三角恒等變換

1、三、三角恒等變換變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對象之一。代數(shù)變換是學(xué)生熟悉的，與代數(shù)變換一樣，三角變換也是只變其形不變其質(zhì)的，它可以揭示那些外形不同但實(shí)質(zhì)相同的三角函數(shù)式之間的內(nèi)在聯(lián)系。在基本初等函數(shù)（）中，我們接觸了同角三角函數(shù)式的變換，在三角恒等變換中，我們將運(yùn)用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角恒等變換公式，并運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換。 三角函數(shù)的建立和它的變換經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程，從17世紀(jì)至今，經(jīng)過眾多數(shù)學(xué)家的充實(shí)和發(fā)展，成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支三角學(xué)，為大自然、實(shí)際生活和其它學(xué)科（如物理學(xué)）的解決和學(xué)習(xí)提供理論依據(jù)和方法。數(shù)學(xué)史話數(shù)學(xué)的十大偉人

2、黃友初1.伯特蘭羅素伯特蘭羅素（B.Russell，18721970，英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、社會學(xué)家，也是上世紀(jì)西方最著名、影響最大的學(xué)者和社會活動家。生于英國威爾士莫矛斯郡。羅素幼時(shí)很孤寂，對數(shù)學(xué)的迷戀，成為他的主要興趣。羅素一生以追求真理和正義為終生職志，積極參加社會、政治活動，追求并自由，和平。作為哲學(xué)家，他的思想大致經(jīng)歷了絕對唯心主義、邏輯原子論、新實(shí)在論、中立一無論等幾個(gè)階段。他的主要貢獻(xiàn)首先是在數(shù)理邏輯方面，他由數(shù)理邏輯出發(fā)，建立起來的邏輯原子論和新實(shí)在論，使他成為現(xiàn)代分析哲學(xué)的創(chuàng)始人之一。1950年諾貝爾文學(xué)獎。羅素留給世人的名言很多，例如：（1）自由必須以平等為前提。而絕對的平等

3、是不存在的，只能是“引起最少嫉妒的安排”。（2）自由之路上有兩大障礙：物質(zhì)的和社會的。（3）自由的實(shí)現(xiàn)有些需要是基本和必須的，如：食物、飲料、衣物、健康、性、關(guān)懷等。這些基本需要中有一種得不到滿足，自由就不可能真正實(shí)現(xiàn)。（4）愛能使人的欲望變得協(xié)調(diào)，而非沖突。兩個(gè)相愛的人可以成敗與共，而相恨的人，一方的失敗則是另一方的成功。2哥德巴赫哥德巴赫(C.Goldbach，16901764)，德國數(shù)學(xué)家。生于格奧尼格斯別爾格；曾在英國牛津大學(xué)學(xué)習(xí)；原學(xué)法學(xué)，曾擔(dān)任中學(xué)教師。1725年到俄國，同年被選為彼得堡科學(xué)院院士；1725年1740年擔(dān)任彼得堡科學(xué)院會議秘書；1742年移居莫斯科。1729年-17

4、64年，哥德巴赫與歐拉保持了長達(dá)三十五年的書信往來，其中便有著名的哥德巴赫猜想。3.懷爾德懷爾德(Roymond Louis Wilder,1896-1982)，美國數(shù)學(xué)家。1896年11月3日出生于美國馬薩諸塞州，1982年7月7日卒于加利福尼亞州圣巴巴拉。1923年獲得得克薩斯大學(xué)博士學(xué)位。19501951任美國數(shù)學(xué)會副主席，19551956任主席，19651966任美國數(shù)學(xué)協(xié)會主席，1973年美國數(shù)學(xué)協(xié)會福特獎和杰出服務(wù)獎。1963年被選為美國全國科學(xué)院院士。主要研究拓?fù)鋵W(xué)，著有流形的拓?fù)?，對?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也做過研究，著有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)引論、數(shù)學(xué)概念演變初探、作為一種文化體系的數(shù)學(xué)等著作。在

5、作為一種文化體系的數(shù)學(xué)書中，懷爾德從人類學(xué)的角度提出了“數(shù)學(xué)一種文化體系”的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀，被后人給予很高的評價(jià)，被認(rèn)為是“自1931年以來出現(xiàn)的第一個(gè)成熟的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀”。4. M克萊因M克萊因（Morris Kline，19081992），美國數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家與應(yīng)用數(shù)學(xué)家，1908年5月1日生于美國紐約市布魯克林。畢業(yè)于紐約大學(xué)，l936年獲得博士學(xué)位后在普林斯頓高等研究院研究拓?fù)鋵W(xué)，1938年回紐約大學(xué)任文理學(xué)院教授，并在著名數(shù)學(xué)家?guī)炖手笇?dǎo)下研究應(yīng)用數(shù)學(xué)。l976年他被紐約布魯克林大學(xué)任命為榮譽(yù)教授。M克萊因關(guān)于數(shù)學(xué)史的代表作是古今數(shù)學(xué)思想，它不同于一般數(shù)學(xué)史的著作，而主要“從歷史角度來講

6、解的數(shù)學(xué)入門書”，突出了數(shù)學(xué)發(fā)展的思想方法，論述了數(shù)學(xué)思想的古往今來，被譽(yù)為“我們現(xiàn)有的數(shù)學(xué)史中最好的一書”。5.赫爾曼漢克爾赫爾曼漢克爾（德語：Hermann Hankel，1839.2.141873.8.29），德國數(shù)學(xué)家，生于薩克森-安哈爾特州哈雷市。漢克爾曾與莫比烏斯、黎曼、維爾斯特拉斯和克羅內(nèi)克爾等數(shù)學(xué)家共同學(xué)習(xí)和工作。漢克爾著名的貢獻(xiàn)包括他提出的貝塞爾方程的一類特殊函數(shù)解（稱為“第三類貝塞爾函數(shù)”或漢克爾函數(shù)），和線性代數(shù)中的漢克爾矩陣。6.阿基米德阿基米德(Archimedes，約公元前287212)是古希臘物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，靜力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人。公元前287年，阿基米德誕

7、生于西西里島的敘拉古(今意大利錫拉庫薩)。他出生于貴族，與敘拉古的赫農(nóng)王有親戚關(guān)系，家庭十分富有。阿基米德的父親是天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家，學(xué)識淵博，為人謙遜。他十一歲時(shí)，借助與王室的關(guān)系，被送到古希臘文化中心亞歷山大里亞城去學(xué)習(xí)。公元前240年，阿基米德回?cái)⒐爬?，?dāng)了赫農(nóng)王的顧問，幫助國王解決生產(chǎn)實(shí)踐、軍事技術(shù)和日常生活中的各種科學(xué)技術(shù)問題。公元前212年，古羅馬軍隊(duì)攻陷敘拉古，正在聚精會神研究科學(xué)問題的阿基米德，不幸被蠻橫的羅馬士兵殺死，終年七十五歲。阿基米德的遺體葬在西西里島，墓碑上刻著一個(gè)圓柱內(nèi)切球的圖形，以紀(jì)念他在幾何學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)。他被認(rèn)為是“理論天才與實(shí)驗(yàn)天才合于一人的理想化身”，文藝復(fù)

8、興時(shí)期的達(dá)芬奇和伽利略等人都拿他來做自己的楷模。還被認(rèn)為是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家。7.牛頓牛頓（S. I. Newton，16431727），英格蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家和煉金術(shù)士，生于英國林肯郡小鎮(zhèn)沃爾索浦。幼時(shí)成績一般，喜歡制作些奇奇怪怪的小玩意。后就讀于劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1664年成為獎學(xué)金獲得者，被選為巴羅的助手，1665年獲學(xué)士學(xué)位。16651666年學(xué)校因倫敦的鼠疫而停課，牛頓于1665年6月離校返鄉(xiāng)。16651666年這段短暫的時(shí)光成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月，他的三大成就：微積分、萬有引力、光學(xué)分析的思想都是在這時(shí)孕育成形的。他在1687年發(fā)表的論文自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)

9、原理里，對萬有引力和三大運(yùn)動定律進(jìn)行了描述。這些描述奠定了此后三個(gè)世紀(jì)里物理世界的科學(xué)觀點(diǎn)，并成為了現(xiàn)代工程學(xué)的基礎(chǔ)。他通過論證開普勒行星運(yùn)動定律與他的引力理論間的一致性，展示了地面物體與天體的運(yùn)動都遵循著相同的自然定律；從而消除了對太陽中心說的最后一絲疑慮，并推動了科學(xué)革命。牛頓在光學(xué)、天體力學(xué)、望遠(yuǎn)鏡等方面都有重要貢獻(xiàn)，他不愧是一位科學(xué)上的巨人，但是他在與人相處中，卻有不同的說法。牛頓剝奪了胡克在萬有引力上的成果，被選為英國皇家學(xué)會的主席，就下令在皇家學(xué)會除去所有的胡克的肖像。引用弗拉姆斯蒂德觀測數(shù)據(jù)卻因私人矛盾，在原理的第二版將弗拉姆斯蒂德的名字刪去。在微積分發(fā)明權(quán)上導(dǎo)演對萊布尼茲的指控

10、。牛頓曾經(jīng)謙遜地評價(jià)他自己：“我不知道在別人看來，我是什么樣的人；但在我自己看來，我不過就象是一個(gè)在海濱玩耍的小孩，為不時(shí)發(fā)現(xiàn)比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對于展現(xiàn)在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發(fā)現(xiàn)。”他留給世人的名言是：“如果說我比別人看得更遠(yuǎn)些,那是因?yàn)槲艺驹诹司奕说募缟??！?.萊布尼茨萊布尼茨（G. W. von Leibniz，16461716），德國最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學(xué)知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。萊布尼茨出生于德國東部萊比錫，家學(xué)淵源，15歲

11、進(jìn)入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，1666年以論身份獲阿爾特多夫大學(xué)博士學(xué)位，被聘為法學(xué)教授。1682年，創(chuàng)辦了近代科學(xué)史上卓有影響的拉丁文科學(xué)雜志學(xué)術(shù)紀(jì)事(又稱教師學(xué)報(bào))。萊布尼茨推動建立了柏林科學(xué)院，出任首任院長。當(dāng)時(shí)全世界的四大科學(xué)院：英國皇家學(xué)會、法國科學(xué)院、羅馬科學(xué)與數(shù)學(xué)科學(xué)院、柏林科學(xué)院都以萊布尼次作為核心成員。萊布尼茨1684年10月在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表的論文一種求極大極小的奇妙類型的計(jì)算，是最早的微積分文獻(xiàn)。萊布尼茨運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則，其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號。萊布尼茨在1674年造出一臺機(jī)械計(jì)算機(jī)“乘法器”，系統(tǒng)提

12、出了二進(jìn)制的運(yùn)算法則，為計(jì)算機(jī)的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。萊布尼茨的物理學(xué)成就也是非凡的。萊布尼茨留給世人的名言是： “世界上沒有兩片完全相同的樹葉”9. 高斯高斯（J. C .F. Gauss，17771855），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家。高斯被認(rèn)為是最重要的數(shù)學(xué)家，并有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)。1792年發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的一般形式、數(shù)論上的“二次互反律”、質(zhì)數(shù)分布定理、及算術(shù)幾何平均。1796年發(fā)現(xiàn)正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法，并為歐氏幾何提供了自古希臘時(shí)代以來的第一次重要補(bǔ)充。高斯總結(jié)了復(fù)數(shù)的應(yīng)用，并且嚴(yán)格證明了每一個(gè)n階的代數(shù)方程必有n個(gè)實(shí)數(shù)或

13、者復(fù)數(shù)解。高斯在他的建立在最小二乘法基礎(chǔ)上的測量平差理論的幫助下，結(jié)算出天體的運(yùn)行軌跡。并用這種方法，發(fā)現(xiàn)了谷神星的運(yùn)行軌跡。高斯亦從事曲面和投影的理論，這成了微分幾何的重要基礎(chǔ)。高斯和韋伯19世紀(jì)的30年代，高斯發(fā)明了磁強(qiáng)計(jì)，1840年他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場圖，而且定出了地球磁南極和磁北極的位置，并于次年得到美國科學(xué)家的證實(shí)。高斯留給世人的名言有：（1）“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王?！保?）“數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性: 它們極易從事實(shí)中歸納出來, 但證明卻隱藏的極深?！?0.約瑟夫路易斯拉格朗日約瑟夫路易斯拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 17351813）法國數(shù)

14、學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。17歲時(shí)，他讀了英國天文學(xué)家哈雷的介紹牛頓微積分成就的短文論分析方法的優(yōu)點(diǎn)后，迷上了數(shù)學(xué)分析，開始專攻當(dāng)時(shí)迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分析。1755年拉格朗日19歲時(shí)，在探討數(shù)學(xué)難題“等周問題”的過程中，他以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，用純分析的方法求變分極值。第一篇論文“極大和極小的方法研究”，發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。變分法的創(chuàng)立，使拉格朗日在都靈聲名大震，并使他在19歲時(shí)就當(dāng)上了都靈皇家炮兵學(xué)校的教授，成為當(dāng)時(shí)歐洲公

15、認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。1756年，受歐拉的舉薦，拉格朗日被任命為普魯士科學(xué)院通訊院士。1764年，法國科學(xué)院懸賞征文，要求用萬有引力解釋月球天平動問題，他的研究獲獎。接著又成功地運(yùn)用微分方程理論和近似解法研究了科學(xué)院提出的一個(gè)復(fù)雜的六體問題(木星的四個(gè)衛(wèi)星的運(yùn)動問題)，為此又一次于1766年獲獎。1766應(yīng)邀前往柏林，任普魯士科學(xué)院數(shù)學(xué)部主任，居住達(dá)20年之久，開始了他一生科學(xué)研究的鼎盛時(shí)期。在此期間，他完成了分析力學(xué)一書，這是牛頓之后的一部重要的經(jīng)典力學(xué)著作。書中運(yùn)用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學(xué)體系，使力學(xué)分析化了。他在序言中宣稱：力學(xué)已經(jīng)成為分析的一個(gè)分支。1783年，拉格朗日的

16、故鄉(xiāng)建立了都靈科學(xué)院，他被任命為名譽(yù)院長。1786年接受了法王路易十六的邀請，離開柏林，定居巴黎，直至去世。1791年，拉格朗日被選為英國皇家學(xué)會會員，又先后在巴黎高等師范學(xué)院和巴黎綜合工科學(xué)校任數(shù)學(xué)教授。1795年建立了法國最高學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)法蘭西研究院后，拉格朗日被選為科學(xué)院數(shù)理委員會主席。此后，他才重新進(jìn)行研究工作，編寫了一批重要著作：論任意階數(shù)值方程的解法、解析函數(shù)論和函數(shù)計(jì)算講義，總結(jié)了那一時(shí)期的特別是他自己的一系列研究工作。1813年4月3日，拿破侖授予他帝國大十字勛章，但此時(shí)的拉格朗日已臥床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。三角函數(shù)符號的來歷和讀法古印度數(shù)學(xué)家阿耶波多Aryabhat

17、a最初研究正弦函數(shù)時(shí)，因該函數(shù)圖酷似半張弓弦，命名其為ardha-jya（半弦）。這是一個(gè)非常傳神的定義。這個(gè)名稱也可寫成“jya-ardha”，有時(shí)還簡寫成jya或jiva。Arayabhata的Arayabhatiya是第一本明確提出正弦函數(shù)的著作。 阿耶波多(Aryabhata)（476550）相當(dāng)于中國南北朝的祖沖之（429500）那個(gè)年代。1976年，為紀(jì)念阿耶波多誕生1500周年，印度發(fā)射了以阿耶波多命名的第一顆人造衛(wèi)星。 阿拉伯人繼承和發(fā)揚(yáng)了印度的數(shù)學(xué)成就 ，他們保留了“jiva”單詞，卻沒有翻譯出它的意思，由于阿拉伯語發(fā)音的原因，該詞轉(zhuǎn)寫為jiba（請不要笑）。并且被讀作jib

18、a或jaib（因我不識阿拉伯語，不知其詳），而恰好“jaib”在阿拉伯語中的意思是“胸部、海灣或曲線”。當(dāng)歐洲人將阿拉伯人的作品翻譯成拉丁文時(shí)，就用拉丁文中表示“胸部、海灣或曲線的單詞“sinus”替代了阿拉伯語的“jaib”，sinus這個(gè)詞在歐洲就被廣泛采用，簡寫符號“sin”最初由岡特開始采用，岡特還發(fā)明了“tan”符號。 弦的簡寫sin是英國天文學(xué)教授岡特Edmund Gunter所率先使用的，他還率先將余弦寫作cosinus，后者是對拉丁語comlementi sinus（正弦的補(bǔ)）的簡寫。 與此相似，余切cotangent是正切tangent的補(bǔ)，符號為cot；余割cosecant

19、是正割secant的補(bǔ)，符號位csc。之所以是補(bǔ)，因?yàn)樗麄兠繉χg角度和都是直角。正切函數(shù)起源于古代的日影測量，其主要作用是天文計(jì)時(shí)。早先人們用日晷的投影和晷長之比來判定時(shí)間 ，而這個(gè)比值即為正切函數(shù)的雛形。人們將直立桿在地面的投影稱之為umbra recta（直立桿之投影），將垂直于墻面的水平桿在墻面的投影稱為umbra versa（倒桿之投影），這二者分別演變成后來的正切函數(shù)和余切函數(shù) 。最早的正切和余切表建立于公元860年天文學(xué)家al-Battani(美索不達(dá)米亞人),他得出垂直日晷的影子與日晷高度之比。但未用cot這個(gè)符號。1583年，丹麥數(shù)學(xué)家Thomas Fincke,使用術(shù)語um

20、bra recta(直影），來描述垂直日晷的水平投影的大小。1620年，Edmund Gunter首先使用cotangents這個(gè)詞?，F(xiàn)代的正切函數(shù)是1573年丹麥數(shù)學(xué)家芬克Thomas Fincke命名的，他將這個(gè)函數(shù)稱為tangens，后者是拉丁語動詞tangere （to touch）的現(xiàn)在分詞形式，字面意思為（touching）。英語的tangent由該詞演變而來。（如今英語有詞語，tangible可觸知的 ,intangible不可觸知的)。 正割函數(shù)在拉丁語中稱為secans，該詞為拉丁語動詞secare的現(xiàn)在分詞形式，字母意思為（cutting）。先做一個(gè)半徑為1的單位圓 O，然

21、后以此圓心為原心建立直角坐標(biāo)系，由單位圓與任意角的交點(diǎn)D向橫坐標(biāo)引垂線，交OA也就是橫坐標(biāo)于點(diǎn)C。同時(shí)，我們在橫坐標(biāo)右側(cè)與單位圓交點(diǎn)A處作圓的切線，與角相交于B點(diǎn)。 我們看到圖中 sin就是線段CD之長，也就是上文所說的ardha-jya（半只弓弦）。而角的正切值tan則為線段AB之長，正切值sec為線段OB之長。注意到角的正弦值對應(yīng)線段AB，而AB所在直線與這個(gè)圓正好緊緊的挨著，這形象的說明正切tangens（touching）一名的來歷。正割函數(shù)所對應(yīng)的線段OB正像一把刀一樣，將圓O割裂成為了兩部分，這也是對正割函數(shù)secans非常形象的解釋思維導(dǎo)航將數(shù)學(xué)史如何滲透到三角函數(shù)學(xué)習(xí)中三角函數(shù)

22、的學(xué)習(xí)中，要滲透或了解三角函數(shù)發(fā)展史，否則會缺乏學(xué)習(xí)的積極性和系統(tǒng)性。在歷史的觀點(diǎn)下能夠開闊學(xué)生的眼界，促使他們把現(xiàn)今知識同往日的輪廓結(jié)合起來。日本的米山國藏說：“我搞了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們在初中、高中接受的數(shù)學(xué)知識，因畢業(yè)了進(jìn)入社會后，幾乎沒有機(jī)會應(yīng)用這些作為知識的數(shù)學(xué)，所以通常是出校門不到一兩年就忘記了。然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，惟有深深銘刻在腦海中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)的思維方法，研究方法和著眼點(diǎn)，使他們終身受益?！币虼?，學(xué)習(xí)時(shí)我們應(yīng)該更加積極、系統(tǒng)的使用數(shù)學(xué)史。三角函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)史的滲透可以按以下三個(gè)方面進(jìn)行：（1）生活實(shí)際融入數(shù)學(xué)史：知識產(chǎn)生有它的必然，知識來源于實(shí)際生活。新課

23、程標(biāo)準(zhǔn)中提到，“在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際，使我們體會三角函數(shù)模型的意義?！苯?gòu)主義的學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)情境創(chuàng)設(shè)要盡可能的真實(shí)，數(shù)學(xué)史實(shí)是真實(shí)的。因此，情境創(chuàng)設(shè)可以充分考慮數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景和發(fā)展的歷史，用數(shù)學(xué)史實(shí)作為素材創(chuàng)設(shè)問題情境，這不僅有助于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和提高我們的學(xué)習(xí)興趣，也是對我們的一種文化熏陶。（2）數(shù)學(xué)知識融入數(shù)學(xué)史：數(shù)學(xué)史不僅可以給出確定的數(shù)學(xué)知識，同時(shí)還可以給出知識的創(chuàng)造過程。對這種創(chuàng)造過程的再現(xiàn)，不僅可以使我們體會到數(shù)學(xué)家的思維過程，培養(yǎng)其探索精神，還可以形成探索與研究的學(xué)習(xí)氣氛，使得我們在學(xué)習(xí)中不再是單純地學(xué)習(xí)知識。主動地、自主地探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，培

24、養(yǎng)我們分析問題和解決問題的能力。”（3）解答歷史名題：歷史名題的提出一般來說都是非常自然的，它或者直接提供了相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的真實(shí)背景，或者揭示了實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法，這對于我們理解數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法都是重要的。通過對歷史名題的解答和探究，可以使枯燥乏味的解題變得富有趣味和探索意義，從而極大地調(diào)動我們學(xué)習(xí)的積極性，提高我們的興趣?？ù脑谒臄?shù)學(xué)史通論序言部分寫到，“根據(jù)MAA觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)史的知識能向?qū)W生表明，數(shù)學(xué)是一項(xiàng)非常重要的人類活動。數(shù)學(xué)不是一產(chǎn)生就像我們教科書中那樣完美形式，它常常是處于解決問題的需要，以一種直觀的和實(shí)驗(yàn)性的形式發(fā)展起來的。數(shù)學(xué)思想的發(fā)展歷程能有效的被用來激勵和啟迪今天的學(xué)生”。美

25、國數(shù)學(xué)史家卡約黎也曾說，“在歷史的解說中，教師可以讓學(xué)生明白：數(shù)學(xué)不是一門枯燥呆板的學(xué)科，而是一門不斷進(jìn)步的生動有趣的學(xué)科”。因此，注意數(shù)學(xué)史中知識產(chǎn)生過程與學(xué)習(xí)相結(jié)合，并引用歷史名題的證明，希望能起到以下作用：（1）激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，數(shù)學(xué)是一門邏輯嚴(yán)格的科學(xué)或藝術(shù)，三角函數(shù)又有思考性、方法性、技巧性和目標(biāo)性都較強(qiáng)的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的應(yīng)用可以為三角函數(shù)的學(xué)習(xí)增添色彩；（2）提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，三角學(xué)起源于天文學(xué)，對天文觀測、物理應(yīng)用等的發(fā)展起了推動作用，數(shù)學(xué)史的相關(guān)學(xué)習(xí)亦是文化上的學(xué)習(xí)；（3）加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系的了解，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，數(shù)學(xué)史是真實(shí)的，它提供的問題往往來源于實(shí)際，如三角學(xué)

26、最開始是用來解決實(shí)際天文測算、天氣預(yù)報(bào)、方向的學(xué)問，與日常生活息息相關(guān)；（4）培養(yǎng)克服困難信心和獨(dú)立研究精神，數(shù)學(xué)史提供重要問題的背景和解決的過程，往往激勵學(xué)生克服困難，獨(dú)立尋求答案。在解決問題過程中，得到分析問題和解決問題能力的提高。參考文獻(xiàn)王素紅談數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)三角恒等變換的技巧三角學(xué)中，有關(guān)求值、化簡、證明以及解三角方程與解幾何問題等，都經(jīng)常涉及到運(yùn)用三角變換的解題方法與技巧，而三角變換主要為三角恒等變換。三角恒等變換在整個(gè)初等數(shù)學(xué)中涉及面廣，是常用的解題工具，而且由于三角公式眾多，方法靈活多變，若能熟練掌握三角恒等變換的技巧，不但能加深對三角公式的記憶與內(nèi)在聯(lián)系的理解，而

27、且對發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用能力都大有益處。三角恒等變換是以三角基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，和，差，倍角等公式為基礎(chǔ)的，三角變換的常見策略有：（1）發(fā)現(xiàn)差異；（2）尋找聯(lián)系；（3）合理轉(zhuǎn)換。概括起來就是：利用和，差，倍角等三角公式實(shí)行各種轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到問題解決的目的。三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能。常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：一、知角求值一般所給出的角都是非特殊角。當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”；當(dāng)“已知角”

28、有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式。例1：已知，則（ ）ABCD解析：兩邊平方，再同時(shí)除以，得，或，代入，得到。選C。變式：已知向量與互相垂直，其中。（1）求和的值；（2）若，求的值。解析:（1）由，即，又，所以。（2）因?yàn)?。點(diǎn)評：已知非特殊角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，一般用同角三角函數(shù)的關(guān)系式來解，它分為兩種情況：（1）一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)和這個(gè)角所在的象限或終邊落在哪個(gè)坐標(biāo)軸上都是已知的，此類情況只有一組解；（2）一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是已知的，但角的范圍不確定，那么要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角的值的象限或終邊落在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，然后分不同的情況

29、來解。例1通過化簡后，求出的正切值，再直接用的二倍角的正切值得解，也可利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式分別求出的值后求得，不過此時(shí)要注意角所在的象限。其實(shí)還可用猜想法，由于給出的數(shù)據(jù)及選項(xiàng)的唯一性，記這時(shí)符合要求，此時(shí)，代入可得選項(xiàng)C。變式中的第（2）小題用到了“湊角法”。它是三角恒等變換中十分經(jīng)典的一種方法，常見的湊角技巧。，。二、逆用公式運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦公式常能將有些三角式化簡，但深入觀察三角式的結(jié)構(gòu)特征，有時(shí)能巧妙地逆用公式，不僅豐富了解題技巧，而且回味無窮。例2：若，則 。解析：由已知得所以， 即。變式：（2013新課標(biāo)全國II理）設(shè)為第二象限角，若，則 。解析： 由在第二象限，

30、且，所以。所以。點(diǎn)評： 逆用公式常見的一些變形：逆用兩角和與差的正弦公式可求得，如例1，逆用兩角和與差的余弦公式可求得。形如；。三、化簡求值無條件的三角函數(shù)式的化簡求值問題是三角函數(shù)中的重要內(nèi)容，對于這類非特殊角的三角函數(shù)式，要求出具體數(shù)值，一般有以下三種途徑：（1）化為特殊角的三角函數(shù)值；（2）化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，先消去，再求值；（3）化為分子、分母形式，進(jìn)行約分求值。例3：求的值。解析：原式=。變式：解析：原式=。點(diǎn)評：三角函數(shù)式的化簡求值，題型靈活多樣，生動有趣，例3應(yīng)用了變角技巧“”，一般這類題化簡往往把其中一個(gè)角表示成一個(gè)特殊角與另一個(gè)角的和或差的形式?；嗊^程采用的手段常有化切為弦

31、、配湊公式等重要方法。為了達(dá)到化簡的目的，將變成，這也是解決變式題的關(guān)鍵一步，這種“以退為進(jìn)”的策略，常常有效。四、在解三角形中的運(yùn)用高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，其中關(guān)鍵是三角變換，而三角變換主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算公式”，其中核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式。例4：（2013江西卷理）在中，角A,B,C所對的邊分別為，已知（1）求角的大?。唬?）若，求的取值范圍。解析：（1）由已知得即有，因?yàn)椋?，又，可得。?）由余弦定理有，因?yàn)?，有點(diǎn)評：在三角形中考查三角函數(shù)式的變換是近年來高考的熱點(diǎn)，它是在新的載體上進(jìn)行的三角變換。

32、作為三角形問題，必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。但它畢竟是三角變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都適用。此題中先將轉(zhuǎn)化為再展開求出角B，在解三角形時(shí)，三角形內(nèi)角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），應(yīng)注意分類討論，但三角形內(nèi)角的余弦值為正，該角一定為銳角，只有唯一解。例5（2013四川卷理）在中，角的對邊分別為，且。（1）求的值；解析：（1）由已知得。則則 點(diǎn)評 （1）將題目中的等式轉(zhuǎn)化為只含有角度A的三角函數(shù)，即減少角的個(gè)數(shù)，可求出，此題主要體現(xiàn)了公式的應(yīng)用熟悉程度，以及

33、在化解轉(zhuǎn)化過程中觀察角度實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過程。 參考文獻(xiàn): 毛昌強(qiáng)巧用三角恒等變換數(shù)學(xué)應(yīng)用托勒密定理與三角函數(shù)表什么是三角函數(shù)表？簡單來說，就是把不同角度和它對應(yīng)的三角函數(shù)值放在一起，制作成表，以便隨時(shí)查閱。三角函數(shù)表的出現(xiàn)是自然的，對一個(gè)函數(shù)來說，任意一個(gè)自變量都有唯一一個(gè)值與之對應(yīng)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，常用的三角函數(shù)表一般都包括這三種函數(shù)。三角函數(shù)起源和天文學(xué)密切相關(guān)，它是一種對天文觀察結(jié)果進(jìn)行推算的方法。希臘天文學(xué)家希帕克（Hipparchus，約公元前180公元前125年）制作了一張全弦表，這是古代的“三角函數(shù)表”。我們今天知道希帕克是靠計(jì)算，而不是靠工具

34、量出弦長來制表的，這是他的卓越之處。他的工作現(xiàn)在已經(jīng)無法找到原稿，我們是從托勒密（Ptolemy）的著作中知道他的貢獻(xiàn)，但大部分人認(rèn)為這是托勒密自己或者部分是托勒密完成的。不管怎樣，按照托勒密的說法，制作弦表可以這樣進(jìn)行：把一個(gè)圓周分為360度，把直徑分為120份，然后把圓周和直徑的每一分度再分成60份，每一小份再分成60更小份（1度等于60分，1分等于60秒）。于是對于有一定度數(shù)給定的弧AB，我們得到相應(yīng)弦的長度數(shù)。給定度數(shù)的弧所對應(yīng)的弦的長度數(shù)目相當(dāng)于今日的正弦函數(shù)。若弧AB所對應(yīng)的圓心角是，則按我們的說法有，托勒密的方法是給出OA分成60份時(shí)所含的長度數(shù)。例如，的弦含40份，則照我們的說

35、法是，或更為一般的形式：下面我們要知道的是托勒密如何求對應(yīng)一給定度數(shù)的弧的弦長。他先計(jì)算的是36度弧和72度弧所對應(yīng)弦長。如圖二：ADC是以D為中心的圓的直徑，BD垂直于ADC，E是DC的中點(diǎn)，并取F使EF=BE。托勒密用幾何的方法證明FD等于圓內(nèi)接正十邊形的一邊，BF等于圓內(nèi)接正五邊形的一邊。但ED含30份，BD含60份。由于于是（67份又4小份55更小份，后面的數(shù)據(jù)與之類同，不作另外解釋）。現(xiàn)因，我們就得到。于是，。由于FD是正十邊形的一邊，它是36度所對應(yīng)弦長。但從FD以及直角三角形FDB可算出但BF是正五邊形的一邊，所以它是72度弧所對應(yīng)的弦長。正六邊形邊長等于半徑，所以60度所對應(yīng)弦

36、長為60份。又因內(nèi)接正四邊形的邊長可由半徑算出，他得到90度所對應(yīng)的弦長為。其次內(nèi)接正三角形的邊長也可由半徑求出，故120度弧所對應(yīng)弦長為。利用直徑AC上的直角三角形，若知弧AB的弦，則立刻能知道其補(bǔ)弧的弦長。例如，如圖3，托勒密由36度弧對應(yīng)弦長求出144度弧對應(yīng)弦長為。這里，運(yùn)用了勾股定理，可表示為根據(jù)前面的公式可知帶入得亦即或者接著，托勒密證明一個(gè)引理，我們今天稱為托勒密定理。給定圓的任一內(nèi)接四邊形，如圖4，他證明。證明是直截了當(dāng)?shù)?。在任意凸四邊形ABCD中(如下圖)，作ABE使BAE=CAD，ABE=ACD，連接DE。則ABEACD，所以，即BEAC=ABCD (1)由ABEACD得，

37、又BAC=EAD，所以ABCAED.，即EDAC=BCAD (2)(1)+(2)，得AC(BE+ED)=ABCD+ADBC又因?yàn)锽E+EDBD，僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號成立，即“托勒密定理”。托勒密如何用這一引理來計(jì)算已知弦長的兩弧和差所對應(yīng)的弦長呢？他采用了AD為直徑的特殊圓內(nèi)接四邊形ABCD。設(shè)已知AB和AC，托勒密指出如何求BC。BD是AB補(bǔ)弧的弦，CD是AC補(bǔ)弧的弦，因此運(yùn)用上面公式可以求出?，F(xiàn)在運(yùn)用托勒密定理，則可以看成是六個(gè)長度中的五個(gè)已知，故這里的第六個(gè)長度可以算出。但，故若兩弧的弦長已知，則可以算出兩弧之差的弦。用現(xiàn)代術(shù)語即是已知sinA和sinB，就可算出

38、sin（A-B）。具體公式和證明過程請同學(xué)們自己給出。托勒密指出他已經(jīng)知道72度和60度弧所對應(yīng)的弦，所以可以算出12度弧所對應(yīng)的弦。其次，他指出如何從圓的任一給定弦，求出所對應(yīng)半弧所對應(yīng)弦。用現(xiàn)代術(shù)語即是已知sinA，可以求出，托勒密指出這樣的結(jié)果是很有用的。因?yàn)槲覀兛梢詮南乙阎幕〕霭l(fā)，不斷求其一半弧所對應(yīng)的弦。然后，他又指出若已知AB弧的弦和BC弧的弦，則我們可以求出AC弧的弦。用現(xiàn)代術(shù)語即是說已知sinA和sinB，可以求出sin（A+B）。作為特例，他從sinA求出了sin2A的結(jié)果。由于托勒密能從12度弦平分?jǐn)?shù)次得到的弦，故他能求任意弧加上或減去3/4度弧的弧所對應(yīng)弦。這樣進(jìn)行下去

39、，他就能求每兩個(gè)相差弧的弦。但他還想求出每步相差的弦，按照上面方法，他無法直接求出。于是，他使用不等式推出的弦為。于是他能把到所有相差的弧所對應(yīng)的弦求出并列成表。參考文獻(xiàn)：1.莫里斯克萊因 著，張理京，張錦炎，江澤涵 譯；2.古今數(shù)學(xué)思想第一冊. 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社. 2002. 參考網(wǎng)站：雙曲函數(shù) 1.雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)（hyperbolic function）可借助指數(shù)函數(shù)定義：雙曲正弦 雙曲余弦 雙曲正切 雙曲余切 雙曲正割 雙曲余割 雙曲函數(shù)出現(xiàn)于某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。2.雙曲函數(shù)的性質(zhì)y=sinhx，定義域：R，值域：R，奇函數(shù)，函數(shù)圖像為過原點(diǎn)

40、并且穿越、象限的嚴(yán)格單調(diào)遞增曲線，函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。y=coshx，定義域：R，值域：1，+)，偶函數(shù)，函數(shù)圖像是懸鏈線，最低點(diǎn)是（0，1），在象限部分是嚴(yán)格單調(diào)遞增曲線，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。y=tanhx，定義域：R，值域：(-1，1)，奇函數(shù)，函數(shù)圖像為過原點(diǎn)并且穿越、象限的嚴(yán)格單調(diào)遞增曲線，其圖像被限制在兩水平漸近線y=1和y= -1之間。y=cothx，定義域：x|x0，值域：x|x|1，奇函數(shù)，函數(shù)圖像分為兩支，分別在、象限，函數(shù)在(-，0)和(0，+)分別單調(diào)遞減，垂直漸近線為y軸，兩水平漸近線為y=1和y=-1。y=sechx，定義域：R，值域：(0，1，偶函數(shù)，最高點(diǎn)是(

41、0，1)，函數(shù)在(0，+)嚴(yán)格單調(diào)遞減，(-，0)嚴(yán)格單調(diào)遞增。x軸是其漸近線。y=cschx，定義域：x|x0，值域：x|x0，奇函數(shù)，函數(shù)圖像分為兩支，分別在、象限，函數(shù)在(-，0)和(0，+)分別單調(diào)遞減，垂直漸近線為y軸，兩水平漸近線為x軸。3.雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系雙曲函數(shù)與三角函數(shù)有如下的關(guān)系：4.與雙曲函數(shù)有關(guān)的公式， ， ，；.;5.雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（sinh x)=cosh x； （cosh x)=sinh x； （tanh x)=sech2x；（coth x)= -csch2x； （sech x)= -sech x*tanh x； （csch x)= -cschx*co

42、th x.6.雙曲函數(shù)的不定積分公式三角函數(shù)與雙曲函數(shù)基本公式對照表圓函數(shù)（三角函數(shù)） 雙曲函數(shù)1.基本性質(zhì)： 1.基本性質(zhì)：, , , , ， , 2.奇偶性： 2.奇偶性： 3.兩角和差公式 3.兩角和差公式 4.二倍角公式 4.二倍角公式 5.半角公式 5.半角公式, , , ,6.萬能公式 6.萬能公式, , 7.三倍角公式 7.三倍角公式 8.積化和差公式 8.積化和差公式 9.和差化積公式 9.和差化積公式 參考網(wǎng)站：數(shù)學(xué)欣賞三角級數(shù)、傅里葉級數(shù)對于所有在以2pi為周期的函數(shù)f(x)，可以用一組如下的三角函數(shù)系將其展開：1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，coxnx，s

43、innx，.顯然，這組基在-pi,pi上是正交的，因此可以在周期區(qū)間求積分獲得函數(shù)f(x)在以三角函數(shù)系為基的展開系數(shù)，或者說以三角函數(shù)系為坐標(biāo)的投影值a0，an，bn，.一個(gè)一般的函數(shù)f(x)可以表示為奇函數(shù)和偶函數(shù)的疊加，因此它的展開既含有正弦項(xiàng)又含有余弦項(xiàng)，但偶函數(shù)的展開僅含有常數(shù)項(xiàng)a0和正弦項(xiàng)，相似的，奇函數(shù)展開僅含有余弦項(xiàng)。1.傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式根據(jù)歐拉公式ejx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦項(xiàng)可以用復(fù)指表示，即cosx=(ejx+e-jx)/2，sinx=(ejx-e-jx)/2j。所以，任何一個(gè)周期函數(shù)f(x)既可以在三角函數(shù)系上表出也可以在復(fù)指數(shù)系1，ejx，ejnx

44、上表出，在不同的坐標(biāo)系之間，存在映射關(guān)系。但重要的是，由于積分變換的核函數(shù)形式發(fā)生改變，其物理意義也將有所變化。由于復(fù)數(shù)的引入，每一個(gè)復(fù)指數(shù)ejnx相對于三角函數(shù)系都變?yōu)橐粋€(gè)二維量，其物理含義是一條三維螺旋線。其道理非常簡單，一個(gè)實(shí)參a表示數(shù)軸上的一點(diǎn)，而一個(gè)復(fù)數(shù)a+bj表示二維坐標(biāo)上的一點(diǎn)，所以cosx，sinx分別表示一條二維曲線，而ejx=cosx+jsinx是一條空間三維曲線。2.傅里葉變換周期信號用傅里葉級數(shù)表示,非周期信號可以借助傅里葉變換進(jìn)行.對實(shí)信號做傅立葉變換時(shí)，如果按指數(shù)ejt為核來求，我們將得到雙邊頻譜.以角頻率為的余弦信號為例，它有具有位于兩處的，幅度各為0.5，相角為

45、零的頻率特性.實(shí)際上，COSt就是ejt與ej-t兩條螺旋線的疊加，他們虛部剛好對消，只剩下實(shí)部.1與2兩個(gè)角速度的螺旋線坐標(biāo)值的疊加并不等于角速度1+2，因?yàn)閺慕撬俣鹊铰菪€的映射不是線性關(guān)系.這一現(xiàn)象正體現(xiàn)了頻率的正交特性,也是頻率分析理論存在的基礎(chǔ).經(jīng)過傅立葉變換得到的負(fù)頻率表示一條反向旋轉(zhuǎn)的螺旋線，而復(fù)頻率表示一條整體改變相位的螺旋線，它們分別與正頻率，實(shí)頻相對應(yīng)，都表示一個(gè)特定的螺旋線，并沒有玄妙的含義.3.連續(xù)頻譜周期信號用傅里葉級數(shù)展開所獲得頻率線狀譜的物理意義十分明確,即整個(gè)信號由所有譜線存在處頻率分量疊加而成.比如信號COSt對應(yīng)與-處兩根譜線.困難的問題是對連續(xù)譜的理解.以下為標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉變換對：由于存在關(guān)系式：ej-wt=cos-wt+j*sin-wt，再聯(lián)想一個(gè)信號