一元二次方程知識總結(jié)與典型例題

1、一元二次方程、本章知識結(jié)構(gòu)框圖二、具體內(nèi)容一、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為 2，整式方程，可化為一般形式；2 正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)1明確只有當(dāng)二次項系數(shù) a 0時，整式方程ax 2 bx c 0才是一元二次方程。2各項確實定包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù) .3熟練整理方程的過程3元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解4 列出實際問題的一元二次方程二、一元二次方程的解法1 明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；2 根據(jù)方程系數(shù)的特點，

2、熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一 元二次方程；3體會不同解法的相互的聯(lián)系；4 值得注意的幾個問題：2(1)開平方法：對于形如X n或( ax b ) 2 n (a 0 )的一元二次方程， 即一元二次方程的 一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解形如x 2 n的方程的解法：當(dāng) n 0 時，x . n ;當(dāng) n 0 時，x x 0 ；1 2 ，當(dāng)n 0時，方程無實數(shù)根。(2)配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x m ) 2n的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟： 移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到

3、方程的右邊; “系數(shù)化1：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1；(x m ) 2 n的形式; 配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為 求解：假設(shè)n 0時，方程的解為 x m n ,假設(shè)n 0時，方程無實數(shù)解。2(3)公式法:一元一次方程axbx“丄小bb4 acc0 ( a0)的根 x2 a當(dāng)b 24 ac0時,方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根不相等；當(dāng)b 24 ac0時，方程有兩個實數(shù)根b，且這兩個實數(shù)根相等，寫為x 1 x 22 a當(dāng)b 24 ac0時，方程無實數(shù)根公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定a,b,c的值；代入b2 4 ac中計算其值，判斷方程是否有

4、實數(shù)根;假設(shè)b2 4 ac0代入求根公式求值， 否那么，原方程無實數(shù)根。(因為這樣可以減少計算量。 另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。)(4) 因式分解法: 因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為 0，即：假設(shè) ab 0 ，那么 a 0 或 b 0 ； 因式分解法的一般步驟：假設(shè)方程的右邊不是零， 那么先移項， 使方程的右邊為零； 把方程的左邊分解因式；令每一個因 式都為零，得到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程 的解可得到原方程的兩個解。5選用適當(dāng)方法解一元二次方程 對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選

5、用因式分解法， 較之別的方法可能要簡便的多， 只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。 方程假設(shè)含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，假設(shè)整理為一般式再解就較為麻煩。6解含有字母系數(shù)的方程1含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；2對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方 法，此時一定不要忘記對字母的取值進(jìn)行討論。三、根的判別式 1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并 會用判別式求一元二 次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。 1 = b 2 4 ac2根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程ax 2 bx c 0 a 0

6、當(dāng)a00 時方程有實數(shù)根；a0a 0當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)方程有兩個相等的實00時數(shù)根；時a0當(dāng)方程無實數(shù)根；0時從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2常見的問題類型1利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況2方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍3應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況 先計算出判別式關(guān)鍵步驟； 用配方法將判別式恒等變形； 判斷判別式的符號；2( a 24 )0 無實數(shù)根。 總結(jié)出結(jié)論 .例：求證：方程 a 2 1 x 22 ax4分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根， 那一定要對方

7、程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為 0，一元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。5一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式組等知識綜合命題，解 答時要在全面分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧6一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合7判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題四、一元二次方程的應(yīng)用1.數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2.幾何問題：這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法那么來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方 程，對結(jié)果要結(jié)合幾何知識檢驗。3.增長率問題下降率：在此類問題中，一般有變化前

8、的基數(shù) a ，增長率 x ，變化的次數(shù) n ，變化后的基數(shù) b ,這四者之間的關(guān)系可以用公式 a 1 x n b 表示。4.其它實際問題都要注意檢驗解的實際意義，假設(shè)不符合實際意義，那么舍去。五新題型與代幾綜合題1有 100 米長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600 平方米，在場地的大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流個位平方與壽符，哪位學(xué)北面有一堵 50 米的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長 40 米、寬 10 米的倉庫，但面積只有 400 平方米，不合要求，問應(yīng)如何設(shè)計矩形的長與寬才能符合要求呢？2讀詩詞解題列出方程，并估算出周瑜去世時的年齡： 數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位

9、恰小個位三， 子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜？ 36 歲：a , b , c分別是 A B C的三邊長，當(dāng)m0時，關(guān)于x的一元二次方程c ( X m ) b ( x 2 m )2 . m ax 0有兩個相等的實數(shù)根，求證:ABC 是直角三角形。4：a , b , c分別是 ABC的三邊長，求證：方程b 2 x 22 2 2 2(b c a ) x c有實數(shù)根。(5 )當(dāng)m是什么整數(shù)時，關(guān)于x的一元二次方程mx 24 x 40與2x4 mx24 m4 m50的根都是整數(shù)？ m1 )6關(guān)于x的方程x 22m 12x 2 x 2 m0 ,其中m為實數(shù)，1當(dāng)m為何值時，方程沒有實數(shù)根？ 2當(dāng)m為何值時，方程

10、恰有三個互不相等的實數(shù)根？求出這三個 實數(shù)根。答案：(1)m 2 ( 2)x 1, 1. 2 .六相關(guān)練習(xí)一 一元二次方程的概念把以下方程化為一元二次方程的一般形式,1.一元二次方程的項與各項系數(shù) 再寫出二次項，一次項，常數(shù)項:(1 )5 x 223 x(5 x 2 ,3 x , 2 )(2)、26 x 215 x 0(6 x 2,15 x , 2(3)3 y ( y 1)7 ( y 2 )5(3 y2 , 4 y , 9 )(m2(2 m ,0, 3)2(3 a , 2a , 5 )(5) (5 a 1) 24( a 3 )4m是一元二次方程。2 應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的

11、值(1) m為何值時，關(guān)于x的方程(m . 2 ) x m ( m 3 )x6 / 15x2(2)假設(shè)分式3 由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值x a 210有一個根為0,那么a(1)關(guān)于x(a1 )的一元二次方程(a 1) x 2(2)關(guān)于x的一元二次方程2axbx c0 ( a0 )有一個根為1，一個根為1，那么a b c,a b c(0, 0)(3)c為實數(shù)，并且關(guān)于 x的一元二次方程x 2 3x c 0的一個根的相反數(shù)是方程0的一個根，求方程x3 x c 0的根及c的值。(0,-3, c=0)二一元二次方程的解法1.開平方法解以下方程：(1 )5 x1250(X5 , x255622(X

12、 1,x 2)13132(2 )169 ( x 3 )2893 y 23610 原方程無實根0 (m1 m2 0)(5)1) 22.配方法解方程:2(1) X 2 x 50( x 12 /(2) y 5 y 10( x521)2(3) 2 y 24 y 3(y 13.公式法解以下方程:28 / 15(1E 6 %2( x)3 P 232 梟 p ( p 1 p 2 Q2(3) 7 y 11 y ( y 111,y 27(4) 9 n 25 n 2 (原方程無實數(shù)根)(5) x 2( x 2 )( 2 x 1)315)4.因式分解法解以下方程:1 2x 942(2 ) y 4 y 4502(3)

13、 8 x 10 x 30( x 1(4)7 x 2,21 x 02r-(5) 6 x 3 , 3 x 33(6 )( x 5) 22( x 5 )118 / 15X2 6 )2 2 2 /(x 3 x )2 ( x 3 )80 ( Xi 2 , x?1, X34, X41 )5解法的靈活運用用適當(dāng)方法解以下方程7(1 ).2 ( 2 x 7 ) 2.,128*f(x - 2 )2/ 、 2 2(2 )2 m m12 ( m2 m )2 6(m)23(x 12 , x 2)5(3)6 x ( x 2 )(x 2 )( x 3 )/3(y1, y 22)2y ( 32 y ) y ( 3 y 1)

14、23(5) 81 ( 2 x5 )22144 ( x 3)273(x 1,x 2-)1026 解含有字母系數(shù)的方程解關(guān)于x的方程(1) x2 mxm 2 n 20(xi m n , x 2 m n )(2)2x23 a4 ax2 a 1(x13 a 1, x2a 1 )mn(3)(m2n ) x2 nxm n(mn0 )(x1 1, x 2)mn2 2 2(4) a ( x x 1) a ( x 1)2(a 1) x討論a三一元二次方程的根的判別式1.不解方程判別方程根的情況：14 x 2 x 37 x 有兩個不等的實數(shù)根2(2) 3 (x 2)4 x無實數(shù)根3 4 x 2 5 4 ,5 x有

15、兩個相等的實數(shù)根22. k為何值時，關(guān)于 x的二次方程kx6x901有兩個不等的實數(shù)根k1且k 2有兩個相等的實數(shù)根k13 無實數(shù)根k13 .關(guān)于x的方程4 x 2( m 2 )x 1 mm的值和這個方程的根.4 .假設(shè)方程 x 22 ( a 1) x a 24 a 50有實數(shù)根，求：正整數(shù)a.(a 1, a 2 , a5 .對任意實數(shù) m，求證：關(guān)于2 2x的方程(m1) x 2 mxm 240無實數(shù)根26. k為何值時，方程(k 1) x(2 k 3 )x ( k 3 20有實數(shù)根當(dāng)k 10時，原方程有一個實數(shù)根，k 10解得k121當(dāng)時,21，所以當(dāng)k且k1時方程有兩個實數(shù)根。021k4

16、4綜上所述，當(dāng)k4時,方程有實數(shù)根7 .設(shè)m為整數(shù)，且4m240時，方程X2 ( 2 m3 )x4 m14 m 80有兩個相異x5整數(shù)根，求m的值及方程的根。當(dāng)m =12時，方程的根為xi 16 , x226 ；當(dāng)m =24時,方程的根為xi 38 , X252 四一元二次方程的應(yīng)用.(3, 4, 5,面積為 6)1 直角三角形三邊長為三個連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積2一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小 4，求這個兩位數(shù) . 843某印刷廠在四年中共印刷 1997 萬冊書， 第一年印刷了 342 萬冊，第二年印刷了 500 萬冊，如果以后兩年

17、的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊？550, 6054某人把 5000 元存入銀行，定期一年到期后取出 300 元，將剩余局部包括利息繼續(xù) 存入銀行，定期還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是 275 元，求存款的年利 率？不計利息稅10%5某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20 件，每件盈利 40 元，為了擴(kuò)大銷售增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場每天可多售 出 2 件，假設(shè)商場平均每天要盈利 1200 元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？20 元6.甲乙兩人分別從正方形廣場 ABCD的頂點B C同時出發(fā)，甲由C向D運動，乙由B 向 C 運動，甲的速度為每分鐘 1 千米，乙的速度每分鐘 2 千米，假設(shè)正方形廣場周長為 40 千 米，問幾分鐘后，兩人相距 2 10 千米？2 分鐘后 7.某科技公司研制一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200 萬元資金，用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽訂的合同上約定兩年到期時一次性還本付息 ,利息為本金的 8%,該產(chǎn)品投放市場后由于產(chǎn)銷對 路, 使公司在兩年到期時除還清貸款的本金和利息外 , 還盈余 72 萬元 ,假設(shè)該公司在生產(chǎn)期間 每年比上一年資金增長的百分?jǐn)?shù)相同 , 試求這個百分?jǐn)?shù) .20%&如圖，東西和南北向兩條街道交于0點，甲沿東西道由西向東走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北