第十五講-彎曲變形-2

1、第第 6 6 章章 彎曲變形彎曲變形 本章主要研究：本章主要研究： 彎曲變形基本方程彎曲變形基本方程 計算梁位移的幾種方法計算梁位移的幾種方法 簡單靜不定梁分析簡單靜不定梁分析 梁的合理剛度設(shè)計梁的合理剛度設(shè)計 第第 6 章章 彎曲變形彎曲變形 1 引言引言 2 梁變形基本方程梁變形基本方程 3 計算梁位移的積分法計算梁位移的積分法 5 計算梁位移的疊加法計算梁位移的疊加法 6 簡單靜不定梁簡單靜不定梁 7 梁的剛度條件與合理設(shè)計梁的剛度條件與合理設(shè)計 上講回顧上講回顧 梁位移梁位移 ( ), d( ) ( ) d w x ww xx x 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程 EI xM x

2、w)( d d 2 2 以撓度表示的平衡方程以撓度表示的平衡方程 4 4 d( ) d wq x xEI 適用條件適用條件 pmax 小變形小變形 位移邊界條件位移邊界條件 連續(xù)條件連續(xù)條件 積分法求位移積分法求位移 上講回顧上講回顧 梁微段變形梁微段變形 截面撓度、轉(zhuǎn)角由各微段變形截面撓度、轉(zhuǎn)角由各微段變形累加累加而成而成 ( ) dd M x x EI d( )dwxx 5 5 計算梁位移的疊加法計算梁位移的疊加法 疊加法疊加法 逐段分析求和法逐段分析求和法 例題例題 疊加法疊加法 方方 法法 當梁上同時作用幾個載荷時，任一橫截當梁上同時作用幾個載荷時，任一橫截 面的總位移，等于各載荷單獨

3、作用時在該截面的總位移，等于各載荷單獨作用時在該截 面引起的位移的代數(shù)和或矢量和面引起的位移的代數(shù)和或矢量和 q ,AF,AA www 分解載荷分解載荷分別計算位移分別計算位移 求位移之和求位移之和 )( 83 43 EI ql EI Fl )( 3 3 EI Fl w F,A )( 8 4 EI ql w q ,A ? A w問題問題 理論依據(jù)理論依據(jù) )()()(xMxMxM qF )( d d 2 2 xM x w EI )()( xwxww qF 故故： )( d d 2 2 xM x w EI F )( xww F )( d d 2 2 xM x w EI q )( xww q 上述

4、微分方程的解，為下列微分方程解的組合上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合 （小變形小變形, ,比例極限內(nèi)比例極限內(nèi)）（小變形小變形） 疊加法適用范圍疊加法適用范圍：小變形小變形，比例極限內(nèi)，比例極限內(nèi) 疊加原理疊加原理 逐段分析求和法逐段分析求和法分段變形疊加分段變形疊加 分解梁分解梁 分別計算各梁段分別計算各梁段 的變形在需求位移的變形在需求位移 處引起的位移處引起的位移 aw B 1 EI lFa a EI lFa w 33 2 1 EI Fa w 3 3 2 21 www )( )( 3 2 al EI Fa 求位移之和（代數(shù)和或矢量和）求位移之和（代數(shù)和或矢量和） 疊加法的應(yīng)用疊加

5、法的應(yīng)用 典型梁的基本變形典型梁的基本變形任意梁的變形任意梁的變形 載荷疊加載荷疊加 分段變形疊加分段變形疊加 加附加載荷加附加載荷 簡支梁、懸臂梁簡支梁、懸臂梁 三種典型載荷三種典型載荷 例題例題 例例 5-1 q(x)=q0cos(p px/2l)，利用疊加法求利用疊加法求 wB=? 解：解： )3( 6 )d( d 2 xl EI xxxq wB x l x EI xlxq d 2 cos 6 )-(3 2 0 p p x l x xlx EI q w l B d 2 )cos-(3 6 0 2 0 p p EI lq 4 34 0 3 24)-(2 p p p p (） (） 例例 5

6、-2 21 ww Cy aww BB 1 )( 3 3 2 EI Fa w )( 33 3 t 23 EI Fa GI lFa EI Fl Cy 解：解： )( t a GI Fal EI Fl 3 3 例例 5-3 求自由端位移求自由端位移d d 撓曲軸與外力作用面不重合撓曲軸與外力作用面不重合 zy II 一般情況一般情況 sinFFz 解：解： cosFFy zz y y EI Fl EI lF 3 cos 3 3 3 d d yy z z EI Fl EI lF 3 sin 3 33 d d 22 zy d dd dd d y z d d d d tan tan y z I I 2 2

7、 3 sincos 3 yz I IE Fl 6 6 簡單靜不定梁簡單靜不定梁 靜不定度與靜不定度與多余約束多余約束 簡單靜不定梁簡單靜不定梁分析方法分析方法 例題例題 靜不定度與靜不定度與多余約束多余約束 多余約束多余約束 凡是多于維持平衡所必須的約束凡是多于維持平衡所必須的約束 多余反力多余反力 與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩 靜不定度靜不定度 支反力（力偶）數(shù)有效平衡方程數(shù)支反力（力偶）數(shù)有效平衡方程數(shù) 靜不定度多余約束數(shù)靜不定度多余約束數(shù) 4-3=1 度度 靜不定靜不定 5-3 = 2 度度 靜不定靜不定 簡單靜不定梁分析方法簡單靜不定梁分析方法

8、選選 Fby 為為 多余力多余力 EI lF EI Fl w By B 348 5 3 3 0 B w變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件 物理方程物理方程 0 348 5 3 3 EI lF EI Fl By 補充方程補充方程 16 5F FBy 163 0,/FlMM AA 得得 平衡方程平衡方程 一度靜不定一度靜不定 1611 0,/FFF yAy 得得 算例算例 綜合考慮三方面綜合考慮三方面 求梁的支反力求梁的支反力 判斷梁的靜不定度判斷梁的靜不定度 用多余力用多余力 代替多余約代替多余約 束的作用，得束的作用，得受力與原靜受力與原靜 不定梁相同的靜定梁不定梁相同的靜定梁所所 謂謂相當系統(tǒng)相當系統(tǒng)

9、 計算相當系統(tǒng)在多余約計算相當系統(tǒng)在多余約 束處的位移，并根據(jù)變形束處的位移，并根據(jù)變形 協(xié)調(diào)條件建立補充方程協(xié)調(diào)條件建立補充方程 由補充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力由補充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力 相當系統(tǒng)相當系統(tǒng) 通過相當系統(tǒng)計算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等通過相當系統(tǒng)計算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等 求解依據(jù)求解依據(jù)綜合考慮三方面綜合考慮三方面求解關(guān)鍵求解關(guān)鍵確定多余支反力確定多余支反力 分析方法與步驟分析方法與步驟 相當系統(tǒng)相當系統(tǒng) 例題例題 例例 6-1 求支反力求支反力 BA M,AM,AF,AA BA M,BM,BF,BB EI lM EI lM EIl blFab BA 63

10、6 )( - EI lM EI lM EIl alFab BA 366 )( 0 0 解：解：1. 問題分析問題分析 水平反力忽略不水平反力忽略不 計，計，2多余未知力多余未知力 2. 解靜不定解靜不定 0 0 BA , 2 2 2 2 l bFa M, l Fab M BA 3 2 3 2 )2( )2( l blFa F, l alFb F ByAy )( 64 13 48 5 3 33 R 3 EI Fl EI lF EI Fl wB 例例 6-2 懸臂梁懸臂梁 AB，用短梁，用短梁 DG 加固，試分析加固效果加固，試分析加固效果 解：解：1. 靜不定分析靜不定分析 GC ww EI F

11、F wC 48 )2(5 R EI lF EI lF wG 243 /2)( 3 R 3 R 4 5 R F F 2. 加固效果分析加固效果分析 /2 max FaM 與與 Fa 相比，減少相比，減少 50% 與與 相比，減少相比，減少39.9% EI Fl 3 3 3 2/ 3 N EI lFF wB EA lF EA lF l NN 22 EA lF EI l F F N 3 N 2 3 2 2 2 N 26 2 AlI FAl F 例例 6-3 試求桿試求桿 BC 的軸力的軸力 lwB 2 解：解： 梁的軸梁的軸 向變形向變形 一般忽一般忽 略不計略不計 如計及如計及 梁的軸梁的軸 向變

12、形，向變形， 如何求如何求 解解? ? 例例 5-4 直徑為直徑為d 的圓截面梁的圓截面梁, ,支座支座 B 下沉下沉 d d， max=? 解：解：, B 0 EI Fl EI lMB B 2 - 2 EI lF EI lM w By B B 3 - 2 3 2 23 6 12 l EI M, l EI F BBy d dd d z W Mmax max I d l EI/26 2 max d d d d- B w 2 3 l dEd d d d 0 7 梁的剛度條件與合理設(shè)計梁的剛度條件與合理設(shè)計 梁的剛度條件梁的剛度條件 梁的合理剛度設(shè)計梁的合理剛度設(shè)計 例題例題 梁的剛度條件梁的剛度條

13、件 d d max w max 最大位移控制最大位移控制 指定截面的位移控制指定截面的位移控制 許許用用撓撓度度 d d 許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角 500750 l l d d橋橋式式起起重重機機梁梁： 10000 5 10000 3 l l d d一般用途軸：一般用途軸： 例如滑動軸承處例如滑動軸承處 d d w rad 0010. 梁的合理剛度設(shè)計梁的合理剛度設(shè)計 橫截面形狀的合理選擇橫截面形狀的合理選擇 材料的合理選擇材料的合理選擇 使用較小的截面面積使用較小的截面面積 A，獲得較大慣性矩，獲得較大慣性矩 I 的截面形的截面形 狀，例如工字形與盒形等薄壁截面狀，例如工字形與盒形等薄壁截面 影響梁

14、剛度的力學(xué)性能是影響梁剛度的力學(xué)性能是 E ，為提高剛度，宜選用，為提高剛度，宜選用E 較高的材料較高的材料 GPa 220)(200 E鋼鋼與與合合金金鋼鋼： 注意：注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的各種鋼材（或各種鋁合金）的 E 基本相同基本相同 GPa 72)(70 E金：金：合合鋁鋁 梁跨度的合理選取梁跨度的合理選取 跨度微小改變，將導(dǎo)致?lián)隙蕊@著改變跨度微小改變，將導(dǎo)致?lián)隙蕊@著改變 3 max l d d EI Fl 3 3 max d d EI Fl 48 3 max d dFlM max 4 max Fl M lM max 例如例如 l 縮短縮短 20，d dmax 將減少將減少 48.8% 合理安排約束與合理安排約束與加載方式加載方式 % 758 max1 max2 . , , d d d d max1, d d max2, d d max1, d d max2, d d % 521 max1 max2 . , , d d d d q=F/l 增加約束，制作成靜不定梁增加約束，制作成靜不定梁 例題例題 例例 7-1 已知已知 F = 35