計(jì)算方法復(fù)習(xí)題

1、填空題：復(fù)習(xí)試題410A141014，則 A的LU 分解為A已 知 f(1) 1.0, f(2)f (x)dx1.2, f (3) 1.3 ，則 用辛普生 (辛 卜生 )公式 計(jì)算求 得,用三點(diǎn)式求得 f (1)1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、f (1) 1, f (2) 2, f(3) 1，則過這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中 x2 的系數(shù)為 拉格朗日插值多項(xiàng)式為 。近似值 x* 0.231關(guān)于真值 x 0.229 有( )位有效數(shù)字；設(shè) f (x)可微,求方程 x f(x)的牛頓迭代格式是 ()；對 f(x) x3 x 1,差商 f0,1,2,3 (), f 0,1,2

2、,3,4 ()；計(jì)算方法主要研究 ()誤差和 ()誤差；用二分法求非線性方程 f (x)=0 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)的根時(shí)，二分 n 次后的誤差限為() ；求解一階常微 分方程初 值問題 y = f (x,y) ， y(x0)=y0 的改 進(jìn)的歐拉 公式為() ；已知 f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次 Newton 插值多項(xiàng)式中 x2系數(shù)為( )；1兩點(diǎn)式高斯型求積公式 0 f (x)dx ( )，代數(shù)精度為 ( )；解線性方程組 Ax=b 的高斯順序消元法滿足的充要條件為 ()y 10 3 4 2 為了使計(jì)算 x 1 (x 1)263(x 1) 的乘除法次數(shù)盡量地少， 應(yīng)將該表達(dá)

3、式改寫為y 10 (3 (4 6t)t)t,tx1，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式2001 1999 改寫為。314、用二分法求方程 f (x) x3 x 1 0在區(qū)間 0,1內(nèi)的根 ,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間 為, 進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為。115、計(jì)算積分 0.5 xdx,取 4 位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為 ，用辛生公式計(jì)算求得的近似值為 ，梯形公式的代數(shù)精度為 ，辛卜生公式的代數(shù)精度為(k 1) (k)x1(1 5x2 )/3(k 1) (k 1)x2x1/20 ，該迭3x1 5x2 116、17、18、求解方程組 0.2x1 4x2 0 的高斯塞德爾迭代格式為 代格式的迭代矩

4、陣的譜半 徑 (M )=設(shè) f(0) 0,f(1) 16,f(2) 46 ,則l1(x)l1(x)x(x 2) ， f (x)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為 N2(x) 16x 7x(x 1) 。bn a f(x)dxAkf (xk)求積公式 a k 0 的代數(shù)精度以 ( )求積公式為最高，具有次代數(shù)精度。519、 已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求 積公式求 1 f (x)dx ()。20、 設(shè) f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三點(diǎn)式求 f (1) ()。21、如果用二分法求方程 x3 x 4 0在區(qū)間 1,2 內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分()次。3

5、x30 x 1S(x) 1 3 2(x 1)3 a(x 1)2 b(x 1) c 1 x 322、已知2 是三次樣條函數(shù)，則a=()， b= ()， c=()。23、 l0(x),l1(x), ,ln(x)是以整數(shù)點(diǎn) x0,x1, , xn為節(jié)點(diǎn)的 Lagrange插值基函數(shù)，則n n nlk(x)xkl j(xk)(xk4 xk2 3)lk(x)k 0( )，k 0 ( )，當(dāng)n 2時(shí) k 0 ( )。y f (x, y)y(x0) y0 的改進(jìn)歐拉法24、解初值問題階方法。25、區(qū)間 a,b 上的三次樣條插值函數(shù) S(x) 在 a,b 上具有直到 26 、 改 變 函 數(shù) f (x) x

6、1 x10yn 1 yn hf (xn,yn)hyn 1 yn hf(xn,yn) f(xn 1,yn01)2是階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。( x 1 ) 的 形 式 ， 使 計(jì) 算 結(jié) 果 較 精 確27、若用二分法求方程 f x0在區(qū)間 1,2內(nèi)的根，要求精確到第 3位小數(shù)，則需要對分次。Sx28、設(shè) a= , b= , c=2x3 , 0 x 1 x3 ax2 bx c,1 x 2 是 3 次樣條函數(shù)，則1x exdx 29、若用復(fù)化梯形公式計(jì)算 0 積節(jié)點(diǎn)。，要求誤差不超過 10 6 ，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用個(gè)求30 、 寫 出 求 解 方 程x2k 1 2 0.4x1k 1 ,k 0,1, ，迭

7、代矩陣為x1 1.6x2 10.4x1 x2 2 的 Gauss-Seidel 迭 代 公 式1.60.64 ，此迭代法是否收斂收斂 。A31、設(shè)32、設(shè)矩陣3 ,則4 8 2482U0 1 6257113600的 A LU ，則 U 233、若 f (x) 3x434、數(shù)值積分公式2x 1，則差商 f 2,4,8,16,3212 f ( 1) 8f (0) f (1)9 的代數(shù)精度為1 f (x)dx35、線性方程組的最小二乘解為21043 5 分解為 A LU ，則 U11032124、求解線性方程組Ax=b 的 LU 分解法中，A 須滿足的條件是 ()。3A236、設(shè)矩陣1、單項(xiàng)選擇題：

8、1、 Jacobi 迭代法解方程組 Ax b的必要條件是( )。AA 的各階順序主子式不為零B (A) 1Caii 0,i1,2, ,nD A 1223A0512、設(shè)007，則 (A) 為()A2B 5C 7D3、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為 ()。A 2B5C 3D 4A 對稱陣B 正定矩陣C 任意陣D 各階順序主子式均不為零5、舍入誤差是 ( )產(chǎn)生的誤差。A. 只取有限位數(shù)B模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C 觀察與測量D數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值6、3.141580是的有（)位有效數(shù)字的近似值。B 5C 4D 77、用 1+x 近似表示 ex所產(chǎn)生的誤差是 ()誤差A(yù) 模型B 觀測C

9、截?cái)郉 舍入8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是 ( )。A控制舍入誤差B 減小方法誤差C防止計(jì)算時(shí)溢出D 簡化計(jì)算9、用 1+ 3近似表示 31 x所產(chǎn)生的誤差是 ()誤差。A 舍入B 觀測C 模型D 截?cái)?0、-3247500 是舍入得到的近似值，它有 ()位有效數(shù)字。B 6C 7D 811、設(shè) f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為 ( )。A 05B 05CD -212、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為)。B 4C 5D 213、( )的 3 位有效數(shù)字是 0.236102。(C) 235.418 (D) 235.54101(A)

10、0.0023549103 (B) 2354.8210214、用簡單迭代法求方程 f(x)=0 的實(shí)根，把方程 f(x)=0 表示成 x= (x) ，則 f(x)=0 的根是(A) y= (x) 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(B) y=x 與 y= (x) 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C) y=x 與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D) y=x 與 y= (x) 的交點(diǎn)3x1 x2 4x3 1x1 2x2 9x3 015、用列主元消去法解線性方程組4x1 3x2 x31，第 1次消元，選擇主元為 ( ) 。(A) 4(B) 3 (C) 4(D) 916、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是 ( B ),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是 ( )

11、 。(A) f(x,x0,x1,x2, ,xnx)(1x)(x x2) (xxn1)(xxn)，f (n 1) Rn(x) f (x) Pn(x)(B)(C) f(x,x0,x1,x2, ,xn)(xx0)(x x1)(x x2) (xxn 1)(xxn) ，Rn(x) f (x) Pn(x) f(n 1()!) n1(x)17、等距二點(diǎn)求導(dǎo)公式 f (x1) ( )。(A) f(x1) f (x0) x1 x0(B) f(xx1)fx(x0)x0x1(C) f (x0) f (x1) x0 x1(D) f (x1) f (x0 ) x1 x018、用牛頓切線法解方程 f(x)=0 ，選初始值

12、 x0 滿足(),則它的解數(shù)列 xnn=0,1,2, 一定收斂到方程 f(x)=0 的根。(A) f(x0)f (x) 0(B)f(x0)f (x) 0(C) f(x0)f (x) 0 (D) f(x0)f (x) 019、為求方程 x3x21=0 在區(qū)間 1.3,1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是 ( )。2x(A)1x 1,迭代公式 :xk 1(B)x 1 12 , 迭代公式 : xk 1 1 1 x22 xk(C) x3 1 x 2 ,迭代公式 : xk 1(1 xk2 )1/3x3 1 x2,迭代公式 :xk 1 (D)2xkxk2 xk

13、1y f (x,y)20、求解初值問題y(x ) y 歐拉法的局部截?cái)嗾`差是 ();改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差是(); 四階龍格庫塔法的局部截?cái)嗾`差是 ( )(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)21、解方程組 Ax b的簡單迭代格式 x Bx g 收斂的充要條件是(D)O(h5)(k 1)。(3) (A) 1, (4) (B) 122、在牛頓 -柯特斯求積公式：bna f(x)dx (b a)i 0Ci(n)f (xi)中，當(dāng)系數(shù) Ci(n)是負(fù)值時(shí)，公式的x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25)。所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是( ( 1)二次；(2)三次

14、；穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)( )時(shí)的牛頓 -柯特斯求積公式不使用。(1) n 8， (2)n 7， (3) n 10，(4) n 6，23、有下列數(shù)表3)四次； ( hhf (xn h2,ynh 的取值范圍為(3)0 h 1,25、取 3 1.732計(jì)算 x ( 3 1)4 ，下列方法中哪種最好？(16yn 1 yn 24、若用二階中點(diǎn)公式 n 1 n 試問為保證該公式絕對穩(wěn)定，步長 (1)0 h 1, (2) 0 h 1,4)五次h f (xn, yn)2 n n 求解初值問題 y 2y, y(0) 1， ( )。(4)0 h 1)16(A) 28 16 3 ；(B) (4 2 3

15、)2；3x(C) (4 2 3)2 ；(D)( 3 1)4 。S(x) 2(x 1)3 a(x 2) b(B)6， 8；(C)8 ，0x22 x 4 是三次樣條函數(shù)， 6；(D)8， 8。26、已知(A)6，6；27、由下列數(shù)表進(jìn)行 Newton 插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是(則 a,b的值為 (xi1.52.53.5f( xi)-10.52.55.08.011.5)(C) 3；(A) 5 ；(D) 2 。28、形如(A) 9 ；(B) 4 ； b a f(x)dx A1f(x1) A2 f(x2) A3 f ( x3 )的高斯( Gauss)型求積公式的代數(shù)精度為 )(B) 7 ；(

16、C) 5；(D) 3 。29、計(jì)算xk 1(A)3 的 Newton 迭代格式為 ( xk32xk)xk3xk 12k 2x；(B)22xk ；(C)xk 1 x2k x2xk 12 xk ； (D)xk33 xk 。32x3 4x2 10 0 在區(qū)間30、用二分法求方程 次數(shù)至少為 ( )(A)10；(B)12 ；(C)8；31、經(jīng)典的四階龍格庫塔公式的局部截?cái)嗾`差為( )(A) O(h4)；(B) O(h2) ；(C) O(h5)；1,2 內(nèi)的實(shí)根，要求誤差限為12 10 3，則對分(D)9。32、設(shè) li(x)是以 xk k(k 0,1, ,9)為節(jié)點(diǎn)的 Lagrange 插值基函數(shù)，則

17、 (A) x；(B) k；(C) i；(D)1。33、5 個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓 -柯特斯求積公式，至少具有 ()次代數(shù)精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。x3 0 x 2S(x) 334、已知2(x 1) a(x 2) b 2 x 4是三次樣條函數(shù)，則(D) O(h3) 。9kli(k) k0a,b的值為(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8， 8。35、已知方程 x3 2x 5 0在 x 2附近有根，下列迭代格式中在x0 2不收斂的是 ( )2xk3 53xk2 2 。x01234f(x)1243-5(A) xk 13 2xk 5 ； (B)36、由下列數(shù)據(jù)確定的唯一插值多項(xiàng)式的

18、次數(shù)為 ( )(A) 4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5 個(gè)節(jié)點(diǎn)的 Gauss 型求積公式的最高代數(shù)精度為 ( ) (A)8 ；(B)9；(C)10；(D)11 。、是非題(認(rèn)為正確的在后面的括弧中打 ，否則打 )1、已知觀察值 ( xi，yi ) (i 0，1，2， ， m) ,用最小二乘法求 n 次擬合多項(xiàng)式 Pn(x)時(shí)，Pn(x) 的次數(shù) n 可以任意取。2x2、用 1- 2 近似表示 cosx 產(chǎn)生舍入誤差。( )(x x0)(x x2 )3、(x1 x0 )( x1 x2) 表示在節(jié)點(diǎn) x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。 ( )4、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)，高一級的插

19、值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果。31255、矩陣 A= 1 2135 具有嚴(yán)格對角占優(yōu)四、計(jì)算題：1、用高斯 -塞德爾方法解方程組4x1 2x2 x3 11x1 4x2 2x3 182x1 x2 5x3 22，取 x(0) (0,0,0)T ，迭代四次 (要求按五位有效數(shù)字計(jì)算 )xi1345f (xi )26542、求 A、 B 使求積公式1f (x)dx A f( 1) f (1) B f ( 1) f (1)1 2 2 的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求1 1dx1x(保留四位小數(shù) )3、已知分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求 f (x)的三次插值多項(xiàng)式 P3 (x) ，并求

20、 f (2) 的近似值(保留四位小數(shù)) 。4、取步長 h 0.2，用預(yù)估 -校正法解常微分方程初值問題y 2x 3yy(0) 1 (0 x 1)5、已知xi-2 -1 0 1 2f (xi )4 2 1 3 5求 f (x) 的二次擬合曲線p2(x) ，并求 f (0)的近似值。6、已知 sinx 區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求 sin0.63891的近似值， 如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最?。坎⑶笤摻?值。7、構(gòu)造求解方程 ef (x) e 在區(qū)間 0,1 上的二次插值多項(xiàng)式P2(x) ,并估計(jì)誤差 13、用歐拉方法求10 10x 2 0的根的迭代格式 xn 1(xn ),n 0,1,2, ，討論其收斂4性，并將根求出來， |xn 1 xn | 10x1 2x2 3x3 142x1 5x2 2x3 188利用矩陣的 LU 分解法解方程組3x1 x2 5x3 203x1 2x2 10x3 1510x1 4x2 x3 59對方程組2x1 10x2 4x3 81) 試建立一種收斂的 Seidel 迭代公式，說明理由；(0) T2) 取初 值 x(0) (0,0,0)T ， 利用( 1)中建立的 迭代公式 求解，要求 | x(k 1) x(k)