,|山8,ots卡必線性相關(guān)；若01,(/2,|山ots線性無關(guān)，則6,8,1山as丄必線性無關(guān)；(向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶)若r維向量組A的每個(gè)向量上添上 n _r個(gè)分量，構(gòu)成n維向量組B :若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若 B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；(向量組的維數(shù)加加減減)簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7.向量組A (個(gè)數(shù)為r )能由向量組B (個(gè)數(shù)為S)線性表示，且 A線性無關(guān)，則rs(二版P74定理7)； 向量組A能由向量組B線性表示，則r(A) r(B) ； ( P86定理3)向量組A能由向量組B線性表示0 AX =

13、B有解；二 r(A) = r(A, B)( P85 定理 2)8.向量組A能由向量組B等價(jià)u r (A)= r (B )= r (A, B)( P85定理2推論)方陣A可逆二存在有限個(gè)初等矩陣P1, P2,|)|, P，使 A=RP2| p ；、矩陣行等價(jià):A- B= PA =B9. 、矩陣列等價(jià)： 、矩陣等價(jià)：對(duì)于矩陣與Bl迪: 、若A與B行等價(jià)，則 、若A與B行等價(jià)，則A - Bu AQ =B A- B-PAQ =B(左乘，P可逆)U Ax= 0與Bx= 0同解(右乘，Q可逆)；(P、Q可逆)；A與B的行秩相等；Ax = 0與Bx = 0同解,且A與B的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)

14、性;10. 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩；右=6沁，則： 、C的列向量組能由A的列向量組線性表示， 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣；AT為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)11.12.13.14.齊次方程組Bx= 0的解一定是 ABx= 0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明； 、ABx= 0只有零解 =Bx= 0只有零解； 、Bx = 0 有非零解 =ABx= 0 一定存在非零解；設(shè)向量組Bn沁：b,baJH,br可由向量組An浦：a,aJII,as線性表示為：(P10題19結(jié)論)(b,b2,川山)=(可，a2,l|l,as)K ( B =AK )其中K為sxr ,且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)二r(K)= r ；( B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性)(必要性： 7r =r(B )= r (AK